5.10: Багатономіальний розподіл
Цілі навчання
- Визначте багатономіальні результати
- Обчислення ймовірностей за допомогою багатономіального розподілу
Біноміальний розподіл дозволяє обчислити ймовірність отримання заданої кількості бінарних результатів. Наприклад, він може бути використаний для обчислення ймовірності отримання6 голови з сальто10 монет. Фліп монети - це бінарний результат, оскільки він має лише два можливі результати: голови та решки. Багатономіальний розподіл може бути використаний для обчислення ймовірностей у ситуаціях, в яких існує більше двох можливих результатів.
Наприклад, припустимо, що двоє шахістів грали численні ігри, і було визначено, що ймовірність того,A що гравець виграє є0.40, ймовірність того,B що гравець виграє є0.35, і ймовірність того, що гра закінчиться нічиєю є0.25. Багатономіальний розподіл може бути використаний для відповіді на такі питання, як: «Якщо ці два шахісти грали в12 ігри, яка ймовірність того,A що Гравець виграє7 ігри, ГравецьB виграє2 ігри, а решта3 гри будуть розіграні?» Наступна формула дає ймовірність отримання певного набору результатів при наявності трьох можливих результатів для кожної події:
p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}
де
- pце ймовірність,
- nзагальна кількість подій
- n_1це кількість разів1 Виникає Результат,
- n_2це кількість разів2 Виникає Результат,
- n_3це кількість разів3 Виникає Результат,
- p_1вірогідність результату1
- p_2це ймовірність результату2, і
- p_3Чи є ймовірність результату3.
Приклад\PageIndex{1}: Chess
Для розглянутого вище шахового прикладу:
- n=12 (12ігри граються),
- n_1=7 (число, вигране гравцемA),
- n_2=2 (число, вигране гравцемB),
- n_3=3 (число намальовано),
- p_1=0.40 (ймовірністьA виграшу гравця)
- p_2=0.35 (ймовірністьB виграшу гравця)
- p_3=0.25 (ймовірність нічиї)
P= \dfrac{12!}{7!2!3!}\times 40^7\times 35^2 \times 25^3 = 0.0248
Формулаk результатів така
p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}
Зверніть увагу, що біноміальний розподіл є окремим випадком багатономіального розподілу, колиk = 2.