5.5: Перестановки та комбінації

Цілі навчання

• Обчисліть ймовірність виникнення двох незалежних подій
• Визначте перестановки та комбінації
• Перерахуйте всі перестановки та комбінації
• Застосовуйте формули для перестановок і комбінацій

У цьому розділі розглядаються основні формули для визначення кількості різних можливих типів результатів. Теми, що охоплюються:

• підрахунок кількості можливих замовлень
• підрахунок за допомогою правила множення
• підрахунок кількості перестановок
• підрахунок кількості комбінацій

Можливі замовлення

Припустимо, у вас була тарілка з трьома шматочками цукерок на ній: один зелений, один жовтий і один червоний. Ви збираєтеся забрати ці три штуки по одному. Питання в тому: у скільки різних замовлень ви можете забрати шматки? У таблиці$\PageIndex{1}$ перераховані всі можливі замовлення.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Цукерки

Є два порядки, в яких червоний є першим: червоний, жовтий, зелений і червоний, зелений, жовтий. Аналогічно є два порядки, в яких жовтий є першим і два порядку, в яких зелений є першим. Це робить шість можливих замовлень, в яких шматки можуть бути забрані.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Шість можливих замовлень.

Число	Перший	Друга	Третє
1	червоний	жовтий	зелений
2	червоний	зелений	жовтий
3	жовтий	червоний	зелений
4	жовтий	зелений	червоний
5	зелений	червоний	жовтий
6	зелений	жовтий	червоний

Формула для кількості замовлень наведена нижче.

$$\text{Number of orders} = n!$$

де$n$ - кількість штук, які потрібно підібрати. Символ «!» розшифровується як факторіал. Деякі приклади:

$$\begin{align} 3! &= 3 \times 2 \times 1 = 6 \\ 4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \\ 5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align}$$

Це означає, що якби були$5$ шматочки цукерок, які потрібно забрати, їх можна було б забрати в будь-якому з$5! = 120$ замовлень.

Правило множення

Уявіть собі невеликий ресторан, в меню якого є$3$$6$ супи, закуски та$4$ десерти. Скільки можливих прийомів їжі? Відповідь обчислюється множенням чисел, щоб отримати$3 \times 6 \times 4 = 72$. Ви можете думати про це, як спочатку є вибір серед$3$ супів. Тоді для кожного з цих варіантів є вибір серед$6$ entrées, що призводить до$3 \times 6 = 18$ можливостей. Тоді для кожної з цих$18$ можливостей є$4$ можливі десерти, що дають$18 \times 4 = 72$ загальні можливості.

Перестановки

Припустимо, що цукерок було чотири (червоні, жовті, зелені і коричневі) і ви збиралися підібрати тільки рівно дві штуки. Скільки існує способів підібрати дві штуки? У таблиці$\PageIndex{2}$ перераховані всі можливості. Першим вибором може стати будь-який з чотирьох кольорів. Для кожного з цих$4$ перших варіантів є$3$ другий вибір. Тому є$4 \times 3 = 12$ можливості.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Дванадцять можливих замов

Число	Перший	Другий
1	червоний	жовтий
2	червоний	зелений
3	червоний	коричневий
4	жовтий	червоний
5	жовтий	зелений
6	жовтий	коричневий
7	зелений	червоний
8	зелений	жовтий
9	зелений	коричневий
10	коричневий	червоний
11	коричневий	жовтий
12	коричневий	зелений

Більш формально це питання просять кількість перестановок чотирьох речей, прийнятих по дві за раз. Загальна формула така:

$$_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$

де$_nP_r$ - кількість перестановок$n$ речей, зроблених$r$ за один раз. Іншими словами, це кількість способів,$r$ якими можна вибрати речі з групи$n$ речей. У цьому випадку

$$_4P_2 = \dfrac{4!}{(4-2)!} = \dfrac{4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$$

Важливо відзначити, що порядок підраховується в перестановках. Тобто вибір червоного, а потім жовтого відраховується окремо від вибору жовтого, а потім червоного. Тому перестановки стосуються кількості способів вибору, а не кількості можливих результатів. Коли порядок вибору не розглядається, використовується формула для комбінацій.

комбінації

Тепер припустимо, що ви не були стурбовані тим, як були обрані шматочки цукерок, а тільки в остаточному виборі. Іншими словами, скільки різних комбінацій з двох частин ви могли б в кінцевому підсумку? При підрахунку комбінацій вибір червоного, а потім жовтого - це те саме, що вибір жовтого, а потім червоного, тому що в обох випадках ви закінчуєте одним червоним шматочком і одним жовтим шматочком. На відміну від перестановок, порядок не враховується. Таблиця$\PageIndex{3}$ заснована на таблиці,$\PageIndex{2}$ але модифікована таким чином, що повторювані комбінації задаються$x$ "" замість числа. Наприклад, «жовтий, то червоний» має значення "$x$", оскільки комбінація червоного та жовтого вже була включена як номер вибору$1$. Як бачите, існує шість комбінацій трьох кольорів.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Шість комбінацій.

Число	Перший	Друга
1	червоний	жовтий
2	червоний	зелений
3	червоний	коричневий
х	жовтий	червоний
4	жовтий	зелений
5	жовтий	коричневий
х	зелений	червоний
х	зелений	жовтий
6	зелений	коричневий
х	коричневий	червоний
х	коричневий	жовтий
х	коричневий	зелений

Формула для кількості комбінацій наведена нижче, де$_nC_r$ - кількість комбінацій для$n$ речей, взятих$r$ за один раз.

$$_nC_r = \dfrac{n!}{(n-r)!r!}$$

Для нашого прикладу

$$_4C_2 = \dfrac{4!}{(4-2)!2!} = \dfrac{4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = 6$$

що узгоджується з табл$\PageIndex{3}$.

Як приклад програми, припустимо, що було шість видів начинки, які можна було замовити для піци. Скільки комбінацій саме$3$ топінгів можна було б замовити? Ось$n = 6$ так як є$6$ начинки і$r = 3$ так як ми приймаємо$3$ за один раз. Формула тоді:

$$_6C_3 = \dfrac{6!}{(6-3)!3!} = \dfrac{6\times 5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = 30$$