1.1: Мальтузіанська модель зростання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66656

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\(N(t)\)Дозволяти кількість особин в популяції на час\(t\), а нехай\(b\) і\(d\) буде середній на душу населення народжуваність і рівень смертності відповідно. За короткий час\(\Delta t\) кількість пологів у популяції становить\(b \Delta t N\), а кількість смертей -\(d \Delta t N\). \(N\)Рівняння для часу\(t+\Delta t\) потім визначається

\[N(t+\Delta t)=N(t)+b \Delta t N(t)-d \Delta t N(t) \nonumber \]

які можна переставити на

\[\dfrac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=(b-d) N(t) \nonumber \]

і як\(\Delta t \rightarrow 0\)

\[\dfrac{d N}{d t}=(b-d) N \text {. } \nonumber \]

При початковій чисельності\(N_{0}\) населення і з\(r=b-d\) позитивним, рішення для\(N=N(t)\) зростає в геометричній прогресії:

\[N(t)=N_{0} e^{r t} \nonumber \]

З чисельністю населення замінено на суму грошей в банку, експоненціальний закон зростання також описує зростання рахунку при безперервному складанні З процентною ставкою\(r\).