2.1: Кролики Фібоначчі

У 1202 році Фібоначчі запропонував наступну головоломку, яку ми перефразовуємо тут:

Чоловік посадив чоловічо-жіночу пару щойно народжених кроликів в поле. Кроликам потрібно місяць на дозрівання до спарювання. Через місяць після спарювання самки народжують одну пару чоловік-самка, а потім знову спаровуються. Жодні кролики не вмирають. Скільки пар кроликів через рік?

Зростання популяції кроликів Фібоначчі представлено в таблиці 2.1. На початку кожного місяця показана кількість малолітніх, дорослих, загальна кількість кроликів. На початку січня в популяції впроваджується одна пара малолітніх кроликів. На початку лютого ця пара кроликів дозріла і спаровувалася. На початку березня ця оригінальна пара кроликів народжує нову пару малолітніх кроликів. І так далі.

Якщо$F_{n}$ залишити загальну кількість пар кроликів на початку$n$ го місяця, то кількість пар кроликів на початку 13-го місяця буде вирішенням головоломки Фібоначчі. Розглядаючи загальну кількість пар кроликів в таблиці$2.1$, видно, що

$$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} . \nonumber$$

Це лінійне різницеве рівняння другого порядку вимагає двох початкових умов, які задаються$F_{1}=F_{2}=1$. Перші тринадцять чисел Фібоначчі, прочитані з таблиці,

Таблиця 2.1: Популяція кроликів Фібоначчі.

місяць	$\mathrm{J}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{M}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{M}$	$\mathrm{J}$	$\mathrm{J}$	$\mathrm{A}$	$\mathrm{S}$	$\mathrm{O}$	$\mathrm{N}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{J}$
малолітніх	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
дорослий	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
всього	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

даються

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, \ldots \nonumber$$

$F_{13}=233$де рішення головоломки Фібоначчі.

Розв'яжемо$(2.1.1)$ для всіх$F_{n}^{\prime}$ s Для розв'язання цього рівняння шукаємо розв'язок виду$F_{n}=\lambda^{n} .$ Підстановка на (2.1.1) виходи

$$\lambda^{n+1}=\lambda^{n}+\lambda^{n-1} \nonumber$$

або після поділу на$\lambda^{n-1}$:

$$\lambda^{2}-\lambda-1=0 \nonumber$$

з розчином

$$\lambda_{\pm}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \nonumber$$

Визначте

$$\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803 \ldots \nonumber$$

і

$$\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\Phi-1=0.61803 \ldots \nonumber$$

Тоді$\lambda_{+}=\Phi$ і$\lambda_{-}=-\phi .$ також, зверніть увагу, що з тих пір$\Phi^{2}-\Phi-1=0$, поділ на$\Phi$ врожайність$1 / \Phi=\Phi-1$, так що

$$\phi=\frac{1}{\Phi} \nonumber$$

Як і при розв'язанні лінійних однорідних диференціальних рівнянь, два значення$\lambda$ можуть бути використані для побудови загального розв'язку лінійного різницевого рівняння за принципом лінійного суперпозиції:

$$F_{n}=c_{1} \Phi^{n}+c_{2}(-\phi)^{n} . \nonumber$$

Розширюючи послідовність Фібоначчі до$F_{0}=0$ ($F_{0}=F_{2}-F_{1}$since), задовольняємо умови$F_{0}=0$ і$F_{1}=1$:

$$\begin{aligned} c_{1}+c_{2} &=0, \\[4pt] c_{1} \Phi-c_{2} \phi &=1 . \end{aligned} \nonumber$$

Тому$c_{2}=-c_{1}$, і$c_{1}(\Phi+\phi)=1$, або$c_{1}=1 / \sqrt{5}, c_{2}=-1 / \sqrt{5} .$ Ми можемо переписати рішення як

$$F_{n}=\frac{\Phi^{n}-(-\phi)^{n}}{\sqrt{5}} \nonumber$$

Так$\phi^{n} \rightarrow 0$ як$n \rightarrow \infty$, ми бачимо$F_{n} \rightarrow \Phi^{n} / \sqrt{5}$, що, і$F_{n+1} / F_{n} \rightarrow \Phi$