6.7: Правило L'Hopital
Хоча ця глава присвячена вивченню методів інтеграції, цей розділ не стосується інтеграції. Швидше, це стосується техніки оцінки певних меж, яка буде корисна в наступному розділі, де інтеграція ще раз обговорюється.
Наше лікування меж піддало нас «0/0», невизначеній формі. Якщоlimx→cf(x)=0 іlimx→cg(x)=0, ми не робимо висновок, щоlimx→cf(x)/g(x) є0/0; скоріше, ми використовуємо0/0 як позначення для опису того факту, що і чисельник, і знаменник наближаються до 0. Вираз 0/0 не має числового значення; для обчислення межі потрібно виконати іншу роботу.
Існують і інші невизначені форми; ними є:∞/∞0⋅∞,,∞−∞,00,1∞ і∞0. Так само, як «0/0" не означає «розділити 0 на 0», вираз "∞/∞" не означає «розділити нескінченність на нескінченність». Натомість це означає «кількість зростає без зв'язків і ділиться на іншу величину, яка зростає без зв'язків». Ми не можемо визначити з такого твердження, яке значення, якщо воно є, призводить до ліміту. Аналогічно, "0⋅∞" не означає «помножити нуль на нескінченність». Натомість це означає, що «одна кількість скорочується до нуля і множиться на величину, яка зростає без обмежень». З такого опису ми не можемо визначити, яким буде результат такого ліміту.
У цьому розділі представлено правило L'Hôpital, метод вирішення обмежень, які створюють невизначені форми 0/0 і∞/∞. Ми також покажемо, як алгебраїчні маніпуляції можуть бути використані для перетворення інших невизначених виразів в одну з цих двох форм, щоб можна було застосувати наше нове правило.
Теорема6.7.1: L'Hôpital's Rule
Нехайlimx→cf(x)=0 іlimx→cg(x)=0, деf іg диференційовні функції на відкритому інтерваліI містятьc, іg′(x)≠0 наI крім можливо вc. Тоді
$\ lim_ {x\ to c}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ lim_ {x\ to c}\ frac {f' (x)} {g' (x)}.\]
Ми демонструємо використання правила L'Hôpital в наступних прикладах; ми часто будемо використовувати «LHR» як абревіатуру «L'Hôpital»
Приклад6.7.1: Using L'Hôpital's Rule
Оцініть наступні обмеження, використовуючи Правило L'Hôpital в міру необхідності.
- limx→0sinxx
- limx→1√x+3−21−x
- limx→0x21−cosx
- limx→2x2+x−6x2−3x+2
Рішення
- Ми довели, що ця межа дорівнює 1 у прикладі\ ref {ex_limit_sinx_prove} за допомогою теореми стискання. Тут ми використовуємо правило L'Hôpital, щоб показати свою силу. $\ lim_ {x\ to0}\ frac {\ sin x} х\ stackrel {\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to0}\ frac {\ cos x} {1} =1. $$
- limx→1√x+3−21−x by LHR =limx→112(x+3)−1/2−1=−14.
- limx→0x21−cosx by LHR =limx→02xsinx.
Ця остання межа також оцінюється до невизначеної форми 0/0. Щоб оцінити його, ми знову застосуємо Правило L'Hôpital. $\ lim_ {x\ to 0}\ frac {2x} {\ sin x}\ stackrel {\ text {по LHR}} {=}\ frac {2} {\ cos x} = 2 .$$ Таким чиномlimx→0x21−cosx=2. - Ми вже знаємо, як оцінити цю межу; перший множник чисельник і знаменник. Потім ми маємо: $\ lim_ {x\ to 2}\ frac {x^2+x-6} {x^2-3x+2} =\ lim_ {x\ to 2}\ frac {(x-2) (x-3)} {x-2) (x-1)} =\ lim_ {x\ до 2}\ frac {x+3} {x-1} = 5.$Ми тепер показати, як вирішити це, використовуючи правило L'Hôpital. $\ lim_ {х\ до 2}\ розрив {x^2+x-6} {x^2-3x+2}\ stackrel {\ текст {по LHR}} {=}\ lim_ {x\ to 2}\ frac {2x+1} {2x-3} = 5. $$
Зверніть увагу, що на кожному кроці, де було застосовано правило L'Hôpital, це було потрібно: початкова межа повертала невизначену форму "»0/0. Якщо початковий ліміт повертається, наприклад, 1/2, то правило L'Hôpital не застосовується.
Наступна теорема розширює нашу початкову версію правила L'Hôpital двома способами. Це дозволяє застосовувати техніку до невизначеної форми∞/∞ та до меж, деx наближається±∞.
Теорема6.7.2: L'Hôpital's Rule, Part 2
- Нехайlimx→af(x)=±∞ іlimx→ag(x)=±∞, деf іg диференційовані на відкритому інтервалі,I що містятьa. Потім $\ lim_ {x\ to a}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ lim_ {x\ to a}\ frac {f' (x)} {g' (x)} . $$
- gДозволятиf і бути диференційовні функції на відкритому інтервалі(a,∞) дляa деякого значення, деg′(x)≠0 on(a,∞) іlimx→∞f(x)/g(x) повертає або 0/0 або∞/∞. Тоді limx to infty fracf(x)g(x)= limx to infty fracf′(x)g′(x). Аналогічний оператор може бути зроблений для обмежень, деx наближається−∞.
Приклад6.7.2: L'Hôpital's Rule with limits involving ∞
Оцініть наступні межі.
$1.\\ lim_ {x\ to\ infty}\ розрив {3x^2-100x+2} {4x^2+5x-1000}\ qquad\ qquad 2.\\ lim_ {x\ to\ intty}\ frac {e^x} {x^3}.\]
Рішення
- Ми можемо оцінити цю межу вже за допомогою теореми\ ref {thm:lim_rational_fn_at_infty}; відповідь 3/4. Ми застосовуємо правило L'Hôpital, щоб продемонструвати його застосовність. $\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {3x^2-100x+2} {4x^2+5x-1000}\ штабелер {\\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ inty}\ frac {6x-100} {8x+5}\ стекер {\ текст {LHR}\}\ lim_ {х\ до\ infty}\ фрак68 =\ фрак34. $$
- $\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {x^3}\ стекерл {\\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ inty}\ frac {e^x} {3x^2}\ stackrel {\\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ до\ infty}\ frac {e^x} {6x}\ stackrel {\\ text {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {6} =\ infty.$$ Нагадаємо, що це означає, що обмеження не існує; як xнаближається∞, виразex/x3 зростає без прив'язки. З цього можна зробити висновок, щоex росте «швидше», ніжx3; якx стає великим,ex набагато більше, ніжx3. (Це має важливі наслідки для обчислень при розгляді ефективності алгоритмів.)
Правило L'Hôpital може застосовуватися лише до співвідношень функцій. Зіткнувшись з невизначеною формою, такою як0⋅∞ або∞−∞, ми іноді можемо застосувати алгебру, щоб переписати межу, щоб можна було застосувати правило L'Hôpital. Продемонструємо загальну ідею в наступному прикладі.
Приклад6.7.3: Applying L'Hôpital's Rule to other indeterminate forms
Оцініть наступні межі.
- limx→0+x⋅e1/x
- limx→0−x⋅e1/x
- limx→∞ln(x+1)−lnx
- limx→∞x2−ex
Рішення
- Якx→0+,x→0 іe1/x→∞. Таким чином, ми маємо невизначену форму0⋅∞. Ми переписуємо виразx⋅e1/x якe1/x1/x; теперx→0+, як, ми отримуємо невизначену форму,∞/∞ до якої можна застосувати правило L'Hôpital. \boldsymbol{\ lim_ {x\ to0^+} x\ cdot e^ {1/x} =\ lim_ {x\ to 0^+}\ frac {e^ {1/x}} {1/x}\ stackrel {\\ text {LHR}\} {=}\ lim_ {х\ до 0^+}\ розрив {(-1/x^2) e^ {1/x}} {-1/x^2} =\ lim_ {x\ to 0^+} e^ {1/x} =\ infty.} Інтерпретація:e1/x зростає «швидше», ніжx стискається до нуля, тобто їхній продукт росте без зв'язків.
- Якx→0−,x→0 іe1/x→e−∞→0. Межа оцінює0⋅0, до якої не є невизначеною формою. Зробимо висновок, що $$\ lim_ {x\ to 0^-} x\ cdot e^ {1/x} = 0.\]
- Ця межа спочатку оцінюється до невизначеної форми∞−∞. Застосовуючи логарифмічне правило, ми можемо переписати межу як
limx to infty ln(x+1)− lnx= limx to infty ln left( fracx+1x right). Якx→∞, аргументln терміна підходить∞/∞, до якого ми можемо застосувати Правило L'Hôpital. \boldsymbol{\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {x+1} x\ stackrel {\\ текст {по LHR}\} {=}\ frac11=1.} Зx→∞ випливаєx+1x→1, що $$x\ rightarrow\ infty\ quad\ text {має на увазі}\ quad\ ln\ ліворуч (\ frac {x+1} х\ вправо)\ стрілка вправо\ n 1n =0.\]Таким чином limx to infty ln(x+1)− lnx= limx to infty ln left( fracx+1x right)=0. Інтерпретація: оскільки ця межа оцінюється в 0, то це означаєx, що для великих різниці міжln(x+1) і по суті немаєlnx; їх різниця по суті дорівнює 0.
- Лімітlimx→∞x2−ex спочатку повертає невизначену форму∞−∞. Ми можемо переписати вираз факторингомx2;x2−ex=x2(1−exx2). Нам потрібно оцінити, якex/x2 поводиться якx→∞: $\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {x^x} {x^2}\ stackrel {\\ text {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {2x}\ stackrel {текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {2} =\ infty.\]
Таким чиномlimx→∞x2(1−ex/x2) оцінює до∞⋅(−∞), що не є невизначеною формою; скоріше,∞⋅(−∞) оцінює до−∞. Ми робимо висновок, щоlimx→∞x2−ex=−∞.
Тлумачення: якx стає великим, різниця міжx2 іex зростає дуже велика.
Індетермінантні форми00,1∞ і∞0
Зіткнувшись з невизначеною формою, яка передбачає владу, вона часто допомагає використовувати природну логарифмічну функцію. Наступна Key Idea висловлює концепцію, за якою слідує приклад, який демонструє її використання.
Ключова ідея 20: Оцінка меж за участю невизначені форми00, 1∞ and ∞0
Якщоlimx→cln(f(x))=L, тоlimx→cf(x)=limx→celn(f(x))=eL.
Приклад6.7.4: Using L'Hôpital's Rule with indeterminate forms involving exponents
Оцініть наступні межі.
1.limx→∞(1+1x)x2.limx→0+xx.
Рішення
- Це еквівалентно спеціальній межі, наведеній у теоремі\ ref {thm:lim_continuous}; ці межі мають важливе застосування в математиці та фінансах. Зверніть увагу, що показник наближається,∞ тоді як база наближається до 1, що призводить до невизначеної форми1∞. Нехайf(x)=(1+1/x)x; проблема просить оцінитиlimx→∞f(x). Давайте спочатку оцінимоlimx→∞ln(f(x)). limx→∞ln(f(x))=limx→∞ln(1+1x)x=limx→∞xln(1+1x)=limx→∞ln(1+1x)1/xЦе створює невизначену форму 0/0, тому ми застосовуємо правило L'Hôpital. =limx→∞11+1/x⋅(−1/x2)(−1/x2)=limx→∞11+1/x=1.Таким чиномlimx→∞ln(f(x))=1. повертаємося до початкового межі і застосовуємо Key Idea 20. $\ lim_ {x\ to\ infty}\ ліворуч (1+\ frac1x\ праворуч) ^x =\ lim_ {x\ to\ infty} f (x) =\ lim_ {x\ to\ infty} e^ {\ ln (f (x))} = e^1 = e.\]
- Ця межа призводить до невизначеної формі00. Давайтеf(x)=xx і розглянемо спочаткуlimx→0+ln(f(x)). limx→0+ln(f(x))=limx→0+ln(xx)=limx→0+xlnx=limx→0+lnx1/x.Це створює невизначену форму,−∞/∞ тому ми застосовуємо правило L'Hôpital. =limx→0+1/x−1/x2=limx→0+−x=0.Таким чиномlimx→0+ln(f(x))=0. Повертаємося до початкового ліміту і застосовуємо Key Idea 20. $\ lim_ {x\ to0^+} x^x =\ lim_ {x\ to0^+} f (x) =\ lim_ {x\ to0^+} e^ {\ ln (f (x))} = e^0 = 1.$$ Цей результат підтримується графіком,f(x)=xx наведеним на малюнку6.7.1.
Малюнок6.7.1: Графікf(x)=xx підтвердження того, що якx→0+,f(x)→1.
Наш короткий перегляд лімітів буде винагороджений у наступному розділі, де ми вважаємо неправильну інтеграцію. Поки що ми розглядали лише певні інтеграли, де межею є кінцеві числа, такі як∫10f(x) dx. Неправильне інтегрування розглядає інтеграли, де одна або обидві межі є «нескінченністю». Такі інтеграли мають багато застосувань та застосувань, крім генерування ідей, які є просвітницькими.