12.4: Приклади

МЕТА НАВЧАННЯ

1. Чи існують зручні функціональні форми для аналізу споживчого вибору?

Функція корисності Кобба-Дугласа поставляється у вигляді u (x, y) = x α y 1−α. Оскільки корисність дорівнює нулю, якщо будь-який з товарів дорівнює нулю, ми бачимо, що споживач з уподобаннями Кобба-Дугласа завжди буде купувати частину кожного товару. Гранична норма заміщення корисності Кобба-Дугласа становить

\ begin {рівняння} -d y d x | u=u 0=\ часткова u\ часткова х\ часткова u\ часткова y=a y (1-a) x\ end {рівняння}

Таким чином, проблема максимізації корисності споживача дає

\ begin {рівняння} p X р Y=-D y d x | u=u 0=\ часткова u\ часткова х\ часткова u\ часткова y=a y (1-a) x\ end {рівняння}

Таким чином, використовуючи бюджетне обмеження,$\begin{equation}(1-a) \times p X=a y p Y=a(M-x p X)\end{equation}$ це дає

\ begin {рівняння}\ математика {x} =\ математика {AMP}\ математика {X},\ квадрат\ математика {y} = (1-\ mathrm {a})\ mathrm {M}\ mathrm {p}\ mathrm {Y}\ кінець {рівняння}

Комунальне підприємство Кобба-Дугласа призводить до постійної частки витрат. Незалежно від того, яка ціна X або Y, витрата XpX на X дорівнює αM. Аналогічно, витрати на Y становлять (1 — α) М. Це робить утиліту Cobb-Douglas дуже корисною для обчислення прикладів та домашніх вправ.

Коли два товари є ідеальними доповненнями, вони споживаються пропорційно. Утиліта, яка породжує ідеальні доповнення, має форму$\begin{equation}u(x, y)=\min \{x, \beta y\}\end{equation}$ для деякої постійної β (грецька буква «бета»). Спочатку зауважте, що з ідеальними доповненнями споживачі купуватимуть таким чином, що x = βy. Причина полягає в тому, що, якщо x > βy, деякі витрати на x є відходами, оскільки це не приносить додаткової корисності; і споживач отримує вищу корисність, зменшуючи x і збільшуючи y Це дозволяє нам визначити «композитний товар», який передбачає покупку деякої кількості у Y, а також придбання βy X. Ціна цього композиту товар є$\begin{equation}\beta \mathrm{p} \mathrm{X}+\mathrm{pY}\end{equation}$, і він виробляє корисність$\begin{equation}u=M \beta p X+p Y\end{equation}$. Таким чином, ідеальні доповнення зводяться до однієї хорошої проблеми.

Якби єдиними двома товарами, доступними у світі, були піца та пиво, цілком ймовірно, що насичення - точка, при якій збільшення споживання не збільшує корисність - встановиться в якийсь момент. Скільки піц можна їсти в місяць? Скільки пива можна пити? (Не відповідайте на це.)

Малюнок 12.8 Ізокванти для точки блаженства

Малюнок 12.8 «Ізокванти для точки блаженства». Поруч з походженням ізокванти поводяться як і раніше. Однак, коли людина насичується піцою та пивом, досягається точка максимального значення, проілюстрована великою чорною крапкою. Що означає насичення для теорії? По-перше, якщо точка блаженства не знаходиться в межах досяжності, теорія поводиться так, як раніше. З точкою блаженства в межах досяжності споживання зупиниться в точці блаженства. Можлива точка блаженства тягне за собою нульову вартість грошей. Можуть бути люди з нульовою вартістю грошей, але навіть дуже заможні люди, які досягають насичення товарами, які вони особисто споживають, часто люблять робити інші речі з багатством і, здається, не досягли насичення в цілому.

Ключові виноси

• Комунальне підприємство Кобба-Дугласа призводить до постійної частки витрат.
• Коли два товари є ідеальними доповненнями, вони споживаються пропорційно. Ідеальні доповнення зводяться до однієї хорошої проблеми.
• Точка блаженства, або насичення, - це точка, в якій подальше збільшення споживання зменшує корисність.

ВПРАВИ

1. Розглянемо споживача з корисністю$\begin{equation}u(x, y)=x y\end{equation}$. Якщо споживач має 100 доларів, щоб витратити, а ціна X становить 5 доларів, а ціна Y - 2 долари, графік бюджетної лінії; а потім знайдіть точку, яка максимізує корисність споживача з урахуванням бюджету. Намалюйте утиліту isoquant через цю точку. Які бувають видаткові частки?
2. Розглянемо споживача з корисністю$\begin{equation}u(x, y)=x y\end{equation}$. Обчисліть нахил ізокванта безпосередньо шляхом вирішення u (x, y) = u 0 для y як функції x і корисного рівня u ₀. Що таке ухил$\begin{equation}-d y d x | u=u 0\end{equation}$? Переконайтеся, що він задовольняє формулі, наведеній вище.
3. Розглянемо споживача з корисністю$\begin{equation}u(x, y)=(x y) 2\end{equation}$. Обчисліть нахил ізокванта безпосередньо шляхом вирішення u (x, y) = u 0 для y як функції x і корисного рівня u ₀. Що таке ухил − dy dx | u= u 0? Переконайтеся, що результат такий же, як і в попередній вправі. Чому це те ж саме?
4. Випадок ідеальних замінників виникає, коли все, що має значення для споживача, - це сума продуктів - наприклад, червоні сорочки та зелені сорочки для споживача дальтоніків. В даному випадку,$\begin{equation}u(x, y)=x+y\end{equation}$. Графік ізоквантів для ідеальних замінників. Покажіть, що споживач максимізує корисність, витрачаючи весь свій дохід на будь-який продукт дешевше.
5. Припустимо, u (x, y) = x α + y α для α < 1. Покажіть, що$\begin{equation}x=M p X(1+(p Y p X) a)\end{equation}$ і$\begin{equation}y=M p Y(1+(p X p Y) a)\end{equation}$.
6. Припустимо, що один споживач має корисну функцію u (яка завжди є позитивним числом), а другий споживач має корисність w. Припустимо, крім того, що для будь-якого x, y,$\begin{equation}w(x, y)=(u(x, y))^{2}\end{equation}$; тобто корисність другої особи є квадратом першої особи. Покажіть, що ці споживачі роблять однаковий вибір - тобто $\begin{equation}\left.u \geq x_{a}, y_{a}\right) \geq u\left(x_{b}, y_{b}\right)\end{equation}$якщо і тільки якщо$\begin{equation}w\left(x_{a}, y_{a}\right) \geq w\left(x_{b}, y_{b}\right)\end{equation}$