5.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66214

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Незалежно від того, чи це двоє дітей, які діляться цукерками або пара, що розщеплюють активи під час розлучення, є випадки в житті, коли предмети цінності повинні бути розділені між двома або більше партіями. Хоча деякі справи можуть розглядатися за допомогою взаємної згоди або посередництва, в інших сторони є змагальними або не можуть прийняти рішення, які вважають справедливими. У цих випадках можуть бути використані справедливі методи поділу.

Метод справедливого поділу

Справедливий метод поділу - це процедура, якої можна дотримуватися, яка призведе до поділу предметів таким чином, щоб кожна сторона відчувала, що отримала свою справедливу частку. Щоб ці методи працювали, ми повинні зробити кілька припущень:

Сторони не співпрацюють, тому метод повинен діяти без зв'язку між сторонами.
Сторони не знають про те, що подобається іншим гравцям (їх оцінки).
Сторони діють раціонально, тобто діють у своїх інтересах, і не приймають емоційних рішень.
Метод повинен дозволити сторонам здійснити справедливий поділ, не вимагаючи стороннього арбітра чи іншого втручання.

За допомогою цих методів кожна сторона матиме право на якусь справедливу частку. Коли є N партій однаково поділяють щось, ця справедлива частка буде 1/ N. Наприклад, якби було 4 партії, кожна мала б право на справедливу$\frac{1}{4}=25\%$ частку цілого. Більш конкретно, вони мають право на частку, яку вони$25\%$ цінують в цілому.

Справедлива частка

Коли$N$ сторони поділяють щось порівну, справедлива частка кожної партії - це сума, на яку вони мають право. Як дріб, це буде$\frac{1}{N}$

Слід зазначити, що справедливий метод поділу просто повинен гарантувати, що кожна сторона отримає частку, яку вони вважають справедливою. Основний справедливий поділ не повинен бути вільним від заздрості; вільний від заздрості поділ - це той, в якому жодна партія не віддасть перевагу частці іншої партії над власною. Основний справедливий поділ також не повинен бути оптимальним Парето; оптимальний поділ Парето - це той, в якому жоден інший підрозділ не зробить учасника кращим, не роблячи когось іншого гірше. Також справедливий поділ не повинен бути справедливим; справедливий поділ - це той, в якому частка всієї кожної сторони отримує, судячи з їх власної оцінки, однакова. В основному, простий справедливий поділ не повинен бути найкращим можливим поділом - він просто повинен дати кожній партії свою справедливу частку.

Приклад 1

Припустимо, що 4 однокласники розділяють порівну$\$12$ піцу, яка є половиною пепероні, половину овочів, які хтось інший купив їм. Яка справедлива частка кожної людини?

Рішення

Оскільки всі вони розділяють піцу порівну, справедлива частка кожної людини є$\$3$, або шматочки, які вони цінують як$25\%$ піцу.

Важливо пам'ятати, що кожна сторона може цінувати частини цілого по-різному. Наприклад, вегетаріанець, ймовірно, поставив би нульове значення на половину піци пепероні.

Приклад 2

Припустимо, що 4 однокласники розділяють порівну$\$12$ піцу, яка становить половину пепероні, половину вегетаріанця. Стів любить пепероні в два рази більше, ніж вегетаріанські. Опишіть справедливу частку для Стіва.

Рішення

Він оцінив би половину вегетаріанців як варто$\$4$$\$8$, а пепероні вдвічі більше. Якби піцу розділили на 4 скибочки пепероні та 4 овочеві скибочки, він оцінив би шматочок пепероні як вартий$\$2$, а овочевий шматочок як вартий$\$1$.

Якби ми не змогли вгадати значення, ми могли б взяти більш алгебраїчний підхід. Якщо Стів цінує овочевий шматочок вартістю х доларів, то він оцінить шматочок пепероні як варто$2x\text{ dollars }–\text{ twice as much}$. Чотири овочеві скибочки коштували б$4 \cdot x = 4x$ доларів, а 4 скибочки пепероні коштували б$4 \cdot 2x = 8x$ доларів. Загалом вісім скибочок коштували б$4x + 8x = 12x$ доларів. Так як загальна вартість піци була$\$12$, то$12x = \$12$. Рішення ми отримуємо$x = \$1$; значення овочевого скибочки є$\$1$, і значення скибочки пепероні є$2x = \$2$.

Справедливою часткою для Стіва буде один шматочок пепероні та один овочевий шматочок ($\$2 + \$1 = \$3$вартість), скибочки$1\frac{1}{2}$ пепероні (вартість), 3 овочеві скибочки ($3 \cdot \$1 = \$3$вартість) або безліч більш складних можливостей.$1\frac{1}{2} \cdot \$2 = \$3$

Спробуйте зараз 1

Припустимо, Кім - ще один однокласник, який розщеплює піцу, але Кім вегетаріанець, тому не буде їсти пепероні. Опишіть справедливу частку для Кіма.

Відповідь: Кім оцінить вегетаріанську половину піци за повною вартістю$\$12$, а пепероні вдвічі дешевше$\$0$. Оскільки справедлива частка є$25\%$, справедлива частка для Кіма - це один шматочок овочів, який вона буде цінувати$\$3$. Звичайно, Кім отримує лише один шматочок насправді не здається дуже справедливим, але якби кожен гравець мав таку ж оцінку, як Кім, це був би єдиний справедливий результат. На щастя, якщо однокласники розщеплюють піцу друзі, вони, ймовірно, співпрацюють, і розкажуть про те, яка піца їм подобається.

Ви побачите, що багато прикладів і вправ у цій темі передбачають поділ їжі - поділ цукерок, різання тортів, спільний доступ до піци тощо Це може зробити цю тему дещо тривіальною, але замість того, щоб розрізати торт, ми можемо малювати кордони, що розділяють Німеччину після Другої світової війни. Замість того, щоб розщеплювати мішок цукерок, брати і сестри можуть розділяти речі від спадщини. Математики часто характеризують дуже важливі та спірні питання з точки зору простих предметів, таких як торт, щоб відокремити будь-які емоційні впливи від математичного методу.

Через це наша вимога про те, щоб гравці не спілкувалися про свої уподобання, може здатися дурним. Зрештою, чому б четверо однокласників не говорити про те, яка піца їм подобається, якщо вони розщеплюють піцу? Просто пам'ятайте, що в питаннях політики, бізнесу, фінансів, розлучень тощо гравці, як правило, менше співпрацюють і більше стурбовані іншими гравцями, які намагаються отримати більше, ніж їх справедливу частку.

Існує дві широкі класифікації методів справедливого поділу: ті, які застосовуються до постійно ділених предметів, і ті, що застосовуються до дискретно поділених елементів. Безперервно ділимі елементи - це речі, які можна розділити на шматки будь-якого розміру, наприклад, поділ цукерки на дві частини або малювання кордонів, щоб розділити шматок землі на менші ділянки. Дискретно поділені предмети - це коли ви ділите кілька предметів, які неможливо легко розбити, наприклад, активи при розлученні (будинок, автомобіль, меблі тощо).