Search

2.1: Приклади груп
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8/2.01%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF
Групи є одним з найбільш основних алгебраїчних об'єктів, але мають досить багату структуру, щоб бути широко корисними у всіх галузях математики та її застосувань. Група - це множина $G$ з двійковою о...Групи є одним з найбільш основних алгебраїчних об'єктів, але мають досить багату структуру, щоб бути широко корисними у всіх галузях математики та її застосувань. Група - це множина $G$ з двійковою операцією $G\times G \to G$ , яка має короткий список конкретних властивостей. Перш ніж ми дамо повне визначення групи в наступному розділі, в цьому розділі наведені приклади деяких важливих та корисних груп.
15.2: Групи перестановок
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Keller_%D1%96_Trotter)/15%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%96/15.02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%BA
Це можна визначити, виконуючи склад цих функцій у вигляді перестановок або зазначивши, що обертання за годинниковою стрілкою, а потім за $90^\circ$ годинниковою стрілкою - це те ж саме, що і обертанн...Це можна визначити, виконуючи склад цих функцій у вигляді перестановок або зазначивши, що обертання за годинниковою стрілкою, а потім за $90^\circ$ годинниковою стрілкою - це те ж саме, що і обертання $180^\circ$ за $270^\circ$ годинниковою стрілкою. Бо $v \circ r$ , знаходимо $v \circ r(1)=1, v \circ r(3)=3, v \circ r(2)=4$ , і $v \circ r(4)=2$ , значить $v \circ r=n$ .
1.8: Теорема Спернера
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%B2_(Guichard)/01%3A_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8/1.08%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0
Ми намагаємося $\displaystyle 2^{[n]}$ розділити на $k={n\choose \lfloor n/2\rfloor}$ ланцюжки, тобто знайти ланцюжки\[\eqalign{ &A_{1,0}\subseteq A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq\cdots\subseteq A_...Ми намагаємося $\displaystyle 2^{[n]}$ розділити на $k={n\choose \lfloor n/2\rfloor}$ ланцюжки, тобто знайти ланцюжки $\eqalign{ &A_{1,0}\subseteq A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq\cdots\subseteq A_{1,m_1}\cr &A_{2,0}\subseteq A_{2,1}\subseteq A_{2,2}\subseteq\cdots\subseteq A_{2,m_2}\cr &\vdots\cr &A_{k,0}\subseteq A_{k,1}\subseteq A_{k,2}\subseteq\cdots\subseteq A_{k,m_k}\cr }\nonumber$ так, щоб кожна підмножина $[n]$ з'являється рівно один раз як один з $\displaystyle A_{i,j}$ .
4.5: Комбінаторика і кратність
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%A5%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%A5%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D0%BA%D0%B0_(%D0%B4%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_Shepherd_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD.)/04%3A_%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_2_-_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%84%D1%96%D0%B3%D1%83%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/4.05%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C
Комбінаторика - це галузь математики, пов'язана з підрахунком подій та результатів, тоді як кратність - це статистична змінна термодинаміки, що дорівнює кількості можливих результатів. Вони заплутано ...Комбінаторика - це галузь математики, пов'язана з підрахунком подій та результатів, тоді як кратність - це статистична змінна термодинаміки, що дорівнює кількості можливих результатів. Вони заплутано пов'язані між собою.
3.1: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Morris)/02%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/03%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%2C_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0/3.01%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Ми починаємо з розгляду перестановок, оскільки це просте застосування правила продукту. Слово «перестановка» означає перестановку, і це саме те, що таке перестановка: впорядкування ряду різних елемент...Ми починаємо з розгляду перестановок, оскільки це просте застосування правила продукту. Слово «перестановка» означає перестановку, і це саме те, що таке перестановка: впорядкування ряду різних елементів у рядку. Іноді, навіть якщо у нас є велика кількість різних елементів, ми хочемо виділити меншу кількість і організувати їх у рядок; це також свого роду перестановка.
1.2: Основні принципи підрахунку
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%8F_(Bogart)/01%3A_%D0%A9%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0%3F/1.02%3A_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF%D0%B8_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83
У цьому розділі ми досліджуємо основні принципи підрахунку через безліч прикладів та вправ. Однією з наших цілей у цих примітках є показати, як більшість задач підрахунку можна розпізнати як підрахуно...У цьому розділі ми досліджуємо основні принципи підрахунку через безліч прикладів та вправ. Однією з наших цілей у цих примітках є показати, як більшість задач підрахунку можна розпізнати як підрахунок всіх або деяких елементів набору стандартних математичних об'єктів. Можливо, ви помітили деякі стандартні математичні слова та фрази, такі як набір, впорядкована пара, функція тощо, що повзають у проблеми.
7.1: Підрахунок
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9D%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%86%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Fields)/07%3A_%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_III_-_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0/7.01%3A_%D0%9F%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%BA
Назва цього розділу, «Підрахунок», не призначена для того, щоб викликати звичний процес підрахунку овець, або підрахунку змін. Ми хочемо мати можливість підрахувати якусь колекцію в принципі, щоб ми з...Назва цього розділу, «Підрахунок», не призначена для того, щоб викликати звичний процес підрахунку овець, або підрахунку змін. Ми хочемо мати можливість підрахувати якусь колекцію в принципі, щоб ми змогли виявити формулу її розміру. Є два принципи, які будуть незамінними при підрахунку речей: «правило множення», яке говорить нам, коли ми повинні множити, і «правило додавання», яке говорить нам, коли ми повинні додати.
3.5: Методи підрахунку
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B6%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%81%D1%8F%D0%BA%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%8F_(Inigo_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD.)/03%3A_%D0%99%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C/3.05%3A_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83
Поки що проблеми, які ми розглядали, мали досить невелику загальну кількість результатів. Ми могли б легко підрахувати кількість елементів у просторі вибірки. Якщо у просторі вибірки є велика кількіст...Поки що проблеми, які ми розглядали, мали досить невелику загальну кількість результатів. Ми могли б легко підрахувати кількість елементів у просторі вибірки. Якщо у просторі вибірки є велика кількість елементів, ми можемо використовувати методи підрахунку, такі як перестановки або комбінації для їх підрахунку.
6.2: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%85%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B6%D0%B2%D0%B0%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%83_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D1%83_(Davies)/06%3A_%D0%9F%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%BA/6.2%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
По-перше, ми можемо використовувати факторіали для його представлення\[\begin{aligned} n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1) &= \\ \dfrac{n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \...По-перше, ми можемо використовувати факторіали для його представлення $\begin{aligned} n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1) &= \\ \dfrac{n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1}{(n-k) \times (n-k-1) \times (n-k-2) \times \cdots \times 1} &= \dfrac{n!}{(n-k)!}.\end{aligned}$ : Також ми могли б використовувати наші компактні позначення продукту: $\begin{aligned} n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1) &= \prod_{i=0}^{k-1}{(n-i)}.\end{aligned}$ Наре…
7.3: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Sekhon_%D1%96_Bloom)/07%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%BA/7.03%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Таким чином, загальні перестановки є $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1440$ . \[ 6 \mathrm{P} 3=\frac{6 !}{(6-3) !}=\frac{6 !}{3 !}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}...Таким чином, загальні перестановки є $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1440$ . $6 \mathrm{P} 3=\frac{6 !}{(6-3) !}=\frac{6 !}{3 !}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}=120 \nonumber$ $7 \mathrm{P} 2=\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=42 \nonumber$ По черзі ми можемо бачити, що $4 \cdot 3 \cdot 2$ це дійсно те ж саме, що 4P3, і $5 \cdot 4$ є 5P2.
8.1: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Schilling%2C_Nachtergaele_%D1%82%D0%B0_Lankham)/08%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D1%82/8.01%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Перестановки з'являються в багатьох різних математичних поняттях, і тому ми дамо загальне введення в них в цьому розділі.