5.2: Роздільник-вибір

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66209

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Перший спосіб, який ми розглянемо, - це метод для безперервно ділимих елементів. Цей спосіб буде знайомий багатьом батькам - це метод «Ти ріжеш, я вибираю». У цьому способі одна сторона позначається дільником, а інша - селектором, можливо, з киданням монети. Метод працює наступним чином:

Метод дільника-вибору

Дільник розрізає деталь на дві частини, які на його очах рівні за вартістю.
Вибір вибирає будь-яку з двох частин
Дільник отримує залишився шматок

Зверніть увагу, що метод дільника-вибору є специфічним для двостороннього поділу. Вивчіть, чому цей метод гарантує справедливий розподіл: оскільки дільник не знає, який шматок він отримає, раціональною дією для нього буде розділити ціле на дві частини, які він цінує порівну. Немає стимулу для подільника, щоб спробувати «обдурити», оскільки він не знає, який шматок він отримає. Так як вибирач може підібрати будь-який шматок, їй гарантовано, що одна з них коштує не менше 50% від цілого в її очах. Вибір гарантується шматок, який вона оцінює як мінімум 50%, а роздільник гарантований шматок, який він оцінює на 50%.

Приклад 3

Двоє пенсіонерів, Фред і Марта, купують пляжний будинок для відпочинку у Флориді разом, з домовленістю про те, що вони розділять рік на дві частини.

Рішення

Фред обраний роздільником і розділяє рік на дві частини: листопад — лютий і березень - жовтень. Незважаючи на те, що перший шматок - 4 місяці, а другий - 8 місяців, Фред ставить однакову цінність на обидва шматки, оскільки він дуже любить бути у Флориді взимку. Марта отримує, щоб вибрати будь-який шматок, який вона цінує більше. Припустимо, вона цінує всі місяці однаково. У цьому випадку вона обрала б час березня — жовтня, в результаті чого вийде шматок, який вона цінує в цілому.$8/12 = 66.7\%$ Фред залишився з листопадом - лютневим слотом, який він оцінює як 50% від усього.

Звичайно, в цьому прикладі Фред і Марта, ймовірно, могли б обговорити свої переваги і досягти взаємно прийнятного рішення. Метод дільника-вибору є більш необхідним у випадках, коли сторони підозріло ставляться до мотивів один одного або не в змозі ефективно спілкуватися, наприклад, дві країни, що малюють кордон, або двоє дітей, що розщеплюють цукерковий батончик.

Спробуйте зараз 2

Дастіну і Куїнну дали яблучний пиріг і шоколадний торт, і потрібно розділити їх. Дастін цінує яблучний пиріг в 6 доларів, а шоколадний торт - 4 долари. Куїнн цінує яблучний пиріг як $4, а шоколадний торт на $10. Опишіть справедливе поділ, якщо Куїнн ділиться, і вкажіть, яку «половину» вибере Дастін.

Відповідь

Є багато можливих справедливих поділів, які Куїнн міг би зробити. Оскільки вона цінує два десерти в 14 доларів разом, справедлива частка в її очах становить 7 доларів. Зверніть увагу, оскільки Дастін цінує десерти в $10 разом, справедлива частка в його очах становить 5 доларів вартості. Пара можливих поділів:

\ (\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {шматок 1} &\ текст {шматок 2} &\ текст {Дастін вибрав}\
\ hline\ frac {7} {10}\ текст {шоколад (\ $7)} &\ frac {3} {10}\ текст {шоколад (\ $3)} &\ текст {2 шматок. Значення в його очах:}\
\ текст {Без пирога (\ $0)} &\ text {Весь пиріг (\ $4)} &\ $ 6+3/10\ cdot\ $ 4=\ $7.20
\\ hline\ текст {1/2 шоколаду (\ $5)} &\ frac {1} {2}\ текст {шоколад (\ $5)} &\ текст {Або. Значення в його очах:}
\\ frac {1} {2}\ текст {пиріг (\ $2)} &\ frac {1} {2}\ текст {пиріг (\ $2)} &\ frac {1} {2} {2}\ frac {1}\ cdot\ $ 4=\ $5\
\ hline
\ end {масив})

Речі швидко ускладнюються, коли у нас задіяно більше двох сторін. Ми розглянемо три різних підходи. Але спочатку давайте подивимося на той, який не працює.