10.4: Числа Фібоначчі та Золоте Перетин

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65981

Maxie Inigo, Jennifer Jameson, Kathryn Kozak, Maya Lanzetta, & Kim Sonier
Coconino Community College

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Знаменита і важлива послідовність - послідовність Фібоначчі, названа на честь італійського математика, відомого як Леонардо Пізано, прізвисько якого було Фібоначчі, і який жив з 1170 по 1230 рік. Ця послідовність така:

\[\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ldots \ldots \ldots\} \nonumber \]

Ця послідовність визначається рекурсивно. Це означає, що кожен термін визначається попередніми термінами.

і так далі.

Послідовність Фібоначчі визначається

, для всіх

, коли

Іншими словами, щоб отримати наступний член в послідовності, додайте два попередніх члена.

\[\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,55+34=89,89+55=144, \cdots\} \nonumber \]

Позначення, яке ми будемо використовувати для представлення послідовності Фібоначчі, виглядає наступним чином:

\[f_{1}=1, f_{2}=1, f_{3}=2, f_{4}=3, f_{5}=5, f_{6}=8, f_{7}=13, f_{8}=21, f_{9}=34, f_{10}=55, f_{11}=89, f_{12}=144, \ldots \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\): Рекурсивне знаходження чисел Фібоначчі

Знайдіть 13-е, 14-е та 15-е числа Фібоначчі, використовуючи вищевказане рекурсивне визначення для послідовності Фібоначчі.

По-перше, зверніть увагу, що вже є 12 чисел Фібоначчі, перерахованих вище, тому, щоб знайти наступні три числа Фібоначчі, ми просто додаємо два попередні терміни, щоб отримати наступний термін, як зазначено у визначенні.

Тому 13-е, 14-е і 15-е числа Фібоначчі - 233, 377 і 610 відповідно.

Обчислення членів послідовності Фібоначчі може бути нудним при використанні рекурсивної формули, особливо при знаходженні термінів з великим n, На щастя, математик на ім'я Леонхард Ейлер виявив формулу обчислення будь-якого числа Фібоначчі. Ця формула була втрачена близько 100 років і була заново відкрита іншим математиком на ім'я Жак Біне. Оригінальна формула, відома як формула Біне, наведена нижче.

Формула Біне: n-е число Фібоначчі задається за такою формулою:

\[f_{n}=\frac{\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]}{\sqrt{5}} \nonumber \]

Формула Біне є прикладом явно визначеної послідовності. Це означає, що терміни послідовності не залежать від попередніх термінів.

Дещо більш зручний, спрощений варіант формули Біне іноді використовується замість наведеної вище.

Спрощена формула Біне: n-е число Фібоначчі задається за такою формулою:

Примітка: Символ означає «округлити до найближчого цілого числа».

Приклад\(\PageIndex{2}\): явне знаходження

Знайдіть значення за допомогою спрощеної формули Біне.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Калькулятор роботи для

Приклад\(\PageIndex{3}\): явне знаходження

Знайдіть значення за допомогою спрощеної формули Біне.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Калькулятор роботи для

Приклад\(\PageIndex{4}\): явне знаходження

Знайдіть значення за допомогою спрощеної формули Біне.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Калькулятор роботи для

Навколо нас ми можемо знайти числа Фібоначчі в природі. Кількість гілок на деяких деревах або кількість пелюсток деяких маргариток часто є числами Фібоначчі.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Числа Фібоначчі та ромашки

а. ромашка з 13 пелюстками b. ромашка з 21 пелюсткою

а. Результат зображення для квітки ромашки б.

(Ромашки, н.д.)

Числа Фібоначчі також з'являються у спіральних схемах росту, таких як кількість спіралей на кактусі або на насіннєвих грядках соняшнику.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Числа Фібоначчі та зростання спіралі

а. кактус з 13 спіралями за годинниковою стрілкою b. соняшник з 34 спіралями за годинниковою стрілкою і 55 спіральками проти

а. б.

(Кактус, н.д.) (Соняшник, н.д.)

Ще один цікавий факт виникає при погляді на співвідношення послідовних чисел Фібоначчі.

Виявляється, що ці співвідношення наближаються до числа. Число, до якого ці співвідношення наближаються, - це спеціальне число, яке називається Золотим Перетином, яке позначається (грецька буква фі). Ви бачили це число у формулі Біне.

Золотий Перетин:

\[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \nonumber \]

Золоте Перетин має десяткове наближення\(\phi=1.6180339887\).

Золоте Перетин - це особливий номер з безлічі причин. Його також називають божественною пропорцією, і вона з'являється в мистецтві та архітектурі. Деякі стверджують, що це найбільш приємне співвідношення для очей. Щоб знайти це співвідношення, греки розрізають довжину на дві частини, а менший шматок нехай дорівнює одній одиниці. Найбільш приємний крій, коли співвідношення всієї довжини до довгого шматка збігається з співвідношенням довгого шматка до короткого шматка 1.

перехресне множення, щоб отримати

переставити, щоб отримати

вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратної формули.

Золоте перетин - це рішення квадратного рівняння, що означає, що воно має властивість. Це означає, що якщо ви хочете скласти квадрат Золотого Перетину, просто додайте до нього один. Щоб це перевірити, просто підключіть.