1.3: Модель видової конкуренції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66650

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Модель видової конкуренції

Припустимо, що два види змагаються за одні й ті ж ресурси. Щоб побудувати модель, ми можемо почати з логістичних рівнянь для обох видів. Різні види мали б різні темпи зростання і різну вантажопідйомність. Якщо пускати\(N_{1}\) і\(N_{2}\) бути чисельністю особин виду один і вид два, то

\[\begin{aligned} &\frac{d N_{1}}{d t}=r_{1} N_{1}\left(1-N_{1} / K_{1}\right) \\[4pt] &\frac{d N_{2}}{d t}=r_{2} N_{2}\left(1-N_{2} / K_{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Це незв'язані рівняння так, що асимптотично,\(N_{1} \rightarrow K_{1}\) і\(N_{2} \rightarrow K_{2}\). Як ми моделюємо конкуренцію між видами? Якщо\(N_{1}\) набагато менше\(K_{1}\), і\(N_{2}\) набагато менше\(K_{2}\), то ресурсів багато, і населення зростає в геометричній прогресії з темпами зростання\(r_{1}\) і\(r_{2}\). Якщо види один і два конкурують, то зростання виду один зменшує ресурси, доступні виду два, і навпаки. Оскільки ми не знаємо, який вид впливу один і два мають один на одного, ми вводимо два додаткових параметра для моделювання конкуренції. Розумною модифікацією, яка поєднує два логістичні рівняння, є

\[\begin{align} \frac{d N_{1}}{d t} &=r_{1} N_{1}\left(1-\frac{N_{1}+\alpha_{12} N_{2}}{K_{1}}\right), \\[4pt] \frac{d N_{2}}{d t} &=r_{2} N_{2}\left(1-\frac{\alpha_{21} N_{1}+N_{2}}{K_{2}}\right), \end{align} \nonumber \]

де\(\alpha_{12}\) і\(\alpha_{21}\) є безрозмірними параметрами, які моделюють споживання видів своїх ресурсів двома видами, і навпаки. Наприклад, припустимо, що обидва види їдять точно таку ж їжу, але вид два споживає в два рази більше, ніж видовий. Оскільки одна особина виду два споживає еквівалент двох особин виду один, правильною моделлю є\(\alpha_{12}=2\) і\(\alpha_{21}=1 / 2\). Інший приклад передбачає, що види один і два займають одну нішу, споживають ресурси з однаковою швидкістю, але можуть мати різні темпи зростання і пропускну здатність. Чи може вид співіснувати, або один вид врешті-решт веде інший до вимирання? Відповісти на це питання можна, фактично не вирішуючи диференціальних рівнянь. \(\alpha_{12}=\alpha_{21}=1\)Відповідно до цього прикладу, пов'язані логістичні рівняння (1.3.1 та 1.3.2) стають

\[\frac{d N_{1}}{d t}=r_{1} N_{1}\left(1-\frac{N_{1}+N_{2}}{K_{1}}\right), \quad \frac{d N_{2}}{d t}=r_{2} N_{2}\left(1-\frac{N_{1}+N_{2}}{K_{2}}\right) \nonumber \]

Заради аргументу ми припускаємо, що\(K_{1}>K_{2}\). Єдиними фіксованими точками, крім тривіальної,\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=(0,0)\) є\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(K_{1}, 0\right)\) і\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(0, K_{2}\right) .\) Стабільність може бути обчислена аналітично двовимірним розширенням серії Тейлора, але тут може вистачити більш простого аргументу. Розглянемо спочатку\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(K_{1}, \epsilon\right)\), з\(\epsilon\) малим. Оскільки\(K_{1}>K_{2}\), спостерігайте з (1.3.3), що\(\dot{N}_{2}<0\) так, щоб два види вимерли. Тому\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(K_{1}, 0\right)\) є стійкою фіксованою точкою. Тепер розглянемо\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=\)\(\left(\epsilon, K_{2}\right)\), з\(\epsilon\) малим. Знову ж таки\(K_{1}>K_{2}\), оскільки, спостерігайте з (1.3.3), що\(\dot{N}_{1}>0\) і вид один збільшується в кількості. Тому\(\left(N_{1}, N_{2}\right)=\left(0, K_{2}\right)\) є нестійкою нерухомою точкою. Таким чином, ми виявили, що в рамках нашої поєднаної логістичної моделі види, які займають одну нішу і споживають ресурси з однаковою швидкістю, не можуть співіснувати і що види з найбільшою вантажопідйомністю виживуть і змусять інших видів до вимирання. Це так званий принцип конкурентного виключення, який ще називають\(K\) -селекцією, оскільки виграє вид з найбільшою вантажопідйомністю. Насправді екологи теж говорять про\(r\) -селекції; тобто виграє вид з найбільшими темпами зростання. Наша поєднана логістична модель не\(r\) моделює -вибір, демонструючи потенційні обмеження занадто простої математичної моделі.

Для деяких значень\(\alpha_{12}\) і\(\alpha_{21}\) наша модель допускає стабільне рівноважне рішення, де співіснують два види. Розрахунок фіксованих точок і їх стійкість складніше, ніж щойно зроблений розрахунок, і я представляю тільки результати. Стабільне співіснування двох видів всередині нашої моделі можливо тільки в тому випадку, якщо\(\alpha_{12} K_{2}<K_{1}\) і\(\alpha_{21} K_{1}<K_{2}\).