5.5: Перестановки та комбінації
- Page ID
- 98363
Цілі навчання
- Обчисліть ймовірність виникнення двох незалежних подій
- Визначте перестановки та комбінації
- Перерахуйте всі перестановки та комбінації
- Застосовуйте формули для перестановок і комбінацій
У цьому розділі розглядаються основні формули для визначення кількості різних можливих типів результатів. Теми, що охоплюються:
- підрахунок кількості можливих замовлень
- підрахунок за допомогою правила множення
- підрахунок кількості перестановок
- підрахунок кількості комбінацій
Можливі замовлення
Припустимо, у вас була тарілка з трьома шматочками цукерок на ній: один зелений, один жовтий і один червоний. Ви збираєтеся забрати ці три штуки по одному. Питання в тому: у скільки різних замовлень ви можете забрати шматки? У таблиці\(\PageIndex{1}\) перераховані всі можливі замовлення.
Є два порядки, в яких червоний є першим: червоний, жовтий, зелений і червоний, зелений, жовтий. Аналогічно є два порядки, в яких жовтий є першим і два порядку, в яких зелений є першим. Це робить шість можливих замовлень, в яких шматки можуть бути забрані.
| Число | Перший | Друга | Третє |
|---|---|---|---|
| 1 | червоний | жовтий | зелений |
| 2 | червоний | зелений | жовтий |
| 3 | жовтий | червоний | зелений |
| 4 | жовтий | зелений | червоний |
| 5 | зелений | червоний | жовтий |
| 6 | зелений | жовтий | червоний |
Формула для кількості замовлень наведена нижче.
\[\text{Number of orders} = n!\]
де\(n\) - кількість штук, які потрібно підібрати. Символ «!» розшифровується як факторіал. Деякі приклади:
\[ \begin{align} 3! &= 3 \times 2 \times 1 = 6 \\ 4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \\ 5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align} \]
Це означає, що якби були\(5\) шматочки цукерок, які потрібно забрати, їх можна було б забрати в будь-якому з\(5! = 120\) замовлень.
Правило множення
Уявіть собі невеликий ресторан, в меню якого є\(3\)\(6\) супи, закуски та\(4\) десерти. Скільки можливих прийомів їжі? Відповідь обчислюється множенням чисел, щоб отримати\(3 \times 6 \times 4 = 72\). Ви можете думати про це, як спочатку є вибір серед\(3\) супів. Тоді для кожного з цих варіантів є вибір серед\(6\) entrées, що призводить до\(3 \times 6 = 18\) можливостей. Тоді для кожної з цих\(18\) можливостей є\(4\) можливі десерти, що дають\(18 \times 4 = 72\) загальні можливості.
Перестановки
Припустимо, що цукерок було чотири (червоні, жовті, зелені і коричневі) і ви збиралися підібрати тільки рівно дві штуки. Скільки існує способів підібрати дві штуки? У таблиці\(\PageIndex{2}\) перераховані всі можливості. Першим вибором може стати будь-який з чотирьох кольорів. Для кожного з цих\(4\) перших варіантів є\(3\) другий вибір. Тому є\(4 \times 3 = 12\) можливості.
| Число | Перший | Другий |
|---|---|---|
| 1 | червоний | жовтий |
| 2 | червоний | зелений |
| 3 | червоний | коричневий |
| 4 | жовтий | червоний |
| 5 | жовтий | зелений |
| 6 | жовтий | коричневий |
| 7 | зелений | червоний |
| 8 | зелений | жовтий |
| 9 | зелений | коричневий |
| 10 | коричневий | червоний |
| 11 | коричневий | жовтий |
| 12 | коричневий | зелений |
Більш формально це питання просять кількість перестановок чотирьох речей, прийнятих по дві за раз. Загальна формула така:
\[ _nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\]
де\(_nP_r\) - кількість перестановок\(n\) речей, зроблених\(r\) за один раз. Іншими словами, це кількість способів,\(r\) якими можна вибрати речі з групи\(n\) речей. У цьому випадку
\[ _4P_2 = \dfrac{4!}{(4-2)!} = \dfrac{4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12\]
Важливо відзначити, що порядок підраховується в перестановках. Тобто вибір червоного, а потім жовтого відраховується окремо від вибору жовтого, а потім червоного. Тому перестановки стосуються кількості способів вибору, а не кількості можливих результатів. Коли порядок вибору не розглядається, використовується формула для комбінацій.
комбінації
Тепер припустимо, що ви не були стурбовані тим, як були обрані шматочки цукерок, а тільки в остаточному виборі. Іншими словами, скільки різних комбінацій з двох частин ви могли б в кінцевому підсумку? При підрахунку комбінацій вибір червоного, а потім жовтого - це те саме, що вибір жовтого, а потім червоного, тому що в обох випадках ви закінчуєте одним червоним шматочком і одним жовтим шматочком. На відміну від перестановок, порядок не враховується. Таблиця\(\PageIndex{3}\) заснована на таблиці,\(\PageIndex{2}\) але модифікована таким чином, що повторювані комбінації задаються\(x\) "" замість числа. Наприклад, «жовтий, то червоний» має значення "\(x\)", оскільки комбінація червоного та жовтого вже була включена як номер вибору\(1\). Як бачите, існує шість комбінацій трьох кольорів.
| Число | Перший | Друга |
|---|---|---|
| 1 | червоний | жовтий |
| 2 | червоний | зелений |
| 3 | червоний | коричневий |
| х | жовтий | червоний |
| 4 | жовтий | зелений |
| 5 | жовтий | коричневий |
| х | зелений | червоний |
| х | зелений | жовтий |
| 6 | зелений | коричневий |
| х | коричневий | червоний |
| х | коричневий | жовтий |
| х | коричневий | зелений |
Формула для кількості комбінацій наведена нижче, де\(_nC_r\) - кількість комбінацій для\(n\) речей, взятих\(r\) за один раз.
\[ _nC_r = \dfrac{n!}{(n-r)!r!}\]
Для нашого прикладу
\[ _4C_2 = \dfrac{4!}{(4-2)!2!} = \dfrac{4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = 6\]
що узгоджується з табл\(\PageIndex{3}\).
Як приклад програми, припустимо, що було шість видів начинки, які можна було замовити для піци. Скільки комбінацій саме\(3\) топінгів можна було б замовити? Ось\(n = 6\) так як є\(6\) начинки і\(r = 3\) так як ми приймаємо\(3\) за один раз. Формула тоді:
\[ _6C_3 = \dfrac{6!}{(6-3)!3!} = \dfrac{6\times 5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = 30\]