12.3: Часткові похідні
yДозволяти бути функцієюx. Ми дуже докладно вивчилиy похідну щодоxdydx, тобто яка вимірює швидкість, з якоюy змінюється щодоx. Розглянемо заразz=f(x,y). Має сенс захотіти знати, якz змінюється стосовноx та/абоy. Цей розділ розпочинає наше розслідування цих темпів змін.
Розглянемо функціюz=f(x,y)=x2+2y2, як показано на малюнку 12.11 (a). Фіксуючиy=2, ми акцентуємо свою увагу на всіх точках на поверхні, деy -значення дорівнює 2, показаному в обох частинок (а) і (b) фігури. Ці точки утворюють криву в просторі:z=f(x,2)=x2+8 яка є функцією лише однієї змінної. Ми можемо взятиz похіднуx по відношенню до цієї кривої і знайти рівняння дотичних ліній і т.д.
Ключовим поняттям, яке слід витягти з цього прикладу, є: розглядаючиy як постійну (вона не змінюється), ми можемо розглянути, якz змінюються стосовноx. Подібним чином ми можемо триматисяx постійно і розглядати, якz змінюється стосовноy. Це лежить в основі принципу часткових похідних. Спочатку ми вказуємо формальне визначення на основі обмежень, а потім покажемо, як обчислити ці часткові похідні, не приймаючи безпосередньо обмежень.
Визначення 83 Часткова похідна
z=f(x,y)Дозволяти бути безперервної функції на відкритому наборіS вR2.
- Часткова похідна поf відношенню доx - це:fx(x,y)=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h.
- Часткова похідна поf відношенню доy - це:fy(x,y)=limh→0f(x,y+h)−f(x,y)h.
Примітка: Альтернативні позначення дляfx(x,y) включають:
∂∂xf(x,y),∂f∂x,∂z∂x, and zx,
з подібними позначеннямиfy(x,y). для Для зручності позначення,fx(x,y) часто скорочуєтьсяfx.
Приклад12.3.1: Computing partial derivatives with the limit definition
Нехайf(x,y)=x2y+2x+y3. Знайтиfx(x,y) за допомогою визначення ліміту.
Рішення
Використовуючи визначення 83, ми маємо:
\ [\ почати {вирівнювати*}
f_x (x, y) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (x+h, y) - f (x, y)} {h}\
&=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {(x+h) ^2y+2 (x+h) +y^3 - (x^2y+2x+y^3)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ to 0}\ розрив {(x^2y+2xhy+h ^2y+2h+y^3- (x^2y+2x+y^3)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ до 0}\ розрив {2xhy+h^ 2y+2h} {h}\\
&=\ lim_ {h\ to 0} 2xy+hy+2\\
&= 2xy+2.
\ end {вирівнювати*}\]
Ми знайшлиfx(x,y)=2xy+2.
Приклад12.3.1 знайшов часткову похідну з використанням формального визначення на основі обмежень. Однак використання обмежень не є необхідним, оскільки ми можемо покладатися на наші попередні знання про похідні для легкого обчислення часткових похідних. При обчисленніfx(x,y) ми тримаємоy фіксованою — вона не змінюється. Тому ми можемо обчислити похідну щодо,x розглядаючиy як константу або коефіцієнт.
Так самоddx(5x2)=10x, ми обчислюємо∂∂x(x2y)=2xy. Тут ми розглядаємоy як коефіцієнт.
Так самоddx(53)=0, ми обчислюємо∂∂x(y3)=0. Тут ми розглядаємоy як константу. Ще приклади допоможуть це зрозуміти.
Приклад12.3.2: Finding partial derivatives
Знайтиfx(x,y) іfy(x,y) в кожному з наступних.
- f(x,y)=x3y2+5y2−x+7
- f(x,y)=cos(xy2)+sinx
- f(x,y)=ex2y3√x2+1
Рішення
- У нас єf(x,y)=x3y2+5y2−x+7. Почніть зfx(x,y). Тримайтеy фіксованим, розглядаючи це як константу або коефіцієнт, якщо це доречно:fx(x,y)=3x2y2−1. Зверніть увагу, як5y2 і7 терміни йдуть до нуля. Для обчисленняfy(x,y) ми тримаємоx фіксованою:fy(x,y)=2x3y+10y. Зверніть увагу, як−x і7 терміни йдуть до нуля.
- У нас єf(x,y)=cos(xy2)+sinx.
Почніть зfx(x,y). Нам потрібно застосувати Правило ланцюга з терміном косинуса;y2 це коефіцієнтx -члена всередині функції косинуса. fx(x,y)=−sin(xy2)(y2)+cosx=−y2sin(xy2)+cosx.Щоб знайтиfy(x,y), зверніть увагу, щоx це коефіцієнтy2 терміна всередині косинуса; також зверніть увагу, що оскількиxsinx фіксований, також фіксований, і ми розглядаємо його як постійну. fy(x,y)=−sin(xy2)(2xy)=−2xysin(xy2).
- У нас єf(x,y)=ex2y3√x2+1.
Для початку зверніть увагу на теfx(x,y), як нам потрібно застосувати Правило продукту. fx(x,y)=ex2y3(2xy3)√x2+1+ex2y312(x2+1)−1/2(2x)=2xy3ex2y3√x2+1+xex2y3√x2+1.Зверніть увагу, що при знаходженніfy(x,y) ми не повинні застосовувати Правило продукту; оскільки√x2+1 не міститьy, ми розглядаємо його як фіксований і, отже, стає коефіцієнтомex2y3 терміна. fy(x,y)=ex2y3(3x2y2)√x2+1=3x2y2ex2y3√x2+1.
Ми показали, як обчислювати часткову похідну, але все ще може бути незрозуміло, що означає часткова похідна. Враховуючиz=f(x,y),fx(x,y) вимірюється швидкість, з якоюz змінюється як тількиx змінюється:y проводиться постійною.
Уявіть, що стоїть на прокатному лузі, а потім починає ходити через схід. Залежно від вашого місцезнаходження, ви можете піти вгору, різко вниз або, можливо, взагалі не змінювати висоту. Це схоже на вимірюванняzx: ви рухаєтесь лише на схід (у напрямку "x«), а не на північ/південь взагалі. Повертаючись до вихідного місця, уявіть, що тепер йдете через північ (у напрямку "y«). Можливо, ходьба через північ зовсім не змінює вашої висоти. Це аналогічноzy=0:z не змінюється щодоy. Ми бачимо, щоzx іzy не повинні бути однаковими, або навіть подібними, оскільки легко уявити обставини, коли ходьба на схід означає, що ви йдете вниз, хоча ходьба на північ змушує вас йти в гору.
Наступний приклад допомагає нам більше візуалізувати це.
Приклад12.3.3: Evaluating partial derivatives
Нехайz=f(x,y)=−x2−12y2+xy+10. Знайтиfx(2,1)fy(2,1) і інтерпретувати їх значення.
Рішення
Починаємо з обчисленьfx(x,y)=−2x+y іfy(x,y)=−y+x. Таким чином
fx(2,1)=−3andfy(2,1)=1.
Також корисно відзначити, щоf(2,1)=7.5. Що означає кожне з цих чисел?
Розглянемоfx(2,1)=−3 разом з малюнком 12.12 (а). Якщо хтось «стоїть» на поверхні в точці(2,1,7.5) і рухається паралельноx -осі (тобто змінюється тількиx -значення, а неy -значення), то миттєва швидкість зміни дорівнює−3. Збільшенняx -значення зменшитьz -значення; зменшенняx -значення збільшитьz -значення.
Тепер розглянемоfy(2,1)=1, проілюстровані на малюнку 12.12 (б). Рухаючись по кривій, намальованої на поверхні, тобто паралельноy -осі і не змінюючиxz -значення, збільшує -значення миттєво зі швидкістю 1. Збільшенняy -значення на 1 збільшитьz значення -приблизно на 1.
Оскількиfx величина більше, ніж величинаfy at(2,1), вона «крутіше» вx -напрямку, ніж вy -напрямку.
Другі часткові похідні
Нехайz=f(x,y). Ми навчилися знаходити часткові похідніfx(x,y) іfy(x,y), які є кожною функцієюx іy. Тому ми можемо взяти часткові похідні від них, кожен по відношенню доx іy. Визначимо ці «другі частки» разом з позначеннями, наведемо приклади, потім обговорюємо їх значення.
Визначення 84 Друга часткова похідна та змішана часткова похідна
z=f(x,y)Дозволяти бути безперервним на відкритому наборіS.
- Друга частковаf похідна по відношенню доx тодіx є∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2=(fx)x=fxx
- Друга часткова похідна поf відношенню доx theny є∂∂y(∂f∂x)=∂2f∂y∂x=(fx)y=fxy
Подібні визначення тримають∂2f∂y2=fyy і∂2f∂x∂y=fyx.
Другі часткові похідніfxy іfyx є змішаними частковими похідними.
Позначення другої частинної похідної дає деяке уявлення про позначення другої похідної функції однієї змінної. Якщоy=f(x), тоf″. "d^2y" частина означає «взяти похіднуy двічі», тоді якdx^2 "" означає «щодоx обох разів.» Коли ми знаємо лише функції однієї змінної, ця остання фраза здається дурною: існує лише одна змінна, до якої слід взяти похідну. Тепер, коли ми розуміємо функції декількох змінних, ми бачимо важливість визначення, які змінні ми маємо на увазі.
Примітка: Терміни у визначенні 84 залежать від обмежень, тому кожне визначення має застереження «де існує межа».
Приклад\PageIndex{4}: Second partial derivatives
Для кожного з наступних знайдіть всі шість перших і других часткових похідних. Тобто знайти
f_x,\quad f_y,\quad f_{xx},\quad f_{yy},\quad f_{xy}\quad \text{and}\quad f_{yx}\,.
- f(x,y) = x^3y^2 + 2xy^3+\cos x
- f(x,y) = \frac{x^3}{y^2}
- f(x,y)=e^{x}\sin(x^2y)
Рішення
У кожному ми даємоf_x іf_y відразу і потім витрачаємо час на виведення другої часткової похідної.
- f(x,y) = x^3y^2+2xy^3+\cos x
f_x(x,y) = 3x^2y^2+2y^3-\sin x
f_y(x,y) = 2x^3y+6xy^2
f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^2y^2+2y^3-\sin x\big) = 6xy^2-\cos x
f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(2x^3y+6xy^2\big) = 2x^3+12xy
f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^2y^2+2y^3-\sin x\big) = 6x^2y+6y^2
f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x^3y+6xy^2\big) = 6x^2y+6y^2
- f(x,y) = \frac{x^3}{y^2} = x^3y^{-2}
f_x(x,y) = \frac{3x^2}{y^2}
f_y(x,y) = -\frac{2x^3}{y^3}
f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{3x^2}{y^2}\big) = \frac{6x}{y^2}
f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(-\frac{2x^3}{y^3}\big) = \frac{6x^3}{y^4}
f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(\frac{3x^2}{y^2}\big) = -\frac{6x^2}{y^3}
f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(-\frac{2x^3}{y^3}\big) = -\frac{6x^2}{y^3}
- f(x,y) = e^x\sin(x^2y)
Оскільки наступні часткові похідні виходять досить довгими, ми опускаємо зайві позначення і просто даємо результати. У кількох випадках буде потрібно кілька застосувань Правил продукту та ланцюга, а потім деяке базове поєднання подібних термінів.
f_x(x,y) = e^x\sin(x^2y) + 2xye^x\cos(x^2y)
f_y(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)
f_{xx}(x,y) = e^x\sin(x^2y)+4xye^x\cos(x^2y)+2ye^x\cos(x^2y)-4x^2y^2e^x\sin(x^2y)
f_{yy}(x,y) = -x^4e^x\sin(x^2y)
f_{xy}(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)+2xe^x\cos(x^2y)-2x^3ye^x\sin(x^2y)
f_{yx}(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)+2xe^x\cos(x^2y)-2x^3ye^x\sin(x^2y)
Зверніть увагу, як у кожній з трьох функцій у прикладі 12.3.4,f_{xy} = f_{yx}. Через складність прикладів, це, швидше за все, не випадково. Наступна теорема стверджує, що це не так.
Теорема 103 Змішані часткові похідні
fДозволяти визначатися таким, щоf_{xy} іf_{yx} є безперервними на відкритому множиніS. Потім для кожної точки(x,y) вS,f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y).
Пошукf_{xy} іf_{yx} самостійне порівняння результатів забезпечує зручний спосіб перевірки нашої роботи.
Розуміння других часткових похідних
Тепер, коли ми знаємо, як знайти другі частки, ми досліджуємо, що вони нам говорять.
Знову ми повертаємося до функціїy=f(x) однієї змінної. Друга похіднаf - «похідна від похідної», або «швидкість зміни швидкості зміни». Друга похідна вимірює, наскільки змінюється похідна. Якщоf''(x)<0, то похідна стає менше (так графf увігнутий вниз); якщоf''(x)>0, то похідна зростає, роблячи графікf увігнутим вгору.
Тепер розглянемоz=f(x,y). Подібні заяви можна зробитиf_{xx} і про теf_{yy}, як можна було б зробити проf''(x) вище. Беручи похідні щодоx двічі, ми вимірюємо, скількиf_x змін щодоx. Якщоf_{xx}(x,y)<0, то це означає, що якx збільшується,f_x зменшується, і графікf буде увігнутий вниз вx - напрямку. Використовуючи аналогію стояння на прокатному лузі, використану раніше в цьому розділі,f_{xx} вимірює, чи є шлях увігнутим вгору/вниз при ходьбі на схід.
Аналогічним чиномf_{yy} вимірюється увігнутість вy -напрямку. Якщоf_{yy}(x,y)>0,f_y то збільшується по відношенню доy і графікf буде увігнутий вгору вy -напрямку. Звертаючись до аналогії прокатного лугу знову,f_{yy} вимірює, чи є шлях увігнутим вгору/вниз при ходьбі через північ.
Розглянемо тепер змішані частковіf_{xy} іf_{yx}. Змішані частковіf_{xy} заходи скількиf_x змінюється щодоy. Ще раз, використовуючи аналогію прокатного лугу,f_{x} вимірює схил, якщо хтось йде через схід. Дивлячись на схід, починаємо ходити на північ (сторона—крокуючи). Шляхи на схід стають крутішими? Якщо так,f_{xy}>0. Хіба шлях на схід не змінюється крутизною? Якщо так, тоf_{xy}=0. Подібне можна сказати і проf_{yx}: врахуйте крутизну шляхів, що прямують на північ, а бік - крокуючи на схід.
Наступний приклад розглядає ці ідеї за допомогою конкретних цифр і графіків.
Приклад\PageIndex{5}: Understanding second partial derivatives
Нехайz=x^2-y^2+xy. Оцініть 6 перших і других часткових похідних при(-1/2,1/2) і інтерпретуйте, що означає кожне з цих чисел.
Рішення
Ми знаходимо, що:
f_x(x,y) = 2x+y,\ квадf_y(x,y) = -2y+x,\ квадf_{xx}(x,y) = 2,\ квадf_{yy}(x,y) = -2 іf_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = 1. Таким чином,f_x(-1/2,1/2) = -1/2,\qquad f_y(-1/2,1/2) = -3/2. у(-1/2,1/2) нас є нахил дотичної лінії(-1/2, 1/2, -1/4) в напрямкуx є-1/2: якщо один рухається з цієї точки паралельноx -осі, миттєва швидкість зміни буде-1/2. Нахил дотичної лінії в цій точці в напрямкуy дорівнює-3/2: якщо рухатися з цієї точки паралельноy -осі, миттєва швидкість зміни буде-3/2. Ці дотичні лінії зображені на малюнку 12.13 (a) і (b) відповідно, де дотичні лінії малюються суцільною лінією.
Тепер розглянемо лише малюнок 12.13 (а). Проводиться три спрямовані дотичні лінії (дві пунктирні), кожна в напрямкуx; тобто кожна має нахил, який визначаєтьсяf_x. Зверніть увагу, якy при збільшенні нахил цих ліній наближається0. Так як схили все негативні, наближення до 0 означає, що ухили збільшуються. Нахили,f_x що даються, збільшуються зіy збільшенням, сенсf_{xy} повинен бути позитивним.
Оскількиf_{xy}=f_{yx}, ми такожf_y очікуємо збільшення у міруx збільшення. Розглянемо рис. 12.13 (б), де знову чертяться три спрямовані дотичні лінії, на цей раз кожна в напрямкуy з нахилами, визначеними поf_y. У міруx збільшення схили стають менш крутими (ближче до 0). Оскільки це негативні ухили, це означає, що укоси збільшуються.
Поки що ми маємо візуальне розумінняf_xf_y, іf_{xy}=f_{yx}. Ми зараз інтерпретуємоf_{xx} іf_{yy}. На малюнку 12.13 (а) ми бачимо криву, намальовану там, деx утримується постійною приx=-1/2:y змінюється лише. Ця крива чітко увігнута вниз, що відповідає тому, щоf_{yy}<0. У частині (b) фігури ми бачимо подібну криву, деy постійна іx змінюється лише. Ця крива увігнута вгору, що відповідає тому, щоf_{xx}>0.
Часткові похідні та функції трьох змінних
Поняття, що лежать в основі часткових похідних, можуть бути легко поширюються на більш ніж дві змінні. Ми наводимо деякі визначення та приклади у випадку трьох змінних і довіряємо, що читач може розширити ці визначення на більше змінних, якщо це необхідно.
Визначення 85 Часткові похідні з трьома змінними
w=f(x,y,z)Дозволяти бути безперервної функції на відкритому наборіS в\mathbb{R}^3.
Часткова похідна поf відношенню доx - це:
f_x(x,y,z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Подібні визначення тримаютьf_y(x,y,z) іf_z(x,y,z).
Беручи часткові похідні від часткових похідних, ми можемо знайти другі частковіf похідні відносно тогоy, наприклад, так само, як і раніше.z
Приклад\PageIndex{6}: Partial derivatives of functions of three variables
Для кожного з наступних знайдітьf_x,f_y,f_z,f_{xz},f_{yz}, іf_{zz}.
- f(x,y,z) = x^2y^3z^4+x^2y^2+x^3z^3+y^4z^4
- f(x,y,z) = x\sin (yz)
Рішення
- f_x = 2xy^3z^4+2xy^2+3x^2z^3;\quad f_y = 3x^2y^2z^4+2x^2y+4y^3z^4
f_z = 4x^2y^3z^3+3x^3z^2+4y^4z^3;\quad f_{xz} = 8xy^3z^3+9x^2z^2;
f_{yz} = 12x^2y^2z^3+16y^3z^3;\quad f_{zz} = 12x^2y^3z^2+6x^3z+12y^4z^2
- f_x = \sin(yz);\quad f_y = xz\cos(yz);\quad f_z = xy\cos(yz);
f_{xz} = y\cos(yz);\quad f_{yz} = x\cos(yz) - xyz\sin(yz);\quad f_{zz} = -xy^2\sin(xy)
Часткові похідні вищого порядку
Ми можемо продовжувати приймати часткові похідні часткових похідних часткових похідних...; ми не повинні зупинятися на других часткових похідних. Ці часткові похідні вищого порядку не мають акуратної графічної інтерпретації; тим не менш, їх не важко обчислити і гідні певної практики. Ми формально не визначаємо кожну похідну вищого порядку, а наведемо лише кілька прикладів позначення.
f_{xyx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right) \quad \text{and}
f_{xyz}(x,y,z) =\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right) .
Приклад\PageIndex{7}: Higher order partial derivatives
- Нехайf(x,y) = x^2y^2+\sin(xy). Знайтиf_{xxy} іf_{yxx}.
- Нехайf(x,y,z) = x^3e^{xy}+\cos(z). Знайтиf_{xyz}.
Рішення
- Щоб знайтиf_{xxy}, ми спочатку знаходимоf_x, потімf_{xx}, потімf_{xxy}:\begin{align*}f_x &= 2xy^2+y\cos(xy) \quad\quad f_{xx} = 2y^2-y^2\sin(xy)\\f_{xxy} &= 4y-2y\sin(xy) - xy^2\cos(xy).\end{align*} Щоб знайтиf_{yxx}, ми спочатку знаходимоf_y, потімf_{yx}, потімf_{yxx}:\begin{align*}f_y &= 2x^2y+x\cos(xy) \quad \quad f_{yx} = 4xy + \cos(xy) - xy\sin(xy)\\f_{yxx} &= 4y-y\sin(xy) - \big(y\sin(xy) + xy^2\cos(xy)\big)\\ &= 4y-2y\sin(xy)-xy^2\cos(xy).\end{align*} Примітка якf_{xxy} = f_{yxx}.
- Щоб знайтиf_{xyz}, знаходимоf_x, потімf_{xy}, потімf_{xyz}:
\begin{align*}f_x &= 3x^2e^{xy}+ x^3ye^{xy} \quad \quad f_{xy} = 3x^3e^{xy}+x^3e^{xy}+x^4ye^{xy} = 4x^3e^{xy}+x^4ye^{xy}\\ f_{xyz} &= 0.\end{align*}
У попередньому прикладі ми це бачилиf_{xxy} = f_{yxx}; це не випадковість. Хоча ми не констатуємо це як формальну теорему, поки кожна часткова похідна є безперервною, не має значення порядок, в якому взяті часткові похідні. Наприклад,f_{xxy} = f_{xyx} = f_{yxx}.
Це може бути корисним часом. Якби ми знали це, друга частина Прикладу була\PageIndex{7} б набагато простішою для обчислення. Замість тогоx, щоб обчислюватиf_{xyz} в,y потімz замовленьz, ми могли б застосуватиx тоy замовлення (якf_{xyz} = f_{zxy}). Це легко побачитиf_z = -\sin z; тоf_{zx} іf_{zxy} ясно 0, якf_z не міститьx абоy.
Короткий огляд цього розділу: часткові похідні вимірюють миттєву швидкість зміни багатозмінної функції щодо однієї змінної. Сz=f(x,y), часткові похідніf_x іf_y вимірюють миттєву швидкість зміниz при русі паралельноx - іy -осям відповідно. Як ми вимірюємо швидкість зміни в точці, коли ми не рухаємося паралельно одній з цих осей? Що робити, якщо рухатися в напрямку, заданому вектором\langle 2,1\rangle? Чи можемо ми виміряти цю швидкість змін? Відповідь, звичайно, так, ми можемо. Це тема розділу 12.6. По-перше, нам потрібно визначити, що це означає, щоб функція двох змінних була диференційованою.