17.5: Таблиці істинності: сполучник (і), диз'юнкція (або), заперечення (не)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66475

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перш ніж ми зосередимося на таблицях істинності, ми збираємося ввести деякі символи, які зазвичай використовуються для і, або, і ні.

Символи

Символ\(\wedge\) використовується для і:\( A\) і\(B\) позначається\(A \wedge B\)

Символ\(\vee\) використовується для або:\(A\) або\(B\) позначається\(A \vee B\)

Символ\(\sim\) використовується для not:\(A\) not позначається\(\sim A\)

Перші два символи можна запам'ятати, зв'язавши їх з формами об'єднання та перетину. \(A \wedge B\)були б елементи, які існують в обох наборах, в\(A \cap B\). Так само\(A \vee B\) були б елементи, які існують в будь-якому наборі, в\(A \cup B\). Коли ми працюємо з множинами, ми використовуємо округлений варіант символів; коли ми працюємо з операторами, ми використовуємо точкову версію.

Приклад 15

Переведіть кожне твердження в символічні позначення. Нехай\(P\) представляють «Мені подобається Pepsi» і нехай представляє\(^{\text {"I like Coke" }}\).

Мені подобається Pepsi або мені подобається кока-кола.
Мені подобається Pepsi і мені подобається кока-кола.
Мені не подобається Pepsi.
Це не так, що мені подобається Pepsi або Coke.
Мені подобається Pepsi і я не люблю Коку.

Рішення

\(P \vee C\)
\(P \wedge C\)
\(\sim P\)
\(\sim(P \vee C)\)
\(P \wedge \sim C\)

Як бачите, ми можемо використовувати дужки для організації більш складних тверджень.

Спробуйте зараз 2

Переведіть «У нас морква або суп не будемо робити» на символи. Нехай\(C\) представляють «у нас є морква» і нехай\(S\) представляють «будемо робити суп».

Відповідь: \(C \vee \sim S\)

Оскільки складні логічні заяви можуть отримати складно думати про, ми можемо створити таблицю істинності, щоб відстежувати те, що значення істини для простих тверджень роблять складне твердження істинним і хибним.

Таблиця істинності

Таблиця, що показує, яке результуюче значення істинності складного твердження для всіх можливих значень істинності для простих тверджень.

приклад 16

Припустимо, ви вибираєте новий диван, а ваша друга половинка каже «отримати секційний або щось з шезлонгом».

Це складне твердження, зроблене з двох більш простих умов: «є секційний», і «має шезлонг». Для простоти скористаємося S для позначення «є секційним», а C для позначення «має шезлонг».

Таблиця істинності для цієї ситуації виглядала б так:

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ рядок S & C & S\ текст {або} C
\\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ рядок\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ hline\ mathrm m {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T}
\\ лінія \ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\ рядок
\ кінець {масив}\)

У таблиці T використовується для true, а F - для false. У першому рядку, якщо S має значення true, а C також true, то складний оператор «S або C» істинний. Це була б секція, яка також має шезлонг, який відповідає нашому бажанню. (Пам'ятайте, що або за логікою не є ексклюзивним; якщо диван має обидві функції, він відповідає умові.)

У попередньому прикладі про диван таблиця правди насправді просто підсумовувала те, що ми вже знаємо про те, як працює або заява. Таблиці істинності для основних і, або, і не висловлювань наведені нижче.

Основні таблиці істинності

Кон'юнкція

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B & A
\ клин B\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ hline\ mathrm {F}} &\ математична {T} &\ математична {F}\
\\ лінія\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

диз'юнкція

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B & A\
ve B\\ hline\\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ математична {T} &\ математична {T}
\\\ лінія\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

заперечення

\ (\ begin {масив} {|c|c|}
\ hline A &\\ sim A
\\ hline\\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\ hline
\ end {масив}\)

Таблиці істинності дійсно стають корисними, коли ми аналізуємо більш складні логічні твердження.

приклад 17

Створіть таблицю істинності для твердження\(A \vee \sim B\)

Рішення

Коли ми створюємо таблицю істинності, нам потрібно перерахувати всі можливі комбінації істинних значень для\(A\) і\(B\). Зверніть увагу, як перший стовпець містить 2 Ts\(2 ~\mathrm{Fs}\), а другий стовпець чергується\(\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}\), F Цей шаблон гарантує, що всі 4 комбінації будуть розглянуті.

\ (\ begin {масив} {|c|c|}
\ рядок A & B
\\\ рядок\\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {T} &\\
mathrm {F}\\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {F} математика {F}\
\\ лінія
\ кінець {

масив}\)

Після створення стовпців з цими початковими значеннями ми створюємо третій стовпець для виразу\(\sim B\). Тепер ми тимчасово проігноруємо стовпець for\(A\) і запишемо значення істинності для\(\sim B\)

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim B
\\ лінія\\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ рядок\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline\ mathrm {F} &\ математична {T} &\ математична {F}
\\\ лінія\ математика {F
} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

Далі ми можемо знайти істинні значення\(A \vee \sim B,\) використання першого і третього стовпців.

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim B & A
\ vee\ sim B\\ sim B\\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T} математика {T} &\ математична {T}\
\\ лінія\ математика {F} &\
математика {T} &\ математика {F} &\ mathrm {F}\\ рядок
\\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ лінія
\ кінець {масив}\)

Таблиця істинності показує,\(A \vee \sim B\) що вірно в трьох випадках і хибне в одному випадку. Якщо вам цікаво, в чому суть цього, припустимо, що це останній день бейсбольного сезону і дві команди, які не грають один з одним, змагаються за фінальне місце плей-офф. Анахайм вийде в плей-офф, якщо виграє свою гру або якщо Бостон не виграє свою гру. (Анахайм володіє тай-брейк; якщо обидві команди виграють, або якщо обидві команди програють, то Анахайм отримує місце плей-офф.) Якщо\(A=\) Анахайм виграє свою гру, а\(B=\) Бостон виграє свою гру, то\(A \vee\)\(\sim B\) представляє ситуацію «Анахайм виграє свою гру або Бостон не виграє свою гру». Таблиця правди показує нам різні сценарії, пов'язані з тим, що Анахайм робить плей-офф. У першому ряду Анахайм виграє свою гру, а Бостон виграє свою гру, тому це правда, що Анахайм робить плей-офф. У другому ряду перемагає «Анахайм», а «Бостон» не виграє, тому правда, що «Анахайм» виходить в плей-офф. У третьому ряду Анахайм не виграє свою гру, а Бостон виграє свою гру, тому помилково, що Анахайм робить плей-офф. У четвертому ряду Анахайм не виграє, а Бостон не виграє, тому правда, що Анахайм виходить в плей-офф.

Спробуйте зараз 3

Створіть таблицю істинності для цього твердження:\(\sim A \wedge B\)

Відповідь: \ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim A\ sim A\\ клин B\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ mathrm {F}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} Therm {F} &\ математика {F}\
\\ лінія\ математика {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ hline

\ end {масив}\)

Приклад 18

Створіть таблицю істинності для твердження\(A \wedge \sim(B \vee C)\)

Рішення

Він допомагає працювати зсередини при створенні таблиці істинності, і створювати стовпці в таблиці для проміжних операцій. Ми починаємо з перерахування всіх можливих комбінацій істинних значень для\(A, B,\) і\(C .\) Зверніть увагу, як перший стовпець містить 4 Ts\(4 \mathrm{Fs}\), а потім другий стовпець містить\(2 \mathrm{Ts}, 2 \mathrm{Fs}\), потім повторюється, а останній стовпець чергується\(\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}, \mathrm{F} \ldots\) Цей шаблон гарантує, що всі 8 комбінацій вважається. Після створення стовпців з цими початковими значеннями, ми створюємо четвертий стовпець для самого внутрішнього виразу,\(B \vee C .\) Тепер ми тимчасово ігноруємо стовпець для\(A\) і зосередимося на\(B\) і\(C\), записуючи значення істини для\(B \vee C\)

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|}
\ лінія A & B & C\\\ рядок\\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {T} математика {F} &\ математика {T}\
\\ лінія\ математика {T} &
підсилювач;\ математика {F} &\ математика {F}\\\ лінія\ математика {F} &\ математика {T}\\ математика {T}\\\ лінія\ математика {F} &\ математика {R}\\
математика {F}\\ hline\ mathrm {F}\ математична {T}\\
\ лінія\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F}\

\
\ hline
\ end {масив}\)

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|}
\ лінія A & B & B & B
\ ve C\\ nline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\ mathrm {T} F} &\ математична {T}\
\\ лінія\ математики {T} &\ математика {F} & \ математика {T} &\ математика {T}\\\ лінія
\ математики {T} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F}\\\ лінія
\ математика {R} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} Therm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\
\\ рядок
\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T}\\ лінія
\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ hline
\ кінець {масив}\)

Далі ми можемо знайти заперечення\(B \vee C\), відпрацювання\(B \vee\) Ccolumn ми тільки що створили. (Ігноруйте перші три стовпці і просто скасовуйте значення в\(B \vee C\) стовпці.)

\ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|c|}
\ лінія A & B & B & B\ vee C &\ sim (B\ vee C)
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {F}\\ hline\ математика {T} &\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {F}\ \
\ hline\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ математика {F}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ рядок
\ Therm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {F}\\\ лінія
\ математики {F} &\ mathrm {R} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\\ рядок\ mathrm m {F} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T}\\
\ hline
\ end {масив}\)

Нарешті, знаходимо значення\(A\) і\(\sim(B \vee C)\). (Ігнорувати другий, третій і четвертий стовпці.)

\ (\ почати {масив} {|c|c|c|c|c|c|c|}
\ лінія A & B & B\ vee C &\ vee C &\ sim B\ vee C) & A\ клин\ sim B\ vee C
\ текст {)}\\ рядок\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {T}} &\ текст {F}\
\ hline\ текст {T} & підсилювач;\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F}
\\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F}\ текст {F}\
\ текст {F}\\ hline\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T}\
\ hline\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {F} &\
текст {F}\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &\
текст {F} рядок\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {T} &\ текст {F} &\ текст {F}\\ текст {F}
\\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {F} &\ текст {T} &\ текст {F}\ текст {F}\\ текст {F}\
\ hline
\ кінець {масив}\)

Виявляється, це складний вираз істинно лише в одному випадку: коли\(A\) істинно,\(B\) є помилковим, а\(C\) помилковим. Щоб проілюструвати цю ситуацію, припустимо, що Анахайм вийде в плей-офф, якщо: (1) Анахайм виграє, і (2) ні Бостон, ні Клівленд не виграють. IFF - єдиний сценарій, за яким Анахайм вийде в плей-офф.

Спробуйте зараз 4

Створіть таблицю істинності для цього твердження:\((\sim A \wedge B) \vee \sim B\)

Відповідь: \ (\ begin {масив} {|c|c|c|c|c|c|c|}
\ лінія A & B &\ sim A\ sim A\ клин B &\ sim B & (\ sim A
\ клин B)\ vee\ sim B\\ sim B\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ математична {F} &\ математична {F}
\\\ лінія\ математика {T } &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T}\\
\ лінія\ математики {F} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ рядок\ математика {F} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)