8.6: Логістичне зростання

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 8.5: Розв'язування експоненціальних чисел для часу- логарифмів
- 8.7: Вправи

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У нашому базовому сценарії експоненціального зростання ми мали рекурсивне рівняння форми

$P_{n}=P_{n-1}+r P_{n-1}$

Однак у обмеженому середовищі темпи зростання можуть не залишатися постійними. Наприклад, в озері існує якесь максимально стійке населення риби, яке також називають вантажопідйомністю.

Вантажопідйомність

Пропускна здатність, або максимальне стале населення, є найбільшим населенням, яке може підтримувати навколишнє середовище.

Для нашої риби вантажопідйомність - це найбільша популяція, яку можуть підтримувати ресурси в озері. Якщо населення в озері набагато нижче пропускної здатності, то ми очікуємо, що населення зросте по суті в геометричній прогресії. Однак у міру наближення населення до пропускної здатності буде дефіцит продовольства та місця, а темпи зростання зменшаться. Якщо популяція перевищить вантажопідйомність, не вистачить ресурсів для підтримки всієї риби, і будуть негативні темпи зростання, що призведе до зниження популяції назад до вантажопідйомності.

$Графік з горизонтальною віссю позначені позначенням населення і вертикальною віссю з позначенням Графік показує пряму лінію, починаючи з 0,1, коли населення 0, зменшується до 0, коли населення становить 5000, і зменшується до -0,1, коли населення становить 10000.$ Якщо вантажопідйомність становила 5000, швидкість зростання може змінюватися приблизно так на графіку, показаному. Зауважте, що це лінійне рівняння з перехопленням на $0.1$ та нахилі $-\frac{0.1}{5000}$ , тому ми могли б написати рівняння для цієї скоригованої швидкості росту як:

$r_{\text {adjusted}}=0.1-\frac{0.1}{5000} P=0.1\left(1-\frac{P}{5000}\right)$

Замінюючи це на нашу оригінальну модель експоненціального зростання для $r$ дає

$P_{n}=P_{n-1}+0.1\left(1-\frac{P_{n-1}}{5000}\right) P_{n-1}$

Логістичне зростання

Якщо населення зростає в обмеженому середовищі з пропускною спроможністю $K$ , а відсутність обмежень зросте експоненціально зі швидкістю зростання $r$ , то поведінка населення може бути описана моделлю логістичного зростання:

$P_{n}=P_{n-1}+r\left(1-\frac{P_{n-1}}{K}\right) P_{n-1}$

На відміну від лінійного та експоненціального зростання, логістичне зростання поводиться по-різному, якщо популяції постійно ростуть протягом року або якщо вони мають один час розмноження на рік. Рекурсивна формула, надана вище, моделює зростання поколінь, де є один час розмноження на рік (або, принаймні, кінцеве число); немає явної формули для цього типу логістичного зростання.

Приклад 15

В даний час ліс мешкає популяції 200 кроликів. За оцінками, ліс може підтримувати популяцію 2000 кроликів. При відсутності будь-яких обмежень кролики виростали б на 50% на рік. Прогнозувати майбутнє населення за допомогою моделі логістичного зростання.

Рішення

Моделювання цього за допомогою моделі логістичного зростання $r = 0.50$ , $K = 2000$ ,, і $P_0 = 200$ . Розрахунок наступного року:

$P_{1}=P_{0}+0.50\left(1-\frac{P_{0}}{2000}\right) P_{0}=200+0.50\left(1-\frac{200}{2000}\right) 200=290$

Ми можемо використовувати це для обчислення наступного року:

$P_{2}=P_{1}+0.50\left(1-\frac{P_{1}}{2000}\right) P_{1}=290+0.50\left(1-\frac{290}{2000}\right) 290 \approx 414$

Калькулятор використовувався для обчислення ще декількох значень:

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|л |}
\ hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10
\\\ hline P_ {n} & 200 & 290 & 414 & 578 & 784 & 1072 & 1503 & 1603 90 & 1821 & 1902\\
\ hline
\ end {масив}\)

$Графік з горизонтальною віссю з міткою Роки та вертикальною віссю з позначкою Графік починається з 200, спочатку збільшується повільно, потім криві вгору до 5 року, після чого графік збільшується, але кривий вниз, зі швидкістю збільшення сповільнюється, коли населення наближається до 2000 року.$ Побудувавши ці значення, ми бачимо, що населення починає збільшуватися швидше, а графік кривий вгору протягом перших кількох років, як експоненціальне зростання, але потім зростання сповільнюється, коли населення наближається до пропускної здатності.

приклад 16

На острові, який може підтримувати популяцію ящірок 1000, в даний час проживає 600. Ці ящірки мають багато потомства і не багато природних хижаків, тому мають дуже високий темп росту, близько 150%. Розрахунок наступних кількох поколінь:

Рішення

$P_{1}=P_{0}+1.50\left(1-\frac{P_{0}}{1000}\right) P_{0}=600+1.50\left(1-\frac{600}{1000}\right) 600=960$

$P_{2}=P_{1}+1.50\left(1-\frac{P_{1}}{1000}\right) P_{1}=960+1.50\left(1-\frac{960}{1000}\right) 960=1018$

$Графік з горизонтальною віссю з міткою Роки та вертикальною віссю з позначкою Графік починається з 600, зростає дуже швидко в перший рік, потім піднімається близько 1000 в наступному, потім падає трохи нижче 1000, і продовжує відскакувати ледь вище і нижче, коли він вирівнюється на 1000.$ Цікаво, що навіть незважаючи на те, що фактор, що обмежує темпи зростання, сильно уповільнив зростання, населення все одно перебило пропускну здатність. Ми очікуємо, що в наступному році населення скоротиться.

$P_{3}=P_{2}+1.50\left(1-\frac{P_{3}}{1000}\right) P_{3}=1018+1.50\left(1-\frac{1018}{1000}\right) 101$

Розрахувавши ще кілька років і будуючи результати, ми бачимо, що популяція коливається вище і нижче вантажопідйомності, але в підсумку осідає, залишаючи стійке населення поблизу вантажопідйомності.

Спробуйте зараз 5

В даний час поле містить 20 рослин м'яти. Відсутність обмежень, кількість рослин збільшувалася б на 70% щороку, але поле може підтримувати лише максимальну популяцію 300 рослин. Використовуйте логістичну модель для прогнозування чисельності населення в найближчі три роки.

Відповідь

$P_{1}=P_{0}+0.70\left(1-\frac{P_{0}}{300}\right) P_{0}=20+0.70\left(1-\frac{20}{300}\right) 20=33$

$P_{2}=54$

$P_{3}=85$

приклад 17

$Графік з горизонтальною віссю з міткою Роки та вертикальною віссю з позначкою Графік починається з 600, дуже швидко зростає в перший рік до значення вище 1000, потім падає в наступному році до значення нижче 1000, потім піднімається назад до попереднього значення близько 1000. Графік продовжує відскакувати між однаковими двома значеннями.$ На сусідньому острові до того, що з попереднього прикладу, є ще одна популяція ящірок, але темпи зростання ще вище — близько 205%.

Рішення

Розраховуючи кілька поколінь і будуючи результати, ми отримуємо сюрприз: населення, здається, коливається між двома значеннями, закономірність називається 2-циклом.

Хоча було б спокусливо розглядати це лише як дивний побічний ефект математики, це насправді спостерігалося в природі. Дослідники з Каліфорнійського університету спостерігали стабільний 2-цикл у популяції ящірок в Каліфорнії [1].

Беручи це ще далі, ми отримуємо все більш екстремальну поведінку, оскільки темпи зростання зростають вище. Можна отримати стабільні 4 цикли, 8 циклів і вище. Швидко, однак, поведінка наближається до хаосу (пам'ятаєте фільм Парк Юрського періоду?).

$Графік з горизонтальною віссю з міткою Роки та вертикальною віссю з позначкою Графік відскакує між 4 різними значеннями.$ $Графік з горизонтальною віссю з міткою Роки та вертикальною віссю з позначкою Графік, здається, відскакує випадковим чином між значеннями вище і нижче 1000.$

[1] користувачі.rcn.com/jkimball.ma.ult... ulations2.html