1.25: Перетворення одиниць об'єму

Ви можете використовувати калькулятор у цьому модулі.

Так само, як ми бачили з площею, перетворення між одиницями об'єму вимагає від нас бути обережними, оскільки кубічні одиниці поводяться інакше, ніж лінійні одиниці.

Кількість мульчі, бруду або гравію часто вимірюється кубічним двором. Скільки кубічних футів в одному кубічному дворі?

$1$yard =$3$ фути, тому ми можемо розділити довжину на три секції, ширину на три секції, а висоту на три секції, щоб перетворити всі три виміри куба від ярдів до футів. Це утворює$3$ куб$3$$3$ за кубом, який показує нам, що$1$ кубічний ярд дорівнює$27$ кубічним футам. Коефіцієнт лінійного перетворення$1$ to$3$ означає, що коефіцієнт перетворення для обсягів дорівнює$1$ до$3^3$, або$1$ до$27$.

Ось ще один спосіб подумати про це без діаграми:$1\text{ yd}=3\text{ ft}$, Отже$(1\text{ yd})^3=(3\text{ ft})^3$. Щоб прибрати дужки, ми повинні куб числа і куб одиниць:$(3\text{ ft})^3=3^3\text{ ft}^3=27\text{ ft}^3$.

Більш загально, нам потрібно куб коефіцієнтів лінійного перетворення при перетворенні одиниць об'єму. Якщо лінійні одиниці мають відношення$1$ до$n$, кубічні одиниці матимуть відношення$1$ до$n^3$.

Вправи$\PageIndex{1}$

1. Визначте кількість кубічних дюймів у$1$ кубічному футі.

2. Визначте кількість кубічних дюймів у$1$ кубічному ярді.

3. Визначте кількість кубічних міліметрів в$1$ кубічному сантиметрі.

4. Визначте кількість кубічних сантиметрів в$1$ кубічному метрі.

Відповідь

1. $1,728\text{ in}^3$

2. $46,656\text{ in}^3$

3. $1,000\text{ mm}^3$

4. $1,000,000\text{ cm}^3$

Система США: Перетворення вимірювань обсягу

$1\text{ ft}^3=1,728\text{ in}^3$

$1\text{ yd}^3=27\text{ ft}^3$

$1\text{ yd}^3=46,656\text{ in}^3$

Вправи$\PageIndex{1}$

5. Справжня історія: Друг на базі Національної гвардії подарував нам три довгі дерев'яні ящики, які можна використовувати як підняті посадкові грядки. (Ящики, ймовірно, несли якусь зброю чи боєприпаси, але наш друг не сказав би.) Генрі, який займався геометрією в середній школі, попросили виміряти ящики і з'ясувати, скільки грунту нам потрібно. Внутрішні розміри кожного ящика були$112$ дюйми в довжину,$14$ дюйми в ширину і$14$ дюйми в глибину. Ми хотіли заповнити їх більшою частиною ґрунтом, залишивши близько$4$ дюймів порожніми у верхній частині. Скільки кубічних ярдів грунту нам потрібно було замовити у постачальника?

6. Правдива історія, продовжилася: я вирішив перевірити нашу відповідь і зробив приблизну оцінку, округливши кожен вимір до найближчої ноги, потім з'ясувавши обсяг звідти. Чи дало це такий же результат?

Відповідь

5. результат дуже близький до$1$ кубічного двору:$(112\text{ in}\cdot14\text{ in}\cdot10\text{ in})\cdot3\text{ crates}=47,040\text{ in}^3\approx1.01\text{ yd}^3$

6. цей кошторис також є$1$ кубічним двором:$(9\text{ ft}\cdot1\text{ ft}\cdot1\text{ ft})\cdot3\text{ crates}=27\text{ ft}^3=1\text{ yd}^3$

Ми можемо конвертувати між одиницями об'єму та ємністю рідини. Як і слід було очікувати, цифри брудні в системі США.

$1\text{ fl oz}\approx1.805\text{ in}^3\leftrightarrow1\text{ in}^3\approx0.554\text{ fl oz}$

$1\text{ ft}^3\approx7.48\text{ gal}\leftrightarrow1\text{ gal}\approx0.1337\text{ ft}^3$

Вправи$\PageIndex{1}$

7. Басейн для плавання має діаметр приблизно$5$ футів і глибину$6$ дюймів. Скільки галонів води потрібно, щоб заповнити його приблизно$80\%$ шлях повний?

8. Стандартна американська газована банка має діаметр$2\dfrac{1}{2}$ дюймів і висоту$4\dfrac{3}{4}$ дюймів. Переконайтеся, що балончик здатний утримувати рідкі унції$12$ рідини.

Відповідь

7. навколо$60$ галонів

8. так, може утримувати$12$ рідкі унції; обсяг банки становить приблизно$23.3$ кубічні дюйми$\approx12.9$ рідини унцій.

Метрична система: перетворення вимірювань обсягу

$1\text{ cm}^3=1\text{ cc}=1\text{ mL}$

$1\text{ cm}^3=1,000\text{ mm}^3$

$1\text{ m}^3=1,000,000\text{ cm}^3$

$1\text{ L}=1,000\text{ cm}^3$

$1\text{ m}^3=1,000\text{ L}$

Не дивно, що метричні коефіцієнти перетворення - це всі повноваження$10$.

Вправа$\PageIndex{1}$

9. Балончик мінеральної води Perrier має діаметр$5.6\text{ cm}$ і висоту$14.7\text{ cm}$. Переконайтеся, що балончик здатний утримувати$330$ мілілітри рідини.

Відповідь

так, балончик здатний утримувати$330$ мілілітри; обсяг банки становить приблизно$362$ кубічні сантиметри, що еквівалентно$362$ мілілітрам.

Обидві системи: перетворення вимірювань об'єму

Перетворення між США та метричними системами, звичайно, передбачає брудні десяткові значення. Наприклад, тому що$1\text{ in}=2.54\text{ cm}$, ми можемо куб обох чисел і знайти, що$1\text{ in}^3=(2.54\text{ cm})^3\approx16.387\text{ cm}^3$. Переходи округлені до трьох-чотирьох значущих цифр у таблиці нижче.

$1\text{ in}^3\approx16.39\text{ cm}^3\leftrightarrow1\text{ cm}^3\approx0.0612\text{ in}^3$

$1\text{ ft}^3\approx0.0284\text{ m}^3\leftrightarrow1\text{ m}^3\approx35.29\text{ ft}^3$

$1\text{ yd}^3\approx0.7646\text{ m}^3\leftrightarrow1\text{ m}^3\approx1.308\text{ yd}^3$

Вправи$\PageIndex{1}$

10. Двійковий смітник має об'єм$2$ кубічних ярдів. Перетворіть це в кубічні метри.

11. Перетворити$240\text{ in}^3$ на$\text{ cm}^3$.

12. Перетворити$500\text{ cm}^3$ на$\text{ in}^3$.

13. Перетворити$1,000\text{ ft}^3$ на$\text{ m}^3$.

14. Перетворити$45\text{ m}^3$ на$\text{ yd}^3$.

Відповідь

10. $1.53\text{ m}^3$

11. $3,930\text{ cm}^3$

12. $30.5\text{ in}^3$

13. $28.3\text{ m}^3$

14. $59\text{ yd}^3$

Щільність

Щільність матеріалу - це його вага на об'єм, такий як фунти на кубічний фут, або маса на об'єм, наприклад, грами на кубічний сантиметр. Множення обсягу предмета на його щільність дасть його вагу або масу.

Вправи$\PageIndex{1}$

15. Стандартний розмір золотого злитка в Федеральній резервній системі США становить$7$ дюйми на$3\dfrac{5}{8}$ дюйми на$1\dfrac{3}{4}$ дюйми. ^[1] Щільність золота становить$0.698$ фунти на кубічний дюйм. Скільки важить один золотий злиток?

16. Циліндричний залізний пруток має діаметр$3.0$ сантиметрів і довжину$20.0$ сантиметрів. Щільність заліза -$7.87$ грам на кубічний сантиметр. Яка маса бруска, в кілограмах?

Відповідь

15. $31\text{ lb}$

16. $1.1\text{ kg}$

Обсяги подібних твердих тіл

Раніше в цьому модулі було заявлено, що якщо лінійні одиниці мають відношення$1$ до$n$, то кубічні одиниці матимуть відношення$1$ до$n^3$. Це стосується і подібних твердих речовин.

Якщо лінійні розміри двох подібних твердих тіл мають відношення$1$ до$n$, то обсяги матимуть відношення$1$ до$n^3$.

Ми перевіримо це в наступних вправах.

Вправи$\PageIndex{1}$

М'яч для настільного тенісу (пінг-понгу) має діаметр$4$ сантиметрів. М'яч wiffle® має діаметр в два рази більше, ніж м'яч для настільного тенісу.

17. Визначте обсяг кулі wiffle®.

18. Визначте обсяг м'яча для настільного тенісу.

19. Яке співвідношення обсягів двох куль?

Прямокутна тверда речовина$A$ має розміри$3$$4$ дюйми на дюйми на$5$ дюйми. Прямокутна суцільна$B$ має розміри потрійні,$A$ ніж у.

20. Визначте обсяг більшої твердої речовини,$B$.

21. Визначте обсяг більш дрібного твердого тіла,$A$.

22. Яке співвідношення обсягів двох твердих речовин?

Відповідь

17. $268\text{ cm}^3$

18. $33.5\text{ cm}^3$

19. $8$до$1$

20. $1,620\text{ in}^3$

21. $60\text{ in}^3$

22. $27$до$1$

---

1. https://www.usmint.gov/about/mint-tours-facilities/fort-knox :05