5.10: Багатономіальний розподіл

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 5.9: Розподіл Пуассона
- 5.11: Гіпергеометричний розподіл

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте багатономіальні результати
Обчислення ймовірностей за допомогою багатономіального розподілу

Біноміальний розподіл дозволяє обчислити ймовірність отримання заданої кількості бінарних результатів. Наприклад, він може бути використаний для обчислення ймовірності отримання $6$ голови з сальто $10$ монет. Фліп монети - це бінарний результат, оскільки він має лише два можливі результати: голови та решки. Багатономіальний розподіл може бути використаний для обчислення ймовірностей у ситуаціях, в яких існує більше двох можливих результатів.

Наприклад, припустимо, що двоє шахістів грали численні ігри, і було визначено, що ймовірність того, $A$ що гравець виграє є $0.40$ , ймовірність того, $B$ що гравець виграє є $0.35$ , і ймовірність того, що гра закінчиться нічиєю є $0.25$ . Багатономіальний розподіл може бути використаний для відповіді на такі питання, як: «Якщо ці два шахісти грали в $12$ ігри, яка ймовірність того, $A$ що Гравець виграє $7$ ігри, Гравець $B$ виграє $2$ ігри, а решта $3$ гри будуть розіграні?» Наступна формула дає ймовірність отримання певного набору результатів при наявності трьох можливих результатів для кожної події:

$p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}$

де

$p$ це ймовірність,
$n$ загальна кількість подій
$n_1$ це кількість разів $1$ Виникає Результат,
$n_2$ це кількість разів $2$ Виникає Результат,
$n_3$ це кількість разів $3$ Виникає Результат,
$p_1$ вірогідність результату $1$
$p_2$ це ймовірність результату $2$ , і
$p_3$ Чи є ймовірність результату $3$ .

Приклад $\PageIndex{1}$ : Chess

Для розглянутого вище шахового прикладу:

$n$ = $12$ ( $12$ ігри граються),
$n_1$ = $7$ (число, вигране гравцем $A$ ),
$n_2$ = $2$ (число, вигране гравцем $B$ ),
$n_3$ = $3$ (число намальовано),
$p_1$ = $0.40$ (ймовірність $A$ виграшу гравця)
$p_2$ = $0.35$ (ймовірність $B$ виграшу гравця)
$p_3$ = $0.25$ (ймовірність нічиї)

$P= \dfrac{12!}{7!2!3!}\times 40^7\times 35^2 \times 25^3 = 0.0248$

Формула $k$ результатів така

$p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}$

Зверніть увагу, що біноміальний розподіл є окремим випадком багатономіального розподілу, коли $k = 2$ .