Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.7: Правило L'Hopital

Хоча ця глава присвячена вивченню методів інтеграції, цей розділ не стосується інтеграції. Швидше, це стосується техніки оцінки певних меж, яка буде корисна в наступному розділі, де інтеграція ще раз обговорюється.

Наше лікування меж піддало нас «0/0», невизначеній формі. Якщоlimxcf(x)=0 іlimxcg(x)=0, ми не робимо висновок, щоlimxcf(x)/g(x) є0/0; скоріше, ми використовуємо0/0 як позначення для опису того факту, що і чисельник, і знаменник наближаються до 0. Вираз 0/0 не має числового значення; для обчислення межі потрібно виконати іншу роботу.

Існують і інші невизначені форми; ними є:/0,,,00,1 і0. Так само, як «0/0" не означає «розділити 0 на 0», вираз "/" не означає «розділити нескінченність на нескінченність». Натомість це означає «кількість зростає без зв'язків і ділиться на іншу величину, яка зростає без зв'язків». Ми не можемо визначити з такого твердження, яке значення, якщо воно є, призводить до ліміту. Аналогічно, "0" не означає «помножити нуль на нескінченність». Натомість це означає, що «одна кількість скорочується до нуля і множиться на величину, яка зростає без обмежень». З такого опису ми не можемо визначити, яким буде результат такого ліміту.

У цьому розділі представлено правило L'Hôpital, метод вирішення обмежень, які створюють невизначені форми 0/0 і/. Ми також покажемо, як алгебраїчні маніпуляції можуть бути використані для перетворення інших невизначених виразів в одну з цих двох форм, щоб можна було застосувати наше нове правило.

Теорема6.7.1: L'Hôpital's Rule

Нехайlimxcf(x)=0 іlimxcg(x)=0, деf іg диференційовні функції на відкритому інтерваліI містятьc, іg(x)0 наI крім можливо вc. Тоді

$\ lim_ {x\ to c}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ lim_ {x\ to c}\ frac {f' (x)} {g' (x)}.\]

Ми демонструємо використання правила L'Hôpital в наступних прикладах; ми часто будемо використовувати «LHR» як абревіатуру «L'Hôpital»

Приклад6.7.1: Using L'Hôpital's Rule

Оцініть наступні обмеження, використовуючи Правило L'Hôpital в міру необхідності.

  1. limx0sinxx
  2. limx1x+321x
  3. limx0x21cosx
  4. limx2x2+x6x23x+2

Рішення

  1. Ми довели, що ця межа дорівнює 1 у прикладі\ ref {ex_limit_sinx_prove} за допомогою теореми стискання. Тут ми використовуємо правило L'Hôpital, щоб показати свою силу. $\ lim_ {x\ to0}\ frac {\ sin x} х\ stackrel {\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to0}\ frac {\ cos x} {1} =1. $$
  2. limx1x+321x  by LHR  =limx112(x+3)1/21=14.
  3. limx0x21cosx by LHR =limx02xsinx.
    Ця остання межа також оцінюється до невизначеної форми 0/0. Щоб оцінити його, ми знову застосуємо Правило L'Hôpital. $\ lim_ {x\ to 0}\ frac {2x} {\ sin x}\ stackrel {\ text {по LHR}} {=}\ frac {2} {\ cos x} = 2 .$$ Таким чиномlimx0x21cosx=2.
  4. Ми вже знаємо, як оцінити цю межу; перший множник чисельник і знаменник. Потім ми маємо: $\ lim_ {x\ to 2}\ frac {x^2+x-6} {x^2-3x+2} =\ lim_ {x\ to 2}\ frac {(x-2) (x-3)} {x-2) (x-1)} =\ lim_ {x\ до 2}\ frac {x+3} {x-1} = 5.$Ми тепер показати, як вирішити це, використовуючи правило L'Hôpital. $\ lim_ {х\ до 2}\ розрив {x^2+x-6} {x^2-3x+2}\ stackrel {\ текст {по LHR}} {=}\ lim_ {x\ to 2}\ frac {2x+1} {2x-3} = 5. $$

Зверніть увагу, що на кожному кроці, де було застосовано правило L'Hôpital, це було потрібно: початкова межа повертала невизначену форму "»0/0. Якщо початковий ліміт повертається, наприклад, 1/2, то правило L'Hôpital не застосовується.

Наступна теорема розширює нашу початкову версію правила L'Hôpital двома способами. Це дозволяє застосовувати техніку до невизначеної форми/ та до меж, деx наближається±.

Теорема6.7.2: L'Hôpital's Rule, Part 2

  1. Нехайlimxaf(x)=± іlimxag(x)=±, деf іg диференційовані на відкритому інтервалі,I що містятьa. Потім $\ lim_ {x\ to a}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ lim_ {x\ to a}\ frac {f' (x)} {g' (x)} . $$
  2. gДозволятиf і бути диференційовні функції на відкритому інтервалі(a,) дляa деякого значення, деg(x)0 on(a,) іlimxf(x)/g(x) повертає або 0/0 або/. Тоді  limx to infty fracf(x)g(x)= limx to infty fracf(x)g(x). Аналогічний оператор може бути зроблений для обмежень, деx наближається.

Приклад6.7.2: L'Hôpital's Rule with limits involving

Оцініть наступні межі.

$1.\\ lim_ {x\ to\ infty}\ розрив {3x^2-100x+2} {4x^2+5x-1000}\ qquad\ qquad 2.\\ lim_ {x\ to\ intty}\ frac {e^x} {x^3}.\]

Рішення

  1. Ми можемо оцінити цю межу вже за допомогою теореми\ ref {thm:lim_rational_fn_at_infty}; відповідь 3/4. Ми застосовуємо правило L'Hôpital, щоб продемонструвати його застосовність. $\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {3x^2-100x+2} {4x^2+5x-1000}\ штабелер {\\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ inty}\ frac {6x-100} {8x+5}\ стекер {\ текст {LHR}\}\ lim_ {х\ до\ infty}\ фрак68 =\ фрак34. $$
  2. $\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {x^3}\ стекерл {\\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ inty}\ frac {e^x} {3x^2}\ stackrel {\\ текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ до\ infty}\ frac {e^x} {6x}\ stackrel {\\ text {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {6} =\ infty.$$ Нагадаємо, що це означає, що обмеження не існує; як xнаближається, виразex/x3 зростає без прив'язки. З цього можна зробити висновок, щоex росте «швидше», ніжx3; якx стає великим,ex набагато більше, ніжx3. (Це має важливі наслідки для обчислень при розгляді ефективності алгоритмів.)

Правило L'Hôpital може застосовуватися лише до співвідношень функцій. Зіткнувшись з невизначеною формою, такою як0 або, ми іноді можемо застосувати алгебру, щоб переписати межу, щоб можна було застосувати правило L'Hôpital. Продемонструємо загальну ідею в наступному прикладі.

Приклад6.7.3: Applying L'Hôpital's Rule to other indeterminate forms

Оцініть наступні межі.

  1. limx0+xe1/x
  2. limx0xe1/x
  3. limxln(x+1)lnx
  4. limxx2ex

Рішення

  1. Якx0+,x0 іe1/x. Таким чином, ми маємо невизначену форму0. Ми переписуємо виразxe1/x якe1/x1/x; теперx0+, як, ми отримуємо невизначену форму,/ до якої можна застосувати правило L'Hôpital. \boldsymbol{\ lim_ {x\ to0^+} x\ cdot e^ {1/x} =\ lim_ {x\ to 0^+}\ frac {e^ {1/x}} {1/x}\ stackrel {\\ text {LHR}\} {=}\ lim_ {х\ до 0^+}\ розрив {(-1/x^2) e^ {1/x}} {-1/x^2} =\ lim_ {x\ to 0^+} e^ {1/x} =\ infty.} Інтерпретація:e1/x зростає «швидше», ніжx стискається до нуля, тобто їхній продукт росте без зв'язків.
  2. Якx0,x0 іe1/xe0. Межа оцінює00, до якої не є невизначеною формою. Зробимо висновок, що $$\ lim_ {x\ to 0^-} x\ cdot e^ {1/x} = 0.\]
  3. Ця межа спочатку оцінюється до невизначеної форми. Застосовуючи логарифмічне правило, ми можемо переписати межу як
     limx to infty ln(x+1) lnx= limx to infty ln left( fracx+1x right). Якx, аргументln терміна підходить/, до якого ми можемо застосувати Правило L'Hôpital. \boldsymbol{\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {x+1} x\ stackrel {\\ текст {по LHR}\} {=}\ frac11=1.} Зx випливаєx+1x1, що $$x\ rightarrow\ infty\ quad\ text {має на увазі}\ quad\ ln\ ліворуч (\ frac {x+1} х\ вправо)\ стрілка вправо\ n 1n =0.\]

    Таким чином  limx to infty ln(x+1) lnx= limx to infty ln left( fracx+1x right)=0. Інтерпретація: оскільки ця межа оцінюється в 0, то це означаєx, що для великих різниці міжln(x+1) і по суті немаєlnx; їх різниця по суті дорівнює 0.

  4. Лімітlimxx2ex спочатку повертає невизначену форму. Ми можемо переписати вираз факторингомx2;x2ex=x2(1exx2). Нам потрібно оцінити, якex/x2 поводиться якx: $\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {x^x} {x^2}\ stackrel {\\ text {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {2x}\ stackrel {текст {по LHR}\} {=}\ lim_ {x\ to\ infty}\ frac {e^x} {2} =\ infty.\]

    Таким чиномlimxx2(1ex/x2) оцінює до(), що не є невизначеною формою; скоріше,() оцінює до. Ми робимо висновок, щоlimxx2ex=.

    Тлумачення: якx стає великим, різниця міжx2 іex зростає дуже велика.

Індетермінантні форми00,1 і0

Зіткнувшись з невизначеною формою, яка передбачає владу, вона часто допомагає використовувати природну логарифмічну функцію. Наступна Key Idea висловлює концепцію, за якою слідує приклад, який демонструє її використання.

Ключова ідея 20: Оцінка меж за участю невизначені форми00, 1 and 0

Якщоlimxcln(f(x))=L, тоlimxcf(x)=limxceln(f(x))=eL.

Приклад6.7.4: Using L'Hôpital's Rule with indeterminate forms involving exponents

Оцініть наступні межі.

1.limx(1+1x)x2.limx0+xx.

Рішення

  1. Це еквівалентно спеціальній межі, наведеній у теоремі\ ref {thm:lim_continuous}; ці межі мають важливе застосування в математиці та фінансах. Зверніть увагу, що показник наближається, тоді як база наближається до 1, що призводить до невизначеної форми1. Нехайf(x)=(1+1/x)x; проблема просить оцінитиlimxf(x). Давайте спочатку оцінимоlimxln(f(x)). limxln(f(x))=limxln(1+1x)x=limxxln(1+1x)=limxln(1+1x)1/xЦе створює невизначену форму 0/0, тому ми застосовуємо правило L'Hôpital. =limx11+1/x(1/x2)(1/x2)=limx11+1/x=1.Таким чиномlimxln(f(x))=1. повертаємося до початкового межі і застосовуємо Key Idea 20. $\ lim_ {x\ to\ infty}\ ліворуч (1+\ frac1x\ праворуч) ^x =\ lim_ {x\ to\ infty} f (x) =\ lim_ {x\ to\ infty} e^ {\ ln (f (x))} = e^1 = e.\]
  2. Ця межа призводить до невизначеної формі00. Давайтеf(x)=xx і розглянемо спочаткуlimx0+ln(f(x)). limx0+ln(f(x))=limx0+ln(xx)=limx0+xlnx=limx0+lnx1/x.Це створює невизначену форму,/ тому ми застосовуємо правило L'Hôpital. =limx0+1/x1/x2=limx0+x=0.Таким чиномlimx0+ln(f(x))=0. Повертаємося до початкового ліміту і застосовуємо Key Idea 20. $\ lim_ {x\ to0^+} x^x =\ lim_ {x\ to0^+} f (x) =\ lim_ {x\ to0^+} e^ {\ ln (f (x))} = e^0 = 1.$$ Цей результат підтримується графіком,f(x)=xx наведеним на малюнку6.7.1.

6.7.1.png

Малюнок6.7.1: Графікf(x)=xx підтвердження того, що якx0+,f(x)1.

Наш короткий перегляд лімітів буде винагороджений у наступному розділі, де ми вважаємо неправильну інтеграцію. Поки що ми розглядали лише певні інтеграли, де межею є кінцеві числа, такі як10f(x) dx. Неправильне інтегрування розглядає інтеграли, де одна або обидві межі є «нескінченністю». Такі інтеграли мають багато застосувань та застосувань, крім генерування ідей, які є просвітницькими.

Дописувачі та атрибуція