1.3: Хрестовий продукт

Як ми зазначали в Розділі 1.1, немає загального способу визначення множення для векторів в$\mathbb{R}^{n}$, при цьому добуток також є вектором тієї ж розмірності, що корисно для наших цілей у цій книзі. Однак в особливому випадку$\mathbb{R}^{3}$ є продукт, який ми знайдемо корисним. Однією з мотивацій для цього продукту є розгляд наступної проблеми: з урахуванням двох векторів$\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ і$\mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ в$\mathbb{R}^{3}$, не паралельно один одному, знайти третій вектор$\mathbf{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)$, ортогональний обох$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$. Таким чином ми хочемо$\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}=0$ і$\mathbf{w} \cdot \mathbf{y}=0$, а значить, нам потрібно вирішити рівняння

$$x_1w_1 + x_2w_2+x_3w_3=0 \\ y_1w_1 + y_2w_2+y_3w_3=0 \label{1.3.1}$$

для$w_1$,$w_2$, і$w_3$. Множення першого рівняння на,$y_3$ а друге на$x_3$ дає нам

$$x_1y_3w_1 + x_2y_3w_2 + x_3y_3w_3 = 0 \\ x_3y_1w_1 + x_3y_2w_2 + x_3y_3w_3 = 0 . \label{1.3.2}$$

Віднімаючи друге рівняння з першого, ми маємо

$$(x_1y_3-x_3y_1)w_1 + (x_2y_3-x_3y_2)w_2=0 . \label{1.3.3}$$

Один розв'язок рівняння\ ref {1.3.3} задається установкою

$$w_1=x_2y_3-x_3y_2 \\ w_2=-(x_1y_3-x_3y_1) = x_3y_1-x_1y_3 . \label{1.3.4}$$

Нарешті, з першого рівняння в Equation\ ref {1.3.1}, ми тепер маємо

$$x_3w_3=-x_1(x_2y_3-x_3y_2)-x_2(x_3y_1-x_1y_3)=x_1x_3y_2-x_2x_3y_1 , \label{1.3.5}$$

з якого отримуємо розчин

$$w_3=x_1y_2-x_2y_1 . \label{1.3.6}$$

Вибір, зроблений при отриманні Equation\ ref {1.3.4} і\ ref {1.3.6}, не є унікальним, але вони є стандартними варіантами, які визначають$\mathbf{w}$ як перехресний або векторний добуток$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$.

Визначення$\PageIndex{1}$

Задані вектори$\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ і$\mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ in$\mathbb{R}^{3}$, вектор

$$\mathbf{x}\times \mathbf{y}=(x_2y_3-x_3y_2,x_3y_1-x_1y_3,x_1y_2-x_2y_1)$$

називається перехресним добутком, або векторним добутком,$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Якщо$\mathbf{x}=(1,2,3)$ і$\mathbf{y}=(1,-1,1)$, то

$$\mathbf{x} \times \mathbf{y} = (2 + 3,3 − 1,−1 − 2) = (5,2,−3) . \nonumber$$

Зауважте, що

$$\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = 5+4-9=0 \nonumber$$

і

$$\mathbf{y} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y})=5-2-3=0 , \nonumber$$

показуючи, що$\mathbf{x} \perp (\mathbf{x} \times \mathbf{y})$ і$\mathbf{y} \perp (\mathbf{x} \times \mathbf{y})$ як стверджувалося. Також цікаво відзначити, що

$$\mathbf{y}\times \mathbf{x}=(-3-2,1-3,2+1)=(-5,-2,3)=-(\mathbf{x}\times \mathbf{y}) . \nonumber$$

Це останнє обчислення проводиться в цілому для всіх векторів$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$ в$\mathbb{R}^{3}$.

Пропозиція$\PageIndex{1}$

Припустимо$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$, і$\mathbf{z}$ є векторами в$\mathbb{R}^3$ і$\alpha$ є будь-яким дійсним числом. Тоді

$$\mathbf{x}\times \mathbf{y} = -(\mathbf{y} \times \mathbf{x}) ,$$

$$\mathbf{x} \times (\mathbf{y}+\mathbf{z}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) ,$$

$$(\mathbf{x}+\mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) + (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) ,$$

$$\alpha (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\alpha \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = \mathbf{x} \times (\alpha \mathbf{y}) ,$$

і

$$\mathbf{x} \times \mathbf{0} = \mathbf{0} .$$

Перевірка цих властивостей проста і буде залишена до вправи 10. Крім того, зверніть увагу, що

$$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 ,$$

$$\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1 ,$$

і

$$\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 ;$$

тобто перехресний добуток двох стандартних базисних векторів є або іншим стандартним базисним вектором, або його негативним. Крім того, зверніть увагу, що в цих випадках перехресний продукт вказує в напрямку, який буде вказувати великий палець, якби ви обернули пальці правої руки від першого вектора до другого. Це насправді завжди вірно і призводить до того, що відоме як правило правої руки для орієнтації поперечного виробу, як показано на малюнку 1.3.1. Звідси дано два вектори$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$, ми завжди можемо визначити напрямок$\mathbf{x} \times \mathbf{y}$; до

Малюнок$\PageIndex{1}$: Правило правої руки

повністю ідентифікувати$\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ геометрично, потрібно лише знати її довжину. Тепер, якщо θ - кут між$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$, то

\ почати {вирівняти}
\ |\ mathbf {x}\ раз\ mathbf {y}\ |^ {2} =&\ ліворуч (x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2}\ праворуч) ^ {2} +\ ліворуч (x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} y_ {3} y_ {3} y_ {3} y_ {3} y_ {3} 2} +\ лівий (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}\ праворуч) ^ {2}\ номер\
=& x_ {2} ^ {2} y_ {3} ^ {2} -2 x_ {2} x_ {3} y_ {2} y_ {2} y_ {3} +x_ {3} ^ {2} y_ 2} ^ {2} +x_ {3} ^ {2} y_ {1} ^ {2} -2 x_ {1} x_ {3} y_ {1} y_ {3} +x_ {1} ^ {2} y_ {3} ^ {2} +x_ {1} ^ {2} y_ {2} ^ {2}\ номер\\
&\ квадра-2 x_ {1} x_ {2} x_ {2} y_ {1} y_ {1} y_ {2} y_ {2}} ^ {2} y_ {1} ^ {2}\ номер\
= &\ ліворуч (x_ {1} ^ {2} +x_ {2} ^ {2} +x_ {3} ^ {2}\ праворуч)\ лівий (y_ {1} ^ {2} +y_ {2} ^ {2} +y_ {3} ^ {2} ^ {3} ^ {2} ^ {2} ^ {2} +y_ {3} ^ {2} ^ {2} ліворуч (x_ {1} ^ {2} y_ {1} ^ {2} +x_ {2} ^ {2} y_ {2} ^ {2} +x_ {3} ^ {2} y_ {3} ^ {2}\ праворуч)\ номер\\
&\ quad-\ ліворуч (2 x_ {2} x_ {3} y_ {2} y_ {3} +2 x_ {1} x_ {3} y_ {1} y_ {3} +2 x_ {1} x_ {2} 1} y_ {2}\ праворуч)\ номер\
= &\ ліворуч (x_ {1} ^ {2} +x_ {2} ^ {2} +x_ {3} ^ {2} ^ {2} ^ {2} +y_ {2} ^ {2} +y_ {2} +y_ {3} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2} {1} y_ {1} +x_ {2} y_ {2} +x_ { 3} y_ {3}\ праворуч) ^ {2}\ номер\
=&\ |\ mathbf {x}\ |^ {2}\ |\ mathbf {y}\ |^ {2} - (\ mathbf {x}\ cdot\ mathbf {y}) ^ {2}\ nonnumber\
=\\ |\ mathbf f {x}\ |^ {2}\ |\ mathbf {y}\ |^ {2} - (\ |\ mathbf {x}\ |\ mathbf {y}\ |\ cos (\ тета)) ^ {2}\ номер\
=&\ |\ mathbf {x} |^ {2}\\ mathbf {y}\ |^ {2 }\ ліворуч (1-\ cos ^ {2} (\ тета)\ праворуч)\ номер\
= &\\ |\ mathbf {x}\ |^ {2}\ |\ mathbf {y}\ |^ {2}\ sin ^ {2} (\ тета). \ етикетка {}
\ end {вирівнювання}

Беручи квадратні корені, і зауваживши, що$\sin(\theta) \geq 0$ оскільки, за визначенням кута між двома векторами$0 \leq \theta \leq \pi$, ми маємо наступний результат.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Якщо θ - кут між двома векторами$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$ in$\mathbb{R}^{3}$, то

$$\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \| = \| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| \sin (\theta) . \label{1.3.17}$$

Остання теорема має кілька цікавих наслідків. Один з них походить від визнання того, що якщо ми намалюємо паралелограм з$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$ як сусідні сторони, як на малюнку 1.3.2, то висота паралелограма є$\| \mathbf{y} \| \sin(\theta)$, де θ - кут між$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$. Звідси площа паралелограма дорівнює$\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \| \sin(\theta)$, яка за рівнянням\ ref {1.3.17} є$\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \|$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Висота паралелограма дорівнює$h=\| \mathbf{y} \| \sin(\theta)$

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо$\mathbf{y}$,$\mathbf{x}$ і є двома векторами в$\mathbb{R}^{3}$. Тоді площа паралелограма, який має$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$ для суміжних сторін, дорівнює$\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \|$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Розглянемо паралелограм$P$ з вершинами в (0, 0, 0), (6, 1, 1), (8, 5, 2), і (2, 4, 1). Дві сусідні сторони задаються векторами$\mathbf{x}=(6,1,1)$ і$\mathbf{y}=(2,4,1)$ (див. Рис$P$.

$$\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \| = \|(1-4,2-6,24-2) \| = \| (-3,-4,22 \| = \sqrt{509} . \nonumber$$

Див. Рисунок 1.3.4, щоб побачити зв'язок між$\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ і$P$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Паралелограм з вершинами в (0, 0, 0), (6, 1, 1), (8, 5, 2), і (2, 4, 1)

Малюнок 1.3.4 Паралелограм з суміжними сторонами$\mathbf{x}=(6,1,1)$ і$\mathbf{y}=(2,4,1)$

Приклад$\PageIndex{3}$

Розглянемо паралелограм$P$ в площині з вершинами в (1, 1,), (3, 2), (4, 4), і (2, 3). Дві сусідні сторони задаються векторами від (1, 1) до (3, 2), тобто

$$\mathbf{x} = (3,2) - (1,1) = (2,1) , \nonumber$$

і від (1,1) до (2,3), тобто

$$\mathbf{y}=(2,3)-(1,1)=(1,2) . \nonumber$$

Див. Малюнок 1.3.5. Однак, оскільки ці вектори знаходяться в$\mathbb{R}^2$, а не в$\mathbb{R}^3$, ми не можемо обчислити їх перехресний добуток. Щоб обійти це, розглянемо вектори$\mathbf{w}=(2,1,0)$ і$\mathbf{v}=(1,2,0)$ які є суміжними сторонами того ж паралелограма розглядаються як лежать в$\mathbb{R}^3$. Тоді площа$P$ задається $$\| \mathbf{w} × \mathbf{v} \| = \| (0,0,4 − 1) \| = \| (0,0,3)\| = 3 . \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{5}$: Паралелограм з вершинами в (1, 1), (3, 2), (4, 4), і (2, 3)

Легко розширити результат попередньої теореми на обчислення обсягу паралелепіпеда в$\mathbb{R}^3$. Припустимо$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$,, і$\mathbf{z}$ є суміжними краями паралелепіпеда$P$, як показано на малюнку 1.3.6. Тоді$V$ обсяг$P$ є$\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \|$, який є площею підстави, множиться на висоту$P$, яка є довжиною проекції$\mathbf{z}$ на$\mathbf{x} \times \mathbf{y}$. Так як останній дорівнює

$$\left| \mathbf{z} \cdot \frac{\mathbf{x} \times \mathbf{y}}{\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \|} \right| , \nonumber$$

Малюнок$\PageIndex{6}$: Паралелепіпед з суміжними краями$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$, і$\mathbf{z}$

у нас є

$$V = \| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \| \left| z \cdot \frac{\mathbf{x} \times \mathbf{y}}{\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \|} \right| = \vert \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \vert .$$

Пропозиція$\PageIndex{4}$

Обсяг паралелепіпеда з прилеглими краями$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$, і$\mathbf{z}$ є$\vert \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \vert$.

Визначення$\PageIndex{2}$

Дано три вектори$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$, і$\mathbf{z}$ в$\mathbb{R}^3$, величина$\mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y})$ називається скалярним потрійним$\mathbf{x}$ добутком$\mathbf{y}$, і$\mathbf{x}$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Дозволяти$\mathbf{x}=(1,4,1)$$\mathbf{y}=(-3,1,1)$, і$\mathbf{z}=(0,1,5)$ бути суміжними краями паралелепіпеда$P$ (див. Рис. Тоді $$\mathbf{x} \times \mathbf{y} = (4-1,-3-1,1+12) = (3,-4,13) , \nonumber$$

тому

$$\mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = 0-4+65 = 61. \nonumber$$

Звідси обсяг$P$ дорівнює 61.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Паралелепіпед з сусідніми краями$\mathbf{x} = (1, 4, 1), \mathbf{y} = (−3, 1, 1), \mathbf{z} = (0, 1, 5)$

Кінцевий результат цього розділу випливає з Equation\ ref {1.3.17} і той факт, що кут між паралельними векторами дорівнює або 0, або$\pi$.

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Вектори$\mathbf{x}$ і$\mathbf{y}$ в$\mathbb{R}^3$ паралельні якщо і тільки якщо$\mathbf{x} \times \mathbf{y}=\mathbf{0}$.

Відзначимо, що, зокрема, для будь-якого вектора$\mathbf{x}$ в$\mathbb{R}^3$,$\mathbf{x} \times \mathbf{x}=\mathbf{0}$.