1.26: Піраміди та конуси

Ви можете використовувати калькулятор у цьому модулі.

Примітка: Ми не обов'язково будемо дотримуватися правил округлення (точності та точності) в цьому модулі. Багато з цих цифр мають розміри лише з однією значною цифрою, але ми втратили б багато інформації, якби округлили результати лише до одного sig рис.

У клавіші відповіді ми часто округляємо до найближчого цілого числа, або до найближчої десятої, або до двох-трьох значущих цифр, як ми вважаємо за потрібне.

Піраміди

Піраміда - це геометричне тверде тіло з основою багатокутника і трикутними гранями із загальною вершиною (званої вершиною піраміди). Піраміди названі відповідно до форми їх підстав. Найбільш поширені піраміди мають квадрат або інший правильний багатокутник для основи, роблячи всі грані однаковими рівнобедрені трикутники. Висота$h$, - це відстань від верхівки прямо вниз до центру підстави. Дві інші заходи, що використовуються з пірамідами$e$, - це довжина краю, сторони трикутних граней та висота нахилу$l$, висота трикутних граней.

Об'єм піраміди

Загалом, обсяг піраміди з основою площі$B$ та висоти$h$ дорівнює

$$V=\dfrac{1}{3}Bh \nonumber$$

або

$$V=Bh\div3 \nonumber$$

Якщо основа - квадрат з довжиною сторони$s$, обсяг дорівнює

$$V=\dfrac{1}{3}s^{2}h \nonumber$$

або

$$V=s^{2}h\div3 \nonumber$$

Цікаво, що обсяг піраміди - це$\dfrac{1}{3}$ обсяг призми з однаковим підставою і висотою.

Вправи$\PageIndex{1}$

1. Піраміда має квадратну основу зі сторонами довжиною$16$ сантиметрів і висотою в$15$ сантиметри. Знайдіть обсяг піраміди.

2. Велика піраміда в Гізі в Єгипті має висоту 137 метрів і квадратну основу зі сторонами довжиною 230 метрів. ^[1] Знайдіть обсяг піраміди.

Відповідь

1. $1,280\text{ cm}^3$

2. $2.4\text{ million m}^3$

Площа бічної поверхні ($LSA$) піраміди знаходять шляхом додавання площі кожної трикутної грані.

Площа бічної поверхні піраміди

Якщо основою піраміди є правильний багатокутник зі$n$ сторонами кожної довжини$s$, а висота нахилу дорівнює$l$, то

$$LSA=\dfrac{1}{2}nsl \nonumber$$

або

$$LSA=nsl\div2 \nonumber$$

Якщо основа квадратна, то

$$LSA=2sl \nonumber$$

Загальну площу поверхні ($TSA$), звичайно, можна знайти шляхом додавання площі основи$B$ до площі бічної поверхні. Якщо основою є правильний багатокутник, вам потрібно буде використовувати методи, які ми вивчали в попередньому модулі.

Загальна площа поверхні піраміди

$$TSA=LSA+B \nonumber$$

Якщо основа квадратна, то

$$TSA=2sl+s^2 \nonumber$$

Вправи$\PageIndex{1}$

3. Піраміда має квадратну основу зі сторонами довжиною$16$ сантиметрів, а похилу висоту$17$ сантиметрів. Знайти площу бічної поверхні і загальну площу поверхні піраміди.

4. Велика піраміда в Гізі має похилу висоту$179$ метрів і квадратну основу зі сторонами довжиною$230$ метрів. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Відповідь

3. $544\text{ cm}^2$;$80\overline{0}\text{ cm}^2$

4. $82,300\text{ m}^2$;$135,000\text{ m}^2$

Шишки

Конус схожий на піраміду з круглим підставою.

Можливо, ви зможете визначити висоту$h$ конуса (висоту від вершини, перпендикулярно до основи) або висоту нахилу$l$ (яка є довжиною від вершини до краю круглої основи). Зверніть увагу, що висота, радіус і висота нахилу утворюють прямокутний трикутник з висотою нахилу як гіпотенуза. Ми можемо використовувати теорему Піфагора для визначення наступних еквівалентів.

Висота нахилу$l$$h$, висота та радіус$r$ конуса пов'язані наступним чином:

$$l=\sqrt{r^2+h^2} \nonumber$$

$$h=\sqrt{l^2-r^2} \nonumber$$

$$r=\sqrt{l^2-h^2} \nonumber$$

Так само, як об'єм піраміди - це$\dfrac{1}{3}$ об'єм призми з однаковою основою і висотою, об'єм конуса - це$\dfrac{1}{3}$ об'єм циліндра з однаковою основою і висотою.

Об'єм конуса

Обсяг конуса з радіусом основи$r$ і висотою$h$ дорівнює

$$V=\dfrac{1}{3}\pi{r^2}h\) or \(V=\pi{r^2}h\div3 \nonumber$$

Вправи$\PageIndex{1}$

5. Підстава конуса має радіус$5$ сантиметрів, а вертикальна висота конуса -$12$ сантиметри. Знайдіть обсяг конуса.

6. Підстава конуса має діаметр$6$ ніг, а похила висота конуса -$5$ ноги. Знайдіть обсяг конуса.

Відповідь

5. $314\text{ cm}^3$

6. $37.7\text{ ft}^3$

Для площі поверхні конуса маємо наступні формули.

Площа поверхні конуса

$$LSA=\pi{rl} \nonumber$$

$$TSA=LSA+\pi{r^2}=\pi{rl}+\pi{r^2} \nonumber$$

Складно пояснити обгрунтування$LSA$ формули словами, але тут йде. Бічна поверхня конуса при сплющенні являє собою коло з радіусом$l$, який відсутній клин. Окружність цієї часткової окружності, оскільки вона збігалася з окружністю круглої основи, є$2\pi{r}$. Окружність всього кола з радіусом$l$ буде$2\pi{l}$, тому частина, яку ми маємо, є лише часткою всього кола. Якщо бути точним, то фракція є$\dfrac{2\pi{r}}{2\pi{l}}$, яка зводиться до$\dfrac{r}{l}$. Площа всього кола з радіусом$l$ буде$\pi{l^2}$. Оскільки часткове коло - це$\dfrac{r}{l}$ частка всього кола, площа часткової окружності є$\pi{l^2}\cdot\dfrac{r}{l}=\pi{rl}$.

Вправи$\PageIndex{1}$

7. Підстава конуса має діаметр$6$ ніг, а похила висота конуса -$5$ ноги. Знайдіть площу бічної поверхні і загальну площу поверхні конуса.

8. Підстава конуса має радіус$5$ сантиметрів, а вертикальна висота конуса -$12$ сантиметри. Знайдіть площу бічної поверхні і загальну площу поверхні конуса.

Відповідь

7. $47.1\text{ ft}^2$;$75.4\text{ ft}^2$

8. $204\text{ cm}^2$;$283\text{ cm}^2$

Тепер, коли ми розглянули п'ять основних твердих тіл - призму, циліндр, сферу, піраміду, конус - ви повинні мати можливість обробляти композитні тверді тіла, виготовлені з цих форм. Тільки не забудьте взяти їх по шматочках.

Вправа$\PageIndex{1}$

$250$-галон пропановий бак приблизно у формі циліндра з півкулею на кожному кінці. Довжина циліндричної частини довжиною$6$ ноги, а діаметр поперечного перерізу бака -$2.5$ ноги.

9. Розрахуйте обсяг бака в кубічних футах.

10. Переконайтеся, що бак може містити$250$ галони рідкого пропану.

Відповідь

9. $37.6\text{ ft}^3$(об'єм циліндра$\approx29.45\text{ ft}^3$ та комбінований об'єм двох півсфер$\approx8.18\text{ ft}^3$)

10. $37.6\text{ ft}^3\approx281.5\text{ gal}$, що більше, ніж$250\text{ gal}$.

---

1. https://en.Wikipedia.org/wiki/Great_Pyramid_of_Giza 17