1.3: Модель видової конкуренції

Модель видової конкуренції

Припустимо, що два види змагаються за одні й ті ж ресурси. Щоб побудувати модель, ми можемо почати з логістичних рівнянь для обох видів. Різні види мали б різні темпи зростання і різну вантажопідйомність. Якщо пускати$N_{1}$ і$N_{2}$ бути чисельністю особин виду один і вид два, то

$$\begin{aligned} &\frac{d N_{1}}{d t}=r_{1} N_{1}\left(1-N_{1} / K_{1}\right) \\[4pt] &\frac{d N_{2}}{d t}=r_{2} N_{2}\left(1-N_{2} / K_{2}\right) \end{aligned} \nonumber$$

Це незв'язані рівняння так, що асимптотично,$N_{1} \rightarrow K_{1}$ і$N_{2} \rightarrow K_{2}$. Як ми моделюємо конкуренцію між видами? Якщо$N_{1}$ набагато менше$K_{1}$, і$N_{2}$ набагато менше$K_{2}$, то ресурсів багато, і населення зростає в геометричній прогресії з темпами зростання$r_{1}$ і$r_{2}$. Якщо види один і два конкурують, то зростання виду один зменшує ресурси, доступні виду два, і навпаки. Оскільки ми не знаємо, який вид впливу один і два мають один на одного, ми вводимо два додаткових параметра для моделювання конкуренції. Розумною модифікацією, яка поєднує два логістичні рівняння, є

$$\begin{align} \frac{d N_{1}}{d t} &=r_{1} N_{1}\left(1-\frac{N_{1}+\alpha_{12} N_{2}}{K_{1}}\right), \\[4pt] \frac{d N_{2}}{d t} &=r_{2} N_{2}\left(1-\frac{\alpha_{21} N_{1}+N_{2}}{K_{2}}\right), \end{align} \nonumber$$

де$\alpha_{12}$ і$\alpha_{21}$ є безрозмірними параметрами, які моделюють споживання видів своїх ресурсів двома видами, і навпаки. Наприклад, припустимо, що обидва види їдять точно таку ж їжу, але вид два споживає в два рази більше, ніж видовий. Оскільки одна особина виду два споживає еквівалент двох особин виду один, правильною моделлю є$\alpha_{12}=2$ і$\alpha_{21}=1 / 2$. Інший приклад передбачає, що види один і два займають одну нішу, споживають ресурси з однаковою швидкістю, але можуть мати різні темпи зростання і пропускну здатність. Чи може вид співіснувати, або один вид врешті-решт веде інший до вимирання? Відповісти на це питання можна, фактично не вирішуючи диференціальних рівнянь. $\alpha_{12}=\alpha_{21}=1$Відповідно до цього прикладу, пов'язані логістичні рівняння (1.3.1 та 1.3.2) стають

$$\frac{d N_{1}}{d t}=r_{1} N_{1}\left(1-\frac{N_{1}+N_{2}}{K_{1}}\right), \quad \frac{d N_{2}}{d t}=r_{2} N_{2}\left(1-\frac{N_{1}+N_{2}}{K_{2}}\right) \nonumber$$

Заради аргументу ми припускаємо, що$K_{1}>K_{2}$. Єдиними фіксованими точками, крім тривіальної,$\left(N_{1}, N_{2}\right)=(0,0)$ є$\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(K_{1}, 0\right)$ і$\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(0, K_{2}\right) .$ Стабільність може бути обчислена аналітично двовимірним розширенням серії Тейлора, але тут може вистачити більш простого аргументу. Розглянемо спочатку$\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(K_{1}, \epsilon\right)$, з$\epsilon$ малим. Оскільки$K_{1}>K_{2}$, спостерігайте з (1.3.3), що$\dot{N}_{2}<0$ так, щоб два види вимерли. Тому$\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(K_{1}, 0\right)$ є стійкою фіксованою точкою. Тепер розглянемо$\left(N_{1}, N_{2}\right)=$$\left(\epsilon, K_{2}\right)$, з$\epsilon$ малим. Знову ж таки$K_{1}>K_{2}$, оскільки, спостерігайте з (1.3.3), що$\dot{N}_{1}>0$ і вид один збільшується в кількості. Тому$\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(0, K_{2}\right)$ є нестійкою нерухомою точкою. Таким чином, ми виявили, що в рамках нашої поєднаної логістичної моделі види, які займають одну нішу і споживають ресурси з однаковою швидкістю, не можуть співіснувати і що види з найбільшою вантажопідйомністю виживуть і змусять інших видів до вимирання. Це так званий принцип конкурентного виключення, який ще називають$K$ -селекцією, оскільки виграє вид з найбільшою вантажопідйомністю. Насправді екологи теж говорять про$r$ -селекції; тобто виграє вид з найбільшими темпами зростання. Наша поєднана логістична модель не$r$ моделює -вибір, демонструючи потенційні обмеження занадто простої математичної моделі.

Для деяких значень$\alpha_{12}$ і$\alpha_{21}$ наша модель допускає стабільне рівноважне рішення, де співіснують два види. Розрахунок фіксованих точок і їх стійкість складніше, ніж щойно зроблений розрахунок, і я представляю тільки результати. Стабільне співіснування двох видів всередині нашої моделі можливо тільки в тому випадку, якщо$\alpha_{12} K_{2}<K_{1}$ і$\alpha_{21} K_{1}<K_{2}$.