1.24: Обсяг загальних твердих речовин

Ванда Ортіс із «Залізних дівчат» збільшує обсяг.

Ви можете використовувати калькулятор у цьому модулі.

Примітка: Ми не обов'язково будемо дотримуватися правил округлення (точності та точності) в цьому модулі. Багато з цих цифр мають розміри лише з однією значною цифрою, але ми втратили б багато інформації, якби округлили результати лише до одного sig рис.

У клавіші відповіді ми часто округляємо до найближчого цілого числа, або до найближчої десятої, або до двох-трьох значущих цифр, як ми вважаємо за потрібне.

---

Площа поверхні твердого тіла - це сума площ всіх його граней; отже, площа поверхні двовимірна і вимірюється в квадратних одиницях. Обсяг - це кількість простору всередині твердого тіла. Обсяг тривимірний, вимірюється в кубічних одиницях. Ви можете уявити обсяг як кількість кубиків, необхідних для повного заповнення твердого тіла.

Об'єм прямокутного твердого тіла

Для прямокутного твердого тіла з довжиною$l$$w$, шириною та висотою$h$:

$$V=lwh \nonumber$$

Для куба з довжиною сторони$s$:

$$V=s^3 \nonumber$$

Вправи$\PageIndex{1}$

Знайдіть обсяг кожного твердого тіла.

1.

2.

Відповідь

1. $40\text{ cm}^3$

2. $531\text{ cm}^3$

Тверде тіло з двома рівнорозмірними багатокутниками в якості основ і прямокутними бічними гранями називається прямокутною призмою. Деякі приклади наведені нижче. Ми будемо називати їх просто призмами в цьому підручнику. (Ми не будемо працювати з косими призмами, які мають паралелограми для бічних граней.)

Якщо ви знаєте площу однієї з підстав, множення її на висоту дає вам обсяг призми. У наведеній нижче формулі ми використовуємо капітал$B$ для представлення площі підстави.

Обсяг призми

Для призми з базовою площею$B$ і висотою$h$:

$$V=Bh \nonumber$$

Якщо призма лежить на боці, то «висота» буде виглядати як довжина. Незалежно від того, як орієнтована призма, висота - це розмір, який перпендикулярний площинам двох паралельних основ.

Вправи$\PageIndex{1}$

Знайдіть обсяг кожної призми.

3.

4.

5.

Відповідь

3. $45\text{ cm}^3$

4. $350\text{ cm}^3$

5. $520\text{ cm}^3$

Площа п'ятикутника становить 55 квадратних дюймів.

Циліндр можна розглядати як призму з основами, які є колами, а не багатокутниками. Так само, як і з призмою, обсяг - це площа підстави, помножена на висоту.

Обсяг циліндра

Для циліндра з радіусом$r$ і висотою$h$:

$$V=\pi{r^2}h \nonumber$$

Вправи$\PageIndex{1}$

Знайдіть обсяг кожного циліндра.

6.

7.

Відповідь

6. $22,600\text{ ft}^3$

7. $3.7\text{ mm}^3$

Як і у випадку з площею поверхні, нам потрібно буде використовувати обчислення, щоб отримати формулу об'єму сфери. Просто повірте.

Обсяг сфери

Для сфери з радіусом$r$:

$$V=\dfrac{4}{3}\pi{r^3} \nonumber$$

або

$$V=4\pi{r^3}\div3 \nonumber$$

Вправи$\PageIndex{1}$

Знайдіть обсяг кожної сфери.

8.

9.

Відповідь

8. $1,440\text{ cm}^3$

9. $7\overline{0}0\text{ in}^3$

Композитні тверді тіла

Звичайно, не кожен тривимірний об'єкт - це призма, циліндр або сфера. Композитне тверде тіло складається з двох або більше простих твердих тіл. Як і у випадку з двовимірними складовими фігурами, розбиття фігури на впізнавані тверді тіла є хорошим першим кроком.

Вправа$\PageIndex{1}$

10. Заклепка утворюється шляхом доливання циліндра півсфери. Ширина циліндричної частини (шпильки заклепки) -$1.6$ см, а довжина -$7$ см. Ширина полусферической верхівки (головки заклепки) -$3.2$ см. Знайдіть обсяг заклепки.

Відповідь

$31.2\text{ cm}^3$(об'єм циліндра$\approx14.07\text{ cm}^3$ та об'єм півкулі$\approx17.16\text{ cm}^3$.)