НАВЧАЛЬНІ ЦІЛІ
- Чи є важливі деталі, які не були розглянуті в презентації максимізації корисності?
- Що відбувається, коли споживачі не купують нічого хорошого?
Давайте переглянемо проблему максимізації, розглянуту в цьому розділі, щоб забезпечити умови, за яких локальна максимізація є глобальною. Споживач може витратити М на будь-який або обидва з двох товарів. Це дає виграш\(\begin{equation}h(x)=u(x, M-p X x p Y)\end{equation}\). Коли ця проблема добре себе веде? По-перше, якщо h - увігнута функція x, яка передбачає h ″ (x) ≤0, Визначення увігнутості таке, що h є увігнутим, якщо 0 < a < 1 і для всіх x, y,\(\begin{equation}h(a x+(1-a) y) \geq a h(x)+(1-a) h(y)\end{equation}\). Достатньо просто показати, що це означає, що друга похідна h є негативною; і якщо h двічі диференціюється, зворотне істинно. тоді будь-яке рішення умови першого порядку є, по суті, максимумом. Щоб переконатися в цьому, зауважте, що h ″ (x) ≤0 тягне за собою h ′ (x) зменшується. Більш того, якщо точка x* задовольняє h ′ (x*) =0, то для\(\begin{equation}x \leq x^{*}, h^{\prime}(x) \geq 0 ; \text { and for } x \geq x^{*}, h^{\prime}(x) \leq 0\end{equation}\), тому що h ′ (x) стає менше, коли х стає більше, а h ′ (x*) =0. Тепер розглянемо x ≤ x*. Оскільки h ′ (x) ≥0, h збільшується, коли х стає більшим. Аналогічно, для x ≥ x*, h ′ (x) ≤0, що означає, що h стає меншим, коли x стає більшим. Таким чином, h увігнутий, а h ′ (x*) =0 означає, що h максимізується при x*.
Таким чином, достатньою умовою для того, щоб умова першого порядку характеризувала максимум корисності, є те, що h ″ (x) ≤0 для всіх x, p X, p Y та M. Допускаючи z= p X p Y, це еквівалентно u 11 −2z u 12 + z 2 u 22 ≤0 для всіх z > 0.
У свою чергу, ми бачимо, що для цього потрібно (i) u 11 ≤ 0 (z = 0), (ii) u 22 ≤ 0 (z→∞) та (iii) u 11 u 22 − u 12 ≥0 (z= u 11 u 22). Крім того, так як
\ почати {рівняння} - (u 11+2 z u 12+z 2 u 22) = (-u 11-z-u 22) 2+2 z (u 11 u 22-u 12)\ end {рівняння}
(i), (ii) та (iii) є достатніми для u11 +2zu 12 + z2u 22 ≤0.
Отже, якщо (i) u 11 ≤ 0, (ii) u 22 ≤ 0 та (iii) u 11 u 22 − u 12 ≥0, розв'язок умов першого порядку характеризує максимізацію корисності для споживача.
Коли споживач буде спеціалізуватися і споживати нуль товару? Необхідною умовою вибору x дорівнює нулю є те, що споживач не отримує вигоди від споживання дуже малого x; тобто h ′ (0) ≤0. Це означає, що
\ begin {рівняння} h^ {\ prime} (0) =u 1 (0, М р Y) -u 2 (0, М р Y) р X р Y\ leq 0\ кінець {рівняння}
або
\ begin {рівняння}\ текст {u} 1 (0,\ mathrm {mpY})\ текст {u} 2 (0,\ mathrm {mPy})\ leq\ mathrm {pX}\ mathrm {pY}\ кінець {рівняння}
Причому, якщо виконується увігнутість h, як передбачається вище, то цієї умови достатньо, щоб гарантувати, що рішення дорівнює нулю. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що увігнутість h означає, що h ′ зменшується. У поєднанні з h ′ (0) ≤0 це тягне за собою, що h максимізується при 0. Важливим класом прикладів такої поведінки є квазілінійна корисність. Квазілінійна утиліта поставляється у вигляді u (x, y) = y + v (x), де v - увігнута функція (v ″ (x) ≤0 для всіх x). Тобто квазілінійна корисність - це корисність, яка є адитивно відокремлюваною.
Малюнок 12.14 Квазілінійні ізокванти
Процедура роботи з кутами взагалі така. Спочатку перевірте увігнутість функції h. Якщо h увігнутий, у нас є процедура вирішення проблеми; коли h не увігнута, повинна бути розроблена альтернативна стратегія. Існують відомі стратегії для деяких випадків, які виходять за рамки цього тексту. З огляду на h увігнутий, наступним кроком є перевірка кінцевих точок та перевірка того, що h ′ (0) > 0 (інакше x = 0 максимізує корисність споживача) та h ′ (M p X) <0 (інакше y = 0 максимізує корисність споживача). Нарешті, на цьому етапі ми шукаємо внутрішнє рішення h ′ (x) =0. За допомогою цієї процедури ми можемо гарантувати, що ми знаходимо фактичний максимум для споживача, а не рішення умов першого порядку, які не максимізують корисність споживача.
