12.3: Часткові похідні

\(y\)Дозволяти бути функцією\(x\). Ми дуже докладно вивчили\(y\) похідну щодо\(x\)\(\frac{dy}{dx}\), тобто яка вимірює швидкість, з якою\(y\) змінюється щодо\(x\). Розглянемо зараз\(z=f(x,y)\). Має сенс захотіти знати, як\(z\) змінюється стосовно\(x\) та/або\(y\). Цей розділ розпочинає наше розслідування цих темпів змін.

Розглянемо функцію\(z=f(x,y) = x^2+2y^2\), як показано на малюнку 12.11 (a). Фіксуючи\(y=2\), ми акцентуємо свою увагу на всіх точках на поверхні, де\(y\) -значення дорівнює 2, показаному в обох частинок (а) і (b) фігури. Ці точки утворюють криву в просторі:\(z = f(x,2) = x^2+8\) яка є функцією лише однієї змінної. Ми можемо взяти\(z\) похідну\(x\) по відношенню до цієї кривої і знайти рівняння дотичних ліній і т.д.

Малюнок 12.11: Фіксуючи y=2, поверхня\(f(x,y)=x^2+2y^2\) є кривою в просторі.

Ключовим поняттям, яке слід витягти з цього прикладу, є: розглядаючи\(y\) як постійну (вона не змінюється), ми можемо розглянути, як\(z\) змінюються стосовно\(x\). Подібним чином ми можемо триматися\(x\) постійно і розглядати, як\(z\) змінюється стосовно\(y\). Це лежить в основі принципу часткових похідних. Спочатку ми вказуємо формальне визначення на основі обмежень, а потім покажемо, як обчислити ці часткові похідні, не приймаючи безпосередньо обмежень.

Визначення 83 Часткова похідна

\(z=f(x,y)\)Дозволяти бути безперервної функції на відкритому наборі\(S\) в\(\mathbb{R}^2\).

1. Часткова похідна по\(f\) відношенню до\(x\) - це:\[f_x(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}h.\]
2. Часткова похідна по\(f\) відношенню до\(y\) - це:\[f_y(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}h.\]

Примітка: Альтернативні позначення для\(f_x(x,y)\) включають:

\[\frac{\partial}{\partial x}f(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial z}{\partial x},\ \ \text{and}\ z_x,\]

з подібними позначеннями\(f_y(x,y).\) для Для зручності позначення,\(f_x(x,y)\) часто скорочується\(f_x\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Computing partial derivatives with the limit definition

Нехай\(f(x,y) = x^2y + 2x+y^3\). Знайти\(f_x(x,y)\) за допомогою визначення ліміту.

Рішення

Використовуючи визначення 83, ми маємо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
f_x (x, y) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (x+h, y) - f (x, y)} {h}\
&=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {(x+h) ^2y+2 (x+h) +y^3 - (x^2y+2x+y^3)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ to 0}\ розрив {(x^2y+2xhy+h ^2y+2h+y^3- (x^2y+2x+y^3)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ до 0}\ розрив {2xhy+h^ 2y+2h} {h}\\
&=\ lim_ {h\ to 0} 2xy+hy+2\\
&= 2xy+2.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми знайшли\(f_x(x,y) = 2xy+2\).

Приклад\(\PageIndex{1}\) знайшов часткову похідну з використанням формального визначення на основі обмежень. Однак використання обмежень не є необхідним, оскільки ми можемо покладатися на наші попередні знання про похідні для легкого обчислення часткових похідних. При обчисленні\(f_x(x,y)\) ми тримаємо\(y\) фіксованою — вона не змінюється. Тому ми можемо обчислити похідну щодо,\(x\) розглядаючи\(y\) як константу або коефіцієнт.

Так само\(\frac{d}{dx}\big(5x^2\big) = 10x\), ми обчислюємо\(\frac{\partial}{\partial x}\big(x^2y\big) = 2xy\). Тут ми розглядаємо\(y\) як коефіцієнт.

Так само\(\frac{d}{dx}\big(5^3\big) = 0\), ми обчислюємо\(\frac{\partial}{\partial x}\big(y^3\big) = 0.\) Тут ми розглядаємо\(y\) як константу. Ще приклади допоможуть це зрозуміти.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Finding partial derivatives

Знайти\(f_x(x,y)\) і\(f_y(x,y)\) в кожному з наступних.

1. \(f(x,y) = x^3y^2+ 5y^2-x+7\)
2. \(f(x,y) = \cos(xy^2)+\sin x\)
3. \(f(x,y) = e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}\)

Рішення

1. У нас є\(f(x,y) = x^3y^2+ 5y^2-x+7\). Почніть з\(f_x(x,y)\). Тримайте\(y\) фіксованим, розглядаючи це як константу або коефіцієнт, якщо це доречно:\[f_x(x,y) = 3x^2y^2-1.\] Зверніть увагу, як\(5y^2\) і\(7\) терміни йдуть до нуля. Для обчислення\(f_y(x,y)\) ми тримаємо\(x\) фіксованою:\[f_y(x,y) = 2x^3y+10y.\] Зверніть увагу, як\(-x\) і\(7\) терміни йдуть до нуля.
   
2. У нас є\(f(x,y) = \cos(xy^2)+\sin x\).
   Почніть з\(f_x(x,y)\). Нам потрібно застосувати Правило ланцюга з терміном косинуса;\(y^2\) це коефіцієнт\(x\) -члена всередині функції косинуса. \[f_x(x,y) = -\sin(xy^2)(y^2)+\cos x = -y^2\sin(xy^2)+\cos x.\]Щоб знайти\(f_y(x,y)\), зверніть увагу, що\(x\) це коефіцієнт\(y^2\) терміна всередині косинуса; також зверніть увагу, що оскільки\(x\)\(\sin x\) фіксований, також фіксований, і ми розглядаємо його як постійну. \[f_y(x,y) = -\sin(xy^2)(2xy) = -2xy\sin(xy^2).\]
   
3. У нас є\(f(x,y) = e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}\).
   Для початку зверніть увагу на те\(f_x(x,y)\), як нам потрібно застосувати Правило продукту. \[\begin{align*}f_x(x,y) &= e^{x^2y^3}(2xy^3)\sqrt{x^2+1} + e^{x^2y^3}\frac12\big(x^2+1\big)^{-1/2}(2x) \\&= 2xy^3e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}+\frac{xe^{x^2y^3}}{\sqrt{x^2+1}}.\end{align*}\]Зверніть увагу, що при знаходженні\(f_y(x,y)\) ми не повинні застосовувати Правило продукту; оскільки\(\sqrt{x^2+1}\) не містить\(y\), ми розглядаємо його як фіксований і, отже, стає коефіцієнтом\(e^{x^2y^3}\) терміна. \[f_y(x,y) = e^{x^2y^3}(3x^2y^2)\sqrt{x^2+1} = 3x^2y^2e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}.\]

Ми показали, як обчислювати часткову похідну, але все ще може бути незрозуміло, що означає часткова похідна. Враховуючи\(z=f(x,y)\),\(f_x(x,y)\) вимірюється швидкість, з якою\(z\) змінюється як тільки\(x\) змінюється:\(y\) проводиться постійною.

Уявіть, що стоїть на прокатному лузі, а потім починає ходити через схід. Залежно від вашого місцезнаходження, ви можете піти вгору, різко вниз або, можливо, взагалі не змінювати висоту. Це схоже на вимірювання\(z_x\): ви рухаєтесь лише на схід (у напрямку "\(x\)«), а не на північ/південь взагалі. Повертаючись до вихідного місця, уявіть, що тепер йдете через північ (у напрямку "\(y\)«). Можливо, ходьба через північ зовсім не змінює вашої висоти. Це аналогічно\(z_y=0\):\(z\) не змінюється щодо\(y\). Ми бачимо, що\(z_x\) і\(z_y\) не повинні бути однаковими, або навіть подібними, оскільки легко уявити обставини, коли ходьба на схід означає, що ви йдете вниз, хоча ходьба на північ змушує вас йти в гору.

Наступний приклад допомагає нам більше візуалізувати це.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Evaluating partial derivatives

Нехай\(z=f(x,y)=-x^2-\frac12y^2+xy+10\). Знайти\(f_x(2,1)\)\(f_y(2,1)\) і інтерпретувати їх значення.

Рішення

Починаємо з обчислень\(f_x(x,y) = -2x+y\) і\(f_y(x,y) = -y+x\). Таким чином

\[f_x(2,1) = -3 \quad \text{and}\quad f_y(2,1) = 1.\]

Також корисно відзначити, що\(f(2,1) = 7.5\). Що означає кожне з цих чисел?

Розглянемо\(f_x(2,1)=-3\) разом з малюнком 12.12 (а). Якщо хтось «стоїть» на поверхні в точці\((2,1,7.5)\) і рухається паралельно\(x\) -осі (тобто змінюється тільки\(x\) -значення, а не\(y\) -значення), то миттєва швидкість зміни дорівнює\(-3\). Збільшення\(x\) -значення зменшить\(z\) -значення; зменшення\(x\) -значення збільшить\(z\) -значення.

Малюнок 12.12: Ілюстрація значення часткових похідних.

Тепер розглянемо\(f_y(2,1)=1\), проілюстровані на малюнку 12.12 (б). Рухаючись по кривій, намальованої на поверхні, тобто паралельно\(y\) -осі і не змінюючи\(x\)\(z\) -значення, збільшує -значення миттєво зі швидкістю 1. Збільшення\(y\) -значення на 1 збільшить\(z\) значення -приблизно на 1.

Оскільки\(f_x\) величина більше, ніж величина\(f_y\) at\((2,1)\), вона «крутіше» в\(x\) -напрямку, ніж в\(y\) -напрямку.

Другі часткові похідні

Нехай\(z=f(x,y)\). Ми навчилися знаходити часткові похідні\(f_x(x,y)\) і\(f_y(x,y)\), які є кожною функцією\(x\) і\(y\). Тому ми можемо взяти часткові похідні від них, кожен по відношенню до\(x\) і\(y\). Визначимо ці «другі частки» разом з позначеннями, наведемо приклади, потім обговорюємо їх значення.

Визначення 84 Друга часткова похідна та змішана часткова похідна

\(z=f(x,y)\)Дозволяти бути безперервним на відкритому наборі\(S\).

1. Друга часткова\(f\) похідна по відношенню до\(x\) тоді\(x\) є\[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \big(\,f_x\,\big)_x = f_{xx}\]
   
2. Друга часткова похідна по\(f\) відношенню до\(x\) then\(y\) є\[\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = \big(\,f_x\,\big)_y = f_{xy}\]

Подібні визначення тримають\( \frac{\partial^2f}{\partial y^2} = f_{yy}\) і\( \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = f_{yx}\).

Другі часткові похідні\(f_{xy}\) і\(f_{yx}\) є змішаними частковими похідними.

Позначення другої частинної похідної дає деяке уявлення про позначення другої похідної функції однієї змінної. Якщо\(y=f(x)\), то\( f''(x) = \frac{d^2 y}{dx^2}\). "\(d^2y\)" частина означає «взяти похідну\(y\) двічі», тоді як\(dx^2\) "" означає «щодо\(x\) обох разів.» Коли ми знаємо лише функції однієї змінної, ця остання фраза здається дурною: існує лише одна змінна, до якої слід взяти похідну. Тепер, коли ми розуміємо функції декількох змінних, ми бачимо важливість визначення, які змінні ми маємо на увазі.

Примітка: Терміни у визначенні 84 залежать від обмежень, тому кожне визначення має застереження «де існує межа».

Приклад\(\PageIndex{4}\): Second partial derivatives

Для кожного з наступних знайдіть всі шість перших і других часткових похідних. Тобто знайти
\[f_x,\quad f_y,\quad f_{xx},\quad f_{yy},\quad f_{xy}\quad \text{and}\quad f_{yx}\,.\]

1. \(f(x,y) = x^3y^2 + 2xy^3+\cos x\)
2. \( f(x,y) = \frac{x^3}{y^2}\)
3. \(f(x,y)=e^{x}\sin(x^2y)\)

Рішення

У кожному ми даємо\(f_x\) і\(f_y\) відразу і потім витрачаємо час на виведення другої часткової похідної.

1. \(f(x,y) = x^3y^2+2xy^3+\cos x\)
   \(f_x(x,y) = 3x^2y^2+2y^3-\sin x\)
   \(f_y(x,y) = 2x^3y+6xy^2\)
   \( f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^2y^2+2y^3-\sin x\big) = 6xy^2-\cos x\)
   \( f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(2x^3y+6xy^2\big) = 2x^3+12xy\)
   \( f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^2y^2+2y^3-\sin x\big) = 6x^2y+6y^2\)
   \( f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x^3y+6xy^2\big) = 6x^2y+6y^2\)
   
2. \( f(x,y) = \frac{x^3}{y^2} = x^3y^{-2}\)
   \( f_x(x,y) = \frac{3x^2}{y^2}\)
   \( f_y(x,y) = -\frac{2x^3}{y^3}\)
   \( f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{3x^2}{y^2}\big) = \frac{6x}{y^2}\)
   \( f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(-\frac{2x^3}{y^3}\big) = \frac{6x^3}{y^4}\)
   \( f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(\frac{3x^2}{y^2}\big) = -\frac{6x^2}{y^3}\)
   \( f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(-\frac{2x^3}{y^3}\big) = -\frac{6x^2}{y^3}\)
   
3. \( f(x,y) = e^x\sin(x^2y)\)
   Оскільки наступні часткові похідні виходять досить довгими, ми опускаємо зайві позначення і просто даємо результати. У кількох випадках буде потрібно кілька застосувань Правил продукту та ланцюга, а потім деяке базове поєднання подібних термінів.
   \(f_x(x,y) = e^x\sin(x^2y) + 2xye^x\cos(x^2y)\)
   \( f_y(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)\)
   \( f_{xx}(x,y) = e^x\sin(x^2y)+4xye^x\cos(x^2y)+2ye^x\cos(x^2y)-4x^2y^2e^x\sin(x^2y)\)
   \( f_{yy}(x,y) = -x^4e^x\sin(x^2y)\)
   \( f_{xy}(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)+2xe^x\cos(x^2y)-2x^3ye^x\sin(x^2y)\)
   \( f_{yx}(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)+2xe^x\cos(x^2y)-2x^3ye^x\sin(x^2y)\)

Зверніть увагу, як у кожній з трьох функцій у прикладі 12.3.4,\(f_{xy} = f_{yx}\). Через складність прикладів, це, швидше за все, не випадково. Наступна теорема стверджує, що це не так.

Теорема 103 Змішані часткові похідні

\(f\)Дозволяти визначатися таким, що\(f_{xy}\) і\(f_{yx}\) є безперервними на відкритому множині\(S\). Потім для кожної точки\((x,y)\) в\(S\),\(f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y)\).

Пошук\(f_{xy}\) і\(f_{yx}\) самостійне порівняння результатів забезпечує зручний спосіб перевірки нашої роботи.

Розуміння других часткових похідних

Тепер, коли ми знаємо, як знайти другі частки, ми досліджуємо, що вони нам говорять.

Знову ми повертаємося до функції\(y=f(x)\) однієї змінної. Друга похідна\(f\) - «похідна від похідної», або «швидкість зміни швидкості зміни». Друга похідна вимірює, наскільки змінюється похідна. Якщо\(f''(x)<0\), то похідна стає менше (так граф\(f\) увігнутий вниз); якщо\(f''(x)>0\), то похідна зростає, роблячи графік\(f\) увігнутим вгору.

Тепер розглянемо\(z=f(x,y)\). Подібні заяви можна зробити\(f_{xx}\) і про те\(f_{yy}\), як можна було б зробити про\(f''(x)\) вище. Беручи похідні щодо\(x\) двічі, ми вимірюємо, скільки\(f_x\) змін щодо\(x\). Якщо\(f_{xx}(x,y)<0\), то це означає, що як\(x\) збільшується,\(f_x\) зменшується, і графік\(f\) буде увігнутий вниз в\(x\) - напрямку. Використовуючи аналогію стояння на прокатному лузі, використану раніше в цьому розділі,\(f_{xx}\) вимірює, чи є шлях увігнутим вгору/вниз при ходьбі на схід.

Аналогічним чином\(f_{yy}\) вимірюється увігнутість в\(y\) -напрямку. Якщо\(f_{yy}(x,y)>0\),\(f_y\) то збільшується по відношенню до\(y\) і графік\(f\) буде увігнутий вгору в\(y\) -напрямку. Звертаючись до аналогії прокатного лугу знову,\(f_{yy}\) вимірює, чи є шлях увігнутим вгору/вниз при ходьбі через північ.

Розглянемо тепер змішані часткові\(f_{xy}\) і\(f_{yx}\). Змішані часткові\(f_{xy}\) заходи скільки\(f_x\) змінюється щодо\(y\). Ще раз, використовуючи аналогію прокатного лугу,\(f_{x}\) вимірює схил, якщо хтось йде через схід. Дивлячись на схід, починаємо ходити на північ (сторона—крокуючи). Шляхи на схід стають крутішими? Якщо так,\(f_{xy}>0\). Хіба шлях на схід не змінюється крутизною? Якщо так, то\(f_{xy}=0\). Подібне можна сказати і про\(f_{yx}\): врахуйте крутизну шляхів, що прямують на північ, а бік - крокуючи на схід.

Наступний приклад розглядає ці ідеї за допомогою конкретних цифр і графіків.

Приклад\(\PageIndex{5}\): Understanding second partial derivatives

Нехай\(z=x^2-y^2+xy\). Оцініть 6 перших і других часткових похідних при\((-1/2,1/2)\) і інтерпретуйте, що означає кожне з цих чисел.

Рішення

Ми знаходимо, що:

\(f_x(x,y) = 2x+y\),\ квад\(f_y(x,y) = -2y+x\),\ квад\(f_{xx}(x,y) = 2\),\ квад\(f_{yy}(x,y) = -2\) і\(f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = 1\). Таким чином,\[f_x(-1/2,1/2) = -1/2,\qquad f_y(-1/2,1/2) = -3/2.\] у\((-1/2,1/2)\) нас є нахил дотичної лінії\((-1/2, 1/2, -1/4)\) в напрямку\(x\) є\(-1/2\): якщо один рухається з цієї точки паралельно\(x\) -осі, миттєва швидкість зміни буде\(-1/2\). Нахил дотичної лінії в цій точці в напрямку\(y\) дорівнює\(-3/2\): якщо рухатися з цієї точки паралельно\(y\) -осі, миттєва швидкість зміни буде\(-3/2\). Ці дотичні лінії зображені на малюнку 12.13 (a) і (b) відповідно, де дотичні лінії малюються суцільною лінією.

Малюнок 12.13: Розуміння другої часткової похідної в прикладі 12.3.5.

Тепер розглянемо лише малюнок 12.13 (а). Проводиться три спрямовані дотичні лінії (дві пунктирні), кожна в напрямку\(x\); тобто кожна має нахил, який визначається\(f_x\). Зверніть увагу, як\(y\) при збільшенні нахил цих ліній наближається\(0\). Так як схили все негативні, наближення до 0 означає, що ухили збільшуються. Нахили,\(f_x\) що даються, збільшуються зі\(y\) збільшенням, сенс\(f_{xy}\) повинен бути позитивним.

Оскільки\(f_{xy}=f_{yx}\), ми також\(f_y\) очікуємо збільшення у міру\(x\) збільшення. Розглянемо рис. 12.13 (б), де знову чертяться три спрямовані дотичні лінії, на цей раз кожна в напрямку\(y\) з нахилами, визначеними по\(f_y\). У міру\(x\) збільшення схили стають менш крутими (ближче до 0). Оскільки це негативні ухили, це означає, що укоси збільшуються.

Поки що ми маємо візуальне розуміння\(f_x\)\(f_y\), і\(f_{xy}=f_{yx}\). Ми зараз інтерпретуємо\(f_{xx}\) і\(f_{yy}\). На малюнку 12.13 (а) ми бачимо криву, намальовану там, де\(x\) утримується постійною при\(x=-1/2\):\(y\) змінюється лише. Ця крива чітко увігнута вниз, що відповідає тому, що\(f_{yy}<0\). У частині (b) фігури ми бачимо подібну криву, де\(y\) постійна і\(x\) змінюється лише. Ця крива увігнута вгору, що відповідає тому, що\(f_{xx}>0\).

Часткові похідні та функції трьох змінних

Поняття, що лежать в основі часткових похідних, можуть бути легко поширюються на більш ніж дві змінні. Ми наводимо деякі визначення та приклади у випадку трьох змінних і довіряємо, що читач може розширити ці визначення на більше змінних, якщо це необхідно.

Визначення 85 Часткові похідні з трьома змінними

\(w=f(x,y,z)\)Дозволяти бути безперервної функції на відкритому наборі\(S\) в\(\mathbb{R}^3\).

Часткова похідна по\(f\) відношенню до\(x\) - це:

\[f_x(x,y,z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.\]

Подібні визначення тримають\(f_y(x,y,z)\) і\(f_z(x,y,z)\).

Беручи часткові похідні від часткових похідних, ми можемо знайти другі часткові\(f\) похідні відносно того\(y\), наприклад, так само, як і раніше.\(z\)

Приклад\(\PageIndex{6}\): Partial derivatives of functions of three variables

Для кожного з наступних знайдіть\(f_x\),\(f_y\),\(f_z\),\(f_{xz}\),\(f_{yz}\), і\(f_{zz}\).

1. \(f(x,y,z) = x^2y^3z^4+x^2y^2+x^3z^3+y^4z^4\)
2. \(f(x,y,z) = x\sin (yz)\)

Рішення

1. \(f_x = 2xy^3z^4+2xy^2+3x^2z^3;\quad f_y = 3x^2y^2z^4+2x^2y+4y^3z^4\)
   \(f_z = 4x^2y^3z^3+3x^3z^2+4y^4z^3;\quad f_{xz} = 8xy^3z^3+9x^2z^2\);
   \(f_{yz} = 12x^2y^2z^3+16y^3z^3;\quad f_{zz} = 12x^2y^3z^2+6x^3z+12y^4z^2\)
   
2. \(f_x = \sin(yz);\quad f_y = xz\cos(yz);\quad f_z = xy\cos(yz)\);
   \(f_{xz} = y\cos(yz);\quad f_{yz} = x\cos(yz) - xyz\sin(yz);\quad f_{zz} = -xy^2\sin(xy)\)

Часткові похідні вищого порядку

Ми можемо продовжувати приймати часткові похідні часткових похідних часткових похідних...; ми не повинні зупинятися на других часткових похідних. Ці часткові похідні вищого порядку не мають акуратної графічної інтерпретації; тим не менш, їх не важко обчислити і гідні певної практики. Ми формально не визначаємо кожну похідну вищого порядку, а наведемо лише кілька прикладів позначення.

\[f_{xyx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right) \quad \text{and}\]

\[f_{xyz}(x,y,z) =\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right) .\]

Приклад\(\PageIndex{7}\): Higher order partial derivatives

1. Нехай\(f(x,y) = x^2y^2+\sin(xy)\). Знайти\(f_{xxy}\) і\(f_{yxx}\).
2. Нехай\(f(x,y,z) = x^3e^{xy}+\cos(z)\). Знайти\(f_{xyz}\).

Рішення

1. Щоб знайти\(f_{xxy}\), ми спочатку знаходимо\(f_x\), потім\(f_{xx}\), потім\(f_{xxy}\):\[\begin{align*}f_x &= 2xy^2+y\cos(xy) \quad\quad f_{xx} = 2y^2-y^2\sin(xy)\\f_{xxy} &= 4y-2y\sin(xy) - xy^2\cos(xy).\end{align*}\] Щоб знайти\(f_{yxx}\), ми спочатку знаходимо\(f_y\), потім\(f_{yx}\), потім\(f_{yxx}\):\[\begin{align*}f_y &= 2x^2y+x\cos(xy) \quad \quad f_{yx} = 4xy + \cos(xy) - xy\sin(xy)\\f_{yxx} &= 4y-y\sin(xy) - \big(y\sin(xy) + xy^2\cos(xy)\big)\\ &= 4y-2y\sin(xy)-xy^2\cos(xy).\end{align*}\] Примітка як\(f_{xxy} = f_{yxx}\).
   
2. Щоб знайти\(f_{xyz}\), знаходимо\(f_x\), потім\(f_{xy}\), потім\(f_{xyz}\):
   \[\begin{align*}f_x &= 3x^2e^{xy}+ x^3ye^{xy} \quad \quad f_{xy} = 3x^3e^{xy}+x^3e^{xy}+x^4ye^{xy} = 4x^3e^{xy}+x^4ye^{xy}\\ f_{xyz} &= 0.\end{align*}\]

У попередньому прикладі ми це бачили\(f_{xxy} = f_{yxx}\); це не випадковість. Хоча ми не констатуємо це як формальну теорему, поки кожна часткова похідна є безперервною, не має значення порядок, в якому взяті часткові похідні. Наприклад,\(f_{xxy} = f_{xyx} = f_{yxx}\).

Це може бути корисним часом. Якби ми знали це, друга частина Прикладу була\(\PageIndex{7}\) б набагато простішою для обчислення. Замість того\(x\), щоб обчислювати\(f_{xyz}\) в,\(y\) потім\(z\) замовлень\(z\), ми могли б застосувати\(x\) то\(y\) замовлення (як\(f_{xyz} = f_{zxy}\)). Це легко побачити\(f_z = -\sin z\); то\(f_{zx}\) і\(f_{zxy}\) ясно 0, як\(f_z\) не містить\(x\) або\(y\).

Короткий огляд цього розділу: часткові похідні вимірюють миттєву швидкість зміни багатозмінної функції щодо однієї змінної. С\(z=f(x,y)\), часткові похідні\(f_x\) і\(f_y\) вимірюють миттєву швидкість зміни\(z\) при русі паралельно\(x\) - і\(y\) -осям відповідно. Як ми вимірюємо швидкість зміни в точці, коли ми не рухаємося паралельно одній з цих осей? Що робити, якщо рухатися в напрямку, заданому вектором\(\langle 2,1\rangle\)? Чи можемо ми виміряти цю швидкість змін? Відповідь, звичайно, так, ми можемо. Це тема розділу 12.6. По-перше, нам потрібно визначити, що це означає, щоб функція двох змінних була диференційованою.