Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.10: Багатономіальний розподіл

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    98342

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Визначте багатономіальні результати
    • Обчислення ймовірностей за допомогою багатономіального розподілу

    Біноміальний розподіл дозволяє обчислити ймовірність отримання заданої кількості бінарних результатів. Наприклад, він може бути використаний для обчислення ймовірності отримання\(6\) голови з сальто\(10\) монет. Фліп монети - це бінарний результат, оскільки він має лише два можливі результати: голови та решки. Багатономіальний розподіл може бути використаний для обчислення ймовірностей у ситуаціях, в яких існує більше двох можливих результатів.

    Наприклад, припустимо, що двоє шахістів грали численні ігри, і було визначено, що ймовірність того,\(A\) що гравець виграє є\(0.40\), ймовірність того,\(B\) що гравець виграє є\(0.35\), і ймовірність того, що гра закінчиться нічиєю є\(0.25\). Багатономіальний розподіл може бути використаний для відповіді на такі питання, як: «Якщо ці два шахісти грали в\(12\) ігри, яка ймовірність того,\(A\) що Гравець виграє\(7\) ігри, Гравець\(B\) виграє\(2\) ігри, а решта\(3\) гри будуть розіграні?» Наступна формула дає ймовірність отримання певного набору результатів при наявності трьох можливих результатів для кожної події:

    \[ p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2}p_3^{n_3}\]

    де

    • \(p\)це ймовірність,
    • \(n\)загальна кількість подій
    • \(n_1\)це кількість разів\(1\) Виникає Результат,
    • \(n_2\)це кількість разів\(2\) Виникає Результат,
    • \(n_3\)це кількість разів\(3\) Виникає Результат,
    • \(p_1\)вірогідність результату\(1\)
    • \(p_2\)це ймовірність результату\(2\), і
    • \(p_3\)Чи є ймовірність результату\(3\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\): Chess

    Для розглянутого вище шахового прикладу:

    • \(n\)=\(12\) (\(12\)ігри граються),
    • \(n_1\)=\(7\) (число, вигране гравцем\(A\)),
    • \(n_2\)=\(2\) (число, вигране гравцем\(B\)),
    • \(n_3\)=\(3\) (число намальовано),
    • \(p_1\)=\(0.40\) (ймовірність\(A\) виграшу гравця)
    • \(p_2\)=\(0.35\) (ймовірність\(B\) виграшу гравця)
    • \(p_3\)=\(0.25\) (ймовірність нічиї)

    \[ P= \dfrac{12!}{7!2!3!}\times 40^7\times 35^2 \times 25^3 = 0.0248\]

    Формула\(k\) результатів така

    \[ p =\dfrac{n!}{n_1!n_2!n_3!} p_1^{n_1}p_2^{n_2} \ldots p_k^{n_k}\]

    Зверніть увагу, що біноміальний розподіл є окремим випадком багатономіального розподілу, коли\(k = 2\).