З двома товарами ми можемо графічно представити корисність, розглядаючи контурну карту корисності. Корисні контури відомі як ізокванти, що означають «рівну кількість», а також відомі як криві байдужості, оскільки споживач байдужий між точками на лінії. Іншими словами, крива байдужості, також відома як крива iso-корисності, - це сукупність товарів, які виробляють однакову корисність.
Ми стикалися з цією ідеєю вже в описі виробничих функцій, де криві представляли вхідні суміші, які виробляли заданий результат. Єдина відмінність тут полягає в тому, що випускається продукція - це споживча «корисність» замість одного товару або послуги.
Малюнок 12.4 Утиліта ізокванти
Малюнок 12.4 «Утиліта ізоквантів» дає ілюстрацію ізоквантів, або кривих байдужості. Кожна крива представляє один рівень корисності. Вищі комунальні послуги відбуваються на північний схід, далі від походження. Як і у випадку з виробничими isoquants, нахил кривих байдужості має інтерпретацію компромісу між двома товарами. Величина Y, від якої споживач готовий відмовитися, щоб отримати додатковий біт X, - це нахил кривої байдужості. Формально рівняння u (x, y) = u o визначає криву байдужості для довідкової утиліти u0. Диференціюючи таким чином, щоб зберегти рівність, отримаємо нахил кривої байдужості:
\ begin {рівняння}\ математика {dy}\ математика {dx} |\ математика {u} =\ математика {u} 0=-\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {x}\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {y}\ кінець {рівняння}
Цей нахил відомий як гранична швидкість заміщення і відображає компроміс, з точки зору споживача, між товарами. Тобто гранична швидкість заміщення (Y для X) - це сума Y, яку споживач готовий втратити, щоб отримати додаткову одиницю X.
Важливе припущення, що стосується ізоквантів, відображено на малюнку: «Середні точки віддають перевагу крайнім точкам». Припустимо, що споживач байдужий між\(\begin{equation}\left(x_{1}, y_{1}\right) \text { and }\left(x_{2}, y_{2}\right)\end{equation}\); тобто u (x1, y1) = u (x2, y2). Тоді ми можемо сказати, що переваги опуклі, якщо будь-яка точка на відрізку лінії, що з'єднує (x1, y 1) і (x2, y 2) принаймні така ж хороша, як крайності. Формально точка на відрізку лінії, що з'єднує (x1, y 1) і (x2, y2) приходить у вигляді\(\begin{equation}\left(\alpha x_{1}+(1-\alpha) x_{2}, \alpha y_{1}+(1-\alpha) y_{2}\right)\end{equation}\)α між нулем і одиницею. Це також відоме як «опукла комбінація» між двома точками. Коли α дорівнює нулю, відрізок починається з (x2, y 2) і переходить лінійно до (x1, y1) при α = 1. Уподобання опуклі, якщо для будь-якого α між 0 і 1\(\begin{equation}u\left(x_{1}, y_{1}\right)=u\left(x_{2}, y_{2}\right)\end{equation}\) мається на увазі\(\begin{equation}u\left(\alpha x_{1}+(1-\alpha) x_{2},\left(y_{1}+(1-\alpha)\right.\right.\end{equation}\)\(\begin{equation}\left.y_{2}\right) \geq u\left(x_{1}, y_{1}\right)\end{equation}\)
Ця властивість проілюстровано на малюнку 12.5 «Опуклі параметри». Відрізок лінії, який з'єднує дві точки на кривій байдужості, лежить на північний схід від кривої байдужості, що означає, що сегмент лінії передбачає строго більше споживання обох товарів, ніж деякі точки на кривій байдужості. Іншими словами, вона віддається перевазі кривої байдужості. Опуклі переваги означають, що споживач віддає перевагу суміші будь-яким двом однаково цінним крайнощам. Таким чином, якщо споживач любить чорну каву, а також любить пити молоко, то споживач віддає перевагу деякому з них - не обов'язково змішаним - лише пити каву або пити лише молоко. Це звучить більш розумно, якщо ви думаєте про вибір споживача щомісяця. Якщо ви любите пити 60 чашок кави і без молока на місяць стільки, скільки вам подобається пити 30 склянок молока і ніякої кави, опуклі переваги тягнуть за собою перевагу 30 чашок кави і 15 склянок молока до будь-якої крайності.
Як споживач вибирає, яку комплектацію вибрати? Споживач стикається з проблемою максимізації u (x, y) за умови p X x+p Y Y≤m.Ми можемо вивести рішення проблеми споживача наступним чином. Спочатку «розв'яжіть» бюджетне обмеження p X x+ p Y Y≤m для y, щоб отримати y≤ M − p X x p Y. Якщо Y хороший, це обмеження буде задоволено рівністю, і всі гроші будуть витрачені. Таким чином, ми можемо записати корисність споживача як
\ begin {рівняння} u (x, м-р X\ раз p Y)\ кінець {рівняння}
Умова першого порядку для цієї задачі, максимізуючи її над x, має
\ begin {рівняння} 0=\ математика {d}\ математика {d}\ математика {x}\ математика {u} (\ математика {x},\ mathrm {M} -\ mathrm {p}\ mathrm {X}\ час\ mathrm {p}\ mathrm {Y}) =\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {x} -\ mathrm {p}\ mathrm {X}\ mathrm {p}\ mathrm {Y}\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {y}\ кінець {рівняння}.
Це можна переставити, щоб отримати граничну норму заміщення (MRS):
\ begin {рівняння}\ математика {p}\ математика {X}\ математика {p}\ математика {Y} =\ текст {du}\ часткова\ математика {x}\ текст {\ partial u}\ часткова\ математика {y} =-\ mathrm {dy}\ mathrm {dx} |\ mathrm {u} u} 0=\ mathrm {MRS}\ кінець {рівняння}
Гранична швидкість заміщення (MRS) - це додаткова сума одного товару, необхідна для того, щоб компенсувати зменшення іншого блага, залишаючись на кривій байдужості
Умова першого порядку вимагає, щоб нахил кривої байдужості дорівнював нахилу бюджетної лінії; тобто існує дотичність між кривою байдужості та бюджетною лінією. Це проілюстровано на малюнку 12.6 «Максимізація графічної утиліти». Намальовано три криві байдужості, дві з яких перетинають бюджетну лінію, але не є дотичними. На цих перехрестях можна збільшити корисність, рухаючись «до центру», поки не буде досягнута найвища з трьох кривих байдужості. У цей момент подальше збільшення корисності неможливо, оскільки немає перетину між набором зв'язків, які виробляють строго більшу корисність, і встановленим бюджетом. Таким чином, велика чорна точка - це зв'язка, яка виробляє найвищу корисність для споживача.
Пізніше буде корисно також вказати умову другого порядку, хоча зараз ми не будемо використовувати цю умову:
\ begin {рівняння} 0\ geq\ mathrm {d} 2 (\ mathrm {x}) 2\ mathrm {u} (\ mathrm {x},\ mathrm {P}\ mathrm {X}\ час\ mathrm {p}\ mathrm {Y}) =\ часткова 2\ mathrm {u} (\ часткова\ математика {x}) 2-\ математика {p}\ математика {X}\ математика {p}\ математика {Y}\ часткова 2\ математика {u}\ часткова\ математика {x}\ часткова\ математика {y} + (\ mathrm {p}\ mathrm {X}\ математика {p}\ mathrm {Y}) 2\ часткова 2\ mathrm {u} (\ часткова\ математика {y}) 2\ кінець {рівняння}
Зверніть увагу,\(\begin{equation}(u 1, u 2)=(\partial u \partial x, \partial u \partial y)\end{equation}\) що вектор - градієнт u, а градієнт вказує в напрямку найкрутішого підйому функції u. друге, рівняння, що характеризує оптимальне,
\ begin {рівняння} 0=\ математика {p}\ раз\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {y} -\ mathrm {p}\ mathrm {Y}\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {x} = (\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {x},\ часткова\ математика {u}\ часткова\ математика {y})\ cdot (-\ mathrm {p}\ mathrm {Y},\ mathrm {p}\ mathrm {X})\ end {рівняння},
Малюнок 12.6 Максимізація графічної утиліти
де • - «точковий добуток», який множить компоненти векторів, а потім додає їх, говорить про те, що вектори (u 1, u 2) і (—pY, pX) перпендикулярні і, отже, що швидкість найкрутішого підйому корисної функції перпендикулярна бюджетній лінії.
Коли такий підхід дотику не може вирішити проблему споживача? Є три способи, які він може вийти з ладу. По-перше, утиліта може бути не диференційованою. Ми відкладемо такий збій із зауваженням, що фіксація точок недиференційованості математично складна, але не призводить до значних змін у теорії. Другий збій полягає в тому, що дотичність не максимізує корисність. Малюнок 12.7 «Увігнуті» уподобання: Віддайте перевагу кордонам» ілюструє цей випадок. Тут є дотик, але він не максимізує корисність. На малюнку 12.7 «Увігнуті» налаштування: Віддайте перевагу кордонам» пунктирна крива байдужості максимізує корисність, враховуючи бюджетне обмеження (пряма лінія). Це саме той вид невдачі, який виключається опуклими уподобаннями. На малюнку 12.7 «Увігнуті» налаштування: Віддайте перевагу кордонам», переваги не є опуклими, оскільки, якщо ми з'єднаємо дві точки на кривих байдужості та подивимось на опуклу комбінацію, ми отримаємо щось менш бажане, з меншою корисністю - не більш бажаним, як того вимагають опуклі налаштування.
Малюнок 12.7 «Увігнуті» уподобання: Віддайте перевагу кордонам
Третій збій є більш фундаментальним: похідна може не бути нульовою, тому що ми досягли межі x = 0 або y = 0. Це фундаментальна проблема, оскільки насправді є багато товарів, які ми купуємо нуль, тому нулі для деяких товарів не є рідкістю вирішення проблеми максимізації корисності. Ми розглянемо цю проблему в окремому розділі, але у нас вже є основний інструмент для вирішення цієї проблеми: опуклі переваги. Як ми побачимо, опуклі переваги гарантують, що проблема максимізації споживача «добре поводиться».
Ключові виноси
Ізокванти, що означають «рівну кількість», також відомі як криві байдужості і представляють набори точок, що тримають постійну корисність. Вони є аналогами виробничих ізоквантів.
Уподобання вважаються опуклими, якщо будь-яка точка на відрізку лінії, що з'єднує пару точок з однаковою корисністю, є кращою перед кінцевими точками. Це означає, що всякий раз, коли споживач байдужий між двома точками, він віддає перевагу поєднанню двох.
Умови першого порядку для максимізації корисності передбачають прирівнювання граничного коефіцієнта заміщення та співвідношення ціни.
На максимумі швидкість найкрутішого підйому комунальної функції перпендикулярна бюджетної лінії.
Є два основні способи, за якими умови першого порядку не характеризують оптимальний: споживач не має опуклих переваг, або оптимальний передбачає нульове споживання одного або декількох товарів.
