2.8: Граф Борда

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.7: Що не так з IRV?
- 2.9: Що не так з Бордою Граф?

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Борда граф - ще один метод голосування, названий на честь Жан-Шарля де Борда, який розробив систему в 1770 році.

Борда Граф

У цьому методі бали призначаються кандидатам на основі їх рейтингу; 1 бал за останній вибір, 2 бали за другий вибір і так далі. Значення балів за всі бюлетені підсумовуються, а кандидат з найбільшою кількістю балів є переможцем.

Приклад 8

$На мапі показано розташування міст 4: Олімпія, Такома, Пуйаллап і Сіетл$ Група математиків збираються разом на конференцію. Члени приїжджають з чотирьох міст: Сіетл, Такома, Пуйаллап та Олімпія. Їх приблизні місця розташування на карті показані праворуч.

Голосами за те, де провести конференцію, були:

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|}
\ hline & 51 & 25 & 10\\
\ hline 1^ {\ текст {st}}\ текст {вибір} &\ текст {Сіетл} &\ текст {Такома} &\ текст {Пуяллап} &\ текст {Олімпія}
\\ hline 2^ {Текст {nd}\ текст {вибір} &\ текст { Такома} &\ текст {Пуйаллап} &\ текст {Такома} &\ текст {Такома}\
\ hline 3^ {\ текст {rd}}\ текст {вибір} &\ текст {Олімпія} &\ текст {Олімпія} &\ текст {Олімпія} &\ текст {Пуяллап}
\\ hline 4^ {текст {th}}\ текст {вибір} &\ текст { Додати} &\ text {Сіетл} &\ text {Сіетл} &\ text {Сіетл}
\\ hline
\ end {масив}\)

Рішення

У кожному з 51 бюлетенів рейтингу Сіетл першим, Пуйаллап отримає 1 бал, Олімпія 2 бали, Такома 3 бали та Сіетл 4 бали. Множення балів за один голос на кількість голосів дозволяє нам розрахувати нараховані бали:

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|}
\ hline & 51 & 25 & 10 & 14\
\ hline 1^ {\ текст {st вибір}} &\ текст {Сіетл} &\ текст {Такома} &\ текст {Пуяллап} &\ текст {Олімпія}\\
4\ текст {точки} & 4\ cdot 51=204 & 4\ крапка 25 = 100 & амп; 4\ cdot 10 = 40 & 4\ cdot 14=56
\\ hline 2^ {\ текст {і вибір}} &\ текст {Такома} &\ текст {Пуяллап} &\ текст {Такома}\\ текст {Такома}\
3\ текст {точки} & 3\ cdot 51 = 153 & 3\ cdot 25=75 & 3\ cdot 10=30 & 3\ крапка 14 = 42\\
\ hline 3^ {\ текст {rd}}\ текст {вибір} &\ текст {Олімпія} &\ текст {Олімпія} &\ текст {Олімпія} &\ текст {Пуяллап}\\
2\ текст {точки} & 2\ cdot 51 = 102 & 2\ cdot 25 = 50 & 2\ cdot 10 = 20 & 2\ cdot 14 = 28
\\\ hline ^ {\ текст {th}}\ текст { вибір} &\ текст {Пуяллап} &\ текст {Сіетл} &\ текст {Сіетл} &\ текст {Сіетл}\
1\ текст {точка} & 1\ cdot 51 & 1\ cdot 25 = 25 & 1\ cdot 10 = 10 & 1\ cdot 14=14\
\ hline
\ кінець {масив}\)

Складання балів:

Сіетл: $204 + 25 + 10 + 14 = 253$ окуляри
Такома: $153 + 100 + 30 + 42 = 325$ бали
Пуйаллап: $51 + 75 + 40 + 28 = 194$ бали
Олімпія: $102 + 50 + 20 + 56 = 228$ бали

За методом Борда Граф, Такома є переможцем цього голосування.

Спробуйте зараз 4

Розглянемо ще раз вибори від Спробуйте зараз 1. Знайдіть переможця за допомогою графа Борда. Оскільки у нас є деякі неповні виборчі бюлетені, для простоти, дайте кожному неоціненому кандидату 1 бал, бали, які вони зазвичай отримують за останнє місце.

Відповідь

Використання Borda Count:

Даємо 1 бал за ^3-е місце, 2 бали за ^2-е місце і 3 бали за ^1-е місце.

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\ лінія & 44 & 14 & 20 & 20 & 22 & 80 & 39
\\\ рядок 1^ {\ текст {st}}\ текст {вибір} &\ математика {G} &\ математика {G} &\ mathrm {G} &\ mathrm {M} &\ математика {M} &\ математика {B} &\ математика {B}\\
& 132\ математика {pt} & 42\ математика {pt} & 60\ математика {pt} & 210\ математика {pt} & 66\ математика {pt} & 240\ mathrm {pt} & 117\ mathrm {pt}
\\ рядок 2^ {текст {nd}}\ текст {вибір} &\ mathrm {M} &\ mathrm m {B} &\ математика {G} &\ mathrm {B} &\ математика {M} &\\
& 88\ математика {pt} & 28\ математика {pt} & & 140\ математика {pt} & 44\ математика {pt} & 160\ mathrm {pt} &
\\\ рядок 3^ {текст {rd}}\ текст {вибір} &\ математика {B} &\ mathrm {M} therm {M} 20\ математика {pt} &\ математика {B} &\ математика {G} &\ математика {G} &\ математика {M} 39\ математика {pt}\\
& 44\ математика {pt} & 14\ математика {pt} &\ mathrm {B} 20\ mathrm {pt} & 70\ mathrm {pt} & 22\ mathrm {pt}\ mathrm {G} 39\ mathrm {pt}\
\ рядок
\ кінець {масив}\)

Г: $132+42+60+140+22+80+39 = 515$ оч

М: $88+14+20+210+66+160+39 = 597$ оч

Б: $44+28+20+70+44+240+117 = 563$ оч

Маккарті (М) стане переможцем, використовуючи граф Борда.