12.7: Математичне очищення

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 12.6: Ефекти доходу
- 13: Прикладна теорія споживачів

Anonymous
LibreTexts

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

НАВЧАЛЬНІ ЦІЛІ

Чи є важливі деталі, які не були розглянуті в презентації максимізації корисності?
Що відбувається, коли споживачі не купують нічого хорошого?

Давайте переглянемо проблему максимізації, розглянуту в цьому розділі, щоб забезпечити умови, за яких локальна максимізація є глобальною. Споживач може витратити М на будь-який або обидва з двох товарів. Це дає виграш $\begin{equation}h(x)=u(x, M-p X x p Y)\end{equation}$ . Коли ця проблема добре себе веде? По-перше, якщо h - увігнута функція x, яка передбачає h ″ (x) ≤0, Визначення увігнутості таке, що h є увігнутим, якщо 0 < a < 1 і для всіх x, y, $\begin{equation}h(a x+(1-a) y) \geq a h(x)+(1-a) h(y)\end{equation}$ . Достатньо просто показати, що це означає, що друга похідна h є негативною; і якщо h двічі диференціюється, зворотне істинно. тоді будь-яке рішення умови першого порядку є, по суті, максимумом. Щоб переконатися в цьому, зауважте, що h ″ (x) ≤0 тягне за собою h ′ (x) зменшується. Більш того, якщо точка x* задовольняє h ′ (x*) =0, то для $\begin{equation}x \leq x^{*}, h^{\prime}(x) \geq 0 ; \text { and for } x \geq x^{*}, h^{\prime}(x) \leq 0\end{equation}$ , тому що h ′ (x) стає менше, коли х стає більше, а h ′ (x*) =0. Тепер розглянемо x ≤ x*. Оскільки h ′ (x) ≥0, h збільшується, коли х стає більшим. Аналогічно, для x ≥ x*, h ′ (x) ≤0, що означає, що h стає меншим, коли x стає більшим. Таким чином, h увігнутий, а h ′ (x*) =0 означає, що h максимізується при x*.

Таким чином, достатньою умовою для того, щоб умова першого порядку характеризувала максимум корисності, є те, що h ″ (x) ≤0 для всіх _x, p X, p _Y та M. Допускаючи z= p X p Y, це еквівалентно u 11 −2z u 12 + z 2 u 22 ≤0 для всіх z > 0.

У свою чергу, ми бачимо, що для цього потрібно (i) u ₁₁ ≤ 0 (z = 0), (ii) u ₂₂ ≤ 0 (z→∞) та (iii) u 11 u 22 − u 12 ≥0 (z= u 11 u 22). Крім того, так як

\ почати {рівняння} - (u 11+2 z u 12+z 2 u 22) = (-u 11-z-u 22) 2+2 z (u 11 u 22-u 12)\ end {рівняння}

(i), (ii) та (iii) є достатніми для u11 +2zu 12 + z2u 22 ≤0.

Отже, якщо (i) u ₁₁ ≤ 0, (ii) u ₂₂ ≤ 0 та (iii) u 11 u 22 − u 12 ≥0, розв'язок умов першого порядку характеризує максимізацію корисності для споживача.

Коли споживач буде спеціалізуватися і споживати нуль товару? Необхідною умовою вибору x дорівнює нулю є те, що споживач не отримує вигоди від споживання дуже малого x; тобто h ′ (0) ≤0. Це означає, що

\ begin {рівняння} h^ {\ prime} (0) =u 1 (0, М р Y) -u 2 (0, М р Y) р X р Y\ leq 0\ кінець {рівняння}

або

\ begin {рівняння}\ текст {u} 1 (0,\ mathrm {mpY})\ текст {u} 2 (0,\ mathrm {mPy})\ leq\ mathrm {pX}\ mathrm {pY}\ кінець {рівняння}

Причому, якщо виконується увігнутість h, як передбачається вище, то цієї умови достатньо, щоб гарантувати, що рішення дорівнює нулю. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що увігнутість h означає, що h ′ зменшується. У поєднанні з h ′ (0) ≤0 це тягне за собою, що h максимізується при 0. Важливим класом прикладів такої поведінки є квазілінійна корисність. Квазілінійна утиліта поставляється у вигляді u (x, y) = y + v (x), де v - увігнута функція (v ″ (x) ≤0 для всіх x). Тобто квазілінійна корисність - це корисність, яка є адитивно відокремлюваною.

Малюнок 12.14 Квазілінійні ізокванти

Процедура роботи з кутами взагалі така. Спочатку перевірте увігнутість функції h. Якщо h увігнутий, у нас є процедура вирішення проблеми; коли h не увігнута, повинна бути розроблена альтернативна стратегія. Існують відомі стратегії для деяких випадків, які виходять за рамки цього тексту. З огляду на h увігнутий, наступним кроком є перевірка кінцевих точок та перевірка того, що h ′ (0) > 0 (інакше x = 0 максимізує корисність споживача) та h ′ (M p X) <0 (інакше y = 0 максимізує корисність споживача). Нарешті, на цьому етапі ми шукаємо внутрішнє рішення h ′ (x) =0. За допомогою цієї процедури ми можемо гарантувати, що ми знаходимо фактичний максимум для споживача, а не рішення умов першого порядку, які не максимізують корисність споживача.

Ключові виноси

Доступні умови, які гарантують, що умови першого порядку виробляють максимум корисності.
При опуклих уподобаннях нульове споживання одного товару виникає, коли корисність зменшується у споживанні одного товару, витрачаючи решту доходу на інше благо.

ВПРАВА

Продемонструйте, що квазілінійний споживач буде споживати нуль X тоді і тільки тоді $\begin{equation}v^{\prime}(0) \leq p x p y\end{equation}$ , і що споживач замість цього споживає нуль Y, якщо $\begin{equation}v^{\prime}(M p X) \geq p x p y\end{equation}$ . Квазілінійна корисність isoquants, for $\begin{equation}v(x)=(x+0.03) 0.3\end{equation}$ , проілюстрована на малюнку 12.14 «Квазілінійні ізокванти». Зверніть увагу, що, незважаючи на криву ізоквантів, вони, тим не менш, паралельні один одному.