9.1: Конічні перерізи

Стародавні греки визнали, що цікаві форми можуть бути сформовані шляхом перетину площини з подвійним ворсовим конусом (тобто двома однаковими конусами, розміщеними кінчиком до кінчика, як показано на наступних малюнках). Оскільки ці форми формуються у вигляді розрізів коніків, вони заслужили офіційну назву «конічні секції».

Три «найцікавіших» конічних перерізу наведені у верхньому ряду малюнка$\PageIndex{1}$. Це парабола, еліпс (який включає кола) та гіпербола. У кожному з цих випадків площину не перетинають кінчики шишок (зазвичай приймають за початок).

Малюнок$\PageIndex{1}$: Конічні перетину

Коли площина містить початок, три вироджені ділянки можуть бути сформовані, як показано у нижньому рядку малюнка$\PageIndex{1}$: точка, лінія та перехрещені лінії. Ми зосередимося тут на невироджених випадках.

Хоча наведені вище геометричні конструкції визначають коніки інтуїтивно зрозумілим, візуальним способом, ці конструкції не дуже корисні при спробі алгебраїчного аналізу форм або розглядати їх як графік функції. Можна показати, що всі коніки можуть бути визначені загальним рівнянням другого ступеня.

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$

Хоча це алгебраїчне визначення має своє застосування, більшість знаходять іншу геометричну перспективу коніків більш вигідною. Кожен невироджений конічний може бути визначено як локус, або множина точок, що задовольняють певній властивості відстані. Ці властивості відстані можуть бути використані для генерації алгебраїчної формули, що дозволяє вивчати кожну конічну коніку як графік функції.

Великі параболи

Визначення 40: параболи

Парабола - це локус усіх точок, рівновіддалених від точки (званої фокусом) та лінії (званої директрисою), яка не містить фокусу.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Ілюстрація визначення параболи та встановлення алгебраїчної формули.

Малюнок$\PageIndex{1}$ ілюструє це визначення. Точка на півдорозі між фокусом і директрисою - це вершина. Лінія через фокус, перпендикулярна директрисі, є віссю симетрії, оскільки частина параболи з одного боку цієї лінії є дзеркалом - зображенням частини на протилежній стороні.

Визначення призводить нас до алгебраїчної формули параболи. $P=(x,y)$Дозволяти точка на параболу, фокус якої знаходиться на$F=(0,p)$ і чия директриса знаходиться в$y=-p$. (Зараз ми припустимо, що фокус лежить на осі$y$ -; розміщуючи$p$ одиниці фокусування над віссю$x$ - і$p$ одиниці директриси нижче цієї осі, вершина буде на$(0,0)$.)

Використовуємо формулу відстані, щоб знайти відстань$d_1$ між$F$ і$P$:

$$d_1=\sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}.$$

Відстань$d_2$ від$P$ до директриси більш просте:

$$d_2=y-(-p) = y+p.$$

Ці дві відстані рівні. Налаштування$d_1=d_2$, ми можемо вирішити для з$y$ точки зору$x$:

\ [\ почати {align*}
d_1&= d_2\\
\ sqrt {x^2+ (y-p) ^2} &= y+p\\
\ текст {Тепер квадрат з обох сторін.} &\\
x ^ 2+ (y-p) ^2 &= (y+p) ^2\
x ^ 2+y^2-2yp+p ^ 2 &= y^2+yp+p ^ 2\\
x^2 &= 4yp\\
y&=\ frac {1} {4p} x^2.
\ end {вирівнювати*}\]

Геометричне визначення параболи привело нас до знайомої квадратичної функції, граф якої є параболою з вершиною біля початку. Коли ми дозволяємо вершині не бути в$(0,0)$, ми отримуємо наступну стандартну форму параболи.

ключова ідея 33: загальне рівняння параболи

1. Вертикальна вісь симетрії: Рівняння параболи з вершиною at$(h,k)$ та Directrix$y=k-p$ у стандартній формі $$y=\frac{1}{4p}(x-h)^2+k.$$ є Фокус на$(h,k+p)$.
2. Горизонтальна вісь симетрії: Рівняння параболи з вершиною at$(h,k)$ та Directrix$x=h-p$ у стандартній формі $$x=\frac{1}{4p}(y-k)^2+h.$$ є Фокус на$(h+p,k)$.

$p$Примітка: не обов'язково позитивне число.

Приклад$\PageIndex{1}$: Finding the equation of a parabola

Дайте рівняння параболи з фокусом в$(1,2)$ і директрисою в$y=3$.

Рішення

Вершина розташована на півдорозі між фокусом і директрисою, так що$(h,k) = (1,2.5)$. Це дає$p=-0.5$. Використовуючи Key Idea 33, ми маємо рівняння параболи як

$$y=\frac{1}{4(-0.5)}(x-1)^2+2.5 = -\frac12(x-1)^2+2.5.$$

Парабола намальована на рис$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Парабола, описана в прикладі 9.1.1

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding the focus and directrix of a parabola

Знайдіть фокус і директрису параболи$x=\frac18y^2-y+1$. Точка$(7,12)$ лежить на графіку цієї параболи; переконайтеся, що вона рівновіддалена від фокуса і директриси.

Рішення

Нам потрібно поставити рівняння параболи в загальному вигляді. Для цього потрібно виконати квадрат:

\ [\ почати {вирівнювати*}
х &=\ frac18y^2-y+1\ &=\ фрак18\ великий (y^2-8y+8\ великий)\\
&=\ фрак18\ великий (y^2-8y+16 -16+8\ великий)\\
&=\ frac18\ великий ((y-4) ^2 - 8\ великий)\\ &=\ фрак18\ великий ((y-4) ^2 - 8\ великий)\\
&=\ фрак18 (y-4) ^2 - 8\ великий)\\
&=\ фрак18 (y-4) ^2 - 8\ великий)\\ &=) ^2 -1.
\ end {вирівнювати*}\]

Звідси вершина розташовується за адресою$(-1,4)$. У нас є$\frac18=\frac1{4p}$, так$p=2$. Робимо висновок, що фокус розташований на,$(1,4)$ а директриса є$x=-3$. Парабола зображена на малюнку$\PageIndex{4}$, разом з її фокусом та директрисою.

Точка$(7,12)$ лежить на графіку і є$7-(-3)=10$ одиницями з директриси. Відстань від$(7,12)$ до вогнища становить:

$$\sqrt{(7-1)^2 + (12-4)^2} = \sqrt{100}=10.$$

Дійсно, точка на параболі рівновіддалена від фокуса і директриси.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Парабола, описана в прикладі$\PageIndex{2}$. Задано відстані від точки на параболі до фокуса і директриси.

Світловідбиваюча властивість

Однією з захоплюючих речей про невироджених конічних перерізах є їх відбиваючі властивості. Параболи мають наступну відбивну властивість:

Будь-який промінь, що виходить від вогнища, який перетинає параболу, відбивається вздовж лінії, перпендикулярної директрисі.

Це проілюстровано на малюнку$\PageIndex{5}$. Наступна теорема стверджує це більш суворо.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Ілюстрація світловідбиваючої властивості параболи.

ТЕОРЕМА 79: ВІДБИВАЮЧА ВЛАСТИВІСТЬ ПАРАБОЛИ

$P$Дозволяти бути точкою на параболу. Дотична лінія до параболи на$P$ робить рівні кути з наступними двома лініями:

1. Рядок, що містить$P$ і фокус$F$, і
2. Лінія перпендикулярна директрисі наскрізь$P$.

Через це відбиває властивості параболоїди (3D аналог парабол) роблять для ліхтаря корисні відбивачі, так як світло від лампочки, ідеально розташованої у вогнища, відбивається уздовж паралельних променів. Супутникові антени також мають параболоїдні форми. Сигнали, що надходять від супутників, ефективно наближаються до тарілки по паралельних Потім блюдо фокусує ці промені у фокусі, де знаходиться датчик.

еліпси

Визначення 41: еліпс

Еліпс - це місце розташування всіх точок, сума відстаней від двох фіксованих точок, кожна з яких є фокусом еліпса, є постійною.

Простий спосіб візуалізувати цю конструкцію еліпса - закріпити обидва кінці рядка до дошки. Шпильки стають вогнищами. Щільно притримуючи олівець до нитки поміщає олівець на еліпс; сума відстаней від олівця до шпильок постійна: довжина струни. Див$\PageIndex{6}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{6}$: Ілюстрація побудови еліпса шпильками, олівцем і струною.

Ми знову можемо знайти алгебраїчне рівняння для еліпса, використовуючи це геометричне визначення. Нехай вогнища розташовуються уздовж$x$ - осі,$c$ одиниці від початку. Нехай ці вогнища будуть$F_1 = (-c,0)$ позначені як і$F_2=(c,0)$. $P=(x,y)$Дозволяти точка на еліпсі. Сума відстаней від$F_1$ to$P$ ($d_1$) і$F_2$ from to$P$ ($d_2$) є постійною$d$. Тобто,$d_1+d_2=d$. Використовуючи формулу відстані, ми маємо

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = d.$$

Використання достатньої кількості алгебри може отримати наступне рівняння еліпса (зверніть увагу, що рівняння є неявно визначеною функцією; воно повинно бути, оскільки еліпс не вдається перевірити вертикальну лінію):

$$\frac{x^2}{\left(\frac d2\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac d2\right)^2-c^2} = 1.$$

Це не особливо висвітлює, але зробивши підміну$a=d/2$ і$b=\sqrt{a^2-c^2}$, ми можемо переписати вищевказане рівняння як

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Такий вибір$a$ і$b$ не без підстав; як показано на малюнку$\PageIndex{7}$, значення$a$ і$b$ мають геометричне значення на графіку еліпса.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Позначення значущих ознак еліпса.

Загалом, два осередки еліпса лежать на великій осі еліпса, а середина відрізка, що з'єднує два вогнища, є центром. Велика вісь перетинає еліпс у двох точках, кожна з яких є вершиною. Відрізок лінії через центр і перпендикулярно до великої осі є другорядною віссю. «Постійна сума відстаней», що визначає еліпс, - це довжина великої осі, тобто$2a$.

Дозвіл для зсуву еліпса дає наступні стандартні рівняння.

ключова ідея 34: стандартне рівняння еліпса

Рівняння еліпса з центром$(h,k)$ з великою віссю довжини$2a$ і малою віссю довжини$2b$ в стандартному вигляді є:

1. Горизонтальна велика вісь:$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.$
2. Вертикальна велика вісь:$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1.$

Вогнища лежать уздовж великої осі,$c$ одиниць від центру, де$c^2=a^2-b^2$.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding the equation of an ellipse

Знайдіть загальне рівняння еліпса, зображене на малюнку$\PageIndex{8}$.

Рішення

Центр розташований за адресою$(-3,1)$. Відстань від центру до вершини становить 5 одиниць, отже$a=5$. Мала вісь, здається, має довжину 4, так що$b=2$. Таким чином, рівняння еліпса

$$\frac{(x+3)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{25} = 1.$$

Малюнок$\PageIndex{8}$: Еліпс, використаний у прикладі$\PageIndex{3}$.

Приклад$\PageIndex{4}$: Graphing an ellipse

Графік еліпса, визначеного$4x^2+9y^2-8x-36y=-4$.

Рішення
Це просто скласти графік еліпса, як тільки він знаходиться в стандартній формі. Для того, щоб поставити дане рівняння в стандартній формі, ми повинні заповнити квадрат як$x$ долями$y$ і. Спочатку перепишемо рівняння шляхом перегрупування:

$$4x^2+9y^2-8x-36y=-4 \quad \Rightarrow \quad (4x^2-8x) + (9y^2-36y) = -4.$$

Тепер завершуємо квадрати.

\ [\ почати {вирівнювати*}
(4x^2-8x) + (9y^2-36y) &=
-4\\ 4 (х ^ 2-2x) + 9 (y^2-4y) &=
-4\\ 4 (x^2-2x +1 - 1) + 9 (y^2-4y+4-4) &= - 4\
4\ великий ((x-1) ^2-1\ великий) + 9\ великий ((y-2) ^2-4\ великий) &= -4\\
4 (x-1) ^2 -4 + 9 (y-2) ^2-36 &= -4\\
4 (x-1) ^2 + 9 (y-2) ^2 &= 36\
\ гідророзриву {(x-1) ^2} {9} +\ гідророзриву {(y-2) ^2} {4} &= 1.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми бачимо, що центр еліпса знаходиться на$(1,2)$. У нас є$a=3$ і$b=2$; велика вісь горизонтальна, тому вершини розташовані в$(-2,2)$ і$(4,2)$. Знаходимо$c=\sqrt{9-4} = \sqrt{5}\approx 2.24.$ осередки розташовані уздовж великої осі, приблизно$2.24$ одиниць від центру, в$(1\pm 2.24,2)$. Це все графічно на малюнку$\PageIndex{9}$.

Малюнок$\PageIndex{9}$: Графік еліпса у прикладі$\PageIndex{4}$.

Ексцентриситет

Коли$a=b$, у нас є коло. Загальне рівняння стає

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \quad \Rightarrow (x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2,$$

знайоме рівняння окружності по центру$(h,k)$ з радіусом$a$. З тих пір$a=b$,$c = \sqrt{a^2-b^2}=0$. Коло має «два» вогнища, але вони лежать на одній точці, центрі кола.

Розглянемо Малюнок$\PageIndex{1}$, де зображено кілька еліпсів$a=1$. У (а), у нас є$c=0$ і еліпс - це коло. У$c$ міру зростання отримані еліпси виглядають все менш круглими. Мірою цієї «неокружності» є ексцентриситет.

Малюнок$\PageIndex{10}$: Розуміння ексцентриситету еліпса.

Визначення 42: ексцентриситет еліпса

Ексцентриситет$e$ еліпса є$e=\frac{c}{a}$.

Ексцентриситет кола дорівнює 0; тобто коло не має «неокружності». У міру$c$$e$ підходів$a$ наближається до 1, породжуючи дуже некруглий еліпс, як показано на малюнку$\PageIndex{10d}$.

Довго передбачалося, що планети мають кругові орбіти. Відомо, що це невірно; орбіти еліптичні. Земля має ексцентриситет$0.0167$ — вона має майже кругову орбіту. Орбіта Меркурія найбільш ексцентрична, с$e=0.2056$. (Ексцентриситет Плутона більший, на$e=0.248$, найбільший з усіх відомих в даний час карликових планет.) Планета з найбільш круговою орбітою - Венера, с$e=0.0068$. Місяць Землі має ексцентриситет$e=0.0549$, також дуже кругової.

Світловідбиваюча властивість

Еліпс також володіє цікавим відображає властивістю. Будь-який промінь, що виходить з одного фокуса еліпса, відбивається від еліпса вздовж лінії через інший фокус, як показано на малюнку$\PageIndex{11}$. Це властивість дано формально в наступній теоремі.

Малюнок$\PageIndex{11}$: Ілюстрація відображає властивість еліпса.

теорема 80: відбивна властивість еліпса

$P$Дозволяти точка на еліпсі з вогнищами$F_1$ і$F_2$. Дотична лінія до еліпса$P$ робить рівні кути з наступними двома лініями:

1. Лінія наскрізь$F_1$ і$P$, і
2. Лінія наскрізна$F_2$ і$P$.

Це відображає властивість корисно в оптиці і є основою явищ, що переживаються в шепочних залах.

Гіперболи

Визначення гіперболи дуже схоже на визначення еліпса; ми по суті просто міняємо слово «сума» на «різниця».

Визначення 43: гіпербола

Гіпербола - це локус всіх точок, де абсолютне значення різниці відстаней від двох нерухомих точок, кожна з яких є вогнищем гіперболи, постійна.

У нас немає зручного способу візуалізації побудови гіперболи, як ми це робили для еліпса. Геометричне визначення дозволяє нам знайти алгебраїчний вираз, який описує його. Корисно буде спочатку визначитися з деякими термінами.

Два вогнища лежать на поперечній осі гіперболи; середина відрізка лінії, що з'єднує вогнища, є центром гіперболи. Поперечна вісь перетинає гіперболу в двох точках, кожна - вершина гіперболи. Лінія через центр і перпендикулярна поперечній осі є сполученою віссю. Це проілюстровано на малюнку$\PageIndex{1}$. Легко показати, що постійна різниця відстаней, що використовується при визначенні гіперболи, - це відстань між вершинами, т. Е$2a$.

Малюнок$\PageIndex{12}$: Позначення значущих ознак гіперболи.

ключова ідея 35 стандартне рівняння гіперболи

Рівняння гіперболи по центру$(h,k)$ в стандартній формі таке:

1. Горизонтальна поперечна вісь:$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1.$
2. Вертикальна поперечна вісь:$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2} = 1.$

Вершини розташовуються$a$ одиницями від центру, а вогнища розташовуються$c$ одиницями від центру, де$c^2 = a^2+b^2$.

Графічні гіперболи

Розглянемо гіперболу$\frac{x^2}9-\frac{y^2}1 = 1$. Вирішуючи для$y$, знаходимо$y=\pm\sqrt{x^2/9-1}$. У$x$ міру того, як зростає, "$- 1$" частина рівняння для$y$ стає менш значущою і$y\approx \pm\sqrt{x^2/9} = \pm x/3$. Тобто, коли$x$ стає великим, графік гіперболи дуже схожий на лінії$y=\pm x/3$. Ці лінії є асимптотами гіперболи, як показано на малюнку$\PageIndex{13}$.

Малюнок$\PageIndex{13}$: Графік гіперболи$\frac{x^2}9-\frac{y^2}1 = 1$ разом з її асимптотами,$y=\pm x/3$.

Це цінний інструмент в ескізному виконанні. З огляду на рівняння гіперболи в загальному вигляді, намалюйте прямокутник по центру$(h,k)$ зі сторонами довжини,$2a$ паралельними поперечній осі, і сторонами довжини,$2b$ паралельними осі сполученої. (Див.$\PageIndex{14}$ Рис. Приклад з горизонтальною поперечною віссю.) Діагоналі прямокутника лежать на асимптотах.

Малюнок$\PageIndex{14}$: Використання асимптотів гіперболи як графічного засобу.

Ці лінії проходять наскрізь$(h,k)$. Коли поперечна вісь горизонтальна, то укоси є$\pm b/a$; коли поперечна вісь вертикальна, їх нахили$\pm a/b$. Це дає рівняння:

Приклад$\PageIndex{5}$: Graphing a hyperbola

Намалюйте гіперболу, задану$\frac{(y-2)^2}{25}-\frac{(x-1)^2}{4}=1.$

Рішення

Гіпербола зосереджена в$(1,2)$;$a=5$ і$b=2$. На малюнку$\PageIndex{15}$ ми малюємо заданий прямокутник з центром$(1,2)$ разом з асимптотами, визначеними його діагоналями. Гіпербола має вертикальну поперечну вісь, тому вершини розташовуються при$(1,7)$ і$(1,-3)$. Цього достатньо, щоб зробити хороший ескіз.

Малюнок$\PageIndex{15}$: Графік гіперболи в прикладі$\PageIndex{5}$.

Знаходимо також розташування вогнищ: як$c^2= a^2+b^2$, маємо$c=\sqrt{29}\approx 5.4$. При цьому вогнища розташовуються на$(1,2\pm 5.4)$ так, як показано на малюнку$\PageIndex{15}$.

Приклад$\PageIndex{6}$: Graphing a hyperbola

Намалюйте гіперболу, задану$9x^2-y^2+2y=10.$

Рішення

Ми повинні заповнити квадрат, щоб поставити рівняння в загальному вигляді. (Ми визнаємо це гіперболою, оскільки це загальне квадратне рівняння, а$x^2$ члени та$y^2$ мають протилежні ознаки.)

\ [\ почати {вирівнювати*}
9x^2-y^2y &= 10\\
9x^2- (y^2-2y) &= 10\\
9х^2 - (y^2-2y+1-1) &= 10\\
9x^2 -\ великий ((y-1) ^2-1\ великий) &= 10\\
9x^2 - (y-1) ^2 = 9\\
x^2 -\ розрив {(y-1) ^2} {9} &=1
\ end {вирівнювати*}\]

Малюнок$\PageIndex{16}$: Графік гіперболи в прикладі$\PageIndex{6}$.

Бачимо гіперболу по центру$(0,1)$, з горизонтальною поперечною віссю, де$a=1$ і$b=3$. Відповідний прямокутник намальовано на малюнку$\PageIndex{16}$ разом з асимптотами гіперболи. Вершини розташовані за адресою$(\pm 1,1)$. У нас є$c=\sqrt{10}\approx 3.2$, тому вогнища розташовуються у$(\pm 3.2,1)$ так, як показано на малюнку.

Ексцентриситет

Визначення 44: ЕКСЦЕНТРИСИТЕТ ГІПЕРБОЛИ

Ексцентриситет гіперболи є$e=\frac ca$.

Зауважте, що це визначення ексцентриситету, яке використовується для еліпса. Коли$c$ близька за значенням до$a$ (тобто$e\approx 1$), гіпербола дуже вузька (виглядає майже як схрещені лінії). $\PageIndex{17}$На малюнку показані гіперболи, зосереджені на початку с$a=1$. Графік в (а) має$c=1.05$, даючи ексцентриситет$e=1.05$, який близький до 1. У$c$ міру збільшення гіпербола розширюється і починає виглядати як паралельні лінії, як показано на малюнку$\PageIndex{17d}$.

Малюнок$\PageIndex{17}$: Розуміння ексцентриситету гіперболи.

Світловідбиваюча властивість

Гіперболи мають схожу відбивну властивість з еліпсами. Однак у випадку гіперболи промінь, що виходить від фокуса, який перетинає гіперболу, відбивається вздовж лінії, що містить інший фокус, але віддаляється від цього фокусу. Це проілюстровано на малюнку$\PageIndex{19}$. Гіперболічні дзеркала зазвичай використовуються в телескопах через це відбиває властивості. Вона викладена формально в наступній теоремі.

ТЕОРЕМА 81: ВІДБИВАЮЧА ВЛАСТИВІСТЬ ГІПЕРБОЛ

$P$Дозволяти точка на гіперболу з вогнищами$F_1$ і$F_2$. Дотична лінія до гіперболи на$P$ робить рівні кути з наступними двома лініями:

1. Лінія наскрізь$F_1$ і$P$, і
2. Лінія наскрізна$F_2$ і$P$.

Визначення місцезнаходження

Визначення місця проведення відомого події має безліч практичних застосувань (розташування епіцентру землетрусу, місця аварії літака, положення людини, що говорить у великому приміщенні, і т.д.).

Для визначення місця епіцентру землетрусу сейсмологи використовують трилатерацію (не плутати з тріангуляцією). Сейсмограф дозволяє визначити, наскільки далеко знаходився епіцентр, за допомогою трьох окремих показань можна наблизити розташування епіцентру.

Ключем до цього методу є знання відстаней. Що робити, якщо цієї інформації немає? Розглянемо три мікрофони на позиціях$A$,$B$ і$C$ які всі записують шум (голос людини, вибух і т.д.), створений в невідомому місці$D$. Мікрофон не «знає», коли був створений звук, тільки коли звук був виявлений. Як можна визначити місце розташування в такій ситуації?

Малюнок$\PageIndex{19}$: Ілюстрація відображає властивість гіперболи.

Якщо кожне місце має годинник, встановлений на один і той же час, гіперболи можуть бути використані для визначення місця розташування. Припустимо, мікрофон в положенні$A$ записує звук рівно о 12:00, місце$B$ записує час рівно через 1 секунду, а локація$C$ записує шум рівно через 2 секунди після цього. Нас цікавить різниця в часі. Так як швидкість звуку становить приблизно 340 м/с, можна швидко зробити висновок, що звук був створений на 340 метрів ближче до положення$A$, ніж положення$B$. Якщо$A$ і$B$ є відомим відстанню один від одного (як показано на малюнку$\PageIndex{1a}$), то можна визначити гіперболу, на якій$D$ повинна лежати.

«Різниця відстаней» дорівнює 340; це також відстань між вершинами гіперболи. Отже, ми знаємо$2a= 340$. $A$Положення і$B$ лежать на вогнищах, так$2c=1000$. З цього ми можемо знайти$b\approx 470$ і можемо накидати гіперболу, наведену на малюнку$\PageIndex{19b}$. Ми дбаємо лише про найближчу до сторони$A$. (Чому?)

Ми також можемо знайти гіперболу, визначену позиціями$B$ і$C$. У цьому випадку,$2a = 680$ як звук пройшов зайві 2 секунди, щоб дістатися до$C$. У нас все ще є$2c=1000$, центруючи цю гіперболу на$(-500,500)$. Знаходимо$b\approx 367$. Ця гіпербола намальована на малюнку$\PageIndex{1c}$. Точка перетину двох графіків - це місце розташування звуку, приблизно$(188,-222.5)$.

Малюнок$\PageIndex{18}$: Використання гіпербол при виявленні місцезнаходження.

У цій главі досліджуються криві на площині, зокрема криві, які не можуть бути описані функціями форми$y=f(x)$. У цьому розділі ми дізналися про еліпси та гіперболи, які визначені неявно, а не явно. У наступних розділах ми дізнаємося абсолютно нові способи опису кривих в площині, використовуючи параметричні рівняння і полярні координати, потім вивчимо ці криві за допомогою методів обчислення.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribApexCalc