Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.5: Очікувана вартість

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66523

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Очікуване значення - це, мабуть, найкорисніша концепція ймовірності, яку ми обговоримо. Він має багато додатків, від страхових полісів до прийняття фінансових рішень, і це одна річ, що казино та державні установи, які ведуть азартні ігри операції та лотереї сподіваються, що більшість людей ніколи не дізнаються про.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    clipboard_e92c0dc00617448865d67b139b1b5f596.pngУ ігровій рулетці казино обертається колесо з 38 пробілами (18 червоних, 18 чорних та 2 зелених) [1]. В одній можливій ставці гравець робить ставку $1 на одне число. Якщо це число обертається на колесі, то вони отримують $36 (їх початковий $1 + $35). В іншому випадку вони втрачають свій $1. В середньому, скільки грошей гравець повинен очікувати, щоб виграти або програти, якщо вони грають в цю гру повторно?

    Рішення

    Припустимо, ви ставите $1 на кожному з 38 пробілів на колесі, на загальну суму $38 ставка. Коли виграшний номер обертається, вам платять 36 доларів за цей номер. Поки ви виграли на цьому одному номері, загалом, ви втратили 2 долари. За пробілом ви «виграли»\(\dfrac{-$2}{$38} ≈ -$0.053\). Іншими словами, в середньому ви втрачаєте 5,3 цента за місце, на яке ви ставите.

    Ми називаємо цей середній приріст або програш очікуваним значенням гри в рулетку. Зверніть увагу, що ніхто ніколи не втрачає рівно 5,3 центів: більшість людей (насправді, близько 37 з кожних 38) втрачають 1 долар, а дуже мало людей (близько 1 людини з кожних 38) отримують 35 доларів (36 доларів, які вони виграють мінус $1, який вони витратили на гру).

    Існує ще один спосіб обчислити очікуване значення, не уявляючи, що станеться, якщо ми відтворюємо всі можливі місця. Існує 38 можливих результатів, коли колесо крутиться, тому ймовірність виграшу є\(\dfrac{1}{38}\). Доповнення, ймовірність програшу, є\(\dfrac{37}{38}\).

    Підсумовуючи їх разом зі значеннями, отримаємо таку таблицю:

    Результат Імовірність результату
    \($35\) \(\dfrac{1}{38}\)
    \(-$1\) \(\dfrac{37}{38}\)

    Зверніть увагу, що якщо ми помножимо кожен результат на відповідну ймовірність, ми отримаємо\($35 \cdot \dfrac{1}{38} = 0.9211\) і\(-$1 \cdot \dfrac{37}{38} = -0.9737\), і якщо ми додамо ці числа, ми отримаємо\(0.9211 + (-0.9737) ≈ -0.053\), яке є очікуваним значенням, яке ми обчислили вище.

    Визначення: Очікувана вартість

    Очікуване значення - це середній приріст або втрата події, якщо процедура повторюється багато разів.

    Ми можемо обчислити очікуване значення, помноживши кожен результат на ймовірність цього результату, а потім склавши продукти.

    Спробуйте зараз 12

    Ви купуєте лотерейний квиток, щоб допомогти благодійній організації. Розіграш квитка коштує 5 доларів. Благодійна організація продає 2000 квитків. Один з них буде розіграно і людині, яка тримає квиток, отримає приз у розмірі 4000 доларів. Обчислити очікуване значення для цього розіграшу.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    У лотереї певного штату 48 куль під номером від 1 до 48 поміщаються в машину і шість з них витягуються випадковим чином. Якщо шість намальованих чисел відповідають числам, які гравець вибрав, гравець виграє 1 000 000 доларів. Якщо вони відповідають 5 чисел, то виграйте 1000 доларів. Купити квиток коштує 1 долар. Знайдіть очікуване значення.

    Рішення

    Раніше ми розраховували ймовірність відповідності всіх 6 чисел і ймовірність відповідності 5 чисел:

    \(\dfrac{_6C_6}{_{48}C_6} = \dfrac{1}{12271512} ≈ 0.0000000815\)для всіх\(6\) номерів,

    \(\dfrac{(_6C_5)(_{42}C_1)}{_{48}C_6} = \dfrac{252}{12271512} ≈ 0.0000205\)для\(5\) чисел,

    Наші ймовірності та значення результатів є

    Результат Імовірність результату
    $999,999 \(\dfrac{1}{12271512}\)
    $999 \(\dfrac{252}{12271512}\)
    -$1 \(1 - \dfrac{253}{12271512} = \dfrac{12271259}{12271512}\)

    Очікувана величина

    \(($999,999) \cdot \dfrac{1}{12271512} + ($999) \cdot \dfrac{252}{12271512} + (-$1) \cdot \dfrac{12271259}{12271512} ≈ -$0.898\)

    В середньому можна розраховувати на втрату близько 90 центів на лотерейний квиток. Звичайно, більшість гравців втратять $1.

    Загалом, якщо очікувана вартість гри негативна, грати в гру не дуже добре, оскільки в середньому ви втратите гроші. Краще було б грати в гру з позитивним очікуваним значенням (удачі, намагаючись знайти його!) , хоча майте на увазі, що навіть якщо середній виграш є позитивним, це може бути так, що більшість людей втрачають гроші і один дуже щасливий людина виграє багато грошей. Якщо очікуване значення гри дорівнює 0, ми називаємо це чесною грою, оскільки жодна зі сторін не має переваги.

    Не дивно, що очікуване значення для ігор казино є негативним для гравця, що є позитивним для казино. Це повинно бути позитивним, інакше вони вийдуть з бізнесу. Гравцям просто потрібно пам'ятати, що коли вони грають в гру неодноразово, їх очікуване значення є негативним. Це нормально до тих пір, як ви любите грати в гру і думаю, що це коштує вартості. Але було б неправильно розраховувати на вихід вперед.

    Спробуйте зараз 13

    Друг пропонує зіграти в гру, в якій ви кидаєте 3 стандартних 6-гранних кубика. Якщо всі кубики кидають різні значення, ви віддаєте йому $1. Якщо будь-які дві кістки відповідають значенням, ви отримаєте $2. Яка очікувана цінність цієї гри? Ви б зіграли?

    Очікувана вартість також має додатки поза азартними іграми. Очікувана вартість дуже поширена при прийнятті страхових рішень.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    40-річний чоловік у США має 0,242% ризик померти протягом наступного року [2]. Страхова компанія стягує 275 доларів за поліс страхування життя, який виплачує допомогу на смерть у розмірі 100 000 доларів США. Яка очікувана вартість для особи, яка купує страховку?

    Рішення

    Ймовірності та результати

    Результат Імовірність результату
    \($100,000 - $275 = $99,725\) \(0.00242\)

    Очікувана величина -\(($99,725)(0.00242) + (-$275)(0.99758) = -$33\).

    Не дивно, що очікуване значення негативне; страхова компанія може дозволити собі пропонувати поліси тільки в тому випадку, якщо вони, в середньому, заробляють гроші на кожному полісі. Вони можуть дозволити собі виплатити випадкові вигоди, тому що вони пропонують достатньо політики, що ці виплати виплат виплат збалансовані рештою застрахованих людей.

    Для людей, які купують страховку, існує негативне очікуване значення, але є безпека, яка походить від страхування, яка коштує цієї вартості.

    Спробуйте зараз Відповіді

    1. Є 60 можливих показань, від 00 до 59. а.\(\dfrac{1}{60}\) б.\(\dfrac{16}{60}\) (підрахунок 00 через 15)

    2. Так як другий розіграш проводиться після заміни першої карти, ці події є самостійними. Імовірність туза на кожному розіграші є\(\dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}\), тому ймовірність Туза на обох розіграшах є\(\dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{169}\).

    3. \(P(\text{white sock and white tee}) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{18}{70}\)

    \(P(\text{white sock or white tee}) = \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{7} - \dfrac{9}{35} = \dfrac{27}{35}\)

    4. а.\(\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}\)

    5. З 100 000 людей 500 мали б цю хворобу. З них всі 500 випробували б позитивно. З 99 500 без захворювання 2985 помилково випробували б позитивний, а інші 96 515 - негативно.

    \(P(\text{disease} | \text{positive}) = \dfrac{500}{500 + 2985} = \dfrac{500}{3485} ≈ 14.3\%\)

    6. \(8 \cdot 11 \cdot 5 = 440\)комбінації меню

    7. Всього налічується 26 символів. а\(26^5 = 11,881,376\). б.\(_{26}P_5 = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 7,893,600\)

    8. Порядок не має значення. \(_{29}C_{19} = 20,030,010\)можливі підкомітети

    9. Існують\(5^{10} = 9,765,625\) різні способи відповісти на іспит. Є 9 можливих місць для одного пропущеного питання, і в кожному з цих місць є 4 неправильні відповіді, тому існує 36 способів, на які тест можна відповісти однією неправильною відповіддю.

    \(P(\text{9 answers correct}) = \dfrac{36}{5^{10}} ≈ 0.0000037\)шанс

    10. \(P(\text{three Aces and two Kings}) = \dfrac{(_4C_3)(_4C_2)}{_{52}C_5} = \dfrac{24}{2598960} ≈ 0.0000092\)

    11. \(P(shared birthday) = 1 - \dfrac{_{365}P_10}{365^{10}} ≈ 0.117\)

    12. \(($3995) \cdot \dfrac{1}{2000} + (-$5) \cdot \dfrac{1999}{2000} ≈ -$3.00\)

    13. Припустимо, ви закочуєте першу плашку. Імовірність другого буде відрізнятися є\(\dfrac{5}{6}\). Імовірність того, що третій кидок відрізняється від попередніх двох\(\dfrac{4}{6}\), тому ймовірність того, що три кубики відрізняються, є\(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6} = \dfrac{20}{36}\). Імовірність того, що дві кістки будуть збігатися, є доповненням,\(1 - \dfrac{20}{36} = \dfrac{16}{36}\).

    Очікувана величина:\(($2) \cdot \dfrac{16}{36} + (-$1) \cdot \dfrac{20}{36} = \dfrac{12}{36} ≈ $0.33\).

    Так, це у вашій вигоді грати. У середньому ви виграєте\($0.33\) за гру.