Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.S: Функції (резюме)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65569

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Важливі визначення

    • Функція, сторінка 284
    • Домен функції, сторінка 285
    • Кодомен функції, сторінка 285
    • Зображення\(x\) під\(f\), сторінка 285
    • попереднє зображення\(y\) під\(f\), стор. 285
    • Незалежна змінна, сторінка 285
    • Залежна змінна, сторінка 285
    • Діапазон функції, сторінка 287
    • Зображення функції, сторінка 287
    • Рівні функції, сторінка 298
    • Послідовність, сторінка 301
    • Ін'єкція, сторінка 310
    • Функція «один-на-один», сторінка 310
    • Схилення, сторінка 311
    • Функція «На», сторінка 311
    • Ін'єкція, сторінка 312
    • Один до одного і на, сторінка 312
    • Склад\(f\) і\(g\), сторінка 325
    • Композитна функція, сторінка 325
    • \(f\)за ним\(g\), стор. 325
    • Обернена функція, сторінка 338
    • Зображення набору під функцію, сторінка 351
    • попереднє зображення набору під функцію, сторінка 351

    Важливі теореми та результати про функції

    • Теорема 6.20. Дозволяти\(A\),\(B\) і\(C\) бути непорожніми множинами і нехай\(f: A \to B\) і\(g: B \to C\).

      1. Якщо\(f\) і\(g\) є обидва уколу, то\(g \circ f\) йде ін'єкція.
      2. Якщо\(f\) і\(g\) є обидва припущення, то\(g \circ f\) це відмова.
      3. Якщо\(f\) і\(g\) є обидва біекції, то\(g \circ f\) це біекція.
    • Теорема 6.21. Дозволяти\(A\),\(B\) і\(C\) бути непорожніми множинами і нехай\(f: A \to B\) і\(g: B \to C\).

      1. Якщо\(g \circ f: A \to C\) ін'єкція, то\(f: A \to B\) це ін'єкція.
      2. Якщо\(g \circ f: A \to C\) це відсмоктування, то\(g: B \to C\) це відмова.
    • Теорема 6.22. Дозволяти\(A\) і\(B\) бути непорожніми множинами і нехай\(f\) бути підмножиною\(A \times B\), що задовольняє наступним двом властивостям:

      \(\bullet\) Для кожного існує\(b \in B\) таке\(a \in A\), що\((a, b) \in f\); і
      \(\bullet\) для кожен\(a \in A\) і кожен\(b, c \in B\), якщо\((a, b) \in f\) і\((a, c) \in f\), то\(b = c\).

      Якщо ми використовуємо\(f(a) = b\) щоразу\((a, b) \in f\), то\(f\) є функцією від\(A\) до\(B\).
    • Теорема 6.25. \(B\)Дозволяти\(A\) і бути непорожніми множинами і нехай\(f: A \to B\). Обернене\(f\) - це функція від\(B\) до\(A\) якщо і тільки тоді, коли\(f\) є біекцією.
    • Теорема 6.26. Дозволяти\(A\) і\(B\) бути непорожніми множинами і нехай\(f: A \to B\) бути bijection. Тоді\(f^{-1}: B \to A\) є функція, причому для кожного\(a \in A\) і\(b \in B\),
      \(f(a) = b\) якщо і тільки якщо\(f^{-1}(b) = a\).
    • Слідство 6.28. Дозволяти\(A\) і\(B\) бути непорожніми множинами і нехай\(f: A \to B\) бути bijection. Потім

      1. Для кожного\(x\) в\(A\),\((f^{-1} \circ f)(x) = x\).
      2. Для кожного\(y\) в\(B\),\((f \circ f^{-1} (y) = y\).
    • Теорема 6.29. Нехай\(f: A \to B\) і\(g: B \to C\) будуть упередження. Потім\(g \circ f\) йде біекція і\((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).
    • Теорема 6.34. \(f: S \to T\)Дозволяти бути функція і нехай\(A\) і\(B\) бути підмножинами\(S\). Потім

      1. \(f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)\)
      2. \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\)
    • Теорема 6.35. \(f: S \to T\)Дозволяти бути функція і нехай\(C\) і\(D\) бути підмножинами\(T\). Потім

      1. \(f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\)
      2. \(f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\)
    • Теорема 6.36. \(f: S \to T\)Дозволяти бути функція і нехай\(A\( be a subset of \(S\) і нехай\(C\) бути підмножиною\(T\). Потім

      1. \(A \subseteq f^{-1}(f(A))\)
      2. \(f(f^{-1}(C) \subseteq C\)