Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Кролики Фібоначчі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66581

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У 1202 році Фібоначчі запропонував наступну головоломку, яку ми перефразовуємо тут:

    Чоловік посадив чоловічо-жіночу пару щойно народжених кроликів в поле. Кроликам потрібно місяць на дозрівання до спарювання. Через місяць після спарювання самки народжують одну пару чоловік-самка, а потім знову спаровуються. Жодні кролики не вмирають. Скільки пар кроликів через рік?

    Зростання популяції кроликів Фібоначчі представлено в таблиці 2.1. На початку кожного місяця показана кількість малолітніх, дорослих, загальна кількість кроликів. На початку січня в популяції впроваджується одна пара малолітніх кроликів. На початку лютого ця пара кроликів дозріла і спаровувалася. На початку березня ця оригінальна пара кроликів народжує нову пару малолітніх кроликів. І так далі.

    Якщо\(F_{n}\) залишити загальну кількість пар кроликів на початку\(n\) го місяця, то кількість пар кроликів на початку 13-го місяця буде вирішенням головоломки Фібоначчі. Розглядаючи загальну кількість пар кроликів в таблиці\(2.1\), видно, що

    \[F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} . \nonumber \]

    Це лінійне різницеве рівняння другого порядку вимагає двох початкових умов, які задаються\(F_{1}=F_{2}=1\). Перші тринадцять чисел Фібоначчі, прочитані з таблиці,

    місяць \(\mathrm{J}\) \(\mathrm{F}\) \(\mathrm{M}\) \(\mathrm{A}\) \(\mathrm{M}\) \(\mathrm{J}\) \(\mathrm{J}\) \(\mathrm{A}\) \(\mathrm{S}\) \(\mathrm{O}\) \(\mathrm{N}\) \(\mathrm{D}\) \(\mathrm{J}\)
    малолітніх 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
    дорослий 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
    всього 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
    Таблиця 2.1: Популяція кроликів Фібоначчі.

    даються

    \[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, \ldots \nonumber \]

    \(F_{13}=233\)де рішення головоломки Фібоначчі.

    Розв'яжемо\((2.1.1)\) для всіх\(F_{n}^{\prime}\) s Для розв'язання цього рівняння шукаємо розв'язок виду\(F_{n}=\lambda^{n} .\) Підстановка на (2.1.1) виходи

    \[\lambda^{n+1}=\lambda^{n}+\lambda^{n-1} \nonumber \]

    або після поділу на\(\lambda^{n-1}\):

    \[\lambda^{2}-\lambda-1=0 \nonumber \]

    з розчином

    \[\lambda_{\pm}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \nonumber \]

    Визначте

    \[\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803 \ldots \nonumber \]

    і

    \[\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\Phi-1=0.61803 \ldots \nonumber \]

    Тоді\(\lambda_{+}=\Phi\) і\(\lambda_{-}=-\phi .\) також, зверніть увагу, що з тих пір\(\Phi^{2}-\Phi-1=0\), поділ на\(\Phi\) врожайність\(1 / \Phi=\Phi-1\), так що

    \[\phi=\frac{1}{\Phi} \nonumber \]

    Як і при розв'язанні лінійних однорідних диференціальних рівнянь, два значення\(\lambda\) можуть бути використані для побудови загального розв'язку лінійного різницевого рівняння за принципом лінійного суперпозиції:

    \[F_{n}=c_{1} \Phi^{n}+c_{2}(-\phi)^{n} . \nonumber \]

    Розширюючи послідовність Фібоначчі до\(F_{0}=0\) (\(F_{0}=F_{2}-F_{1}\)since), задовольняємо умови\(F_{0}=0\) і\(F_{1}=1\):

    \[\begin{aligned} c_{1}+c_{2} &=0, \\[4pt] c_{1} \Phi-c_{2} \phi &=1 . \end{aligned} \nonumber \]

    Тому\(c_{2}=-c_{1}\), і\(c_{1}(\Phi+\phi)=1\), або\(c_{1}=1 / \sqrt{5}, c_{2}=-1 / \sqrt{5} .\) Ми можемо переписати рішення як

    \[F_{n}=\frac{\Phi^{n}-(-\phi)^{n}}{\sqrt{5}} \nonumber \]

    Так\(\phi^{n} \rightarrow 0\) як\(n \rightarrow \infty\), ми бачимо\(F_{n} \rightarrow \Phi^{n} / \sqrt{5}\), що, і\(F_{n+1} / F_{n} \rightarrow \Phi\)