Loading [MathJax]/extensions/TeX/newcommand.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Золоте Перетин Φ

\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }  \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,} \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,} \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,} \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,} \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}

Число\Phi відоме як золоте перетин. Кажутьy, що два додатних числаx іx>y, з, знаходяться в золотому співвідношенні, якщо співвідношення між сумою цих чисел і більшим є таким же, як співвідношення між більшим і меншим; тобто

\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y} \nonumber

Розчин (2.2.1) врожайністьx / y=\Phi. Якимось чітко визначеним чином, також\Phi можна назвати самим ірраціональним з ірраціональних чисел.

Щоб зрозуміти, чому ця відмінність\Phi є найбільш ірраціональним числом, нам потрібно спочатку зрозуміти тривалі дроби. Нагадаємо, що раціональне число - це будь-яке число, яке може бути виражено як частка двох цілих чисел, а ірраціональне число - будь-яке число, яке не є раціональним. Раціональні числа мають скінченні тривалі дроби; ірраціональні числа мають нескінченні тривалі дроби.

Кінцевий безперервний дріб являє собою раціональне числоx як

x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_{n}}}}} \nonumber

деa_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} натуральні числа іa_{0} є будь-якими цілими числами. Зручна стенографічна форма(2.2.2) є

x=\left[a_{0} ; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right] \nonumber

Якщоx нераціонально, тоn \rightarrow \infty.

Тепер для деяких прикладів. Для побудови продовження дробу раціонального числаx=3 / 5 ми можемо записати

\begin{aligned} 3 / 5 &=\frac{1}{5 / 3}=\frac{1}{1+2 / 3} \\[4pt] &=\frac{1}{1+\frac{1}{3 / 2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+1 / 2}} \end{aligned} \nonumber

який має форму(2.2.2), так що3 / 5=[0 ; 1,1,2].

Щоб побудувати безперервний дріб ірраціонального числа\sqrt{2}, ми можемо скористатися хитрістю і написати

\begin{aligned} \sqrt{2} &=1+(\sqrt{2}-1) \\[4pt] &=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}} \end{aligned} \nonumber

Тепер у нас є рекурсивне визначення, яке можна продовжити як

\begin{aligned} \sqrt{2} &=1+\frac{1}{1+\left(1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)} \\[4pt] &=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}} \end{aligned} \nonumber

і так далі, що дає нескінченну безперервну дріб

\sqrt{2}=[1 ; \overline{2}] \nonumber

Іншим прикладом, який ми будемо використовувати пізніше, є продовжений дріб для\pi, чиї перші кілька термінів можна обчислити з

\begin{aligned} \pi &=3+0.14159 \ldots \\[4pt] &=3+\frac{1}{7.06251 \ldots} \\[4pt] &=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15.99659 \ldots}} \end{aligned} \nonumber

і так далі, поступаючись початковій послідовності\pi=[3 ; 7,15, \ldots]. Історично важливе наближення першого порядку дається тим\pi=[3 ; 7]=22 / 7=3.142857 \ldots, що вже було відомо Архімеду в давнину.

Нарешті, щоб визначити продовження дробу для золотого перетину\Phi, ми можемо написати

\Phi=1+\frac{1}{\Phi} \nonumber

що є ще одним рекурсивним визначенням, яке можна продовжити як

\Phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}} \nonumber

і так далі, поступаючись дивно простій формі

\Phi=[1 ; \overline{1}] . \nonumber

Оскільки всіa_{i} кінцеві рівні одиниці, подальша частка для золотого перетину (та інших пов'язаних з ними чисел з кінцевими) сходиться особливо повільно. Крім того, послідовні раціональні наближення до золотого перетину - це всього лише відношення послідовних чисел Фібоначчі1 / 1,2 / 1,3 / 2,5 / 3, тобто і т.д. Через дуже повільного збіжності цієї послідовності скажемо, що золоте перетин найскладніше наблизити раціональним числом. Більш поетично золоте перетин було названо самим ірраціональним з ірраціональних чисел.

Оскільки золоте перетин - це саме нераціональне число, воно має спосіб несподівано з'явитися в природі. Одним з відомих прикладів є квіточки в головці соняшнику, про які ми розповімо в наступному розділі.