2.1: Цифри та цифри
- Page ID
- 66880
Вам знадобляться: А-блоки (Матеріал карти 2A, 2B, 2C, 2D, 2E)
Уявіть, що ви натрапили на людину з віддаленої англомовної колонії, де у кожного було по три пальці на кожній руці. Хоча люди цієї колонії були розумними, вони ніколи не чули про підрахунок і не знали, що це таке, що це означає і як це зробити. Вони нічого не знали про цифри, якими вони були, як їх називали або як вони виглядали. Подумайте про те, як ви могли б навчити цю людину про підрахунок і цифри, щоб вони могли повернутися назад і поділитися цим чудовим знанням зі своїми друзями. Які інструменти ви б використовували для навчання? Які деякі поняття вам доведеться зіткнутися? Які труднощі можуть виникнути? Як ви думаєте, це було б легким чи важким завданням? Запишіть деякі свої ідеї, стратегії та висновки.
Що ви пам'ятаєте про те, щоб дізнатися про цифри або як рахувати? Чи допомагали ви коли-небудь навчити маленьку дитину рахувати? Якщо так, то як це було? Як ви думаєте, скільки часу потрібно, щоб хтось навчився рахувати вперше?
Більшість з нас в сучасному світі досить багато сприймають поняття чисел і підрахунок як належне. Насправді, ми сприймаємо мову як належне - але ця тема занадто задіяна, щоб перейти прямо зараз. Уявіть, який це був прорив, коли люди вперше подумали дати назви предметів. Врешті-решт вони використовували слова, які ми будемо називати іменами чисел, для опису наборів об'єктів (пам'ятаєте множини?!) в плані їх розміру. Це був значний математичний прогрес. Хоча все ще існують деякі культури, які не присвоювали назви числам більше трьох, більшість культур розробили цю концепцію. Деякі племена навіть мають різні назви чисел для різних типів об'єктів.
Однією з труднощів з поняттям чисел, як ми їх використовуємо сьогодні, є те, що вони є поняттями і не обов'язково використовуються лише для підрахунку об'єктів. Наприклад, число чотири використовується багатьма способами - чотири роки, кімната 4, чотири фути у висоту, 4 діти, чотири години, чотири хвилини після восьми, поштова станція 4, 4 пальці, клас 4 на вікторині, підрахунок до 4, чотири рази більше, ніж щось, 4-е місце, чотири побажання, четверте в черзі, зателефонуйте 444-4444, код 44 тощо.
Отже, що таке число?
Ну, число - це абстрактна ідея, яка представляє кількість. Ви не можете побачити або торкнутися номера. Символи, які ми бачимо і торкаємося, які використовуються для представлення чисел насправді цифри. Числівник складається з одного або декількох символів. У індуїстсько-арабській системі, яку ми використовуємо, цифри складаються з одного або декількох з цих десяти символів —0,1,2,3,4,5,6,7,8 і 9. Наприклад, в індуїстсько-арабській системі число три представлено написанням цифри три, яку ми пишемо так: 3, а число два мільйони представлено написанням цифри два мільйони, яку ми пишемо так: 2,000,000. Зверніть увагу, знадобився один символ, щоб написати число для трьох і семи символів, щоб написати число на два мільйони (ми не вважаємо коми як символи, тому що вони не є важливими для написання числівника). Хоча для написання цифри два мільйони знадобилося сім символів, зауважте, що для написання цієї цифри використовуються лише два різні символи - два (2) та нуль (0).
Своїми словами опишіть слово число.
Своїми словами опишіть слово числівник.
Існує три загальних використання чисел. Описати, скільки елементів знаходиться в скінченній множині, є найбільш поширеним використанням підрахунку чисел. При використанні цього способу число іменується як кардинальне число. Інший спосіб використання чисел стосується порядку. Наприклад, хтось може бути переможцем п'ятого місця, або ви можете бути восьмим у черзі. При використанні таким способом цифри називаються порядковими числами. Існують також номери, які використовуються для ідентифікації, такі як номер телефону, поштовий індекс, номер соціального страхування або номер кредитної картки. Вони називаються ідентифікаційними номерами, і важливим є фактичний порядок символів, а не значення числа.
Коли люди визнали, що колекція з чотирьох камінчиків і колекція з чотирьох бананів мають спільну властивість, вони вивчали концепцію відповідності. Вийміть свої A-блоки і розділіть їх на підмножини відповідно до кольору. Візьміть підмножину червоних А-блоків і підмножину синіх А-блоків. Ми зіставимо кожен елемент в синіх А-блоках з елементом в червоних А-блоках. Існує кілька способів зробити це. Я покажу два способи їх відповідності. Покажіть інший спосіб їх відповідності під відповідністю #3 нижче.
| ВІДПОВІДНІСТЬ #1 | ВІДПОВІДНІСТЬ #2 | ВІДПОВІДНІСТЬ #3 |
|---|---|---|
| SBT\(\leftrightarrow\) ЛРТ | SBT\(\leftrightarrow\) SRQ | |
| \(\leftrightarrow\)ЛБТ СТО | ЛБТ\(\leftrightarrow\) ЛРК | |
| SBQ\(\leftrightarrow\) LRQ | SBQ\(\leftrightarrow\) SRC | |
| LBQ\(\leftrightarrow\) SRQ | ТОВ «\(\leftrightarrow\)ЛБК» | |
| SBC\(\leftrightarrow\) LRC | \(\leftrightarrow\)СБК СТО | |
| ЛБК\(\leftrightarrow\) НРЦ | LBC\(\leftrightarrow\) ЛРТ |
Зображення можуть бути використані для представлення відповідності. Нижче наведено ще один спосіб показати Matching #1:
Ми говоримо, що набір синіх А-блоків відповідає набору червоних А-блоків, тому що ми можемо поєднати кожен елемент синіх А-блоків з рівно одним елементом червоних А-блоків.
Використовуючи малюнки, покажіть відповідність між великими трикутниками і малими колами. Існує більше, ніж один можливий спосіб зіставити їх. Переконайтеся, що кожен великий трикутник «танцює» з одним з маленьких кіл.
ПРИМІТКА: Два набори, які відповідають НЕ повинні відповідати природним або приємним чином, як ми можемо поєднувати кольори нашого одягу разом. Можливо, простіше подумати про слово спарювання замість цього. Подумайте про те, щоб показати відповідність між двома наборами, взявши один елемент у першому наборі і з'єднавши його, щоб танцювати з одним елементом у другому наборі. Тепер, коли вони «танцюють» разом, візьміть ще один елемент з першого набору і виберіть когось із другого набору, щоб він танцював. Продовжуйте робити це, поки всі елементи не будуть спарені і танцювати! Це відповідність. Якби у вашому першому наборі було 5 дівчаток, а у другому наборі було 4 хлопчики, вони б не відповідали, тому що одна дівчина залишилася б без партнера. Ось чому необхідно мати однакову кількість елементів у кожному наборі, щоб представляти відповідність.
Давайте зіставимо підмножину кіл з підмножиною квадратів зараз. Два різних відповідності показані нижче. Примітка. Я використовував різні формати, ніж у вправі 5.
Покажіть два різних способи відповідності набору маленьких трикутників з набором великих квадратів.
Кожна з пар, які ми зіставили до цих пір, ілюструє відповідність один до одного (1-1) між двома наборами. Ми говоримо, що два набори збігаються, якщо між їх елементами існує відповідність один до одного.
Якщо існує відповідність 1-1 між двома множинами, що це означає про кардинальність двох наборів?
Намалюйте відповідність один до одного між елементами наведених нижче наборів.
 |
 |
Щоб показати всі 1-1 відповідності, або збіги між двома сетами, Я думаю про всі способи, які два набори можуть співпрацювати, щоб зробити один танець на танцполі. Кожен з кожного набору отримує рівно одного партнера з іншого набору, щоб танцювати, і кожен отримує танцювати. Наприклад, подумайте про групу з 4 хлопчиків - A, B, C і D і 4 дівчат-W, X, Y і Z. Кожен хлопчик повинен бути в парі з однією дівчиною для танцю, так що буде чотири пари танцюють для одного танцю. Одне відповідність полягало б у тому, щоб показати, як вони поєднуються для цього одного танцю: можливо, A з X, B з Z, C з W і D з Y - тобто Matching 11, як показано нижче. Це лише одне відповідність. Зверніть увагу, що ви не поєднуєте елемент одного набору з елементом того ж набору. Для цього прикладу, це означає, що дівчина танцює тільки з хлопчиком. Щоб показати ВСІ можливості для цього прикладу, вам доведеться перерахувати всі різні способи, якими вони можуть стати парами на танцполі для одного танцю. Кожне відповідність показує чотири пари, оскільки вони спарені для одного танцю. Щоб бути іншим відповідним, принаймні дві пари змінили б партнерів. Насправді існує 24 можливі 1-1 відповідності (або різні збіги) для цього прикладу чотирьох хлопчиків та чотирьох дівчат. Нижче наведено один із способів перерахувати всі ці можливості:
|
Відповідність 1 А\(\leftrightarrow\) Ш Б\(\leftrightarrow\) Х C\(\leftrightarrow\) Y Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 2 А\(\leftrightarrow\) Ш Б\(\leftrightarrow\) Х С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) У |
Відповідність 3 А\(\leftrightarrow\) Ш Б\(\leftrightarrow\) У С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 4 А\(\leftrightarrow\) Ш Б\(\leftrightarrow\) У C\(\leftrightarrow\) Z Д\(\leftrightarrow\) Х |
Відповідність 5 А\(\leftrightarrow\) Ш Б\(\leftrightarrow\) З С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) У |
Відповідність 6 А\(\leftrightarrow\) Ш Б\(\leftrightarrow\) З C\(\leftrightarrow\) Y Д\(\leftrightarrow\) Х |
|
Відповідність 7 А\(\leftrightarrow\) Х Б\(\leftrightarrow\) Ш C\(\leftrightarrow\) Y Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 8 А\(\leftrightarrow\) Х Б\(\leftrightarrow\) Ш C\(\leftrightarrow\) Z Д\(\leftrightarrow\) У |
Відповідність 9 А\(\leftrightarrow\) Х Б\(\leftrightarrow\) У С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 10 А\(\leftrightarrow\) Б\(\leftrightarrow\) У С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 11 А\(\leftrightarrow\) Х Б\(\leftrightarrow\) З С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) У |
Відповідність 12 А\(\leftrightarrow\) Х Б\(\leftrightarrow\) З C\(\leftrightarrow\) Y Д\(\leftrightarrow\) Ш |
|
Відповідність 13 А\(\leftrightarrow\) У Б\(\leftrightarrow\) Ш С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 14 А\(\leftrightarrow\) У Б\(\leftrightarrow\) Ш C\(\leftrightarrow\) Z Д\(\leftrightarrow\) Х |
Відповідність 15 А\(\leftrightarrow\) У Б\(\leftrightarrow\) Х С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) З |
Відповідність 16 А\(\leftrightarrow\) У Б\(\leftrightarrow\) Х C\(\leftrightarrow\) Z Д\(\leftrightarrow\) Ш |
Відповідність 17 А\(\leftrightarrow\) У Б\(\leftrightarrow\) З С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) Х |
Відповідність 18 А\(\leftrightarrow\) У Б\(\leftrightarrow\) З С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) Ш |
|
Відповідність 19 А\(\leftrightarrow\) Я Б\(\leftrightarrow\) Ш C\(\leftrightarrow\) Y Д\(\leftrightarrow\) Х |
Відповідність 20 А\(\leftrightarrow\) Я Б\(\leftrightarrow\) Ш С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) У |
Відповідність 21 А\(\leftrightarrow\) Я Б\(\leftrightarrow\) Х С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) У |
Відповідність 22 А\(\leftrightarrow\) Я Б\(\leftrightarrow\) Х C\(\leftrightarrow\) Y Д\(\leftrightarrow\) Ш |
Відповідність 23 А\(\leftrightarrow\) Я Б\(\leftrightarrow\) У С\(\leftrightarrow\) Ш Д\(\leftrightarrow\) Х |
Відповідність 24 А\(\leftrightarrow\) Я Б\(\leftrightarrow\) У С\(\leftrightarrow\) Х Д\(\leftrightarrow\) Ш |
Якщо вас попросять перерахувати один збіг між двома наборами {A, B, C, D} і {W, X, Y, Z}, будь-який з 24 збігів, показаних вище, буде добре. Однак, якщо вас попросять перерахувати ВСІ можливості, вам повинно бути дуже зрозуміло, що являє собою відповідність, як я проілюстрував вище. У кожному збігу зверніть увагу на окремі пари (хто з ким танцює) повинні бути показані. Якщо набори мають по одному елементу кожен, то кожне відповідність має одне сполучення. Якщо набори мають два елементи кожен, то кожне відповідність має дві пари. Якщо набори мають три елементи кожен, то кожне відповідність має три пари. І, якщо набори мають чотири елементи кожен (як у прикладі вище), то кожне відповідність має чотири пари.
Подивіться, чи помітили ви якісь візерунки вище, перш ніж продовжувати. Набагато простіше показувати збіги, коли в сетах менше елементів. Якщо в кожному наборі є один елемент, то це як бути на безлюдному острові, одному чоловікові і одній жінці. Існує не так багато вибору, чи не так?
Показати всі можливі 1-1 відповідність (або відповідність) між множинами.
| а. {1} і {A} | б. {2,3} і {B, C} | c. {4,5,6} і {D, E, F} |
Важливо усвідомити, що два набори, які збігаються, можуть містити один, деякі або всі однакові елементи. Вивчіть наступні приклади, де кожен набір містить точно такі ж елементи.
Приклади: Показати всі можливі 1-1 відповідність (або відповідність) між переліченими множинами.
{3} і {3}
Рішення
Відповідність 1
3\(\leftrightarrow\) 3
{6, 7} і {6, 7}
Рішення
|
Відповідність 1 6\(\leftrightarrow\) 6 7\(\leftrightarrow\) 7 |
Відповідність 2 6\(\leftrightarrow\) 7 7\(\leftrightarrow\) 6 |
{a, b, c} і {a, b, c}
Рішення
|
Відповідність 1 \(\leftrightarrow\)а б\(\leftrightarrow\) б c\(\leftrightarrow\) c |
Відповідність 2 \(\leftrightarrow\)а б\(\leftrightarrow\) с c\(\leftrightarrow\) б |
Відповідність 1 а\(\leftrightarrow\) б б\(\leftrightarrow\) а c\(\leftrightarrow\) c |
Відповідність 1 а\(\leftrightarrow\) а б\(\leftrightarrow\) б c\(\leftrightarrow\) c |
Відповідність 1 а\(\leftrightarrow\) а б\(\leftrightarrow\) б c\(\leftrightarrow\) c |
Відповідність 1 а\(\leftrightarrow\) а б\(\leftrightarrow\) б c\(\leftrightarrow\) c |
Показати всі можливі 1-1 відповідність (або відповідність) між переліченими наборами. Ця вправа продовжується на наступній сторінці. Позначте відповідність, щоб було зрозуміло, скільки збігів, і які пари є в кожному збігу.
| а. {М} і {М} | б. {x, y} і {x, z} | c. {1, 2} і {1, 2} | d. {1, 2, 3} і {1, 2, 3} | е. {1, 2, 3} і {3, 4, 5} |
Якщо ви повинні перерахувати всі можливі 1-1 відповідності між 2 наборами, кожен з яких має кардинальність, перераховану нижче, скільки можливих збігів існує?
| а. 1 елемент кожен: ___ | б. 2 елементи кожен: ___ | c. 3 елементи кожен: ___ |
Формула для з'ясування кількості 1-1 відповідностей між множинами, що мають n елементів, дорівнює n! (це читається «n факторіал»). Щоб з'ясувати, яке число n! є, помножити всі рахункові числа разом до n., Наприклад, 1! = 1, 2! = 1\(\cdot\) 2 = 2, 3! = 1\(\cdot\) 2\(\cdot\) 3 = 6, і 4! = 1\(\cdot\) 2\(\cdot\) 3\(\cdot\) 4 = 24. У самому першому прикладі, де я перерахував всі можливі збіги для двох сетів, кожен з яких має 4 елементи, було 24 можливості. Чи отримали ви потрібну кількість можливостей для всіх тих, що ви зробили?
Настав час вказати на деякі прості, але важливі властивості відповідності.
Набір завжди відповідає самому собі.
Два набори, які збігаються, не повинні відрізнятися один від одного. Наприклад, ви можете зіставити {X, Y, Z} з {X, Y, Z}, показуючи таку природну відповідність один до одного: X «X, Y «Y та Z «Z. (Або ви можете порівняти їх іншим способом. Ось ще два способи показати відповідність: X «Z, Y «X» та Z «Y або X «X, Y «Z і Z «Y»)
Для будь-яких двох наборів A і B, якщо A збігається з B, то B відповідає A.
Це властивість підкреслює, що порядок, в якому згадуються множини, не має значення.
Для будь-яких трьох сетів, якщо A відповідає B і B збігається з C, то A відповідає C.
Ілюструйте властивість 3, дозволяючи A бути набором малих кіл, B - набір малих трикутників, а C - набір малих квадратів. Перерахуйте скорочення (SRC і т.д.) або намалюйте картинку для кожного з окремих елементів в кожному наборі! Повинні бути показані три окремих спарювання, кожен з яких має по 4 пари. Перше відповідність має показувати одне збіг між A та B, тоді має бути інше відповідність, показане між B та C. Останнє, має бути відповідність показано між A та C.
|
Відповідність між А і В: |
Відповідність між В і С: |
Відповідність між А і С: |
Сьогодні більшість, але не всі цивілізації по всьому світу використовують індуїстсько-арабську систему підрахунку і цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... Переваг у цієї системи числення багато. Хоча ви можете подумати, що ця поширена, широко використовувана система підрахунку очевидного вибору, ви можете розглянути як переваги, так і недоліки індуїстсько-арабської, коли ми дізнаємося про інші системи нумерації.
Розглянемо систему STROKE, де був тільки один символ, простий вертикальний штрих, щоб висловити число. Вертикальний штрих, як це, |, виражений один. Щоб висловити число сім, ви б написали сім штрихів: | | | | | |
a. показати, як би ви написали числівник одинадцять в STROKE:
b. опишіть словами, як писати числівники п'ятсот дванадцять; і два мільйони в STROKE. Не намагайтеся написати фактичні штрихи!! У нас тільки семестр!
Назвіть деякі переваги і недоліки системи STROKE, в порівнянні з індуїстсько-арабською системою.
Система підрахунку вдосконалила систему STROKE, впровадивши концепцію групування. Ви, напевно, знайомі з цією системою, де п'ятий штрих був розміщений попередні чотири, тому його було б легше читати, оскільки ви можете рахувати на п'ять. STROKE - це єдина система символів, але Tally можна розглядати як систему двох символів, хоча другий символ дійсно складається з п'яти штрихів. Зверніть увагу на різницю в написанні числівника двадцять вісім в двох системах.
|
Система STROKE: |||||||||||||||||||||||||||||| |
Система Tally: \(\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}|||\) |
а Напишіть числівник для 17 в STROKE.
б Напишіть числівник для 17 в Tally.
Якщо ви думаєте про один штрих (|) як один символ, а 5-тактний підрахунок (\(\cancel{||||}\)) як окремий символ, то для вираження цифри 28 потрібно вісім символів, як показано вище Вправа 13. У STROKE знадобилося 28 символів, щоб написати одне і те ж число. Скільки символів потрібно, щоб висловити цифру для 172 в TALLY?
Староєгипетська система числення, яка була розроблена близько 3400 до н.е., використовує адитивну систему підрахунку, де символи числівника не повинні бути в якомусь особливому порядку або навіть на лінії, що йде зліва направо. Сім символів в цій стародавній системі перераховані нижче, поряд з їх індуїстсько-арабськими еквівалентами.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| Персонал | П'яткова кістка | Прокрутити | Квітка лотоса | Вказівний палець | Поллівог | Здивований чоловік |
| Один | Десятка | Сотня | Тисяча | Десять тисяч | Сто тисяч | Мільйон |
| 1 | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
Ось три різних способи написання числівника шістдесят п'ять в староєгипетській системі:
| \(\cap\cap\cap\cap\cap\cap\)||||| | або | \(\cap\cap\||\cap|\cap\cap||\cap\) |
або, як показано нижче, з усіма символами, укладеними в візуальний набір
Ви просто складаєте значення кожного з символів, щоб отримати відповідь.
Аддитивний принцип стверджує, що значення набору символів є сумою значення символів.
У цій адитивній системі єгипетський числівник представляє
1 000 000 + 10000 + 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 013 204.
Пам'ятайте: порядок написання символів не має значення в адитивній системі.
Окрім того, що ви можете писати символи числівника в будь-якому порядку, ви також можете використовувати іншу комбінацію символів, що використовуються для представлення того ж числа. Ось два різних способи написати число за сто двадцять три:
Поясніть словами ще два способи написання числівника сто двадцять три, використовуючи іншу комбінацію символів, ніж показано вище.
Нижче наведено нагадування про те, що кожен символ означає для того, щоб зробити наступні кілька вправ.
|
|
|
|
|
|
|
|
| Персонал | П'яткова кістка | Прокрутити | Квітка лотоса | Вказівний палець | Поллівог | Здивований чоловік |
| Один | Десятка | Сотня | Тисяча | Десять тисяч | Сто тисяч | Мільйон |
| 1 | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
Висловіть кожну єгипетську цифру нижче як індуїстсько-арабську цифру. Показати роботу.
|
а.  |
|
б.  |
|
c.  |
|
д.  |
Висловіть кожну індуїстсько-арабську цифру нижче як єгипетську цифру, використовуючи найменшу кількість символів можливо. Показати роботу.
| а. 407 |
| б. 3 051 040 |
| c. 232 501 |
| д. 4 000 000 |
| е. 1 111 111 |
Єгипетська система використовує техніку угруповання, де певна кількість однакових символів групується разом і замінюється новим символом. Це необхідно для того, щоб ефективно символізувати дуже великі числа. Системи, які використовують цей принцип групування, кажуть, мають певну базу залежно від того, скільки символів потрібно для обміну на новий символ. Наприклад, система, яка групує шість символів разом, а потім замінює їх новим символом, вважається системою Base Six.
В якій базі знаходиться єгипетська система? Яке обмеження цієї системи щодо групування? (Подумайте, як написати чотири трильйони!)
Назвіть деякі переваги і недоліки староєгипетської системи в порівнянні з індуїстсько-арабською системою, системою STROKE і системою Tally.
Ось приклади деяких римських цифр: XVI, MCMLX, XIX, xii, iv, iii. Назвіть деякі місця, які ви все ще бачите римські цифри сьогодні.
Додатковий кредит: Опублікуйте зображення на Форумі римських цифр у реальному світі. Це повинна бути ваша власна фотографія, а не скопійована з інтернету або іншого джерела. Переконайтеся, що ви на малюнку і включіть значення як індуїстсько-арабську цифру.
Римська система числення використовувалася 300 до н.е. Основні римські цифри та їх відповідні значення наведені нижче. Ми будемо писати з великими літерами.
| Я: 1 | V: 5 | Х: 10 | Л: 50 | В: 100 | Д: 500 | М: 1000 |
Спочатку римська система числення була простою адитивною системою —наприклад, DCCCLXXXVII = 500 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 887. Це насправді система Base Ten з додатковими символами для 5, 50 і 500. Ці додаткові символи значно зменшують обсяг написання, який потрібно зробити. Наприклад, написання римської цифри вісімсот вісімдесят сім без використання додаткових символів виглядало б так: CCCCCCCCXXXXXXXXXIIIIIII. Написання цієї ж цифри за допомогою додаткових символів виглядало б так: DCCCLXXXVII. Без V, L і D потрібно було б виписати більш ніж в два рази більше символів для цього конкретного числівника.
Запишіть кожну індуїстсько-арабську цифру як римську цифру, використовуючи найменшу кількість символів:
| а. 32: | б. 561: |
| в. 708: | д. 2053: |
Напишіть кожну римську цифру як індуїстсько-арабську цифру і покажіть роботу:
| а. ММДХХХХХВ11: ____ | б. МКХХХХІІ: _____ |
Римська система числення розвивалася і включала зміни з плином часу. Одне з обмежень простої аддитивної системи полягає в тому, що ви в кінцевому підсумку закінчилися символи для дуже великих чисел. Ви вже зрозуміли це, відповідаючи на вправу 19? Римляни придумали розумний спосіб піклуватися про цю проблему. Якщо смужка була розміщена над символом або набором символів, це вказувало на те, що число потрібно помножити на тисячу. Більше одного бару може бути використано на будь-якому заданому символі або наборі числівників. Наприклад, два стовпчики вказували, що число потрібно було помножити на 1000 1000 (або один мільйон). Простіше кажучи, символи з однією смугою над ними знаходяться в тисячах, ті, у кого два бари над ними знаходяться в мільйоні, ті, хто має три бари над ними, знаходяться в мільярдах і так далі. Таким чином, римська система числення є мультиплікативною, а також адитивною. Вивчіть цю особливість на наступних прикладах:
\(\bar{\text{CCLVI}}\)ССХ = (100 + 100 + 50 + 5 + 1) 1000 + 100 + 100 + 10 = 256,210
\(\bar{\bar{\text{V}}\text{LX}}\)ДХ = 5 1000000 + (50 + 10) 1000 + 500 + 10 = 5,060,510
Напишіть кожну індуїстсько-арабську цифру як римську цифру, використовуючи найменшу кількість символів.
| а. 330 802 ____ | б. 70 001 651 ____ |
Напишіть кожну римську цифру як індуїстсько-арабську цифру: Показати роботу.
| а.\(\bar{\text{III}}\) CCXII | б.\(\bar{\text{LX}}\) DCL |
Згодом римська система числення виробила принцип віднімання. Якщо символ, що представляє менше число, знаходиться ліворуч від символу, що представляє більшу кількість, то загальна вартість цих двох символів разом представляла значення більшого символу мінус значення меншого символу. Були конкретні умови. Тільки символи, що представляють повноваження десяти (I, X, C, M), можуть бути віднімані, і кожен з цих чотирьох може бути поєднаний лише з наступними двома великими символами. Отже, наступні єдині можливості використання принципу віднімання:
| IV: 4 | МІКС: 9 | XL: 40 | Х.С.: 90 | КД: 400 | СМ: 900 |
Коли ви читаєте римську цифру зліва направо, використовуйте адитивний принцип. Якщо символ, що позначає меншу величину, передує символу, що позначає більшу величину, використовуйте принцип віднімання при читанні цих двох символів. Вивчіть наступні приклади:
СМXXX = (1000-100) + 10 + 10 + (10 - 1) = 939
\(\bar{\text{XCIV}}\)CCXXII = (100-10 + 5-1) 1000 + 100 + (100-10) + 1 + 1 = 94,292
Перепишіть кожну римську цифру без використання принципу віднімання:
| а. ЦМХЛІВ: ____ |
| б. CDXCIX: ____ |
Перепишіть кожну римську цифру, використовуючи найменшу кількість можливих символів та принцип віднімання, де це можливо:
| а. CCCCCХХХХХХХХІІІІІІІІІ ____ |
| б. мммммммммммммммммммммммммммммк |
| c. CCCCCCХХХХХХХХХІІІІІІІІІІІІІ ____ |
| д. CCCCXXXXXII ____ |
Напишіть кожну індуїстсько-арабську цифру як римську цифру, використовуючи найменшу кількість можливих символів та принцип віднімання, де це можливо:
| а. 19 453 ____ |
| б. 2 849 ____ |
| c. 1 996 ____ |
Відтепер, оскільки саме так вони використовуються сьогодні, запишіть всі римські цифри, використовуючи найменшу кількість можливих символів та принцип віднімання, де це можливо, якщо вам не вказано інше.
Мій день народження 15 Липень 1958. Якби я написав цю дату як шестизначний числівник (перші два за місяць, другі два за день і останні два за рік), я б написав 071558. Ось як написати 71 558 як римську цифру:\(\bar{\text{LXXI}}\) DLVIII.
Напишіть дату народження як шестизначний числівник, як я зробив для свого вище. Потім напишіть його римськими цифрами. Якщо ви віддаєте перевагу, ви можете брехати або використовувати дату народження когось, кого любите!
Для чисел під тисячу вкажіть найбільше разів кожен символ нижче може повторюватися поспіль, коли пишеться як частина римської цифри. Припустимо, використовується принцип віднімання.
У цьому наборі вправ ви дізналися деякі основні поняття підрахунку, а також дізналися про деякі системи нумерації. У наступному наборі ви дізнаєтеся про ще дві системи числення. Ми закінчимо ці вправи, порівнявши системи, з якими ми працювали досі. Спочатку ми розглянемо кількість символів, які потрібно запам'ятати, щоб зрозуміти кожну окрему систему. Потім ми визначимо, скільки символів потрібно записати, щоб представляти різні числівники в різних системах.
Для кожної з систем числення, про яку ми дізналися досі, вказуйте, скільки різних символів людина повинна запам'ятати, щоб зрозуміти систему. Для римської мови не розглядайте символи зі смугами над ними як різні символи.
| a. індуїстсько-арабська: _____ | б. інсульт: ____ | c. підрахунок: ____ | d. єгипетський: ____ | е. Роман: ____ |
Давайте напишемо цифру 67 в різних системах і відзначимо, скільки всього символів (не обов'язково різних символів) потрібно, щоб висловити число 67 в кожній системі.
| Індуї-Арабську: | Пишемо: 67 | 2 символи |
| ІНСУЛЬТ: |
Пишемо 67 штрихів, показаних нижче ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| |
67 символів |
| Підрахунок: |
Пишемо 13 підрахункових груп і 2 штрихи, показані нижче \(\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||}\cancel{||||} ||\) |
15 символів |
| Єгипетський: | Пишемо: | 13 символів |
| Роман: | Пишемо: LXVII | 5 символів |
Напишіть числівник для 900 у кожній з п'яти систем нижче і вкажіть, скільки символів потрібно, щоб виписати повну цифру. Замість того, щоб писати цифри в STROKE і Tally, поясніть словами, як ви б їх написали, все ще вказуючи загальну кількість символів, які потрібно було б написати.
| a. індуїстсько-арабська: _____ | б. інсульт: ____ | c. підрахунок: ____ | d. єгипетський: ____ | е. Роман: ____ |
Для кожного індуї-арабського числа у верхньому рядку вкажіть найменшу кількість символів, необхідних для написання цифри в кожній із заданих систем числення ліворуч. Деякі відповіді заповнені для вас. Вам не потрібно насправді писати числівник - просто визначте, скільки символів вам доведеться записати, якщо ви збираєтеся написати числівник. Напишіть свою відповідь на індуїстсько-арабською мовою.
| 143 | 400 | 1 000 000 | 30 009 | 2 124 | |
| Хінду-Арабську | 3 | 7 | |||
| Інсульт | 30 009 | ||||
| Tally | 31 | 200 000 | |||
| Єгипетський | 9 | ||||
| Роман | 2 |