1.4: Додатки

Цілі навчання

У цьому розділі ви навчитеся використовувати лінійні функції для моделювання реальних додатків

Тепер, коли ми навчилися визначати рівняння ліній, ми можемо застосовувати ці ідеї в різних реальних ситуаціях.

Уважно прочитайте проблему. Виділіть важливу інформацію. Слідкуйте за тим, які значення відповідають незалежній змінній (x), а які відповідають залежній змінній (y).

Приклад$\PageIndex{1}$

Служба таксі стягує $0.50 за милю плюс $5 фіксована плата. Якою буде вартість проїзду 20 миль? Яка буде вартість проїзних$x$ миль?

Рішення

$x$= пройдена відстань, в милі і$y$ = вартість в доларах

Вартість проїзду 20 миль становить

$$y = (0.50)(20) + 5 = 10 + 5 = 15 \nonumber$$

Вартість проїзних$x$ миль становить

$$y = (0.50)(x) + 5 = 0.50x + 5 \nonumber$$

У цій задачі $0.50 за милю називається змінною вартістю, а фіксована плата $5 як фіксована вартість. Тепер, якщо ми подивимось на наше рівняння витрат$y = .50x + 5$, ми можемо побачити, що змінна вартість відповідає нахилу, а фіксована вартість$y$ - перехоплення.

Приклад$\PageIndex{2}$

Змінна вартість виготовлення продукту становить 10 доларів за одиницю товару, а фіксована вартість 2500 доларів. Якщо$x$ представляє кількість вироблених позицій і$y$ представляє загальну вартість, напишіть функцію витрат.

Рішення

• Змінна вартість $10 за одиницю говорить нам про це$m = 10$.
• Фіксована вартість являє собою$y$ -перехоплення. Отже$b = 2500$.

Тому рівняння витрат є$y = 10x + 2500$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Це коштує 750 доларів на виготовлення 25 одиниць, а на виготовлення 50 одиниць - 1000 доларів. Припускаючи, що лінійна залежність тримається, знайдіть рівняння вартості та використовуйте цю функцію для прогнозування вартості 100 елементів.

Рішення

Дозволяємо$x$ = кількість вироблених предметів, а нехай$y$ = вартість.

Розв'язування цієї задачі еквівалентно знаходженню рівняння прямої, яка проходить через точки (25, 750) і (50, 1000).

$$m = \frac{1000-750}{50-25} = 10 \nonumber$$

Тому рівняння частки$y = 10x + b$

Підставивши одну з точок в рівнянні, отримаємо$b = 500$

Отже, рівняння витрат$y = 10x + 500$

Щоб знайти вартість 100 найменувань, підставляємо$x = 100$ в рівняння$y = 10x + 500$

Так що вартість

$$y = 10(100) + 500 = 1500 \nonumber$$

Це коштує 1500 доларів, щоб виготовити 100 найменувань.

Приклад$\PageIndex{4}$

Температура замерзання води за Цельсієм становить 0 градусів, а в Фаренгейті 32 градуси. А температури кипіння води в Цельсієм, і за Фаренгейтом складають 100 градусів, і 212 градусів відповідно. Напишіть рівняння перетворення від Цельсія до Фаренгейта і використовуйте це рівняння для перетворення 30 градусів Цельсія в Фаренгейт.

Рішення

Давайте розберемося, що дається.

Цельсія	Фаренгейт
0	32
100	212

Знову ж таки, рішення цієї задачі еквівалентно знаходженню рівняння прямої, яка проходить через точки (0, 32) і (100, 212).

Оскільки ми знаходимо лінійну залежність, ми шукаємо рівняння$y = mx + b$, або в цьому випадку$F = mC + b$, де$x$ або$C$ представляємо температуру за Цельсієм, а у або F температуру в Фаренгейті.

$$\text{slope m } = \frac{312-32}{100-0} = \frac{9}{5} \nonumber$$

Рівняння$F = \frac{9}{5}C + b$

Підставивши точку (0, 32), отримуємо

$$F = \frac{9}{5}C + 32 \nonumber. \nonumber$$

Щоб перетворити 30 градусів Цельсія в Фаренгейт,$C = 30$ підставляємо рівняння

\ почати {вирівняний}
&\ mathrm {F} =\ frac {9} {5}\ mathrm {C} +32\
&\ mathrm {F} =\ frac {9} {5} (30) +32=86
\ кінець {вирівняний}

Приклад$\PageIndex{5}$

Населення Канади в 1980 році становило 24,5 мільйона, а в 2010 році - 34 мільйони. Населення Канади за цей період часу може бути приблизно змодельовано лінійною функцією. Нехай х представляють час як кількість років після 1980 року і нехай y представляють чисельність населення.

1. Запишіть лінійну функцію, яка дає зв'язок між часом і сукупністю.
2. Припускаючи, що населення продовжує зростати лінійно в майбутньому, використовуйте це рівняння для прогнозування чисельності населення Канади в 2025 році.

Рішення

Проблему можна полегшити, використовуючи 1980 як базовий рік, тобто ми вибираємо рік 1980 як рік нульовий. Це буде означати, що 2010 рік буде відповідати 30 році. Тепер дивимося на наявну у нас інформацію:

Рік	Населення
0 (1980)	24,5 мільйонів
30 (2010)	34 мільйона

а Розв'язання цієї задачі еквівалентно знаходженню рівняння прямої, яка проходить через точки (0, 24.5) і (30, 34). Ми використовуємо ці дві точки, щоб знайти нахил:

$$m = \frac{34-24.5}{30-0}=\frac{9.5}{30} = 0.32 \nonumber$$

$y$-перехоплення відбувається$x = 0$, коли, так$b = 24.5$

$$y =0.32x + 24.5 \nonumber$$

б. тепер для прогнозування чисельності населення в 2025 році дозволимо$x=2025-1980=45$

\ почати {вирівняний}
&y = 0,32 х+24,5\\
&y=0,32 (45) +24.5=38,9
\ кінець {вирівняний}

У 2025 році ми прогнозуємо, що населення Канади становитиме 38,9 мільйона чоловік.

Зауважимо, що ми припустили, що тенденція населення буде продовжувати залишатися лінійною. Тому, якщо тенденції населення змінюються, і це припущення не буде вірним у майбутньому, це прогнозування може бути неточним.