17.5: Таблиці істинності: сполучник (і), диз'юнкція (або), заперечення (не)

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 17.4: Кількісні заяви
- 17.6: Таблиці істинності: умовні, двоумовні

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Перш ніж ми зосередимося на таблицях істинності, ми збираємося ввести деякі символи, які зазвичай використовуються для і, або, і ні.

Символи

Символ $\wedge$ використовується для і: $A$ і $B$ позначається $A \wedge B$

Символ $\vee$ використовується для або: $A$ або $B$ позначається $A \vee B$

Символ $\sim$ використовується для not: $A$ not позначається $\sim A$

Перші два символи можна запам'ятати, зв'язавши їх з формами об'єднання та перетину. $A \wedge B$ були б елементи, які існують в обох наборах, в $A \cap B$ . Так само $A \vee B$ були б елементи, які існують в будь-якому наборі, в $A \cup B$ . Коли ми працюємо з множинами, ми використовуємо округлений варіант символів; коли ми працюємо з операторами, ми використовуємо точкову версію.

Приклад 15

Переведіть кожне твердження в символічні позначення. Нехай $P$ представляють «Мені подобається Pepsi» і нехай представляє $^{\text {"I like Coke" }}$ .

Мені подобається Pepsi або мені подобається кока-кола.
Мені подобається Pepsi і мені подобається кока-кола.
Мені не подобається Pepsi.
Це не так, що мені подобається Pepsi або Coke.
Мені подобається Pepsi і я не люблю Коку.

Рішення

$P \vee C$
$P \wedge C$
$\sim P$
$\sim(P \vee C)$
$P \wedge \sim C$

Як бачите, ми можемо використовувати дужки для організації більш складних тверджень.

Спробуйте зараз 2

Переведіть «У нас морква або суп не будемо робити» на символи. Нехай $C$ представляють «у нас є морква» і нехай $S$ представляють «будемо робити суп».

Відповідь: $C \vee \sim S$

Оскільки складні логічні заяви можуть отримати складно думати про, ми можемо створити таблицю істинності, щоб відстежувати те, що значення істини для простих тверджень роблять складне твердження істинним і хибним.

Таблиця істинності

Таблиця, що показує, яке результуюче значення істинності складного твердження для всіх можливих значень істинності для простих тверджень.

приклад 16

Припустимо, ви вибираєте новий диван, а ваша друга половинка каже «отримати секційний або щось з шезлонгом».

Це складне твердження, зроблене з двох більш простих умов: «є секційний», і «має шезлонг». Для простоти скористаємося S для позначення «є секційним», а C для позначення «має шезлонг».

Таблиця істинності для цієї ситуації виглядала б так:

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ рядок S & C & S\ текст {або} C
\\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ рядок\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ hline\ mathrm m {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T}
\\ лінія \ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\ рядок
\ кінець {масив}\)

У таблиці T використовується для true, а F - для false. У першому рядку, якщо S має значення true, а C також true, то складний оператор «S або C» істинний. Це була б секція, яка також має шезлонг, який відповідає нашому бажанню. (Пам'ятайте, що або за логікою не є ексклюзивним; якщо диван має обидві функції, він відповідає умові.)

У попередньому прикладі про диван таблиця правди насправді просто підсумовувала те, що ми вже знаємо про те, як працює або заява. Таблиці істинності для основних і, або, і не висловлювань наведені нижче.

Основні таблиці істинності

Кон'юнкція

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B & A
\ клин B\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ hline\ mathrm {F}} &\ математична {T} &\ математична {F}\
\\ лінія\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

диз'юнкція

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B & A\
ve B\\ hline\\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ математична {T} &\ математична {T}
\\\ лінія\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

заперечення

\ (\ begin {масив} {|c|c|}
\ hline A &\\ sim A
\\ hline\\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\ hline
\ end {масив}\)

Таблиці істинності дійсно стають корисними, коли ми аналізуємо більш складні логічні твердження.

приклад 17

Створіть таблицю істинності для твердження $A \vee \sim B$

Рішення

Коли ми створюємо таблицю істинності, нам потрібно перерахувати всі можливі комбінації істинних значень для $A$ і $B$ . Зверніть увагу, як перший стовпець містить 2 Ts $2 ~\mathrm{Fs}$ , а другий стовпець чергується $\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}$ , F Цей шаблон гарантує, що всі 4 комбінації будуть розглянуті.

\ (\ begin {масив} {|c|c|}
\ рядок A & B
\\\ рядок\\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\\
mathrm {F}\\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {F} математика {F}\
\\ лінія
\ кінець {

масив}\)

Після створення стовпців з цими початковими значеннями ми створюємо третій стовпець для виразу $\sim B$ . Тепер ми тимчасово проігноруємо стовпець for $A$ і запишемо значення істинності для $\sim B$

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim B
\\ лінія\\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ рядок\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {F} &\ математична {T} &\ математична {F}
\\\ лінія\ математика {F
} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

Далі ми можемо знайти істинні значення $A \vee \sim B,$ використання першого і третього стовпців.

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim B & A
\ vee\ sim B\\ sim B\\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T} математика {T} &\ математична {T}\
\\ лінія\ математика {F} &\
математика {T} &\ математика {F} &\ mathrm {F}\\ рядок
\\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ лінія
\ кінець {масив}\)

Таблиця істинності показує, $A \vee \sim B$ що вірно в трьох випадках і хибне в одному випадку. Якщо вам цікаво, в чому суть цього, припустимо, що це останній день бейсбольного сезону і дві команди, які не грають один з одним, змагаються за фінальне місце плей-офф. Анахайм вийде в плей-офф, якщо виграє свою гру або якщо Бостон не виграє свою гру. (Анахайм володіє тай-брейк; якщо обидві команди виграють, або якщо обидві команди програють, то Анахайм отримує місце плей-офф.) Якщо $A=$ Анахайм виграє свою гру, а $B=$ Бостон виграє свою гру, то $A \vee$ $\sim B$ представляє ситуацію «Анахайм виграє свою гру або Бостон не виграє свою гру». Таблиця правди показує нам різні сценарії, пов'язані з тим, що Анахайм робить плей-офф. У першому ряду Анахайм виграє свою гру, а Бостон виграє свою гру, тому це правда, що Анахайм робить плей-офф. У другому ряду перемагає «Анахайм», а «Бостон» не виграє, тому правда, що «Анахайм» виходить в плей-офф. У третьому ряду Анахайм не виграє свою гру, а Бостон виграє свою гру, тому помилково, що Анахайм робить плей-офф. У четвертому ряду Анахайм не виграє, а Бостон не виграє, тому правда, що Анахайм виходить в плей-офф.

Спробуйте зараз 3

Створіть таблицю істинності для цього твердження: $\sim A \wedge B$

Відповідь: \ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim A\ sim A\\ клин B\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ mathrm {F}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} Therm {F} &\ математика {F}\
\\ лінія\ математика {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ hline

\ end {масив}\)

Приклад 18

Створіть таблицю істинності для твердження $A \wedge \sim(B \vee C)$

Рішення

Він допомагає працювати зсередини при створенні таблиці істинності, і створювати стовпці в таблиці для проміжних операцій. Ми починаємо з перерахування всіх можливих комбінацій істинних значень для $A, B,$ і $C .$ Зверніть увагу, як перший стовпець містить 4 Ts $4 \mathrm{Fs}$ , а потім другий стовпець містить $2 \mathrm{Ts}, 2 \mathrm{Fs}$ , потім повторюється, а останній стовпець чергується $\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}, \mathrm{F} \ldots$ Цей шаблон гарантує, що всі 8 комбінацій вважається. Після створення стовпців з цими початковими значеннями, ми створюємо четвертий стовпець для самого внутрішнього виразу, $B \vee C .$ Тепер ми тимчасово ігноруємо стовпець для $A$ і зосередимося на $B$ і $C$ , записуючи значення істини для $B \vee C$

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B & C\\\ рядок\\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {T} математика {F} &\ математика {T}\
\\ лінія\ математика {T} &
підсилювач;\ математика {F} &\ математика {F}\\\ лінія\ математика {F} &\ математика {T}\\ математика {T}\\\ лінія\ математика {F} &\ математика {R}\\
математика {F}\\ hline\ mathrm {F}\ математична {T}\\
\ лінія\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F}\

\
\ hline
\ end {масив}\)

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|}
\ лінія A & B & B & B
\ ve C\\ nline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\ mathrm {T} F} &\ математична {T}\
\\ лінія\ математики {T} &\ математика {F} & \ математика {T} &\ математика {T}\\\ лінія
\ математики {T} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F}\\\ лінія
\ математика {R} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} Therm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\\ рядок
\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T}\\ лінія
\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ hline
\ кінець {масив}\)

Далі ми можемо знайти заперечення $B \vee C$ , відпрацювання $B \vee$ Ccolumn ми тільки що створили. (Ігноруйте перші три стовпці і просто скасовуйте значення в $B \vee C$ стовпці.)

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|c|}
\ лінія A & B & B & B\ vee C &\ sim (B\ vee C)
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {F}\\ hline\ математика {T} &\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {F}\ \
\ hline\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ математика {F}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ рядок
\ Therm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {F}\\\ лінія
\ математики {F} &\ mathrm {R} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ рядок\ mathrm m {F} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T}\\
\ hline
\ end {масив}\)

Нарешті, знаходимо значення $A$ і $\sim(B \vee C)$ . (Ігнорувати другий, третій і четвертий стовпці.)

\ (\ почати {масив} {|c|c|c|c|c|c|c|}
\ лінія A & B & B\ vee C &\ vee C &\ sim B\ vee C) & A\ клин\ sim B\ vee C
\ текст {)}\\ рядок\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {T}} &\ текст {F}\
\ hline\ текст {T} & підсилювач;\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F}
\\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F}\ текст {F}\
\ текст {F}\\ hline\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T}\
\ hline\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {F} &\
текст {F}\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &\
текст {F} рядок\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F}\\ текст {F}
\\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F}\ текст {F}\\ текст {F}\
\ hline
\ кінець {масив}\)

Виявляється, це складний вираз істинно лише в одному випадку: коли $A$ істинно, $B$ є помилковим, а $C$ помилковим. Щоб проілюструвати цю ситуацію, припустимо, що Анахайм вийде в плей-офф, якщо: (1) Анахайм виграє, і (2) ні Бостон, ні Клівленд не виграють. IFF - єдиний сценарій, за яким Анахайм вийде в плей-офф.

Спробуйте зараз 4

Створіть таблицю істинності для цього твердження: $(\sim A \wedge B) \vee \sim B$

Відповідь: \ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim A\ sim A\ клин B &\ sim B & (\ sim A
\ клин B)\ vee\ sim B\\ sim B\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ математична {F} &\ математична {F}
\\\ лінія\ математика {T } &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T}\\
\ лінія\ математики {F} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ рядок\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)