1.1: Мальтузіанська модель зростання

$N(t)$Дозволяти кількість особин в популяції на час$t$, а нехай$b$ і$d$ буде середній на душу населення народжуваність і рівень смертності відповідно. За короткий час$\Delta t$ кількість пологів у популяції становить$b \Delta t N$, а кількість смертей -$d \Delta t N$. $N$Рівняння для часу$t+\Delta t$ потім визначається

$$N(t+\Delta t)=N(t)+b \Delta t N(t)-d \Delta t N(t) \nonumber$$

які можна переставити на

$$\dfrac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=(b-d) N(t) \nonumber$$

і як$\Delta t \rightarrow 0$

$$\dfrac{d N}{d t}=(b-d) N \text {. } \nonumber$$

При початковій чисельності$N_{0}$ населення і з$r=b-d$ позитивним, рішення для$N=N(t)$ зростає в геометричній прогресії:

$$N(t)=N_{0} e^{r t} \nonumber$$

З чисельністю населення замінено на суму грошей в банку, експоненціальний закон зростання також описує зростання рахунку при безперервному складанні З процентною ставкою$r$.