Search

25.1: Біноміальна теорема
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Tradler_%D1%96_Carley)/25%3A_%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0/25.01%3A_%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0
$\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\\ &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\\ &= a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{aligned} \nonumber$ \[\begin{aligned} (a+b)^4 &... $\begin{aligned} (a+b)^3 &= (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\\ &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\\ &= a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\end{aligned} \nonumber$ $\begin{aligned} (a+b)^4 &= (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\\ &= (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\cdot (a+b)\\ &= a^4+3a^3b+3a^2b^2+ab^3+a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4\\ &= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{aligned} \nonumber$
9.4: Біноміальна теорема
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/09%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%2C_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0/9.04%3A_%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0
Біноміальна теорема забезпечує метод розширення біноміалів, піднятих до степенів без прямого множення кожного коефіцієнта.
9.4: Біноміальна теорема
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Stitz-Zeager)/09%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0/9.04%3A_%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0
Простіше кажучи, Біноміальна теорема - це формула для розширення величин для натуральних чисел.
3.1: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Morris)/02%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/03%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8%2C_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0/3.01%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Ми починаємо з розгляду перестановок, оскільки це просте застосування правила продукту. Слово «перестановка» означає перестановку, і це саме те, що таке перестановка: впорядкування ряду різних елемент...Ми починаємо з розгляду перестановок, оскільки це просте застосування правила продукту. Слово «перестановка» означає перестановку, і це саме те, що таке перестановка: впорядкування ряду різних елементів у рядку. Іноді, навіть якщо у нас є велика кількість різних елементів, ми хочемо виділити меншу кількість і організувати їх у рядок; це також свого роду перестановка.
8.1: Послідовності
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Apex)/08%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%97/8.01%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96
Ми зазвичай називаємо набір подій, які відбуваються один за одним, як послідовність подій. У математиці ми використовуємо послідовність слів для позначення впорядкованого набору чисел, тобто набору чи...Ми зазвичай називаємо набір подій, які відбуваються один за одним, як послідовність подій. У математиці ми використовуємо послідовність слів для позначення впорядкованого набору чисел, тобто набору чисел, які «відбуваються один за одним». Наприклад, числа 2, 4, 6, 8,... утворюють послідовність. Порядок важливий.
1.2: Основні принципи підрахунку
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%87%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B7_%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%8F_(Bogart)/01%3A_%D0%A9%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0%3F/1.02%3A_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF%D0%B8_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83
У цьому розділі ми досліджуємо основні принципи підрахунку через безліч прикладів та вправ. Однією з наших цілей у цих примітках є показати, як більшість задач підрахунку можна розпізнати як підрахуно...У цьому розділі ми досліджуємо основні принципи підрахунку через безліч прикладів та вправ. Однією з наших цілей у цих примітках є показати, як більшість задач підрахунку можна розпізнати як підрахунок всіх або деяких елементів набору стандартних математичних об'єктів. Можливо, ви помітили деякі стандартні математичні слова та фрази, такі як набір, впорядкована пара, функція тощо, що повзають у проблеми.
3.5: Методи підрахунку
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B6%D1%83_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%81%D1%8F%D0%BA%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B6%D0%B8%D1%82%D1%82%D1%8F_(Inigo_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD.)/03%3A_%D0%99%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C/3.05%3A_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83
Поки що проблеми, які ми розглядали, мали досить невелику загальну кількість результатів. Ми могли б легко підрахувати кількість елементів у просторі вибірки. Якщо у просторі вибірки є велика кількіст...Поки що проблеми, які ми розглядали, мали досить невелику загальну кількість результатів. Ми могли б легко підрахувати кількість елементів у просторі вибірки. Якщо у просторі вибірки є велика кількість елементів, ми можемо використовувати методи підрахунку, такі як перестановки або комбінації для їх підрахунку.
1.3: Комбінації та перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Levin)/1%3A_%D0%9F%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%BA/1.3%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Перестановка - це (можлива) перестановка об'єктів.
4.2: Інші форми математичної індукції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_-_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7_(Sundstrom)/04%3A_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F/4.02%3A_%D0%86%D0%BD%D1%88%D1%96_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
Припустимо, що ми хочемо довести, що якщо $P(k)$ правда, то $P(k + 1)$ є істинним. (Це може бути індуктивним кроком в індукційному доказі.) Для цього ми припускаємо, що $k! > 2^k$ і потрібно буде ц...Припустимо, що ми хочемо довести, що якщо $P(k)$ правда, то $P(k + 1)$ є істинним. (Це може бути індуктивним кроком в індукційному доказі.) Для цього ми припускаємо, що $k! > 2^k$ і потрібно буде це довести $(k + 1)! > 2^{k + 1}$ . Це доводить, що $P(k + 1)$ це правда, і, отже, за Другим принципом математичної індукції ми довели, що для кожного натурального числа $n$ з $n \ge 6$ , існують невід'ємні цілі числа $x$ і $y$ такі, що $n = 2x + 5y$ .
7.3: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Sekhon_%D1%96_Bloom)/07%3A_%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%BA/7.03%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Таким чином, загальні перестановки є $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1440$ . \[ 6 \mathrm{P} 3=\frac{6 !}{(6-3) !}=\frac{6 !}{3 !}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}...Таким чином, загальні перестановки є $4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1440$ . $6 \mathrm{P} 3=\frac{6 !}{(6-3) !}=\frac{6 !}{3 !}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}=120 \nonumber$ $7 \mathrm{P} 2=\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=42 \nonumber$ По черзі ми можемо бачити, що $4 \cdot 3 \cdot 2$ це дійсно те ж саме, що 4P3, і $5 \cdot 4$ є 5P2.
5.5: Перестановки та комбінації
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Lane)/05%3A_%D0%99%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C/5.05%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97
У цьому розділі розглядаються основні формули для визначення кількості різних можливих типів результатів. Розглянуті теми: (1) підрахунок кількості можливих замовлень, (2) підрахунок за допомогою прав...У цьому розділі розглядаються основні формули для визначення кількості різних можливих типів результатів. Розглянуті теми: (1) підрахунок кількості можливих замовлень, (2) підрахунок за допомогою правила множення, (3) підрахунок кількості перестановок та (4) підрахунок кількості комбінацій.