2.1: Послідовності

Визначення

$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$Дозволяти послідовність дійсних чисел. Ми говоримо$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться, і має межу,$L,$ якщо для кожного дійсного числа$\epsilon>0$ існує ціле число$N$ таке, що

$$\left|a_{i}-L\right|<\epsilon \text { whenever } i>N.$$

Ми говоримо послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$, яка не сходиться, розходиться.

Визначення: неспадні та незростаючі послідовності

• Ми говоримо, що послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ не зменшується, якщо$a_{i+1} \geq a_{i}$ для кожного$i \in I$ і збільшується, якщо$a_{i+1}>a_{i}$ для кожного$i \in I$.
• Ми говоримо, що$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ послідовність не збільшується якщо$a_{i+1} \leq a_{i}$ для кожного$i \in I$ і зменшується, якщо$a_{i+1}<a_{i}$ для кожного$i \in I$.

Визначення: обмежені послідовності

Ми говоримо, що$A \subset \mathbb{R}$ множина обмежена, якщо існує дійсне число,$M$ таке, що$|a| \leq M$ для кожного$a \in A .$ Ми говоримо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ послідовність дійсних чисел обмежена, якщо існує дійсне число$M$ таке, що$\left|a_{i}\right| \leq M$ для всіх$i \in I .$

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ є неспадною, обмеженою послідовністю дійсних чисел, то$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться.

Доказ

Оскільки$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ обмежена, то набір$A=\left\{a_{i}: i \in I\right\}$ має супремум. Нехай$L=\sup A .$ Для будь-якого має$\epsilon>0,$ існувати$N \in I$ таке, що$a_{N}>L-\epsilon$ (або інакше$L-\epsilon$ буде верхня межа$A$, для якої менше$L$). Але потім

$$L-\epsilon<a_{N} \leq a_{i} \leq L<L+\epsilon$$

за все$i \geq N,$, що є,

$$\left|a_{i}-L\right|<\epsilon$$

для всіх$i \geq N .$ Таким чином$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться і

$$L=\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}.$$

Q.E.D.

З попередньої теореми ми робимо висновок, що кожна неспадна послідовність дійсних чисел або має межу, або не обмежена, тобто необмежена.

Вправа$\PageIndex{1}$

Показати, що незростаюча обмежена послідовність дійсних чисел повинна сходитися.

Визначення

$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$Дозволяти послідовність дійсних чисел. Якщо для кожного дійсного числа$M$ існує ціле число$N$ таке, що$a_{i}>M$ всякий раз,$i>N,$ коли ми говоримо, послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ розходиться до позитивної нескінченності, позначається

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty.$$

Аналогічно, якщо для кожного дійсного числа$M$ існує ціле число$N$ таке, що$a_{i}<M$ всякий раз$i>N,$, коли ми говоримо, послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ розходиться до негативної нескінченності, позначається

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=-\infty.$$

Вправа$\PageIndex{2}$

Показати, що неспадна послідовність дійсних чисел або сходиться, або розходиться до позитивної нескінченності.

Вправа$\PageIndex{3}$

Показати, що незростаюча послідовність дійсних чисел або сходиться, або розходиться до негативної нескінченності.

2.1.1 Розширені дійсні числа

Зручно додавати символи$+\infty$ і$-\infty$ до дійсних чисел$\mathbb{R} .$ Хоча ні$+\infty$ ні$-\infty$ дійсне число, ми погоджуємося з наступними операційними умовностями:

1. Задано будь-яке дійсне число$r,-\infty<r<\infty$.

2. Для будь-якого дійсного числа$r$

$$r+(+\infty)=r-(-\infty)=r+\infty=+\infty,$$

$$r+(-\infty)=r-(+\infty)=r-\infty=-\infty,$$

і

$$\frac{r}{+\infty}=\frac{r}{-\infty}=0.$$

3. Для будь-якого дійсного числа$r>0, r \cdot(+\infty)=+\infty$ і$r \cdot(-\infty)=-\infty$.

4. Для будь-якого дійсного числа$r<0, r \cdot(+\infty)=-\infty$ і$r \cdot(-\infty)=+\infty$.

5. Якщо$a_{i}=-\infty, i=1,2,3, \ldots,$ тоді$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=-\infty$.

6. Якщо$a_{i}=+\infty, i=1,2,3, \ldots,$ тоді$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty$.

Зверніть увагу, що з порядком відношення, визначеного таким чином,$+\infty$ є верхнім

bound і$-\infty$ є нижньою межею для будь-якого набору$A \subset \mathbb{R}$. Таким чином, якщо$A \subset \mathbb{R}$ не має скінченної верхньої межі, то$\sup A=+\infty ;$ аналогічно, якщо$A \subset \mathbb{R}$ не має скінченної нижньої межі, то inf$A=-\infty$.

При роботі з розширеними дійсними числами ми називаємо елементи$\mathbb{R}$ як скінченних дійсних чисел і елементів$+\infty$ і$-\infty$ як нескінченних дійсних чисел.

Вправа$\PageIndex{4}$

Чи утворюють розширені дійсні числа поле?

2.1.2 Обмеження покращеного та нижчого

Визначення

$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$Дозволяти послідовність дійсних чисел і, для кожного$i \in I,$ нехай$u_{i}=\sup \left\{a_{j}: j \geq i\right\} .$ якщо$u_{i}=+\infty$ для кожного$i \in I,$ ми дозволяємо

$$\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty;$$

в іншому випадку ми дозволимо

$$\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\inf \left\{u_{i}: i \in I\right\}.$$

У будь-якому випадку ми$\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ називаємо граничну нижчу послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Дано послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I},$ визначення$\left\{u_{i}\right\}_{i \in I}$ і$\left\{l_{i}\right\}_{i \in I}$ як в попередніх двох визначеннях. Покажіть, що

$$\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} u_{i}$$

і

$$\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} l_{i}.$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть$\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}$ і$\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}$ для послідовностей,$\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ як де оштрафовано нижче.

а.$a_{i}=(-1)^{i}$

б.$a_{i}=i$

c.$a_{i}=2^{-i}$

д.$a_{i}=\frac{1}{i}$

Наступне судження часто називають теоремою стискання.

Пропозиція$\PageIndex{2}$

Припустимо$\left\{c_{k}\right\}_{k \in K}$,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I},\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ і є послідовності дійсних чисел, для яких існує ціле число$N$ таке, що$a_{i} \leq c_{i} \leq b_{i}$ всякий раз, коли$i>N .$ If

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i},$$

потім

$$\lim _{i \rightarrow \infty} c_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.$$

Доказ

Нехай$L=\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i} .$ Припустимо$L$, є кінцевим. Дано$\epsilon>0,$ існує ціле число$M$ таке, що

$$\left|a_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{3}$$

і

$$\left|b_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{3}$$

всякий раз, коли$i>M .$ тоді

$$\left|a_{i}-b_{i}\right| \leq\left|a_{i}-L\right|+\left|L-b_{i}\right|<\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\frac{2 \epsilon}{3}$$

всякий раз, коли$i>M .$$K$ Дозволяти бути більшим$N$ і$M .$ Тоді

$$\left|c_{i}-L\right| \leq\left|c_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-L\right| \leq\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-L\right|<\frac{2 \epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$

всякий$i>K .$ раз$c_{i}=L .$, коли$L$ This lim Результат, коли нескінченний, є наслідком наступних двох вправ. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо$\left\{c_{k}\right\}_{k \in K}$,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ і є послідовності, для яких існує ціле число$N$ таке, що$a_{i} \leq c_{i}$ всякий раз$i>N .$ Показати, що якщо$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=+\infty,$ потім$\lim _{i \rightarrow \infty} c_{i}=+\infty .$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо$\left\{c_{k}\right\}_{k \in K}$,$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ і є послідовності, для яких існує ціле число$N$ таке, що$c_{i} \leq b_{i}$ всякий раз$i>N .$ Показати, що якщо$\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}=-\infty,$ потім$\lim _{i \rightarrow \infty} c_{i}=-\infty .$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ і є послідовності дійсних чисел з$a_{i} \leq b_{i}$ для всіх$i$ більше, ніж деяке ціле$N .$ Припускаючи, що обидві послідовності сходяться, показати, що

$$\lim _{\mathfrak{i} \rightarrow \infty} a_{i} \leq \lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Покажіть, що для будь-якої послідовності$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$,

$$\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i} \leq \limsup _{i \rightarrow \infty} n_{i}.$$

Пропозиція$\PageIndex{3}$

Припустимо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ це послідовність, для якої

$$\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}.$$

Тоді

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}.$$

Доказ

Нехай$u_{i}=\sup \left\{a_{k}: k \geq i\right\}$ і$l_{i}=\inf \left\{a_{k}: k \geq i\right\} .$ тоді$l_{i} \leq a_{i} \leq u_{i}$ для всіх$i \in I .$ зараз

$$\lim _{i \rightarrow \infty} l_{i}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} u_{i},$$

тому результат випливає з теореми стискання. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{11}$

Припустимо,$u$ дійсне число таке, що$u \geq 0$ і$u<\epsilon$ для будь-якого дійсного числа$\epsilon>0 .$ Показати, що$u=0$.

2.1.3 Повнота

Визначення

Припустимо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ це послідовність в$\mathbb{R} .$ Ми$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ називаємо послідовність Коші, якщо для кожного$\epsilon>0$ існує ціле число$N$ таке, що

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon$$

всякий раз, коли$i>N$ і$j>N$.

Теорема$\PageIndex{4}$

Припустимо,$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ це послідовність Коші в$\mathbb{R} .$ Тоді$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться до межі$L \in \mathbb{R}$.

Доказ

Нехай$u_{i}=\sup \left\{a_{k}: k \geq i\right\}$ і$l_{i}=\inf \left\{a_{k}: k \geq i\right\} .$ дано всяке$\epsilon>0$, існує$N \in \mathbb{Z}$ таке, що$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon$ для всіх$i, j>N .$ Таким чином, для всіх$i, j>N$,$a_{i}<a_{j}+\epsilon_{1}$ і так

$$a_{i} \leq \inf \left\{a_{j}+\epsilon: j \geq i\right\}=l_{i}+\epsilon$$

для всіх$i>N .$ Since$\left\{l_{i}\right\}_{i \in I}$ є неспадаючою послідовністю,

$$a_{i} \leq \sup \left\{l_{i}+\epsilon: i \in I\right\}=\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}+\epsilon$$

для всіх$i>N .$ Звідси

$$u_{i}=\sup \left\{a_{k}: k \geq i\right\} \leq \liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}+\epsilon$$

для всіх$i>N .$ Таким чином

$$\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\inf \left\{u_{i}: i \in I\right\} \leq \liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}+\epsilon.$$

З$\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i} \leq \limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i},$ цього випливає, що

$$\left|\limsup _{i \rightarrow \infty} a_{i}-\liminf _{i \rightarrow \infty} a_{i}\right| \leq \epsilon.$$

оскільки це вірно для кожного, що$\epsilon>0,$ ми маємо,$\lim \sup _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} \inf a_{i},$ і тому$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться за пропозицією$2.1 .3 .$$\quad$ Q.E.D.

Як наслідок попередньої теореми ми говоримо, що$\mathbb{R}$ це повний метричний простір.

Вправа$\PageIndex{12}$

Припустимо$A \subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset,$ і$s=\sup A .$ Показати, що існує послідовність$\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ з$a_{i} \in A$ таким, що$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=s$.

Вправа$\PageIndex{13}$

Дано дійсне число$x \geq 0,$ показують, що існує дійсне число$s \geq 0$ таке, що$s^{2}=x$.

Даємо$\sqrt{x}$ позначити число$s$ в попередній вправі, квадратний корінь$x$.

2.1.4 Деякі основні результати про послідовності

Пропозиція$\PageIndex{5}$

Припустимо,$\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}$ що збіжна послідовність в$\mathbb{R}, \alpha$ є дійсним числом, а$L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i} .$ потім$\left\{\alpha x_{i}\right\}_{i \in I}$ послідовність переходить і

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \alpha x_{i}=\alpha L.$$

Доказ

Якщо$\alpha=0,$ потім$\left\{\alpha x_{i}\right\}_{i \in I}$ явно сходиться до$0 .$ Так припустимо,$\alpha \neq 0 .$ задано$\epsilon>0,$ вибрати ціле число$N$ таке, що

$$\left|x_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{|\alpha|}$$

всякий раз$i>N .$, коли тоді для будь-якого у$i>N$ нас є

$$\left|\alpha x_{i}-\alpha L\right|=|\alpha|\left|x_{i}-L\right|<|\alpha| \frac{\epsilon}{|\alpha|}=\epsilon.$$

Таким чином$\lim _{i \rightarrow \infty} \alpha x_{i}=\alpha L$. $\quad$Q.E.D.

Пропозиція$\PageIndex{6}$

Припустимо$\left\{y_{i}\right\}_{i \in I}$,$\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}$ і є збіжними послідовностями в$\mathbb{R}$ с,$L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}$ а$M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i} .$ потім послідовність$\left\{x_{i}+y_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться і

$$\lim _{i \rightarrow \infty}\left(x_{i}+y_{i}\right)=L+M.$$

Вправа$\PageIndex{14}$

Доведіть попередню пропозицію.

Пропозиція$\PageIndex{7}$

Припустимо$\left\{y_{i}\right\}_{i \in I}$,$\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}$ і є збіжними послідовностями в$\mathbb{R}$ с,$L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}$ а$M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i} .$ потім послідовність$\left\{x_{i} y_{i}\right\}_{i \in I}$ сходиться і

$$\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i} y_{i}=L M.$$

Вправа$\PageIndex{15}$

Доведіть попередню пропозицію.

Пропозиція$\PageIndex{8}$

Припустимо$\left\{y_{i}\right\}_{i \in I}$,$\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}$ і є збіжними послідовностями в$\mathbb{R}$ з$L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}, M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i},$ і$y_{i} \neq 0$ для всіх$i \in I .$ Якщо$M \neq 0,$ тоді послідовність$\left\{\frac{x_{i}}{y_{i}}\right\}_{i \in I}$ сходиться і

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{x_{i}}{y_{i}}=\frac{L}{M}.$$

Доказ

Так як$M \neq 0$ і$M=\lim _{i \rightarrow \infty} y_{i},$ ми можемо вибрати ціле число$N$ таке, що

$$\left|y_{i}\right|>\frac{|M|}{2}$$

всякий раз, коли$i>N .$$B$ Дозволяти бути верхньою$\left\{\left|x_{i}\right|: i \in I\right\} \cup\left\{\left|y_{i}\right|: i \in I\right\} .$ межею для заданого будь-якого$\epsilon>0,$ ми можемо вибрати ціле число$P$ таке, що

$$\left|x_{i}-L\right|<\frac{M^{2} \epsilon}{4 B}$$

і

$$\left|y_{i}-M\right|<\frac{M^{2} \epsilon}{4 B}$$

всякий раз, коли$i>P .$ Дозвольте$K$ бути більшим,$N$ а$P .$ потім, для будь-якого, що$i>K,$ ми маємо

$$\begin{aligned}\left|\frac{x_{i}}{y_{i}}-\frac{L}{M}\right| &=\frac{\left|x_{i} M-y_{i} L\right|}{\left|y_{i} M\right|} \\ &=\frac{\left|x_{i} M-x_{i} y_{i}+x_{i} y_{i}-y_{i} L\right|}{\left|y_{i} M\right|} \\ & \leq \frac{\left|x_{i}\right|\left|M-y_{i}\right|+\left|y_{i}\right|\left|x_{i}-L\right|}{\left|y_{i} M\right|} \\ &<\frac{B \frac{M^{2} \epsilon}{4 B}+B \frac{M^{2} \epsilon}{4 B}}{\frac{M^{2}}{2}} \\ &=\epsilon . \end{aligned}$$

Таким чином

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{x_{i}}{y_{i}}=\frac{L}{M}.$$

Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{16}$

а Покажіть, що$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$.

b. показати, що$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0$ шляхом (i) використовуючи визначення межі безпосередньо, а потім (ii) використовуючи попередні результати.

Вправа$\PageIndex{17}$

Показати, що для будь-якого додатного цілого числа$k$,

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k}}=0.$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Ми можемо об'єднати властивості цього розділу для обчислення

$$\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^{3}+3 n-6}{2 n^{3}+2 n^{2}-7} &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5+\frac{3}{n^{2}}-\frac{6}{n^{3}}}{2+\frac{2}{n}-\frac{7}{n^{3}}} \\ &=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} 5+3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}-6 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}}{\lim _{n \rightarrow \infty} 2+2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}-7 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}}} \\ &=\frac{5+0+0}{2+0+0} \\ &=\frac{5}{2}. \end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{18}$

Оцінити

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{5}+8 n^{3}-6 n}{8 n^{5}+2 n^{4}-31},$$

ретельно показуючи кожен крок.

Пропозиція$\PageIndex{9}$

Припустимо,$\left\{x_{i}\right\}_{i \in I}$ це збіжна послідовність невід'ємних дійсних чисел з$L=\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i} .$ Тоді послідовність$\{\sqrt{x_{i}}\}_{i \in I}$ сходиться і

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \sqrt{x_{i}}=\sqrt{L}.$$

Доказ

Нехай$\epsilon>0$ дадуть. Припустимо$L>0$ і зверніть увагу, що

$$\left|x_{i}-L\right|=|\sqrt{x_{i}}-\sqrt{L}||\sqrt{x_{i}}+\sqrt{L}|$$

має на увазі, що

$$|\sqrt{x_{i}}-\sqrt{L}|=\frac{\left|x_{i}-L\right|}{|\sqrt{x_{i}}+\sqrt{L}|}$$

для будь-якого$i \in I .$ Виберіть ціле число$N$ таке, що

$$\left|x_{i}-L\right|<\sqrt{L} \epsilon$$

всякий$i>N .$ раз, коли, для будь-якого$i>N$,

$$|\sqrt{x_{i}}-\sqrt{L}|=\frac{\left|x_{i}-L\right|}{|\sqrt{x_{i}}+\sqrt{L}|}<\frac{\sqrt{L} \epsilon}{\sqrt{L}}=\epsilon.$$

Звідси$\lim _{i \rightarrow \infty} \sqrt{x_{i}}=\sqrt{L}$.

Якщо$L=0, \lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}=0,$ так, ми можемо вибрати ціле число$N$ таке, що$\left|x_{i}\right|<\epsilon^{2}$ для всіх$i>N .$ Тоді

$$|\sqrt{x_{i}}|<\epsilon$$

всякий раз$i>N,$, коли це так$\lim _{i \rightarrow \infty} \sqrt{x_{i}}=0$. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{19}$

Оцінити

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{3 n^{2}+1}}{5 n+6},$$

ретельно показуючи кожен крок.

Вправа$\PageIndex{20}$

Задано дійсні числа$r>0$ і$\alpha,$ показують, що$(\mathrm{a}) \alpha r<r$ якщо$0<\alpha<1$ і$(\mathrm{b}) r<\alpha r$ якщо$\alpha>1$.

Пропозиція$\PageIndex{10}$

Якщо$x \in \mathbb{R}$ і$|x|<1,$ тоді

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=0.$$

Доказ

Спочатку припускаємо$x \geq 0$. Тоді$\left\{x^{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ послідовність не збільшується і обмежена нижче 0. Звідси послідовність сходиться. Нехай$L=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n} .$ тоді

$$L=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n}=x \lim _{n \rightarrow \infty} x^{n-1}=x L,$$

з чого випливає, що$L(1-x)=0 .$ так як$1-x>0,$ ми повинні мати$L=0$. Результат для$x<0$ випливає з наступної вправи. $\quad$Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{21}$

Покажіть, що$\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=0$ якщо і тільки якщо$\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$.

2.1.5 Підпослідовності

Визначення

Задана послідовність$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},$ припустимо$\left\{n_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$, що це зростаюча послідовність цілих чисел з

$$m \leq n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots .$$

Потім ми називаємо послідовність$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ підпослідовністю$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .$

Приклад$\PageIndex{2}$

Послідовність$\left\{x_{2 k}\right\}_{k=1}^{\infty}$ є підпослідовністю послідовності$\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .$ Наприклад,$\left\{\frac{1}{2 i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ є підпослідовністю$\left\{\frac{1}{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$.

Вправа$\PageIndex{22}$

Припустимо,$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ сходиться з$\lim _{i \rightarrow \infty} x_{i}=L .$ Show, що кожна$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ підпослідовність$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ також сходиться і$\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=L$.

Вправа$\PageIndex{23}$

Припустимо,$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ розходиться, щоб$+\infty .$ показати, що кожна$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ підпослідовність$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ також розходиться на$+\infty$.

Вправа$\PageIndex{24}$

Припустимо,$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ розходиться, щоб$-\infty .$ показати, що кожна$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ підпослідовність$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ також розходиться на$-\infty$.

Визначення

За заданою послідовністю$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},$ ми називаємо будь-яке розширене дійсне число,$\lambda$ яке є межею підпослідовності$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ підпослідовності підпослідовності$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

$-1$і 1 є обидва підпослідовні межі$\left\{(-1)^{i}\right\}_{i=0}^{\infty}$.

Вправа$\PageIndex{25}$

Припустимо$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$, послідовність не обмежена. Показати, що$-\infty$ або або$+\infty$ є підпослідовною межею$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .$.

Пропозиція$\PageIndex{11}$

Припустимо,$\Lambda$ це множина всіх підпослідовних меж послідовності$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .$ Тоді$\Lambda \neq \emptyset$.

Доказ

За попередньою вправою пропозиція істинна, якщо$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ вона не обмежена. Так припустимо$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$, обмежений і вибрати дійсні числа$a$ і$b$ такі, що$a \leq x_{i} \leq b$ для всіх$i \geq m$. Побудувати послідовності$\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ і$\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ наступним чином: Нехай$a_{1}=a$ і$b_{1}=b$. Для$i \geq 1,$ нехай

$$c=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.$$

Якщо існує ціле число$N$ таке, що$a_{i-1} \leq x_{j} \leq c$ для всіх$j>N,$ нехай$a_{i}=a_{i-1}$ і$b_{i}=c ;$ інакше, нехай$a_{i}=c$ і$b_{i}=b_{i-1} .$ нехай$n_{1}=m$ і, для$k=2,3,4, \ldots,$ нехай$n_{k}$ буде найменшим цілим числом, для якого$n_{k}>n_{k-1}$ і$a_{k} \leq x_{n_{k}} \leq b_{k}$ Тоді$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ є послідовність Коші яка є підпослідовністю$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .$ Таким чином$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ сходиться і$\Lambda \neq 0 .$$\quad$ Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{26}$

Припустимо,$A \subset \mathbb{R}$ і$B \subset \mathbb{R}$ з$a \leq b$ для кожного$a \in A$ і$b \in B .$ Покажіть, що$\sup A \leq \inf B$.

Пропозиція$\PageIndex{12}$

$\Lambda$Дозволяти множина підпослідовних меж послідовності$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .$ Тоді

$$\limsup _{i \rightarrow \infty} x_{i}=\sup \Lambda .$$

Доказ

Нехай$s=\sup \Lambda$ і, для$i \geq m, u_{i}=\sup \left\{x_{j}: j \geq i\right\} .$ Зараз, оскільки$x_{j} \leq u_{i}$ для всіх$j \geq i,$ випливає, що$\lambda \leq u_{i}$ для кожного$\lambda \in \Lambda$ і$i \geq m .$ Отже, з попередньої вправи,$s \leq \inf \left\{u_{i}: i \geq m\right\}=\limsup _{i \rightarrow \infty} x_{i}$.

Тепер припустимо$s<\limsup _{i \rightarrow \infty} x_{i}$. Тоді існує дійсне число$t$ таке, що$s<t<\lim \sup _{i \rightarrow \infty} x_{i} .$ Зокрема,$t<u_{i}$ для кожного$i \geq m .$ Let$n_{1}$ є найменшим цілим числом, для якого$n_{1} \geq m$ і$x_{n_{1}}>t .$ For$k=2,3,4, \ldots,$$n_{k}$ нехай є найменшим цілим числом, для якого$n_{k}>n_{k-1}$ і$x_{n_{k}}>t .$ Thend$\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}$ є a підпослідовність$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty}$ якої має підпослідовну межу$\lambda \geq t$. Оскільки$\lambda$ це також тоді підпослідовна межа$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty},$ ми маємо$\lambda \in \Lambda$ і$\lambda \geq t>s,$ суперечить$s=\sup \Lambda .$ Отже, ми повинні мати$\lim \sup _{i \rightarrow \infty} x_{i}=\sup \Lambda .$$\quad$ Q.E.D.

Вправа$\PageIndex{27}$

$\Lambda$Дозволяти множина підпослідовних меж послідовності$\left\{x_{i}\right\}_{i=m}^{\infty} .$ Показати, що

$$\liminf _{i \rightarrow \infty} x_{i}=\inf \Lambda .$$