2.2: Золоте Перетин Φ

Число\(\Phi\) відоме як золоте перетин. Кажуть\(y\), що два додатних числа\(x\) і\(x>y\), з, знаходяться в золотому співвідношенні, якщо співвідношення між сумою цих чисел і більшим є таким же, як співвідношення між більшим і меншим; тобто

\[\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y} \nonumber \]

Розчин (2.2.1) врожайність\(x / y=\Phi\). Якимось чітко визначеним чином, також\(\Phi\) можна назвати самим ірраціональним з ірраціональних чисел.

Щоб зрозуміти, чому ця відмінність\(\Phi\) є найбільш ірраціональним числом, нам потрібно спочатку зрозуміти тривалі дроби. Нагадаємо, що раціональне число - це будь-яке число, яке може бути виражено як частка двох цілих чисел, а ірраціональне число - будь-яке число, яке не є раціональним. Раціональні числа мають скінченні тривалі дроби; ірраціональні числа мають нескінченні тривалі дроби.

Кінцевий безперервний дріб являє собою раціональне число\(x\) як

\[x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_{n}}}}} \nonumber \]

де\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) натуральні числа і\(a_{0}\) є будь-якими цілими числами. Зручна стенографічна форма\((2.2.2)\) є

\[x=\left[a_{0} ; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right] \nonumber \]

Якщо\(x\) нераціонально, то\(n \rightarrow \infty\).

Тепер для деяких прикладів. Для побудови продовження дробу раціонального числа\(x=3 / 5\) ми можемо записати

\[\begin{aligned} 3 / 5 &=\frac{1}{5 / 3}=\frac{1}{1+2 / 3} \\[4pt] &=\frac{1}{1+\frac{1}{3 / 2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+1 / 2}} \end{aligned} \nonumber \]

який має форму\((2.2.2)\), так що\(3 / 5=[0 ; 1,1,2]\).

Щоб побудувати безперервний дріб ірраціонального числа\(\sqrt{2}\), ми можемо скористатися хитрістю і написати

\[\begin{aligned} \sqrt{2} &=1+(\sqrt{2}-1) \\[4pt] &=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}} \end{aligned} \nonumber \]

Тепер у нас є рекурсивне визначення, яке можна продовжити як

\[\begin{aligned} \sqrt{2} &=1+\frac{1}{1+\left(1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)} \\[4pt] &=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}} \end{aligned} \nonumber \]

і так далі, що дає нескінченну безперервну дріб

\[\sqrt{2}=[1 ; \overline{2}] \nonumber \]

Іншим прикладом, який ми будемо використовувати пізніше, є продовжений дріб для\(\pi\), чиї перші кілька термінів можна обчислити з

\[\begin{aligned} \pi &=3+0.14159 \ldots \\[4pt] &=3+\frac{1}{7.06251 \ldots} \\[4pt] &=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15.99659 \ldots}} \end{aligned} \nonumber \]

і так далі, поступаючись початковій послідовності\(\pi=[3 ; 7,15, \ldots]\). Історично важливе наближення першого порядку дається тим\(\pi=[3 ; 7]=22 / 7=3.142857 \ldots\), що вже було відомо Архімеду в давнину.

Нарешті, щоб визначити продовження дробу для золотого перетину\(\Phi\), ми можемо написати

\[\Phi=1+\frac{1}{\Phi} \nonumber \]

що є ще одним рекурсивним визначенням, яке можна продовжити як

\[\Phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}} \nonumber \]

і так далі, поступаючись дивно простій формі

\[\Phi=[1 ; \overline{1}] . \nonumber \]

Оскільки всі\(a_{i}\) кінцеві рівні одиниці, подальша частка для золотого перетину (та інших пов'язаних з ними чисел з кінцевими) сходиться особливо повільно. Крім того, послідовні раціональні наближення до золотого перетину - це всього лише відношення послідовних чисел Фібоначчі\(1 / 1,2 / 1,3 / 2,5 / 3\), тобто і т.д. Через дуже повільного збіжності цієї послідовності скажемо, що золоте перетин найскладніше наблизити раціональним числом. Більш поетично золоте перетин було названо самим ірраціональним з ірраціональних чисел.

Оскільки золоте перетин - це саме нераціональне число, воно має спосіб несподівано з'явитися в природі. Одним з відомих прикладів є квіточки в головці соняшнику, про які ми розповімо в наступному розділі.