Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1: Графік лінійного рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66852

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    У цьому розділі ви навчитеся:

    1. Графік лінії, коли ви знаєте її рівняння
    2. Графік лінії, коли задано її рівняння в параметричній формі
    3. Графік і знайти рівняння вертикальних і горизонтальних ліній

    Побудова лінії з її рівняння

    Рівняння, графіки яких є прямими, називаються лінійними рівняннями. Нижче наведено кілька прикладів лінійних рівнянь:

    \(2 x-3 y=6, \quad 3 x=4 y-7, \quad y=2 x-5, \quad 2 y=3, \quad \text { and } \quad x-2=0\)

    Лінія повністю визначається двома точками. Тому для побудови графіка лінійного рівняння нам потрібно знайти координати двох точок. Це може бути досягнуто шляхом вибору довільного значення для x або y, а потім рішення для іншої змінної.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Графік рядка:\(y = 3x + 2\)

    Рішення

    Нам потрібно знайти координати як мінімум двох точок. Довільно вибираємо х = - 1, х = 0, а х = 1.

    • Якщо х = -1, то y = 3 (-1) + 2 або -1. Отже, (-1, -1) є точкою на цій лінії.
    • Якщо х = 0, то y = 3 (0) + 2 або y = 2. Звідси і точка (0, 2).
    • Якщо х = 1, то у = 5, і отримуємо крапку (1, 5).

    Нижче підсумовуються результати, а рядок намальована графіком.

    х -1 0 1
    у -1 2 5

    Приклад 1.1.1.PNG

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Графік рядка:\(2x + y = 4\)

    Рішення

    Знову ж таки, нам потрібно знайти координати як мінімум двох точок.

    Довільно вибираємо х = -1, х = 0, а у = 2.

    • Якщо x = -1, то 2 (-1) + y = 4, що призводить до y = 6. Тому (-1, 6) є точкою на цій лінії.
    • Якщо x = 0, то 2 (0) + y = 4, в результаті чого y = 4. Звідси і точка (0, 4).
    • Якщо y = 2, то 2x + 2 = 4, що дає x = 1, і дає точку (1, 2).

    У таблиці нижче показані точки, а лінія позначена графіком.

    х -1 0 1
    у 6 4 2

    Приклад 1.1.2.PNG

    Перехоплює

    Точки, в яких лінія перетинає осі координат, називаються перехопленнями.
    Під час побудови графіків лінії шляхом побудови двох точок, використання перехоплень часто є кращим, оскільки їх легко знайти.

    • Щоб знайти значення x-перехоплення, дамо y = 0
    • Щоб знайти значення y-перехоплення, дамо x = 0.
    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайдіть перехоплення лінії:\(2x - 3y = 6\), і графік.

    Рішення

    Щоб знайти x-перехоплення, нехай y = 0 в рівнянні, і вирішіть для x.

    \[\begin{align*} 2x - 3(0) &= 6 \\[4pt] 2x - 0 &= 6 \\[4pt] 2x &= 6 \\[4pt] x &= 3 \end{align*} \nonumber \]

    Тому x-перехоплення - це точка (3,0).

    Щоб знайти y-перехоплення, нехай x = 0 у рівнянні, і вирішіть для y.

    \[\begin{align*} 2(0) - 3y &= 6 \\[4pt] 0 - 3y &= 6 \\[4pt] -3y &= 6 \\[4pt] y &= -2 \end{align*} \nonumber \]

    Тому y-перехоплення - це точка (0, -2).

    Для побудови графіка лінії нанесіть точки для перехоплення x (3,0) та y-перехоплення (0, -2) та використовуйте їх, щоб намалювати лінію.

    Приклад 1.1.3.PNG

    Побудова лінії з її рівняння в параметричному вигляді

    У вищій математиці рівняння рядків іноді записуються в параметричній формі. Наприклад\(x = 3 + 2t\),\(y = 1 + t\). Буква\(t\) називається параметром, або фіктивною змінною.

    Параметричні лінії можуть бути побудовані графіками, знаходячи значення для x і y шляхом підстановки числових значень на t. Побудуйте точки за їх координатами (x, y) і використовуйте точки, щоб намалювати лінію.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Графік лінії, заданої параметричними рівняннями:\(x = 3 + 2t\),\(y = 1 + t\)

    Рішення

    Нехай t = 0, 1 і 2; для кожного значення t знайдіть відповідні значення для x і y.

    Результати наведені в таблиці нижче.

    т х у Точка на лінії
    0 3 1 (3, 1)
    1 5 2 (5, 2)
    2 7 3 (7, 3)

    Приклад 1.1.4.PNG

    Горизонтальні та вертикальні лінії

    Коли рівняння прямої має лише одну змінну, отриманий графік є горизонтальною або вертикальною лінією.

    • Графік прямої\(x = a\), де\(a\) константа, являє собою вертикальну лінію, яка проходить через точку\((a, 0)\). Кожна точка на цій лінії має координату x, рівну a, незалежно від координати y.
    • Графік прямої\(y = b\), де\(b\) константа, являє собою горизонтальну лінію, яка проходить через точку\((0, b)\). Кожна точка на цій лінії має y-координату рівну b, незалежно від координати x.
    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Графік рядків: x = -2, а y = 3.

    Рішення

    Графік прямої x = -2 - це вертикальна лінія, яка має координату x -2 незалежно від того, якою є координата y. Графік являє собою вертикальну лінію, що проходить через точку (-2, 0).

    Графік прямої y = 3, є горизонтальною лінією, яка має y-координату 3 незалежно від того, що таке координата x. Тому графік являє собою горизонтальну лінію, яка проходить через точку (0, 3).

    Приклад 1.1.5.PNG

    Примітка: Більшість учнів вважають, що координати точок завжди повинні бути цілими числами. Це не так, і в реальних життєвих ситуаціях не завжди можливо. Не лякайтеся, якщо ваші точки включають числа, які є дробами або десятковими знаками.