5.10: Багатономіальний розподіл

Цілі навчання

• Визначте багатономіальні результати
• Обчислення ймовірностей за допомогою багатономіального розподілу

Біноміальний розподіл дозволяє обчислити ймовірність отримання заданої кількості бінарних результатів. Наприклад, він може бути використаний для обчислення ймовірності отримання$6$ голови з сальто$10$ монет. Фліп монети - це бінарний результат, оскільки він має лише два можливі результати: голови та решки. Багатономіальний розподіл може бути використаний для обчислення ймовірностей у ситуаціях, в яких існує більше двох можливих результатів.

Наприклад, припустимо, що двоє шахістів грали численні ігри, і було визначено, що ймовірність того,$A$ що гравець виграє є$0.40$, ймовірність того,$B$ що гравець виграє є$0.35$, і ймовірність того, що гра закінчиться нічиєю є$0.25$. Багатономіальний розподіл може бути використаний для відповіді на такі питання, як: «Якщо ці два шахісти грали в$12$ ігри, яка ймовірність того,$A$ що Гравець виграє$7$ ігри, Гравець$B$ виграє$2$ ігри, а решта$3$ гри будуть розіграні?» Наступна формула дає ймовірність отримання певного набору результатів при наявності трьох можливих результатів для кожної події:

$$p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}$$

де

• $p$це ймовірність,
• $n$загальна кількість подій
• $n_1$це кількість разів$1$ Виникає Результат,
• $n_2$це кількість разів$2$ Виникає Результат,
• $n_3$це кількість разів$3$ Виникає Результат,
• $p_1$вірогідність результату$1$
• $p_2$це ймовірність результату$2$, і
• $p_3$Чи є ймовірність результату$3$.

Приклад$\PageIndex{1}$: Chess

Для розглянутого вище шахового прикладу:

• $n$=$12$ ($12$ігри граються),
• $n_1$=$7$ (число, вигране гравцем$A$),
• $n_2$=$2$ (число, вигране гравцем$B$),
• $n_3$=$3$ (число намальовано),
• $p_1$=$0.40$ (ймовірність$A$ виграшу гравця)
• $p_2$=$0.35$ (ймовірність$B$ виграшу гравця)
• $p_3$=$0.25$ (ймовірність нічиї)

$$P= \dfrac{12!}{7!2!3!}\times 40^7\times 35^2 \times 25^3 = 0.0248$$

Формула$k$ результатів така

$$p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}$$

Зверніть увагу, що біноміальний розподіл є окремим випадком багатономіального розподілу, коли$k = 2$.