Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.6: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66525

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    1. Куля витягується випадковим чином з банки, яка містить 6 червоних кульок, 2 білих кульок і 5 жовтих кульок. Знайти ймовірність заданої події.

    а. червона куля намальована

    б. малюється біла куля

    2. Припустимо, ви пишете кожну букву алфавіту на іншому аркуші паперу і поклали сліпи в капелюх. Яка ймовірність намалювати одну папірку з капелюха навмання і отримати:

    а. приголосний

    б. голосна

    3. Групу людей запитали, чи бігли вони на червоне світло в минулому році. 150 відповіли «так», а 185 відповіли «ні». Знайдіть ймовірність того, що якщо людину вибрали навмання, у них за останній рік пролунало червоне світло.

    4. В ході опитування 205 людей вказали, що віддають перевагу котам, 160 вказали, що віддають перевагу крапкам, а 40 вказали, що їм не подобається жодна домашня тварина Знайдіть ймовірність того, що якщо людина обраний навмання, вони віддають перевагу кішкам.

    5. Обчислити ймовірність кидання шестигранної матриці (зі сторонами пронумеровані від 1 до 6) і отримати 5.

    6. Обчислити ймовірність кидання шестигранної матриці і отримання 7.

    7. Даючи тест групі учнів, оцінки та стать підсумовуються нижче. Якщо один студент був обраний навмання, знайдіть ймовірність того, що студентка була жінкою.

    А Б C Всього
    Чоловічий 8 18 13 39
    Жіноча 10 4 12 26
    Всього 18 22 25 65

    8. У таблиці нижче наведено кількість кредитних карток, що належать групі фізичних осіб. Якщо одна людина була обрана навмання, знайдіть ймовірність того, що у людини не було кредитних карт.

    Нульовий Один Два або більше Всього
    Чоловічий 9 5 19 33
    Жіноча 18 10 20 48
    Всього 27 15 39 81

    9. Обчислити ймовірність кидання шестигранного штампа і отримання парного числа.

    10. Обчислити ймовірність кидання шестигранної матриці і отримання числа менше 3.

    11. Якщо ви вибираєте одну карту навмання зі стандартної колоди карт, яка ймовірність, що це буде король?

    12. Якщо ви вибираєте одну карту навмання зі стандартної колоди карт, яка ймовірність, що це буде Діамант?

    13. Обчислити ймовірність прокатки 12-сторонньої матриці і отримання числа, відмінного від 8.

    14. Якщо ви вибираєте одну карту навмання зі стандартної колоди карт, яка ймовірність, що це не Туз пік?

    15. Посилаючись на таблицю оцінок з питання #7, яка ймовірність того, що студент, обраний навмання, НЕ заробив C?

    16. Посилаючись на таблицю кредитних карт з питання #8, яка ймовірність того, що людина, обраний випадковим чином, має принаймні одну кредитну карту?

    17. Шестигранна плашка прокочується двічі. Яка ймовірність показати 6 на обох рулонів?

    18. Справедлива монета перевертається двічі. Яка ймовірність показати голови на обох сальто?

    19. Двічі прокочується плашка. Яка ймовірність показати 5 на першому рулоні і парне число на другому рулоні?

    20. Припустимо, що 21% людей володіють собаками. Якщо ви виберете двох людей навмання, яка ймовірність того, що вони обидва володіють собакою?

    21. Припустимо, банку містить 17 червоних кульок і 32 синіх мармуру. Якщо ви дійдете в банку і витягнете навмання 2 кульки, знайдіть ймовірність того, що обидва червоні.

    22. Припустимо, ви пишете кожну букву алфавіту на іншому аркуші паперу і поклали сліпи в капелюх. Якщо ви витягнете навмання два ковзання, знайдіть ймовірність того, що обидва є голосними.

    23. Берт і Ерні мають добре перетасовану стандартну колоду з 52 карт. Кожен з них витягує по одній карті з власної колоди. Обчислити ймовірність того, що:

    а Берт і Ерні обидва намалювати Туза.

    б Берт малює Туза, але Ерні цього не робить.

    c. ні Берт, ні Ерні не малює Туза.

    d Берт і Ерні обидва малюють серце.

    e Берт отримує карту, яка не є Джеком, а Ерні малює карту, яка не є серцем.

    24. Берт має добре перетасовану стандартну колоду з 52 карт, з якої він витягує одну карту; у Ерні 12-стороння плашка, яку він кидає одночасно Берт витягує карту. Обчислити ймовірність того, що:

    а Берт отримує Джек, а Ерні котить п'ятірку.

    б Берт отримує серце, а Ерні котить число менше шести.

    c Берт отримує карту обличчя (валет, дама або король), а Ерні котить парне число.

    d Берт отримує червону картку і Ерні котиться п'ятнадцять.

    е Берт отримує карту, яка не є Джеком, а Ерні кидає число, яке не дванадцять.

    25. Обчислити ймовірність витягування короля з колоди карт, а потім малювання королеви.

    26. Обчислити ймовірність витягування двох пік з колоди карт.

    27. Клас математики складається з 25 учнів, 14 жінок і 11 чоловіків. Два учні вибираються випадковим чином для участі в експерименті з ймовірністю. Обчислити ймовірність того, що

    а. вибирається самець, потім самка.

    б. вибирається самка, потім самець.

    c. відбираються два самці.

    d. відбираються дві самки.

    e. не вибираються чоловіки.

    28. Клас математики складається з 25 учнів, 14 жінок і 11 чоловіків. Три учні вибираються випадковим чином для участі в експерименті з ймовірністю. Обчислити ймовірність того, що

    а. вибирається самець, потім дві самки.

    б. вибирається самка, потім два самці.

    с. вибираються дві самки, потім один самець.

    d. відбираються три самці.

    е. відбираються три самки.

    29. Даючи тест групі учнів, оцінки та стать підсумовуються нижче. Якщо один студент був обраний навмання, знайдіть ймовірність того, що студентка була жінкою і заробила А.

    А Б C Всього
    Чоловічий 8 18 13 39
    Жіноча 10 4 12 26
    Всього 18 22 25 65

    30. У таблиці нижче наведено кількість кредитних карток, що належать групі фізичних осіб. Якщо одна людина була обрана навмання, знайдіть ймовірність того, що людина був чоловіком і мав дві і більше кредитних карт.

    Нульовий Один Два або більше Всього
    Чоловічий 9 5 19 33
    Жіноча 18 10 20 48
    Всього 27 15 39 81

    31. Банка містить 6 червоних мармурів під номером від 1 до 6 і 8 синіх мармурів, пронумерованих від 1 до 8. З банки довільним чином витягується мармур. Знайдіть ймовірність того, що мармур червоний або непарнийнумерований.

    32. Банка містить 4 червоних мармуру під номером від 1 до 4 і 10 синіх мармурів під номером від 1 до 10. З банки довільним чином витягується мармур. Знайдіть ймовірність того, що мармур блакитний або навітьнумерований.

    33. Звертаючись до таблиці з #29, знайдіть ймовірність того, що студент, обраний навмання, є жіночим або заробив Б.

    34. Звертаючись до таблиці від #30, знайдіть ймовірність того, що людина, обраний навмання, є чоловіком або не має кредитних карт.

    35. Обчислити ймовірність витягування Короля сердець або королеви з колоди карт.

    36. Обчислити ймовірність витягування короля або серця з колоди карт.

    37. Банка містить 5 червоних мармурів під номером від 1 до 5 і 8 синіх мармурів, пронумерованих від 1 до 8. З банки довільним чином витягується мармур. Знайдіть ймовірність того, що мармур

    а. парний з урахуванням того, що мармур червоний.

    б. червоний з огляду на те, що мармур парний.

    38. Банка містить 4 червоних мармуру під номером від 1 до 4 і 8 синіх мармурів під номером від 1 до 8. З банки довільним чином витягується мармур. Знайдіть ймовірність того, що мармур

    а. непарний номер враховуючи, що мармур блакитний.

    б. блакитний з огляду на те, що мармур непарний.

    39. Обчислити ймовірність перегортання монети і отримання голів, враховуючи, що попередній фліп був хвостами.

    40. Знайти ймовірність прокатки «1» на ярмарку матриці, враховуючи, що останні 3 рулони були всі вони.

    41. Припустимо, що клас математики містить 25 учнів, 14 жінок (троє з яких говорять французькою) та 11 чоловіків (двоє з яких говорять французькою). Обчислити ймовірність того, що випадково обраний студент говорить французькою мовою, враховуючи, що студент - жінка.

    42. Припустимо, що клас математики містить 25 учнів, 14 жінок (троє з яких говорять французькою) та 11 чоловіків (двоє з яких говорять французькою). Обчислити ймовірність того, що випадково обраний студент - чоловік, враховуючи, що студент говорить французькою мовою.

    43. Певний вірус заражає кожного 400 чоловік. Тест, який використовується для виявлення вірусу у людини, є позитивним 90% часу, якщо у людини є вірус, і 10% часу, якщо у людини немає вірусу. Нехай A - подія «людина заражена», а B - подією «людина позитивно тестує».

    а. знайти ймовірність того, що людина має вірус, враховуючи, що вони дали позитивний результат, тобто знайти\(P(A | B)\).

    б. знайти ймовірність того, що у людини немає вірусу, враховуючи, що вони тестують негативні, тобто знаходять\(P(\text{not } A | \text{not } B)\).

    44. Певний вірус заражає кожного 2000 людей. Тест, який використовується для виявлення вірусу у людини, є позитивним у 96% випадків, якщо у людини є вірус, і 4% часу, якщо у людини немає вірусу. Нехай A - подія «людина заражена», а B - подією «людина позитивно тестує».

    а. знайти ймовірність того, що людина має вірус, враховуючи, що вони дали позитивний результат, тобто знайти\(P(A | B)\).

    б. знайти ймовірність того, що у людини немає вірусу, враховуючи, що вони тестують негативні, тобто знаходять\(P(\text{not } A | \text{not } B)\).

    45. Певне захворювання має рівень захворюваності 0,3%. Якщо помилково негативний показник становить 6%, а помилково позитивний показник становить 4%, обчислити ймовірність того, що людина, яка тестує позитивний, насправді має захворювання.

    46. Певне захворювання має рівень захворюваності 0,1%. Якщо помилково негативний показник становить 8%, а помилково позитивний показник становить 3%, обчисліть ймовірність того, що людина, яка тестує позитивний, насправді має захворювання.

    47. Певна група жінок без симптомів у віці від 40 до 50 років випадковим чином вибирається для участі в скринінгу мамографії. Частота захворюваності на рак молочної залози серед таких жінок становить 0,8%. Помилково негативний показник для мамографії становить 10%. Хибнопозитивний показник становить 7%. Якщо результати мамографії для конкретної жінки позитивні (вказують на те, що у неї рак молочної залози), яка ймовірність того, що вона насправді має рак молочної залози?

    48. Близько 0,01% чоловіків з невідомою поведінкою ризику інфіковані ВІЛ. Хибнонегативний показник для стандартного тесту на ВІЛ 0,01% і помилково позитивний показник також становить 0,01%. Якщо випадково обраний чоловік з невідомим ризиком поведінки перевіряє позитивний результат на ВІЛ, яка ймовірність того, що він насправді інфікований ВІЛ?

    49. Хлопчик володіє 2 парами штанів, 3 сорочки, 8 краваток і 2 куртки. Скільки різних нарядів він може носити до школи, якщо він повинен носити один з кожного елемента?

    50. У ресторані можна вибрати з 3 закусок, 8 страв і 2 десертів. Скільки різних страв з трьох страв ви можете їсти?

    51. Скільки трилітерних слів можна скласти з 4 букв FGHI, якщо

    a. допускається повторення букв

    b. повторення листів не допускається

    52. Скільки чотирибуквенних слів можна зробити з 6 букв AEBWDP, якщо

    a. допускається повторення букв

    b. повторення листів не допускається

    53. Усі номерні знаки в певному стані містять три літери, за якими слідують три цифри (наприклад, ABC 123). Скільки різних номерів номерних знаків доступні державному департаменту автомобільних транспортних засобів?

    54. Пароль комп'ютера повинен містити вісім символів. Скільки паролів можливо, якщо дозволено лише 26 букв алфавіту?

    55. Піаніст планує зіграти 4 п'єси на концерті. Скільки способів вона може розташувати ці твори в програмі?

    56. Скільки способів можуть бути присуджені перші, другі та треті призи у конкурсі з 210 конкурсантами?

    57. Сім олімпійських спринтерів мають право змагатися в естафеті 4 х 100 м за олімпійську збірну США. Скільки естафетних команд з чотирьох осіб можна вибрати з числа семи спортсменів?

    58. Користувач комп'ютера завантажив 25 пісень за допомогою онлайн-програми обміну файлами і хоче створити CD-R з десятьма піснями для використання у своєму портативному програвачі компакт-дисків. Якщо для нього важливий порядок, який пісні розміщуються на CD-R, скільки різних CD-Rs він міг би зробити з 25 доступних йому пісень?

    59. У західній музиці октава ділиться на 12 смол. Для фільму «Близькі зустрічі третього роду» режисер Стівен Спілберг попросив композитора Джона Вільямса написати п'ятинотну тему, яку інопланетяни використовували б для спілкування з людьми на Землі. Не враховуючи зміни ритму та октави, скільки п'ятинотних тем можливі, якщо не повторюється жодна нота?

    60. На початку ХХ століття прихильники Другої віденської школи музичної композиції (включаючи Арнольда Шенберга, Антона Веберна та Альбана Берга) розробили дванадцятитональну техніку, яка використовувала тональний ряд, що складається з усіх 12 смол з хроматичної шкали в будь-якому порядку, але з не повторюваними смолами в ряду. Не враховуючи зміни ритму та октави, скільки тональних рядів можливо?

    61. Скільки способів можна вибрати 4 начинки для піци з 12 доступних начинок?

    62. У дитячому душі відвідують 17 гостей і 5 з них випадковим чином вибираються для отримання дверного призу. Якщо всі 5 призи ідентичні, у скільки способів можуть бути присуджені призи?

    63. У лотереї 6/50 гравець вибирає шість чисел від 1 до 50. Скільки різних варіантів має гравець, якщо порядок не має значення?

    64. У щоденній грі лотереї гравець вибирає три числа від 0 до 9. Скільки різних варіантів має гравець, якщо порядок не має значення?

    65. Пул журі складається з 27 осіб. Скільки різних способів може бути обрано 11 осіб для роботи в журі і одна додаткова особа бути обрана на посаду бригадира присяжних?

    66. Комітет Сенату США з питань торгівлі, науки та транспорту складається з 23 членів, 12 республіканців та 11 демократів. Підкомітет з наземного транспорту та торгового флоту складається з 8 республіканців та демократів 7. Скільки способів обирати членів Підкомітету від Комітету?

    67. Ви володієте 16 компакт-дисками. Ви хочете випадково розташувати 5 з них у стійці компакт-дисків. Яка ймовірність того, що стійка закінчиться в алфавітному порядку?

    68. Пул журі складається з 27 осіб, 14 чоловіків і 13 жінок. Обчислити ймовірність того, що випадково вибране журі з 12 осіб - це все чоловіки.

    69. У лотерейній грі гравець вибирає шість чисел від 1 до 48. Якщо 5 з 6 номерів відповідають тим, хто намалював, вони гравець виграє другий приз. Яка ймовірність виграти цей приз?

    70. У лотерейній грі гравець вибирає шість чисел від 1 до 48. Якщо 4 з 6 номерів відповідають тим, хто намалював, вони гравець виграє третій приз. Яка ймовірність виграти цей приз?

    71. Обчислити ймовірність того, що 5-карткова покерна рука роздається вам, яка містить всі серця.

    72. Обчисліть ймовірність того, що 5-карткова покерна рука роздається вам, яка містить чотири тузи.

    73. Сумка містить 3 золоті кульки, 6 срібних кульок та 28 чорних мармурів. Хтось пропонує пограти в цю гру: Ви випадковим чином вибираєте по мармуру з мішка. Якщо це золото, ви виграєте 3 долари. Якщо це срібло, ви виграєте 2 долари. Якщо він чорний, ви втрачаєте 1 долар. Яке ваше очікуване значення, якщо ви граєте в цю гру?

    74. Друг розробляє гру, в яку грають прокатки одного шестигранного померти один раз. Якщо ви кидаєте 6, він платить вам $3; якщо ви кидаєте 5, він вам нічого не платить; якщо ви кидаєте число менше 5, ви платите йому $1. Обчислити очікуване значення для цієї гри. Ви повинні грати в цю гру?

    75. У лотерейній грі гравець вибирає шість чисел від 1 до 23. Якщо гравець відповідає всім шести числам, він виграє 30 000 доларів. В іншому випадку вони втрачають 1 долар. Знайдіть очікуване значення цієї гри.

    76. Гра проводиться шляхом вибору двох карт з колоди. Якщо вони однакового значення, то ви виграєте 5 доларів, інакше втрачаєте 1 долар. Яка очікувана цінність цієї гри?

    77. За оцінками компанії, 0,7% їхньої продукції вийде з ладу після початкового гарантійного терміну, але протягом 2 років після покупки, вартість заміни становить 350 доларів. Якщо вони пропонують 2-річну розширену гарантію на 48 доларів США, яка очікувана вартість кожної проданої гарантії?

    78. Страхова компанія оцінює ймовірність землетрусу в наступному році в 0,0013. Середній збиток, нанесений землетрусом, за його оцінками, становить $60,000. Якщо компанія пропонує страховку від землетрусу за 100 доларів, яка їх очікувана вартість поліса?

    Розвідка

    Деякі з цих питань були адаптовані з головоломок на mindyourdecisions.com.

    79. Невеликий коледж був звинувачений у гендерній упередженості при вступі до аспірантури програм.

    а. з 500 чоловіків, які подали заявку, були прийняті 255. З 700 жінок, які подали заявку, були прийняті 240. Знайдіть коефіцієнт прийняття для кожної статі. Чи говорить це про упередженість?

    б Коледж потім подивився на кожен з двох відділів з програмами випускників, і знайшов дані нижче. Обчисліть коефіцієнт прийому в кожному відділі за статтю. Чи говорить це про упередженість?

    Департамент Чоловікам Жінкам
    Прикладний Зізнався Прикладний Зізнався
    Відділ А 400 240 100 90
    Відділ B 100 15 600 150

    c Дивлячись на наші результати з частин a і b, що ви можете зробити висновок? Чи існує гендерна упередженість у вступі цього коледжу? Якщо так, то в якому напрямку?

    80. Ставка на «чорне» в рулетці має\(\dfrac{18}{38}\) ймовірність виграшу. Якщо ви виграєте, ви подвоїте свої гроші. Ви можете робити ставки в будь-якому місці від $1 до $100 на кожен спін.

    а Припустимо, у вас є $10, і збираєтеся грати, поки ви не зламаєтеся або не матимете $20. Яка ваша найкраща стратегія гри?

    б Припустимо, у вас є $10, і збираєтеся грати, поки ви не зламаєтеся або не матимете $30. Яка ваша найкраща стратегія гри?

    81. Ваш друг пропонує гру: Ви перевертаєте монету. Якщо це голови, ви виграєте $1. Якщо це хвости, ви втрачаєте 1 долар. Тим не менш, ви стурбовані, що монета може бути не справедливою монетою. Як ви могли змінити гру, щоб зробити гру чесною, не замінюючи монету?

    82. П'ятдесят чоловік знаходяться в черзі. Перша людина в лінії, щоб мати день народження відповідність хтось перед ними виграє приз. Звичайно, це означає, що перша людина в лінії не має шансів на виграш. Яка людина має найвищу ймовірність виграшу?

    83. Троє людей кладуть свої імена в капелюх, потім кожен малює ім'я, як частина рандомізованого обміну подарунками. Яка ймовірність того, що ніхто не малює власне ім'я? А як щодо чотирьох людей?

    84. Скільки різних «слів» можна сформувати, використовуючи всі букви кожного з наступних слів рівно один раз?

    а. «АЛІСА»

    б. «ЯБЛУКО»

    85. Скільки різних «слів» можна сформувати, використовуючи всі букви кожного з наступних слів рівно один раз?

    а. «КОЗИРИ»

    б. «ТЕЕТЕР»

    86. Проблема Монті Холл названа на честь ведучого ігрового шоу Давайте зробимо угоду. У цій грі було б три двері, за однією з яких знаходився приз. Учаснику було запропоновано вибрати одну з дверей. Потім Монті Холл відкрив одну з інших дверей, щоб показати, що там немає жодного призу. Потім учасника запитали, чи хочуть вони залишитися зі своїми оригінальними дверима, або переключитися на інші невідкриті двері. Чи краще залишитися або переключитися, або це має значення?

    87. Припустимо, у вас є дві монети, де одна - справедлива монета, а інша монета приходить головами 70% часу. Яка ймовірність, що у вас є справедлива монета, враховуючи кожен з наступних результатів із серії сальто?

    a. 5 голів і 0 хвостів

    б. 8 голів і 3 хвоста

    c. 10 голів і 10 хвостів

    d. 3 голів і 8 хвостів

    88. Припустимо, у вас є шість монет, де п'ять справедливих монет, а одна монета приходить голови 80% часу. Яка ймовірність, що у вас є справедлива монета, враховуючи кожен з наступних результатів серії сальто?

    a. 5 голів і 0 хвостів

    б. 8 голів і 3 хвоста

    c. 10 голів і 10 хвостів

    d. 3 голів і 8 хвостів

    89. У цій задачі ми вивчимо ймовірності з серії подій.

    а Якщо ви перевернути 20 монет, скільки б ви очікували придумати «голови», в середньому? Ви б очікували, що кожен фліп 20 монет, щоб придумати саме стільки голів?

    б Якби ви перевернули 20 монет, що б ви вважали «звичайним» результатом? «Незвичайний» результат?

    c. переверніть 20 монет (або одну монету 20 разів) і запишіть, скільки придумують «голів». Повторіть цей експеримент ще 9 разів. Зберіть дані з усього класу.

    d При гортанні 20 монет, яка теоретична ймовірність гортати 20 голів?

    e Виходячи з експериментальних даних класу, яка, як видається, ймовірність перевернути 10 голів з 20 монет?

    f Формула\(_nC_xp^x(1-p)^{n-x}\) буде обчислювати ймовірність події з ймовірністю,\(p\) що відбувається\(x\) раз з\(n\), наприклад, гортати\(x\) голови з\(n\) монет, де ймовірність голів є\(p = \dfrac{1}{2}\). Використовуйте це для обчислення теоретичної ймовірності перевертання 10 голів з 20 монет.

    г Якби ви перевертали 20 монет, виходячи з експериментальних даних класу, який діапазон значень ви б вважали «звичайним» результатом? Яка сукупна ймовірність цих результатів? Що б ви вважали «незвичайним» результатом? Яка сукупна ймовірність цих результатів?

    h Зараз ми розглянемо спрощення справи з 1960-х років. У цьому районі близько 26% присяжних, що мають право на участь населення, були чорношкірими. У судовій справі на колегії присяжних знаходилося 100 чоловіків, з яких 8 були чорними. Чи є це свідченням расової упередженості при виборі присяжних?