2.2: Межа функції
- Використовуючи правильні позначення, опишіть межу функції.
- Використовуйте таблицю значень, щоб оцінити межу функції або визначити, коли ліміт не існує.
- Використовуйте графік, щоб оцінити межу функції або визначити, коли ліміт не існує.
- Визначте односторонні межі та наведіть приклади.
- Поясніть взаємозв'язок між односторонніми і двосторонніми межами.
- Використовуючи правильні позначення, опишіть нескінченну межу.
- Визначте вертикальну асимптоту.
Поняття граничного або обмежувального процесу, важливе значення для розуміння обчислення, існує протягом тисяч років. Насправді ранні математики використовували обмежувальний процес для отримання кращих і кращих наближень областей кіл. Проте формальне визначення межі - як ми його знаємо і розуміємо сьогодні - з'явилося лише наприкінці 19 століття. Тому ми починаємо наше прагнення зрозуміти межі, як це робили наші математичні предки, використовуючи інтуїтивний підхід. В кінці цієї глави, озброївшись концептуальним розумінням меж, розглядаємо формальне визначення межі.
Ми починаємо наше дослідження меж з погляду на графіки функцій
- f(x)=x2−4x−2,
- g(x)=|x−2|x−2, і
- h(x)=1(x−2)2,
які наведені на рис2.2.1. Зокрема, давайте зосередимо нашу увагу на поведінці кожного графіка в районі та навколо ньогоx=2.
Кожна з трьох функцій не визначена наx=2, але якщо ми робимо це твердження і ніякі інші, ми даємо дуже неповну картину того, як кожна функція поводиться в безпосередній близькості відx=2. Щоб виразити поведінку кожного графа в околицях2 більш повно, нам потрібно ввести поняття межі.
Інтуїтивне визначення межі
Давайте спочатку докладніше розглянемо, якf(x)=(x2−4)/(x−2) поводиться функція навколо наx=2 малюнку2.2.1. Як значенняx2 наближаються з обох сторін2, значенняy=f(x) наближення4. Математично ми говоримо, щоf(x) межа якx підходів2 є4. Символічно ми виражаємо цю межу як
lim.
З цього дуже короткого неформального погляду на одну межу почнемо розробляти інтуїтивне визначення межі. Ми можемо думати, щоa межа функції в числі є єдиним дійсним числом, до якого функціональні значення наближаються як підхідx -valuesa, за умови,L що таке дійсне числоL існує. Викладене більш ретельно, ми маємо наступне визначення:
f(x)Дозволяти функція, визначена на всіх значеннях у відкритому інтерваліa, що містить, з можливим виняткомa себе, і нехайL бути дійсним числом. Якщо всі значення функціїf(x) наближаються до дійсного числаL як значенняx(≠a) наближення до числаa, то ми говоримо, що межаf(x) якxa наближається єL. (Більш стислий, якx наближаєтьсяa,f(x) наближається і залишається поручL.) Символічно ми висловлюємо цю ідею як
\lim_{x \to a} f(x)=L. \label{limit}
Ми можемо оцінити межі шляхом побудови таблиць функціональних значень і розглядаючи їх графіки. Цей процес описаний у наступній стратегії вирішення проблем.
1. Для оцінки\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) почнемо з заповнення таблиці функціональних значень. Ми повинні вибрати два набориx -values - один набір значень, що наближаютьсяa і меншеa, а інший набір значень наближаютьсяa і більше ніжa. Таблиця\PageIndex{1} демонструє, як можуть виглядати ваші таблиці.
x | f(x) | x | f(x) |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.1 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a-0.1) | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.1 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a+0.1) |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.01 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a-0.01) | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.01 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a+0.01) |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.001 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a-0.001) | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.001 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a+0.001) |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.0001 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a-0.0001) | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.0001 | \ (f (x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">f(a+0.0001) |
\ (f (x)\)» rowspan="1" style="text-align:center; ">Використовуйте додаткові значення за необхідності. | \ (f (x)\)» rowspan="1" style="text-align:center; ">Використовуйте додаткові значення за необхідності. |
2. Далі, давайте подивимося на значення в кожному зf(x) стовпців і визначимо, чи здається, значення наближаються до одного значення, коли ми рухаємося вниз кожного стовпця. У наших стовпцях ми дивимося на послідовністьf(a−0.1)f(a−0.01)f(a−0.001),f(a−0.0001),,, і так даліf(a+0.1), \;f(a+0.01), \;f(a+0.001), \;f(a+0.0001), і так далі. (Примітка: Хоча ми вибралиx -valuesa±0.1, \;a±0.01, \;a±0.001, \;a±0.0001, і так далі, і ці значення, ймовірно, працюватимуть майже кожен раз, в дуже рідкісних випадках нам може знадобитися змінити наш вибір.)
3. Якщо обидва стовпці наближаються до загальногоy -значенняL, ми констатуємо\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L. Ми можемо використовувати наступну стратегію для підтвердження результату, отриманого з таблиці або як альтернативний метод оцінки ліміту.
4. Використовуючи графічний калькулятор або комп'ютерне програмне забезпечення, яке дозволяє нам функції графа, ми можемо побудувати функціюf(x), переконавшись, що функціональні значенняf(x) forx -values поручa знаходяться в нашому вікні. Ми можемо використовувати функцію трасування для переміщення по графіку функції та спостерігати зчитуванняy -value як підхідx -valuesa. Якщоy -значення наближаютьсяL як нашіx -значенняa наближаються з обох напрямків, то\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L. Можливо, нам доведеться збільшити масштаб нашого графіка і повторити цей процес кілька разів.
Ми застосовуємо цю стратегію вирішення проблем для обчислення ліміту в прикладах\PageIndex{1A} і\PageIndex{1B}.
Оцініть\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} за допомогою таблиці функціональних значень.
Рішення
Ми розрахували значенняf(x)=\dfrac{\sin x}{x} для значеньx перерахованих в табл\PageIndex{2}.
x | \frac{\sin x}{x} | x | \frac{\sin x}{x} |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.1 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.998334166468 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.1 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.998334166468 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.01 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.999983333417 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.01 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.999983333417 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.001 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">0.999999833333 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.001 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">0.999999833333 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0,0001 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.99999999998333 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.0001 | \ (\ frac {\ sin x} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.99999999998333 |
Примітка: Значення в цій таблиці були отримані за допомогою калькулятора і з використанням всіх місць, заданих у виході калькулятора.
Коли ми читаємо кожен\dfrac{\sin x}{x} стовпець, ми бачимо, що значення в кожному стовпці, здається, наближаються до одного. Таким чином, досить розумно зробити висновок про це\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. Калькулятор або комп'ютерний графікf(x)=\dfrac{\sin x}{x} буде подібний до показаного на малюнку\PageIndex{2}, і це підтверджує нашу оцінку.
![Графік f (x) = sin (x) /x за інтервалом [-6, 6]. Функція викривлення має перехоплення y при x = 0 і x перехоплює при y = pi та y = -pi.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/7963/imageedit_1_8651812985.png)
Оцініть\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}−2}{x−4} за допомогою таблиці функціональних значень.
Рішення
Як і раніше, ми використовуємо таблицю — у цьому випадку Table\PageIndex{3} —щоб перерахувати значення функції для заданих значеньx.
x | \frac{\sqrt{x}−2}{x−4} | x | \frac{\sqrt{x}−2}{x−4} |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3.9 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.251582341869 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4.1 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.248456731317 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3.99 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.25015644562 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4.01 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.24984394501 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3.999 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.250015627 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4.001 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.249984377 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3.9999 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.250001563 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4.0001 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.249998438 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3.99999 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.25000016 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4.00001 | \ (\ frac {\ sqrt {x} −2} {x−4}\)» стиль="вирівнювання тексту: центр; ">0.24999984 |
Після огляду цієї таблиці ми бачимо, що функціональні значення менше 4, здається, зменшуються до 0,25, тоді як функціональні значення більше 4, здається, збільшуються до 0,25. Ми робимо висновок, що\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}−2}{x−4}=0.25. Цю оцінку підтверджуємо за допомогою графіка,f(x)=\dfrac{\sqrt{x}−2}{x−4} показаного на малюнку\PageIndex{3}.
![Графік функції f (x) = (sqrt (x) — 2)/(x-4) за інтервал [0,8]. На функції є відкрите коло при x = 4. Функція крива асимптотично до осі x та осі y у квадранті.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/7964/imageedit_5_9266726966.png)
\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}−1}{x−1}Оцініть за допомогою таблиці функціональних значень. Використовуйте графік, щоб підтвердити свою оцінку.
- Підказка
-
Використовуйте 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.9999 і 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, 1.0001, 1.00001 в якості значень таблиці.
- Відповідь
-
\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}−1}{x−1}=−1\nonumber
На цьому етапі ми бачимо з прикладів,\PageIndex{1A} і\PageIndex{1b} що може бути так само просто, якщо не простіше, оцінити межу функції, оглянувши її графік, як і оцінити межу за допомогою таблиці функціональних значень. У прикладі\PageIndex{2} ми оцінюємо межу виключно шляхом перегляду графіка, а не за допомогою таблиці функціональних значень.
Дляg(x) показаних на\PageIndex{4} малюнку оцініть\displaystyle \lim_{x\to−1}g(x).

Рішення:
Незважаючи на теg(−1)=4, що у міру наближенняx -значення−1 з будь-якого боку,g(x) значення наближаються3. Тому,\displaystyle \lim_{x\to−1}g(x)=3. Зауважте, що ми можемо визначити цю межу, навіть не знаючи алгебраїчного виразу функції.
На основі Прикладу ми робимо наступне спостереження: Можливо\PageIndex{2}, щоб межа функції існувала в точці, а функція повинна бути визначена в цій точці, але межа функції і значення функції в точці можуть бути різними.
Використовуйте графік наh(x) малюнку\PageIndex{5} для оцінки\displaystyle \lim_{x \to 2}h(x), якщо це можливо.
![Графік функції h (x), яка є параболою, розміщеною на графіку [-2.5, 5]. Існує відкрите коло, де вершина повинна знаходитися в точці (2, -1).](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/7966/imageedit_13_2727890618.png)
- Підказка
-
До чогоy -value функція наближається якx -values наближається2?
- Рішення
-
\displaystyle \lim_{x \to 2}h(x)=−1.
Погляд на таблицю функціональних значень або погляд на графік функції дає нам корисне уявлення про значення межі функції в заданій точці. Однак ці прийоми занадто сильно покладаються на здогадки. Зрештою нам потрібно розробити альтернативні методи оцінки лімітів. Ці нові методи мають більш алгебраїчний характер, і ми досліджуємо їх у наступному розділі; однак на цьому етапі ми вводимо два спеціальні обмеження, які є основоположними для майбутніх методів.
aДозволяти бути дійсним числом іc бути константою.
- \displaystyle \lim_{x \to a}x=a
- \displaystyle \lim_{x \to a}c=c
Ми можемо зробити наступні спостереження щодо цих двох меж.
- Для першої межі дотримуйтесь, що якx наближаєтьсяa, так і робитьf(x), тому щоf(x)=x. Отже,\displaystyle \lim_{x \to a}x=a.
- Для другого ліміту розглянемо табл\PageIndex{4}.
x | f(x)=c | x | f(x)=c |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.1 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.1 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.01 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.01 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.001 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.001 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a-0.0001 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">a+0.0001 | \ (f (x) = c\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">c |
Зверніть увагу, що для всіх значеньx (незалежно від того, наближаються вониa) значенняf(x) залишаються постійними приc. У нас немає іншого вибору, як зробити висновок\displaystyle \lim_{x \to a}c=c.
Існування ліміту
Розглядаючи межу в наступному прикладі, майте на увазі, що для того, щоб межа функції існувала в точці, функціональні значення повинні наближатися до єдиного дійсного числа значення в цій точці. Якщо функціональні значення не наближаються до єдиного значення, то межі не існує.
Оцініть\displaystyle\lim_{x \to 0}\sin(1/x) за допомогою таблиці значень.
Рішення
У таблиці\PageIndex{5} наведено значення функції\sin(1/x) для заданих значеньx.
x | \sin(1/x) | x | \sin(1/x) |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.1 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.544021110889 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.1 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">−0.544021110889 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.01 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.50636564111 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.01 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">−0.50636564111 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">−0.8268795405312 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.8268795405312 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0,0001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.305614388888 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.0001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">−0.305614388888 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.00001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">−0.035748797987 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.00001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.035748797987 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> -0.000001 | \ (\ sin (1/x)\)» стиль = «вирівнювання тексту: центр;" > 0.349993504187 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.000001 | \ (\ sin (1/x)\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">−0.349993504187 |
Вивчивши таблицю функціональних значень, ми можемо побачити, щоy -значення, здається, не наближаються до якогось одного єдиного значення. Виявляється, ліміту не існує. Перш ніж робити такий висновок, давайте більш системний підхід. Візьміть наступну послідовність наближаютьсяx -значень0:
\frac{2}{π},\;\frac{2}{3π},\;\frac{2}{5π},\;\frac{2}{7π},\;\frac{2}{9π},\;\frac{2}{11π},\;….\nonumber
Відповіднимиy -значеннями є
1,\;-1,\;1,\;-1,\;1,\;-1,\;....\nonumber
На цьому етапі ми дійсно можемо зробити висновок, що\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin(1/x) не існує. (Математики часто скорочують «не існує» як DNE. Таким чином, ми б написали\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin(1/x) DNE.) Графікf(x)=\sin(1/x) показаний на малюнку\PageIndex{6} і дає більш чітке уявлення про поведінку\sin(1/x) якx підходів0. Ви можете бачити, що\sin(1/x) коливається все більш дико між−1 і1 якx підходи0.

Використовуйте таблицю функціональних значень для оцінки\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}, якщо це можливо.
- Підказка
-
Використовуйтеx -значення 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.99999 та 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.0001, 2.00001 у вашій таблиці.
- Відповідь
-
\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}не існує.
Односторонні межі
Іноді вказівка на те, що межа функції не існує в точці, не дає нам достатньо інформації про поведінку функції в цій конкретній точці. Щоб переконатися в цьому, ми переглядаємо функцію,g(x)=|x−2|/(x−2) введену на початку розділу (див. Рисунок\PageIndex{1} (b)). Коли ми вибираємо значенняx близьких до2,g(x) не наближається до єдиного значення, тому межі якx підходів2 не існує - тобто\displaystyle \lim_{x \to 2}g(x) DNE. Однак одне це твердження не дає нам повної картини поведінки функції навколоx -value2. Щоб надати більш точний опис, введемо ідею одностороннього обмеження. Для всіх значень зліва від2 (або негативної сторони2),g(x)=−1. Таким чином, у міруx2 наближення зліва,g(x) наближається−1. Математично скажемо, що межа якx наближається2 зліва є−1. Символічно ми висловлюємо цю ідею як
\lim_{x \to 2^−}g(x)=−1. \nonumber
Аналогічно, якx підходи2 з правого (або з позитивного боку),g(x) підходи1. Символічно ми висловлюємо цю ідею як
\lim_{x \to 2^+}g(x)=1.\nonumber
Тепер ми можемо представити неформальне визначення односторонніх меж.
Визначено два типи односторонніх меж.
Ліміт зліва:
f(x)Дозволяти бути функція, визначена на всіх значеннях у відкритому інтервалі форми(z,a), і нехайL бути дійсним числом. Якщо значення функціїf(x) наближаються до дійсного числа,L оскільки значенняx (деx<a) наближаються до числаa, то ми говоримо, щоL це межаf(x) якx наближаєтьсяa зліва. Символічно ми висловлюємо цю ідею як
\lim_{x \to a^−}f(x)=L. \nonumber
Обмеження праворуч:
f(x)Дозволяти бути функція, визначена на всіх значеннях у відкритому інтервалі форми(a,c), і нехайL бути дійсним числом. Якщо значення функціїf(x) наближаються до дійсного числа,L оскільки значенняx (деx>a) наближаються до числаa, то ми говоримо, щоL це межаf(x) якx наближаєтьсяa справа. Символічно ми висловлюємо цю ідею як
\lim_{x \to a^+}f(x)=L. \nonumber
Для функціїf(x)=\begin{cases}x+1, & \text{if }x<2\\ x^2−4, & \text{if }x≥2\end{cases} оцініть кожне з наступних меж.
- \displaystyle \lim_{x \to 2^−}f(x)
- \displaystyle \lim_{x \to 2^+}f(x)
Рішення
Ми можемо знову використовувати таблиці функціональних значень. Зауважте в таблиці,\PageIndex{6} що для значеньx менше2, ми використовуємоf(x)=x+1 і для значеньx більше2, ніж, ми використовуємоf(x)=x^2−4.
x | f(x)=x+1 | x | f(x)=x^2-4 |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1.9 | \ (f (x) =x+1\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.9 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.1 | \ (f (x) = x ^ 2-4\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.41 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1.99 | \ (f (x) =x+1\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.99 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.01 | \ (f (x) = x ^ 2-4\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.0401 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1.999 | \ (f (x) =x+1\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.999 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.001 | \ (f (x) = x ^ 2-4\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.004001 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1.9999 | \ (f (x) =x+1\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.9999 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.0001 | \ (f (x) = x ^ 2-4\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.00040001 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1.99999 | \ (f (x) =x+1\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.99999 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2.00001 | \ (f (x) = x ^ 2-4\)» стиль = "вирівнювання тексту: центр; "> 0.000000400001 |
Виходячи з цієї таблиці, можна зробити висновок, що а.\displaystyle \lim_{x \to 2^−}f(x)=3 і б\displaystyle \lim_{x \to 2^+}f(x)=0. Тому (двостороння) межаf(x) не існує приx=2. Малюнок\PageIndex{7} показує графікf(x) і підкріплює наш висновок про ці межі.
Використовуйте таблицю функціональних значень, щоб оцінити наступні межі, якщо це можливо.
- \displaystyle \lim_{x→2^−}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}
- \displaystyle \lim_{x→2^+}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}
- Підказка
-
Для оцінки використовуйтеx -значення 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.99999\displaystyle \lim_{x→2^−}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}.
Використовуйтеx значення 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.0001, 2.00001 для оцінки\displaystyle \lim_{x→2^+}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}.
(Ці таблиці доступні з попередньої проблеми Checkpoint.)
- Рішення a
-
а.\displaystyle \lim_{x→2^−}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}=−4
- Рішення б
-
\displaystyle \lim_{x→2^+}\frac{∣x^2−4∣}{x−2}=4
Давайте тепер розглянемо зв'язок між межею функції в точці та межами праворуч і ліворуч у цій точці. Здається зрозумілим, що якщо межа праворуч і межа зліва мають спільне значення, то це загальне значення є межею функції в цій точці. Аналогічно, якщо ліміт зліва і межа справа приймають різні значення, межі функції не існує. Ці висновки узагальнені в Примітці.
f(x)Дозволяти функція, визначена на всіх значеннях у відкритому інтерваліa, що містить, з можливим виняткомa себе, і нехайL бути дійсним числом. Потім,
\lim_{x \to a}f(x)=L \nonumber
якщо і тільки якщо\displaystyle \lim_{x \to a^−}f(x)=L і\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=L.
Нескінченні межі
Оцінка межі функції в точці або оцінка межі функції праворуч і ліворуч у точці допомагає нам охарактеризувати поведінку функції навколо заданого значення. Як ми побачимо, ми також можемо описати поведінку функцій, які не мають кінцевих меж.
Тепер звернемо увагу на теh(x)=1/(x−2)^2, що третя і остання функція введена на початку цього розділу\PageIndex{1} (див. Рис. З його графіка ми бачимо, що в міруx2 наближення значенняh(x)=1/(x−2)^2 стають все більшими і більшими і, по суті, стають нескінченними. Математично ми говоримо, щоh(x) межа якx підходів2 - позитивна нескінченність. Символічно ми висловлюємо цю ідею як
\lim_{x \to 2}h(x)=+∞. \nonumber
Більш загально, ми визначаємо нескінченні межі наступним чином:
Визначимо три типи нескінченних меж.
Нескінченні межі зліва: Дозволятиf(x) бути функцією, визначеною у всіх значеннях у відкритому інтервалі форми(b,a).
i. якщо значенняf(x) збільшення без прив'язки як значенняx (деx<a) наближаються до числаa, то скажемо, що межа якx наближаєтьсяa зліва позитивна нескінченність і пишемо\lim_{x \to a^−}f(x)=+∞. \nonumber
II. Якщо значенняf(x) зменшення без прив'язки як значенняx (деx<a) наближаються до числаa, то скажемо, що межа якx наближаєтьсяa зліва негативна нескінченність і пишемо\lim_{x \to a^−}f(x)=−∞. \nonumber
Нескінченні межі праворуч:f(x) Дозволяти бути функцією, визначеною у всіх значеннях у відкритому інтервалі форми(a,c).
i. якщо значенняf(x) збільшення без прив'язки як значенняx (деx>a) наближаються до числаa, то скажемо, що межа якx наближаєтьсяa справа - позитивна нескінченність і пишемо\lim_{x \to a^+}f(x)=+∞. \nonumber
II. Якщо значенняf(x) зменшення без прив'язки як значенняx (деx>a) наближаються до числаa, то скажемо, що межа якx наближаєтьсяa справа негативна нескінченність і пишемо\lim_{x \to a^+}f(x)=−∞. \nonumber
Двосторонній нескінченний межа: Дозвольтеf(x) бути визначено для всіхx≠a у відкритому інтервалі, що міститьa
i. якщо значенняf(x) збільшення без прив'язки як значенняx (деx≠a) наближаються до числаa, то скажемо, що межа якxa наближається позитивна нескінченність і пишемо\lim_{x \to a} f(x)=+∞. \nonumber
II. Якщо значенняf(x) зменшення без прив'язки як значенняx (деx≠a) наближаються до числаa, то скажемо, що межа якxa наближається негативна нескінченність і пишемо\lim_{x \to a}f(x)=−∞. \nonumber
Важливо розуміти, що коли ми пишемо такі заяви, як\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=+∞ або\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=−∞ ми описуємо поведінку функції, як ми щойно її визначили. Ми не стверджуємо, що межа існує. f(x)Щоб межа функції існувала наa, вона повинна наближатися до дійсного числаL якx підходиa. Тим не менш, якщо, наприклад\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=+∞, ми завжди пишемо,\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=+∞ а\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) не DNE.
Оцініть кожен з наступних обмежень, якщо це можливо. Використовуйте таблицю функціональних значень і графік,f(x)=1/x щоб підтвердити свій висновок.
- \displaystyle \lim_{x \to 0^−} \frac{1}{x}
- \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}
- \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}
Рішення
Почніть з побудови таблиці функціональних значень.
x | \dfrac{1}{x} | x | \dfrac{1}{x} |
---|---|---|---|
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.1 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-10 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.1 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">10 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.01 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-100 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.01 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">100 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1000 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1000 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0,0001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-10,000 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.0001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">10,000 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-0.00001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-100 000 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.00001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">100,000 |
\ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> -0.000001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1,000,000 | \ (x\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.000001 | \ (\ dfrac {1} {x}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1,000,000 |
а Значення1/x зменшення без прив'язки якx підходи0 зліва. Ми робимо висновок, що
\lim_{x \to 0^−}\frac{1}{x}=−∞.\nonumber
б. значення1/x збільшення без прив'язки якx наближається0 справа. Ми робимо висновок, що
\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=+∞. \nonumber
c Оскільки\displaystyle \lim_{x \to 0^−}\frac{1}{x}=−∞ і\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=+∞ мають різні значення, робимо висновок, що
\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\quad\text{DNE.} \nonumber
Графік наf(x)=1/x малюнку\PageIndex{8} підтверджує ці висновки.

Оцініть кожен з наступних обмежень, якщо це можливо. Використовуйте таблицю функціональних значень і графік,f(x)=1/x^2 щоб підтвердити свій висновок.
- \displaystyle \lim_{x \to 0^−}\frac{1}{x^2}
- \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x^2}
- \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}

Нескінченні межі від позитивних цілих чисел
Якщоn є додатним парним числом, то
\lim_{x \to a}\frac{1}{(x−a)^n}=+∞.\label{infLim1}
Якщоn є додатним непарним числом, то
\lim_{x \to a^+}\frac{1}{(x−a)^n}=+∞\label{infLim2}
і
\lim_{x \to a^−}\frac{1}{(x−a)^n}=−∞.\label{infLim3}
Слід також зазначити, що на графіках точки на графікуf(x)=1/(x−a)^n, що маютьxa -координати дуже близько до вертикальної лініїx=a. Тобто в міруxa наближення точки на графікуf(x) розташовуються ближче до лініїx=a. Лініяx=a називається вертикальною асимптотою графа. Формально визначимо вертикальну асимптоту наступним чином:
f(x)Дозволяти бути функцією. Якщо будь-яка з наведених нижче умов дотримується, то лініяx=a є вертикальною асимптотоюf(x).
\lim_{x \to a^−}f(x)=+∞ \nonumber
\lim_{x \to a^−}f(x)=−∞ \nonumber
\lim_{x \to a^+}f(x)=+∞ \nonumber
\lim_{x \to a^+}f(x)=−∞ \nonumber
\lim_{x \to a}f(x)=+∞ \nonumber
\lim_{x \to a}f(x)=−∞ \nonumber
Оцініть кожне з наведених нижче меж за допомогою рівнянь\ ref {InFliM1},\ ref {InfLim2} та\ ref {InfLim3} вище. Визначте будь-які вертикальні асимптоти функціїf(x)=1/(x+3)^4.
- \displaystyle \lim_{x \to −3^−}\frac{1}{(x+3)^4}
- \displaystyle \lim_{x \to −3^+}\frac{1}{(x+3)^4}
- \displaystyle \lim_{x \to −3}\frac{1}{(x+3)^4}
Рішення
Ми можемо використовувати вищевказані рівняння безпосередньо.
- \displaystyle \lim_{x \to −3^−}\frac{1}{(x+3)^4}=+∞
- \displaystyle \lim_{x \to −3^+}\frac{1}{(x+3)^4}=+∞
- \displaystyle \lim_{x \to −3}\frac{1}{(x+3)^4}=+∞
Функціяf(x)=1/(x+3)^4 має вертикальну асимптотуx=−3.
Оцініть кожне з наступних обмежень. Визначте будь-які вертикальні асимптоти функціїf(x)=\dfrac{1}{(x−2)^3}.
- \displaystyle \lim_{x→2^−}\frac{1}{(x−2)^3}
- \displaystyle \lim_{x→2^+}\frac{1}{(x−2)^3}
- \displaystyle \lim_{x→2}\frac{1}{(x−2)^3}
- Відповідь на
-
\displaystyle \lim_{x→2^−}\frac{1}{(x−2)^3}=−∞
- Відповідь б
-
\displaystyle \lim_{x→2^+}\frac{1}{(x−2)^3}=+∞
- Відповідь c
-
\displaystyle \lim_{x→2}\frac{1}{(x−2)^3}ДНЕ. Лініяx=2 - вертикальна асимптотаf(x)=1/(x−2)^3.
У наступному прикладі ми поклали наші знання про різні типи обмежень для аналізу поведінки функції в декількох різних точках.
Використовуйте графік наf(x) малюнку,\PageIndex{10} щоб визначити кожне з наступних значень:
- \displaystyle \lim_{x \to −4^−}f(x)\displaystyle \lim_{x \to −4^+}f(x);\displaystyle \lim_{x→−4}f(x);\;f(−4)
- \displaystyle \lim_{x \to −2^−}f(x)\displaystyle \lim_{x \to −2^+}f(x);\displaystyle \lim_{x→−2}f(x);\;f(−2)
- \displaystyle \lim_{x \to 1^−}f(x)\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f(x);\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x);\;f(1)
- \displaystyle \lim_{x \to 3^−}f(x)\displaystyle \lim_{x \to 3^+}f(x);\displaystyle \lim_{x \to 3}f(x);\;f(3)
![Графік функції f (x) описується вищевказаними межами і значеннями. Існує плавна крива для значень нижче x=-2; при (-2, 3) - розімкнута коло. Існує плавна крива між (-2, 1] із замкнутим колом на (1,6). Існує відкрите коло в (1,3), і плавна крива, що тягнеться звідти вниз асимптотично до негативної нескінченності вздовж x = 3. Функція також крива асимптотично вздовж x = 3 з іншого боку, також розтягуючись до негативної нескінченності. Потім функція змінює увігнутість у першому квадранті навколо y = 4.5 і продовжує вгору.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/7969/imageedit_30_9857663504.png)
Рішення
Використовуючи наведені вище визначення та графік для довідки, ми приходимо до наступних значень:
- \displaystyle \lim_{x \to −4^−}f(x)=0\displaystyle \lim_{x \to −4^+}f(x)=0;\displaystyle \lim_{x \to −4}f(x)=0;\;f(−4)=0
- \displaystyle \lim_{x \to −2^−}f(x)=3;\displaystyle \lim_{x \to −2^+}f(x)=3;\displaystyle \lim_{x \to −2}f(x)=3;\;f(−2) не визначено
- \displaystyle \lim_{x \to 1^−}f(x)=6;\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f(x)=3;\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x) ДНЄ;f(1)=6
- \displaystyle \lim_{x \to 3^−}f(x)=−∞;\displaystyle \lim_{x \to 3^+}f(x)=−∞;\displaystyle \lim_{x \to 3}f(x)=−∞;f(3) не визначено
Оцініть\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x) дляf(x) показаних тут:

- Підказка
-
Порівняйте ліміт справа з лімітом зліва.
- Відповідь
-
\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)не існує
У відкритті глави ми коротко згадали, як Альберт Ейнштейн показав, що існує межа того, наскільки швидко будь-який об'єкт може подорожувати. Дано рівняння Ейнштейна для маси рухомого об'єкта
m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}, \nonumber
яка цінність цього прив'язки?

Рішення
Нашою відправною точкою є рівняння Ейнштейна для маси рухомого об'єкта,
m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}, \nonumber
деm_0 маса об'єкта в спокої,v - його швидкість, аc це швидкість світла. Щоб побачити, як змінюється маса на високих швидкостях, ми можемо скласти графік співвідношення масm/m_0 як функція співвідношення швидкостей,v/c (рис.\PageIndex{13}).

Ми бачимо, що у міру наближення співвідношення швидкостей 1 — тобто, коли швидкість об'єкта наближається до швидкості світла - співвідношення мас збільшується без обмежень. Іншими словами, функція має вертикальну асимптоту приv/c=1. Ми можемо спробувати кілька значень цього співвідношення, щоб перевірити цю ідею.
v/c | \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} | m/m_o |
---|---|---|
\ (v/c\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.99 | \ (\ sqrt {1-\ frac {v^2} {c^2}}\)» стиль ="вирівнювання тексту: центр; ">0.1411 | \ (m/m_o\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 7.089 |
\ (v/c\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.999 | \ (\ sqrt {1-\ frac {v^2} {c^2}}\)» стиль = "вирівнювання тексту: центр; ">0.0447 | \ (m/m_o\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 22.37 |
\ (v/c\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 0.9999 | \ (\ sqrt {1-\ frac {v^2} {c^2}}\)» стиль ="вирівнювання тексту: центр; ">0.0141 | \ (m/m_o\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 70.7 |
Так, згідно з табл.\PageIndex{8}: якщо об'єкт масою 100 кг їде при 0,9999c, його маса стає 7071 кг. Оскільки жоден об'єкт не може мати нескінченну масу, ми робимо висновок, що жоден об'єкт не може подорожувати зі швидкістю світла або більше.
Ключові поняття
- Для оцінки ліміту може використовуватися таблиця значень або графік.
- Якщо межі функції в точці не існує, все одно можливо, що межі зліва і справа в цій точці можуть існувати.
- Якщо межі функції зліва і справа існують і рівні, то межа функції - це загальне значення.
- Ми можемо використовувати обмеження для опису нескінченної поведінки функції в точці.
Ключові рівняння
- Інтуїтивне визначення межі
\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=L
- Дві важливі межі
\displaystyle \lim_{x \to a}x=a \qquad \lim_{x \to a}c=c
- Односторонні межі
\displaystyle \lim_{x \to a^−}f(x)=L \qquad \lim_{x \to a^+}f(x)=L
- Нескінченні межі зліва
\displaystyle \lim_{x \to a^−}f(x)=+∞ \qquad \lim_{x \to a^−} f(x)=−∞
- Нескінченні межі з правого
\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=+∞ \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=−∞
- Двосторонні нескінченні межі
\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=+∞:\displaystyle \lim_{x \to a^−}f(x)=+∞ і\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=+∞
\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=−∞:\displaystyle \lim_{x \to a^−}f(x)=−∞ і\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=−∞
Глосарій
- нескінченна межа
- Функція має нескінченну межу в точці,a якщо вона або збільшується або зменшується без обмежень у міру наближення.a
- інтуїтивне визначення ліміту
- Якщо всі значення функціїf(x) наближаються до дійсного числаL як значенняx(≠a) наближення a,f(x) наближається до L
- одностороння межа
- Одностороння межа функції - це межа, взята з лівого або правого
- вертикальна асимптота
- Функція має вертикальну асимптоту,x=a якщо межаxa наближення праворуч або ліворуч нескінченна.
Дотримуйтесь процедур з Прикладу\PageIndex{5}.
а.\displaystyle \lim_{x \to 0^−}\frac{1}{x^2}=+∞;
б.\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x^2}=+∞;
c.\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=+∞
Корисно зазначити, що функції видуf(x)=1/(x−a)^n, де n - натуральне ціле число, мають нескінченні межі якx підходиa зліва, так і справа (рис.\PageIndex{9}). Ці межі узагальнені в вищевказаних визначеннях.