Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.3: Метод оболонки

Часто дану проблему можна вирішити не одним способом. Конкретний метод може бути обраний з огляду на зручність, особисті переваги або, можливо, необхідність. Зрештою, добре мати варіанти.

У попередньому розділі були введені методи диска та шайби, які обчислювали об'єм тіл обертання шляхом інтеграції площі поперечного перерізу твердого тіла. У цьому розділі розробляється ще один метод обчислення обсягу, метод оболонки. Замість того, щоб нарізати тверде тіло перпендикулярно осі обертання, створюючи поперечні перерізи, ми тепер нарізаємо його паралельно осі обертання, створюючи «оболонки».

Розглянемо малюнок7.3.1, де область, показана в (а), обертається навколоy -осі, утворюючи тверде тіло, показане в (b). Невеликий зріз області малюється в (а), паралельно осі обертання. При обертанні області цей тонкий зріз утворює циліндричну оболонку, як зображено в частині (в) малюнка. Попередній розділ наближався до твердого тіла з великою кількістю тонких дисків (або шайб); тепер ми наближаємо тверду речовину з багатьма тонкими циліндричними оболонками.

7.3.1a.png7.3.1 б.пнг7.3.1 к.пнг

Малюнок7.3.1: Представляємо метод оболонки.

Рисунок7.3.1 (d): Динамічна версія цього малюнка, створена за допомогою CalcPlot3D.

Щоб обчислити обсяг однієї оболонки, спочатку розглянемо паперову етикетку на банку супу з радіусомr і висотоюh. Яка площа цієї етикетки? Простий спосіб визначення цього - вирізати етикетку і викласти її рівно, утворюючи прямокутник з висотоюh і довжиною2πr. Таким чином площа єA=2πrh; див7.3.2a. Рис.

Аналогічний процес виконайте з циліндричною оболонкою, з висотоюhΔx, товщиною і приблизним радіусомr. Різання раковини і укладання її плоско утворює прямокутне суцільне тіло з довжиною2πr, висотоюh і глибиноюdx. Таким чином обсяг єV2πrh dx; див7.3.2c. Рис. (Ми говоримо «приблизно», оскільки наш радіус був наближенням.)

Розбиваючи тверде тіло наn циліндричні оболонки, ми можемо наблизити обсяг твердого тіла як

$ $ V =\ сума_ {i = 1} ^n 2\ пі r_ih_i\ dx_i,\]

деri,hi іdxi - радіус, висота і товщинаith раковини відповідно.

Це сума Рімана. Прийняття межі, коли товщина оболонок наближається до 0, призводить до певного інтегралу.

7.3.2.png

Рисунок7.3.2: Визначення обсягу тонкої циліндричної оболонки.} \ label {рис.: супкан}

Ключова ідея 25: Метод оболонки

Нехай тверде тіло утворюється шляхом обертання областіR, обмеженоїx=a іx=b, навколо вертикальної осі. r(x)Дозволяти представляти відстань від осі обертання доx (тобто радіус оболонки зразка) і нехайh(x) представляють висоту твердого тіла наx (тобто висоту оболонки). Обсяг твердого тіла дорівнює

V=2πbar(x)h(x) dx.

Особливі випадки:

  1. Коли областьR обмежена вищеy=f(x) і нижче поy=g(x), тоh(x)=f(x)g(x).
  2. Коли віссю обертання єy -вісь (тобтоx=0) тоr(x)=x.

Давайте потренуємося, використовуючи метод оболонки.

Приклад7.3.1: Finding volume using the Shell Method

Знайти об'єм твердого тіла, утвореного обертанням області,y=1/(1+x2) обмеженоїy=0,x=0 іx=1 навколоy -осі.

Рішення

Це область, яка використовується для введення методу оболонки на малюнку7.3.1, але знову намальована7.3.3 на малюнку для більш детальної довідки. Лінія проводиться в області, паралельної осі обертання, що представляє оболонку, яка буде вирізана, коли область обертається навколоy -осі. (Це диференціальний елемент.)

7.3.3.png

Малюнок7.3.3: Графік області в прикладі7.3.1.

Відстань ця лінія від осі обертання визначаєr(x); оскільки відстань відx доy -осі єx, ми маємоr(x)=x. Висота цього рядка визначаєh(x); верхня частина рядка знаходиться вy=1/(1+x2), тоді як нижня частина рядка знаходиться вy=0. Таким чиномh(x)=1/(1+x2)0=1/(1+x2). Область обмежена відx=0 доx=1, тому обсяг дорівнює

V=2π10x1+x2 dx.

Для цього потрібна заміна. Нехайu=1+x2, такdu=2x dx. Також міняємо межі:u(0)=1 іu(1)=2. Таким чином, ми маємо:

=π211u du=πlnu|21=πln2πln1=πln22.178 units3.

Примітка: для того, щоб знайти цей том за допомогою методу диска, потрібно було б два інтеграли для обліку регіонів вище і нижчеy=1/2.

За допомогою методу оболонки нічого особливого не потрібно враховувати, щоб обчислити об'єм твердого тіла, який має отвір посередині, як показано далі.

Приклад7.3.2: Finding volume using the Shell Method

Знайдіть обсяг твердого тіла, утвореного обертанням трикутної області, визначеної точками(0,1),(1,1) і(1,3) близько лініїx=3.

Рішення

Область намальована на малюнку7.3.4a разом з диференціальним елементом, лінією в межах області, паралельною осі обертання. У частині (b) фігури ми бачимо оболонку, промальовану диференціальним елементом, а в частині (c) показано все тверде тіло.

7.3.4a.png7.3.4 б.пнг7.3.4 к.пнг

Малюнок7.3.4: Графік області в прикладі7.3.2

Висота диференціального елемента - це відстань відy=1 доy=2x+1, лінія, яка з'єднує точки(0,1) і(1,3). Таким чиномh(x)=2x+11=2x. Радіус оболонки, утвореної диференціальним елементом, - це відстань відx доx=3; тобто воно єr(x)=3x. xМежі регіону,x=0 щобx=1, даючи

V=2π10(3x)(2x) dx=2π10(6x2x2) dx=2π(3x223x3)|10=143π14.66 units3.

При обертанні області навколо горизонтальної осі ми повинні враховувати функції радіуса та висоти з точки зоруy, а неx.

Приклад7.3.3: Finding volume using the Shell Method

Знайти об'єм твердого тіла, утвореного обертанням області, наведеної в прикладі7.3.2 проx -вісь.

Рішення

Область намальована на малюнку7.3.5a з зразком диференціального елемента. У частині (b) фігури малюється оболонка, утворена диференціальним елементом, а тверде тіло намальовано в (с). (Зверніть увагу, що трикутна область тут виглядає «короткою і широкою», тоді як в попередньому прикладі ця ж область виглядала «високою і вузькою». Це тому, що межі на графіках різні.)

Висота диференціального елемента - ax -відстань, міжx=12y12 іx=1. Такимh(y)=1(12y12)=12y+32. чином Радіус - це відстань відy доx -осі, такr(y)=y. Межамиy області єy=1 іy=3, що ведуть до інтегральної

V=2π31[y(12y+32)] dy=2π31[12y2+32y] dy=2π[16y3+34y2]|31=2π[94712]=103π10.472 units3.

7.3.5a.png7.3.5 б.пнг7.3.5 к.пнг

Малюнок7.3.5: Графік області в прикладі7.3.3

На початку цього розділу було заявлено, що «добре мати варіанти». Наступний приклад досить легко знаходить обсяг твердого тіла за допомогою методу оболонки, але використання методу шайби було б досить важкою справою.

Приклад7.3.4: Finding volume using the Shell Method

Знайдіть об'єм твердого тіла, утвореного обертанням області, обмеженоїy=sinx таx -віссю відx=0 доx=π приблизноy -осі.

Рішення

Область і диференціальний елемент, оболонка, утворена цим диференціальним елементом, і отримане тверде тіло наведені на рис7.3.6.

7.3.6a.png7.3.6 б.пнг7.3.6 к.пнг

Малюнок7.3.6: Графік області в прикладі7.3.4

Радіус оболонки зразка дорівнюєr(x)=x; висота оболонки зразка становитьh(x)=sinx, кожен відx=0 доx=π. Таким чином, обсяг твердого тіла дорівнює

V=2ππ0xsinx dx.

Для цього потрібна інтеграція по частинам. Встановітьu=x іdv=sinx dx; ми залишаємо його читачеві, щоб заповнити решту. У нас є:

\ [\ почати {align*} &= 2\ пі\ Великий [-х\ cos x\ Big|_0^ {\ pi} +\ int_0^ {\ pi}\ cos x\ dx\ Big]\\ [4pt]
&= 2\ pi\ Big [\ pi +\ sin x\ Big|_0^ {\ pi}\\ Big]\\ [4pt]
&= 2\ pi\\ Великий [\ pi + 0\ Великий]\\ [4pt]
&= 2\ pi ^ 2\ приблизно 19,74\\ текст {одиниці} ^3. \ end {вирівнювати*}\]

Зверніть увагу, що для того, щоб використовувати метод шайби, нам потрібно буде вирішитиy=sinx дляx, що вимагає використання функції arcsine. Ми залишаємо це читачеві, щоб переконатися, що функція зовнішнього радіуса є,R(y)=πarcsiny а функція внутрішнього радіуса єr(y)=arcsiny. Таким чином, обсяг можна обчислити як

$$\ pi\ int_0^1\ Великий [(\ pi-\ arcsin y) ^2- (\ arcsin y) ^2\ Big]\ dy.\]

Цей інтеграл не страшний, враховуючи, щоarcsin2y терміни скасовують, але він є більш обтяжливим, ніж інтеграл, створений методом оболонки.

Ми закінчуємо цей розділ таблицею, яка підсумовує використання методів шайби та оболонки.

Ключова ідея 26: Короткий зміст методів шайби та оболонки

Нехай областьR задається зx -boundsx=a іx=b іy -boundsy=c іy=d.

Washer MethodShell MethodHorizontal Axisπba(R(x)2r(x)2) dx2πdcr(y)h(y) dyVertical Axisπdc(R(y)2r(y)2) dy2πbar(x)h(x) dx

Як і в попередньому розділі, реальна мета цього розділу - не мати можливості обчислювати обсяги певних твердих тіл. Швидше за все, це мати можливість вирішити проблему, спочатку наближаючись, а потім використовуючи межі для уточнення наближення, щоб дати точне значення. У цьому розділі ми наближаємо обсяг твердого тіла, розрізавши його на тонкі циліндричні оболонки. Підсумовуючи обсяги кожної оболонки, отримуємо наближення обсягу. Приймаючи межу, оскільки кількість однаково розташованих оболонок переходить до нескінченності, наше підсумовування можна оцінити як певний інтеграл, даючи точне значення.

Цей же принцип ми знову використовуємо в наступному розділі, де знаходимо довжину кривих в площині.

Дописувачі та атрибуція