Розглянемо нерегульований рибальський ринок, як ринок омарів, розглянутий раніше, і нехай S бути запасом риби. Мета цього прикладу - ілюстративна логіка, а не точний облік біології популяцій риб, але не є необґрунтованим. Нехай S буде запасом конкретного виду риб. Нашою відправною точкою є середовище без риболовлі: Як змінюється популяція риби з часом? Позначають зміну з плином часу в популяції риб за\(\begin{equation}S^{\cdot}\left(S^{\cdot}\right.\end{equation}\) його позначенням для похідної по відношенню до часу, позначенням, яке датується сером Ісааком Ньютоном). Припускаємо, що зростання чисельності населення відповідає логістичному рівнянню\(\begin{equation}S^{\cdot}=r S(1-S)\end{equation}\). Це рівняння відображає два основні припущення. По-перше, спаровування і розмноження пропорційні запасу риб. По-друге, виживання пропорційно кількості наявних ресурсів 1 — S, де 1 встановлюється максимально стійка популяція. (Встановіть одиниці кількості риби так, щоб 1 була повною популяцією.)
Динаміка чисельності риб проілюстрована на малюнку 7.5 «Динаміка популяції риб». На горизонтальній осі знаходиться кількість риб, а на вертикальній - зміна S. коли\(\begin{equation}S^{\cdot}>0\end{equation}\), S з часом збільшується, і стрілки на горизонтальній осі відображають це. Аналогічно\(\begin{equation}S^{\cdot}<0\end{equation}\), якщо, S зменшується.
Відсутня риболовля, значення 1 є стабільним стійким станом популяції риби, при якому змінні залишаються постійними і сили збалансовані. Це стійкий стан, тому що, якщо\(\begin{equation}S = 1, S ˙ = 0\end{equation}\); тобто немає змін у популяції риб. Він стабільний, оскільки ефект невеликого збурення—s поблизу, але не точно рівного 1 - повернеться до 1. (Насправді популяція риби дуже майже глобально стабільна. Почніть з будь-якої популяції, відмінної від нуля і популяція повертається до 1.) Виходить, що існує закрита форма рішення для популяції риб:\(\begin{equation}S(t)=S(0) S(0)+(1-S(0)) e-r t\end{equation}\).
Малюнок 7.5 Динаміка популяції риби
Тепер познайомимо людське населення і переходимо до економіки риболовлі. Припустимо, що човен коштує б для запуску та експлуатації, і що він захоплює фіксовану частку a від загального запасу риби S; тобто кожен човен ловить As. Рибу продають за ціною\(\begin{equation}p=Q-1 \varepsilon\end{equation}\), де ціна виникає з кривої попиту, яка в даному випадку має постійну еластичність ε, а Q - кількість риби, пропонованої до продажу. Припустимо, що запущено n човнів; тоді кількість виловленої риби дорівнює Q = naS. Рибалки виходять на ринок до тих пір, поки прибуток є позитивним, що призводить до нульового прибутку для рибалок; тобто\(\begin{equation}b=(Q n) p(Q)\end{equation}\). Це рівняння робить компанію байдужою до запуску додаткового човна, оскільки витрати та доходи збалансовані. Ці два рівняння дають два рівняння в двох невідомих n і\(\begin{equation}Q: n=Q p(Q) b=1 \text { b } Q \varepsilon-1 \varepsilon\end{equation}\), і\(\begin{equation}Q=n a S\end{equation}\). Ці два рівняння вирішують для кількості виловленої риби,\(\begin{equation}Q=(\text { as b }) \varepsilon\end{equation}\) і кількості човнів,\(\begin{equation}n=a \varepsilon-1 \text { b } \varepsilon \operatorname{S~} \varepsilon-1\end{equation}\).
Віднімання уловлювання людиною від зростання врожайності популяції риб
\ почати {рівняння} S^ {\ cdot} =r S (1-S) - (a S b)\ варепсилон\ кінець {рівняння}
Таким чином, сталий стан задовольняє\(\begin{equation}0=S^{\cdot}=r S(1-S)-(a S b) \varepsilon\end{equation}\).
Малюнок 7.6 Динаміка популяції риб з
Малюнок 7.6 «Динаміка популяції риби при риболовлі».
Темна крива представляє\(\begin{equation}S^{\cdot}\end{equation}\), і, таким чином, для S між 0 і точкою з позначкою\(\begin{equation}S^{*}\end{equation}\),\(\begin{equation}S^{\cdot}\end{equation}\) є позитивною, і тому S збільшується з часом. Аналогічно, праворуч від\(\begin{equation}S^{*}\end{equation}\), S зменшується. Таким чином,\(\begin{equation}S^{*}\end{equation}\) стійкий при малих збуреннях в запасі риби і є рівновагою.
Ми бачимо, що якщо попит на рибу еластичний, рибалка не призведе рибу до вимирання. Незважаючи на це, риболовля зменшить запас риби нижче ефективного рівня, тому що окремі рибалки не беруть до уваги зовнішні вони нав'язують — їх риболовля зменшує запас для майбутніх поколінь. Рівень риби в морі сходиться до S* задовольняє
\ begin {рівняння} 0=r S^ {*}\ лівий (1-S^ {*}\ праворуч) -\ лівий (a S^ {*} b\ праворуч)\ varepsilon\ end {рівняння}
На відміну від цього, якщо попит нееластичний, риболовля може привести рибу до вимирання. Наприклад, якщо r = 2 і a = b = 1, а ε = 0,7 необхідно вимирання, як показано на малюнку 7.7 «Динаміка популяції риб: вимирання».
Малюнок 7.7 Динаміка популяції риб: вимирання
Малюнок 7.7 «Динаміка популяції риб: вимирання» показує, що за заданими параметрами чистий приріст рибної популяції є негативним для кожного значення запасу С. Таким чином, популяція риб послідовно скорочується. Це випадок, коли зовнішня риболовля (перелов сьогодні знижує запаси риби завтра) має особливо тяжкі наслідки. Причина, чому еластичність попиту має значення, полягає в тому, що при нееластичному попиті падіння запасів риби збільшує ціну на велику суму (достатньо, щоб загальний дохід зростав). Це, в свою чергу, збільшує кількість рибальських човнів, незважаючи на падіння улову. На відміну від цього, при еластичному попиті кількість рибальських човнів падає, коли запас падає, зменшуючи частку виловленої риби і тим самим запобігаючи вимиранню. Ми бачимо це для рівняння кількості рибальських човнів, n= a ε−1 b ε S ε−1, що відображає той факт, що рибальські зусилля зростають, коли запас падає тоді і лише тоді, коли попит нееластичний.
Можливо, навіть при нееластичному попиті, щоб там була стабільна популяція риби. Не всі значення параметрів призводять до зникнення. Використовуючи ті ж параметри, що і раніше, але з ε = 0,9, отримаємо стабільний результат, як показано на малюнку 7.8 «Можливість множинних рівноваг».
Малюнок 7.8 Можливість множинних рівноваг
Крім стабільного рівноважного результату, існує нестабільний стійкий стан, який може сходитися або вгору, або вниз. Особливістю риболовлі з нееластичним попитом є те, що існує регіон, де вимирання неминуче, оскільки, коли запас близько нуля, висока ціна попиту, викликана нееластичністю, змушує достатню риболовлю для забезпечення вимирання.
Як наслідок зовнішньої риболовлі, країни намагаються регулювати риболовлю, як шляхом розширення власного охоплення 200 миль в море, так і договорами, що обмежують риболовлю у відкритому морі. Ці регуляторні спроби мали лише скромний успіх у запобіганні перелову.
Який ефективний запас риби? Це складна математична проблема, але деяке розуміння можна отримати за допомогою сталого аналізу. Сталий стан виникає при\(\begin{equation}S^{\cdot}=0\end{equation}\). Якщо знімається постійна кількість Q, стійкий стан на складі повинен відбуватися при\(\begin{equation}0=S^{\cdot}=r S(1-S)-Q\end{equation}\). Цей максимальний улов тоді відбувається при S = ½ і Q = ¼ r. це не ефективний рівень, бо він нехтує вартістю човнів, а ефективний запас фактично буде більше. Більш загально, ніколи не ефективно направляти популяцію нижче максимальної точки на кривій виживання, побудованій на малюнку 7.5 «Динаміка популяції риб».
Концептуально риболовля є прикладом трагедії зовнішньої спільноти, яку вже обговорювали. Однак загроза постійного зникнення та приваблива можливість вирішення динамічних моделей роблять це особливо драматичним прикладом.
Ключові виноси
Вимирання виникає внаслідок взаємодії двох систем: однієї біологічної та однієї економічної.
Коли попит еластичний, згасання виникнути не повинно.
Коли попит нееластичний, населення зменшується, зменшує кількість, що збільшує загальний дохід, що призводить до збільшення інвестицій в риболовлю. Коли попит досить нееластичний, підвищені інвестиції призводять до пропорційно більшої кількості риби, виловленої і риби зникне.
Риболовля є прикладом трагедії зовнішності громад.
ВПРАВА
Припустимо ε = 1. За якими значеннями параметрів риби обов'язково доводяться до вимирання? Чи можете ви інтерпретувати цю умову, щоб сказати, що попит на спійману рибу перевищує виробництво через відтворення?
