2.5: Додаткові теми
- Page ID
- 66869
Вам знадобиться: Калькулятор
Поки що ми вивчали, як змінити ціле число в іншій базі на ціле число в базовій десятці. Також можна працювати з числівником, який має десяткову крапку в іншій базі. Подивіться ще раз на діаграму того, як система значень місця працювала для числа в Base n.
| \(n^{11}\) | \(n^{10}\) | \(n^{9}\) | \(n^{8}\) | \(n^{7}\) | \(n^{6}\) | \(n^{5}\) | \(n^{4}\) | \(n^{3}\) | \(n^{2}\) | \(n^{1}\) | \(n^{0}\) |
Наведеної вище моделі вистачить на цілу кількість. Якщо ви дивитеся на число, яке не має десяткової крапки, мається на увазі, що десяткова крапка знаходиться праворуч від крайньої правої цифри. Ми можемо розтягнути цю модель, щоб включити число з десятковими крапками. Це аналогічно роботі з дробами. Дотримуючись зразка, встановленого вище, значення місця праворуч від десяткової крапки, по порядку, є\(n^{-1}, n^{-2}, n^{-3}, n^{-4},\)...
Отже, спосіб перегляду різних значень місця в базі b є:
| \(\underline{b^{4}} \ \underline{b^{3}} \ \underline{b^{2}} \ \underline{b^{1}} \ \underline{b^{0}} \bullet \underline{b^{-1}} \ \underline{b^{-2}} \ \underline{b^{-3}} \ \underline{b^{-4}} \) |
Ця велика точка посередині - це десяткова крапка. Значення місця як і раніше йдуть нескінченно вліво, а також вправо. Наведена вище модель показує лише п'ять знаків ліворуч від десяткової крапки та чотири розряди праворуч від десяткової крапки.
Тепер потрібно згадати з алгебри, що означає негативний показник. У випадку, якщо ви забули, ось визначення негативного показника і що означає мати показник нуля.
|
Якщо\(b \neq 0\) і для будь-якого п,\(b^{-n} = \frac{1}{b^{n}}\) Приклад:\(6^{-2} = \frac{1}{6^{2}} = \frac{1}{36}\) |
Якщо\(b \neq 0\), то\(b^{0} = 1\) Приклад:\(8^{0} = 1\) |
Спростіть спочатку переписуючи кожну проблему, щоб не було негативних показників. Спростити кожен дріб.
| а.\(4^{-1}\) | б.\(4^{-2}\) | c.\(4^{-3}\) |
| д.\(3^{-1}\) | е.\(5^{-2}\) | ф.\(2^{-3}\) |
Давайте розберемося, як переписати кожну з наступних числівників в Base Ten.
\(142.3_{\text{five}}\)
Рішення
\(\begin{align*} 142.3_{\text{five}} &= (1 \times 5^{2}) + (4 \times 5^{1}) + (2 \times 5^{0}) + (3 \times 5^{-1}) \\ &= (1 \times 25) + (4 \times 5) + (2 \times 1) + (3 \times \frac{1}{5^{1}}) \\ &= 25 + 20 + 2 + \frac{3}{5} \\ &= 47\frac{3}{5} \end{align*}\)
Перетворіть кожну цифру на десятку основи. Покажіть кожний з наступних кроків:
Крок 1: Напишіть числівник у розширеному позначенні.
Крок 2: Спростіть кожне число, яке має позитивний показник; перепишіть кожне число, яке має негативний показник, як число з позитивним показником.
Крок 3: Спростіть кожен термін (терміни розділені знаками додавання).
Крок 4: Додайте умови разом. Спрощення будь-яких дробів, якщо це необхідно
| а.\(43.2_{\text{eight}}\) = |
| б.\(143.7_{\text{eleven}}\) = |
| c.\(1111.1_{\text{two}}\) |
| д.\(123.2_{\text{four}}\) = |
Ось приклад перетворення в базову десятку, коли числівник має більше одного місця після десяткової крапки.
\(24.31_{\text{five}}\)
Рішення
\(\begin{align*} 24.31_{\text{five}} &= (2 \times 5^{1}) + (4 \times 5^{0}) + (3 \times 5^{-1}) + (1 \times 5^{-2}) \\ &= (2 \times 5) + (4 \times 1) + (3 \times \frac{1}{5^{-1}}) + (1 \times \frac{1}{5^{2}}) \\ &= 10 + 4 + \frac{3}{5} + \frac{1}{25} \end{align*}\)
(Для додавання дробів вам потрібен спільний знаменник, який досить простий у базах, оскільки знаменник буде степенем початкової основи.)
\(\begin{align*} &= 14 + \frac{15}{25} + \frac{1}{25} \\ &= 14\frac{16}{25} \end{align*}\)
Перетворіть кожну цифру на десятку основи. Показати кожен з наступних кроків:
Крок 1: Напишіть числівник у розширеному позначенні
Крок 2: Спростіть кожне число, яке має позитивний показник; перепишіть кожне число, яке має негативний показник, як число з позитивним показником
Крок 3: Спростіть кожен термін (терміни розділені знаками додавання)
Крок 4: Додайте подібні терміни разом; щоб додати дроби, отримайте загальний демінатор (це буде сила початкової бази).
Крок 5: Спростіть далі, якщо це необхідно. Зменшіть будь-які фракції, якщо це необхідно
| а.\(43.21_{\text{six}}\) = |
| б.\(231.123_{\text{four}}\) = |
| c.\(156.12_{\text{seven}}\) |
| д.\(111.101_{\text{two}}\) = |
| е.\(222.222_{\text{three}}\) |
| ф.\(T2E.0T_{\text{twelve}}\) = |
Для того щоб по-справжньому розібратися в комп'ютерних технологіях, ви повинні володіти здатністю виражати числа в базі два і шістнадцять. Спочатку Base Two (називається двійковою системою) використовувався для вираження комп'ютерного коду. Base Two був природним вибором, так як є тільки два символи, 0 і 1. На найбільш примітивному рівні електронні комп'ютери знають лише дві речі, вимкнено (0) та увімкнено (1). Щоб отримати базове відчуття того, як деяка інформація читається в комп'ютері, уявіть, що є вісім перемикачів - перемикач 1, перемикач 2, перемикач 3,..., перемикач 8. Те, як реагує комп'ютер, залежить від того, який з восьми перемикачів включений «включений». Насправді можливі 256 (\(2^{8}\)) різних конфігурацій.
Уявіть, що перемикач 7, перемикач 2 і перемикач 1 був включений. Ми будемо використовувати 8-значний код, щоб показати це. Виглядає вона як 8-значна цифра, де крайня права цифра представляє перемикач 1, а крайня ліва цифра - перемикач 8. Для нашого прикладу в спотах для вимикачів 1, 2 і 7 має бути 1 і 0 в спотах для вимикачів 3, 4, 5, 6 і 8. Код виглядає так: 01000011. Це читається: «вимкнено-вимкнено-вимкнено-ввімкнено». Код 01000011 дійсно у форматі числа Base Two і може бути перетворений в базову десятку. При написанні двійкового коду для комп'ютера мається на увазі база два, але числівник не пишеться як базове число два. Код пишеться 01000011, тоді як в основі написано два числівника\(1000011_{\text{two}}\).
Використовуючи цю систему з восьми перемикачів, які або вмикаються, або вимикаються, представляють двійковий код, якщо вказані перемикачі увімкнені. Потім напишіть базове десять числівників (також називається десятковим числівником), представлене кожним двійковим числом.
| a. перемикачі, які знаходяться на: 1, 3, 5, 6: |
Двійковий код: ____ Підстава десять числівник він представляє: ____ |
| б. перемикачі, які знаходяться на: 2, 4, 5, 8: |
Двійковий код: ____ Підстава десять числівник він представляє: ____ |
| с. перемикачі, які знаходяться на: 3, 5, 7: |
Двійковий код: ____ Підстава десять числівник він представляє: ____ |
| d. жодних перемикачів не ввімкнено: |
Двійковий код: ____ Підстава десять числівник він представляє: ____ |
| е. всі вісім перемикачів є одним: |
Двійковий код: ____ Підстава десять числівник він представляє: ____ |
Двійкова система досить спрощена тим, що все, що зводиться до послідовності включення і виключення вимикачів. Власне, в даний час два електричні стани, які зазвичай використовуються в комп'ютерах, - це низька напруга і висока напруга. Незалежно від того, чи думаємо ми про позитивні та негативні заряди, вимикачі та вимикачі, низьку та високу напругу тощо, основна ідея однакова - є лише два стани. Хоча двійковий простий з одного боку, недоліком двійкової системи є те, що навіть невеликі числа складаються з безлічі цифр. Наприклад, базова десятка цифра 50 пишеться як\(110010_{\text{two}}\) яка має 6 цифр. Базова десятка (також звана десяткова) цифра 1025 записується як\(10000000001_{\text{two}}\) яка має одинадцять цифр!
Проміжна система нумерації, з використанням більшої бази, була розроблена так, щоб код для числівників можна було записати більш компактно, з меншою кількістю цифр. Для зручності була використана база, яка була силою двох (що полегшує перетворення) і той, який мав розумну кількість (не надто багато) первинних символів.
У першому прикладі, де були включені перемикачі 1, 2 і 7, двійковий код був 01000011. Все, що можна набрати на клавіатурі, насправді має спеціальний 8-значний код, як цей.
Стандартний код під назвою ASCII (абревіатура «Американський стандартний код обміну інформацією») був створений в 1968 році Американським національним інститутом стандартів. Кожному окремому символу клавіатури (і 32 спеціальних функцій управління, таких як клавіша «повернення») було присвоєно число від 0 до 127, що дає 128 різних можливостей. Коли ви вводите велику букву «C» на клавіатурі, комп'ютер кодує цю маленьку інформацію як 01000011 - більше ASCII код знаходиться на сторінці 54.
Якби я набрав своє ім'я «JULIE HARLAND» на клавіатурі, комп'ютер кодував би це 13 восьмизначними цифрами - одна 8-значна цифра для кожної літери та одна для пробілу посередині. Якби я хотів роздрукувати і прочитати код, я б дивився на 104 цифри! Щоб зробити це завдання менш громіздким, ми можемо змусити комп'ютер перетворити кожен оригінальний 8-значний числівник (який насправді є лише базовим двома числівниками) у спеціальне шістнадцяткове (базове шістнадцять) числівник, який складається лише з двох, замість восьми цифр. Зверніть увагу, що якби я хотів прочитати 8-значну цифру як однозначну цифру, мені потрібна базова система 256, яка вимагатиме 256 різних символів - це було б занадто складно! Ось як 8-значний двійковий код 01000011 перетворюється в шістнадцяткову систему, що полегшує мені читання коду.
Кожен 8-значний двійковий кодовий числівник розбивається на дві окремі 4-значні цифри: 0100 0011. Кожна 4-значна цифра перетворюється з бази 2 на базу 16 (є 24, або 16 можливостей для системи з лише 4 перемикачами.) Але в Base Sixteen потрібні 16 різних первинних символів. МИ НЕ ВИКОРИСТОВУЄМО T для десяти, E для одинадцяти і W для дванадцяти В БАЗОВІЙ ШІСТНАДЦЯТЬ! Замість цього, це 16 символів, що використовуються для підрахунку в базі 16:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Іншими словами, A означає десять, B для одинадцяти, C для дванадцяти, D для тринадцяти, E для чотирнадцяти і F для п'ятнадцяти. Перша група з чотирьох цифр перетворюється з 0100 в базових двох до 4 в базовій десятці. 4 в базовій десятці записується як 4 в основі шістнадцяти. Друга група з чотирьох цифр перетворюється з 0011 в базі 2 до 3 в базовій десятці. 3 в базовій десятці записується як 3 в основі шістнадцяти. Тому 8-значна цифра 01000011 просто записується як 43 в шістнадцятковій.
Базова вісімка (вісімкова система) - ще одна поширена проміжна система, яка використовується. Потрібно лише запам'ятати вісім символів для цієї системи (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7). Base Sixteen є більш компактним і вимагає лише одного, щоб запам'ятати шість більше, ніж звичайний десять в базовій десятці. Використання A, B, C, D, E і F для 10,11,12,13,14 і 15 є досить природним для більшості людей, щоб вчитися. З іншого боку, збирається база 32 (наступна потужність 2) система буде досить громіздкою, тому що вам доведеться включити 22 нових символів. Ми обмежимо нашу дискусію шістнадцятковою, а не працюємо в вісімковій системі в цьому наборі вправ.
Ще один приклад:
Якщо перемикачі 8, 7, 5, 4 і 2 включені, напишіть код для цієї конфігурації в двійковій і шістнадцятковій. Яке десяткове числівник це представляє?
Рішення
У двійковій системі використовується код 11011010.
Перша 4-значна послідовність, 1101, тринадцять у базовій десять-D у шістнадцятці; друга 4-значна послідовність, 1010, - десять у основі десять - a у шістнадцятці. Тому код в шістнадцятковій мові - DA. Перетворіть двійкову або шістнадцятку в базову десятку, щоб отримати 218.
Пам'ятайте: Якщо написати «код», то база не пишеться, це мається на увазі, а двійковий код просто пишеться як 11011010 або шістнадцятковим як DA. Якщо я пишу базу два числівника, написати його як 11011010two або якщо писати як шістнадцятковий числівник, написати daSixteen. Зверніть увагу на напрямки!
Напишіть двійковий та шістнадцятковий код, що відповідає цим перемикачам, які вмикаються.
Примітка: Ви вже написали двійковий код для них у вправі 4. Щоб перевірити, що ви пишете правильний шістнадцятковий код, перетворіть базову шістнадцять числівників назад до основи десять і подивитися, чи відповідає він тому, що ви написали для основи десять у вправі 4.
| a. перемикачі, які знаходяться на: 1, 3, 5, 6 |
Двійковий код: ____ Шестигранний код: ____ |
| б. перемикачі, які знаходяться на: 2, 4, 5, 8 |
Двійковий код: ____ Шестигранний код: ____ |
| c. перемикачі, які знаходяться на: 3, 5, 7 |
Двійковий код: ____ Шестигранний код: ____ |
| d. жодних перемикачів не ввімкнано |
Двійковий код: ____ Шестигранний код: ____ |
| е. увімкнено всі вісім перемикачів |
Двійковий код: ____ Шестигранний код: ____ |
Перетворіть кожен шістнадцятковий код в двійковий код і в базовий десятий числівник.
| a Перетворити 5E в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| b Перетворити E5 в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| c Перетворити 39 в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| d Перетворити 1F в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| e Перетворити 98 в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| f Перетворити 2A в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| g Перетворити 07 в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
| h Перетворити 40 в двійковий код: ____ | і до основи десятка: ____ |
Частина кодової діаграми ASCII (лише для 28 з 128 можливих натискань клавіатури) показана нижче. Розведення клавіатури, десяткова (основа десять) цифра, шістнадцятковий код і двійковий код наведені для цих 28 штрихів клавіатури.
| Ключ | Десятка базова | Шестигранник | Двійковий |
|---|---|---|---|
| <space> | 32 | 20 | 00100000 |
| ! | 33 | 21 | 00100001 |
| , | 44 | 2C | 00101100 |
| - | 45 | 2D | 00101101 |
| . | 46 | 2Е | 00101110 |
| A | 65 | 41 | 01000001 |
| Б | 66 | 42 | 01000010 |
| C | 67 | 43 | 01000011 |
| D | 68 | 44 | 01000100 |
| Е | 69 | 45 | 01000101 |
| F | 70 | 46 | 01000110 |
| Г | 71 | 47 | 01000111 |
| Ч | 72 | 48 | 0100/1000 |
| Я | 73 | 49 | 01001001 |
| J | 74 | 4А | 01001010 |
| К | 75 | 4Б | 01001011 |
| Л | 76 | 4C | 01001100 |
| М | 77 | 4D | 01001101 |
| П | 78 | 4Е | 01001110 |
| O | 79 | 4Ф | 01001111 |
| Р | 80 | 50 | 01010000 |
| Q | 81 | 51 | 01010001 |
| Р | 82 | 52 | 01010010 |
| S | 83 | 53 | 01010011 |
| Т | 84 | 54 | 01010100 |
| У | 85 | 55 | 01010101 |
| V | 86 | 56 | 01010110 |
| Ш | 87 | 57 | 01010111 |
Пам'ятайте, що перший числівник ми писали, де перемикачі 1, 2 і 7 були включені? Ми написали це як 01000011, і я згадав, що це ASCII код для літери «C» Подивіться код для «C» на діаграмі - це починає мати трохи більше сенсу?
У будь-якому випадку, давайте повернемося до того, як виглядатиме код для «JULIE HARLAND». Ми зробимо це як шістнадцятковий, так і двійковий, розділяючи код для кожного пробілу або літери комою. Hex простіше, так що давайте зробимо це спочатку: 4A, 55, 4C, 49, 45, 20, 48, 41, 52, 4C, 41, 4E, 44. Ось і все, що є в ньому. Це код. Комп'ютер зберігає його в двійковому форматі як: 01001010, 01010101, 01001100, 01001001, 01000101, 00100000, 01001000, 01000001, 01010010, 01001100, 01000001, 01001110, 01000100.
Зверніть увагу, що я тільки дав вам ASCII код для деяких великих літер алфавіту. Код для літери нижнього регістру відрізняється від коду для літери верхнього регістру.
Розшифруйте такі повідомлення. Частина a знаходиться в двійковій, а частина b - у шістнадцятковій.
|
а. 01001001, 00100000, 01001100, 01001111, 01010110, 01000101, 00100000, 01001101, 01000001, 01010100, 01001000, 00100001 перекладається на: _____ |
| перекладається на: ____ |
Запишіть кожне з наступних у шістнадцятковому коді та в двійковому коді. Показати роботу.
|
а. ДОПОМОЖІТЬ! Шестигранник: ___ Двійковий файл: ____ |
|
б. БУДЬТЕ ЩАСЛИВІ. Примітка: Я впевнений, що ви можете з'ясувати код для «Y», якщо ви спробуєте! Шестигранник: ___ Двійковий файл: ____ |
| c Напишіть своє ім'я в шістнадцятковій і двійковій. Обов'язково включіть свої роботи. |
Перетворіть наступні цифри Десятки в двійкові та шістнадцяткові. У цьому випадку вас не просять написати код, тому не забудьте написати базу праворуч і трохи нижче кожного числівника, як при перетворенні на будь-яку іншу базу. Показати всі роботи
| а. 73 |
| б. 122 |
| c. 50 |
| д. 250 |
| е. 1000 |