4.12: Додатки

Додатки

Результати

1. Застосовуйте поняття векторів$\mathbb{R}^n$ у застосуваннях фізики та роботи.

Вектори та фізика

Припустимо, ви натискаєте на щось. Потім ваш поштовх складається з двох компонентів, наскільки сильно ви натискаєте, і напрямок, який ви натискаєте. Це ілюструє поняття сили.

Визначення$\PageIndex{1}$: Force

Сила - вектор. Величина цього вектора є мірою того, наскільки сильно він штовхається. Він вимірюється в таких одиницях, як Ньютони або фунти або тонни. Напрямок цього вектора - це напрямок, в якому відбувається поштовх.

Вектори використовуються для моделювання сили та інших фізичних векторів, таких як швидкість. Як і у всіх векторах, сила векторного моделювання має дві основні складові, її величину та напрямок.

Згадайте спеціальні вектори, які вказують уздовж осей координат. Вони задаються тим, $$\vec{e}_{i} = \left [ 0 \cdots 0 \; 1 \; 0 \cdots 0 \right ]^T\nonumber$$ де$1$ знаходиться в$i^{th}$ слоті і є нулі у всіх інших просторах. Напрямок$\vec{e}_{i}$ позначається як$i^{th}$ напрямок.

Розглянемо наступну картину, яка ілюструє випадок$\mathbb{R}^{3}.$ Recall, що в$\mathbb{R}^3$, ми можемо посилатися на ці вектори як$\vec{i}, \vec{j},$ і$\vec{k}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

З огляду на вектор$\vec{u}=\left [ u_{1} \cdots u_{n}\right ]^T ,$ випливає, що $$\vec{u}=u_{1}\vec{e}_{1}+\cdots +u_{n}\vec{e}_{n}= \sum_{k=1}^{n}u_{i}\vec{e}_{i}\nonumber$$

Що означає додавання векторів фізично? Припустимо, до якогось предмету прикладено дві сили. Кожен з них буде представлений вектором сили, і дві сили, що діють разом, дадуть загальну силу, що діє на об'єкт, яка також була б вектором сили, відомим як результуюча. Припустимо, що два вектори є$\vec{u}=\sum_{k=1}^{n}u_{i}\vec{e}_{i}$ і$\vec{v}=\sum_{k=1}^{n}v_{i}\vec{e}_{i}$. Тоді вектор$\vec{u}$ включає компонент у$i^{th}$ напрямку$u_{i}\vec{e}_{i}$, заданому, тоді як компонент у$i^{th}$ напрямку$\vec{v}$ є$v_{i}\vec{e}_{i}.$ Тоді вектор$\vec{u} + \vec{v}$ повинен мати компонент у$i^{th}$ напрямку рівному$\left( u_{i}+v_{i}\right) \vec{e}_{i}.$ Це саме те, що є отримані при векторах,$\vec{u}$ і$\vec{v}$ додаються. $$\begin{aligned} \vec{u}+\vec{v}& =\left [ u_{1}+v_{1} \cdots u_{n}+v_{n}\right ]^T \\ & =\sum_{i=1}^{n}\left( u_{i}+v_{i}\right) \vec{e}_{i}\end{aligned}$$

Таким чином, додавання векторів за правилами додавання, в$\mathbb{R }^{n}$ яких були представлені раніше, дає відповідний вектор, який дублює кумулятивний ефект всіх векторів у сумі.

Розглянемо тепер кілька прикладів векторного додавання.

Приклад$\PageIndex{1}$: The Resultant of Three Forces

До машини прикріплені три мотузки, і три людини тягнуть за ці мотузки. Перший чинить силу$\vec{F}_1 = 2\vec{i} + 3\vec{j} -2 \vec{k}$ Ньютонів, другий чинить силу$\vec{F}_2 = 3\vec{i}+5\vec{j}+\vec{k}$ Ньютонів, а третій надає силу$5\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}$ Ньютонів. Знайдіть сумарну силу в сторону$\vec{i}$.

Рішення

Щоб знайти сумарну силу, складаємо вектори, як описано вище. Це дається $$\begin{aligned} &(2\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}) + (3\vec{i}+5\vec{j}+\vec{k}) + (5\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k})\\ &= (2 + 3 + 5) \vec{i} + (3 + 5 + -1) \vec{j} + (-2+1+2) \vec{k} \\ &= 10 \vec{i} + 7 \vec{j} + \vec{k}\end{aligned}$$ Отже, загальна сила$10\vec{i}+7\vec{j}+\vec{k}$ Ньютонів. Тому сила в$\vec{i}$ напрямку -$10$ Ньютон.

Розглянемо ще один приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding a Vector from Geometric Description

Літак летить на північний схід зі швидкістю 100 миль на годину. Напишіть це як вектор.

Рішення

Далі випливає картина цієї ситуації.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Тому нам потрібно знайти вектор,$\vec{u}$ який має довжину 100 і напрямок, як показано на цій діаграмі. Вектор можна розглядати$\vec{u}$ як гіпотенузу прямокутного трикутника, що має рівні сторони, так як напрямок$\vec{u}$ відповідає$45 ^{\circ}$ прямій. Сторони, відповідні$\vec{j}$ напрямку$\vec{i}$ та, повинні бути кожна довжиною 100/$\sqrt{2}.$ Отже, вектор задається $$\vec{u} = \frac{100}{\sqrt{2}} \vec{i}+ \frac{100}{\sqrt{2 }}\vec{j} = \left [ \begin{array}{rr} {0.05in} \frac{100}{\sqrt{2}} & {0.05in}\frac{100}{\sqrt{2}} \end{array} \right ]^T \nonumber$$

Цей приклад також мотивує поняття швидкості, визначене нижче.

Визначення$\PageIndex{2}$: Speed and Velocity

Швидкість об'єкта - це міра того, наскільки швидко він рухається. Вимірюється в одиницях довжини в одиницю часу. Наприклад, милі на годину, кілометри в хвилину, фути в секунду. Швидкість - це вектор, який має швидкість як величину, але також визначає напрямок.

Таким чином, вектор швидкості в наведеному вище прикладі є${0.05in}\frac{100}{\sqrt{2}}\vec{i}+ {0.05in}\frac{100}{\sqrt{2}}\vec{j}$, тоді як швидкість становить$100$ милі на годину.

Розглянемо наступний приклад.

Швидкість літака$100\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$ вимірюється в кілометрах на годину і в певний момент часу його положення становить$\left( 1,2,1\right) .$

Знайдіть положення цього літака через хвилину.

Рішення

Тут уявіть декартову систему координат, в якій третім компонентом є висота, а перша і друга складові вимірюються на лінії із заходу на схід і лінії з півдня на північ.

Розглянемо вектор$\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \end{array} \right ]^T ,$, який є початковим вектором положення літака. У міру руху площини вектор положення змінюється відповідно до вектора швидкості. Через одну хвилину (вважається$\frac{1}{60}$ годиною) літак рухався у$\vec{i}$ напрямку на відстань в$100\times \frac{1}{60}= \frac{5}{3}$ кілометр. У$\vec{j}$ напрямку він перемістився$\frac{1}{60}$ кілометр за цей же час, при цьому рухається$\frac{1}{60}$ кілометр у$\vec{k}$ напрямку. Тому новий вектор переміщення для літака є $$\left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \end{array} \right ]^T + \left [ \begin{array}{rrr} \frac{5}{3} & \frac{1}{60} & \frac{1}{60} \end{array} \right ]^T =\left [ \begin{array}{rrr} \frac{8}{3} & \frac{121}{60} & \frac{121}{60} \end{array} \right ]^T\nonumber$$

Тепер розглянемо приклад, який передбачає об'єднання двох швидкостей.

Приклад$\PageIndex{4}$: Sum of Two Velocities

Певна річка шириною півкілометра з течією, що протікає зі сходу на захід зі швидкістю 4 кілометри на годину. Людина пливе прямо до протилежного берега від Південного берега річки зі швидкістю 3 кілометри на годину. Як далеко вниз по річці він опиняється, коли переплив? Як далеко він закінчується плаванням?

Рішення

Розглянемо наступну картину, яка демонструє вищеописаний сценарій.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Спочатку ми хочемо дізнатися загальний час запливу через річку. Швидкість у напрямку через річку становить$3$ кілометри на годину, а ширина річки -$\frac{1}{2}$ кілометр. Далі поїздка займає$1/6$ годину або$10$ хвилини.

Тепер ми можемо обчислити, наскільки далеко вниз за течією він опиниться. Так як річка протікає зі швидкістю$4$ кілометрів на годину, а поїздка займає$1/6$ годину, відстань, пройдене нижче за течією, дається$4 \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3}$ кілометрами.

Відстань, пройдену плавцем, задається гіпотенузою прямокутного трикутника. Дві руки трикутника задаються відстанню через річку,$\frac{1}{2}$ км, і відстань, пройдену вниз за течією,$\frac{2}{3}$ км. Потім, використовуючи теорему Піфагора, ми можемо обчислити загальну$d$ пройдену відстань. $$d = \sqrt{ \left(\frac{2}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right) ^2 } = \frac{5}{6} \mbox{km}\nonumber$$

Тому плавець долає загальну відстань$\frac{5}{6}$ кілометрів.

Робота

Математична концепція роботи являє собою застосування векторів в$\mathbb{R}^n$. Фізичне поняття праці відрізняється від поняття праці, зайнятого в звичайній бесіді. Наприклад, припустимо, що ви повинні були ковзати 150 фунтів ваги від столу, який є три фути висотою і перетасувати вздовж підлоги для 50 ярдів, зберігаючи висоту завжди три фути, а потім внести цю вагу на інший три фути високий стіл. Фізична концепція роботи вказувала б на те, що сила, яку чинили ваші руки, не працювала під час цього проекту. Причина такого визначення полягає в тому, що навіть якщо ваші руки чинили значну силу на вагу, напрямок руху було під прямим кутом до сили, яку вони чинили. Єдина частина сили, яка працює в сенсі фізики, є складовою сили у напрямку руху.

Робота визначається як величина складової цієї сили на відстань, на яку вона діє, коли складова сили вказує у напрямку руху. У разі, коли сила вказує в точності протилежному напрямку руху, робота задається в$\left( -1\right)$ рази величина цієї складової, що перевищує відстань. Таким чином, робота, виконана силою над об'єктом, коли об'єкт рухається з однієї точки в іншу, є мірою того, наскільки сила сприяє руху. Це проілюстровано на наступній картинці в тому випадку, коли дана сила сприяє руху.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Нагадаємо, що для будь-якого вектора$\vec{u}$ в$\mathbb{R}^n$, ми можемо записати$\vec{u}$ як суму двох векторів, як в $$\vec{u} = \vec{u}_{||} + \vec{u}_{\perp}\nonumber$$ Для будь-якої сили$\vec{F}$, ми можемо записати цю силу як суму вектора в напрямку руху і вектора, перпендикулярного руху. Іншими словами, $$\vec{F} = \vec{F}_{||} + \vec{F}_{\bot}\nonumber$$

На наведеному вище зображенні сила,$\vec{F}$ прикладається до об'єкта, який рухається по прямій лінії від$P$ до$Q.$ Є два вектори показані,$\vec{F}_{||}$$\vec{F}_{\bot }$ і малюнок призначений для того, щоб вказати, що при додаванні цих двох векторів ви отримаєте$\vec{F}$. Іншими словами,$\vec{F} = \vec{F}_{||} + \vec{F}_{\bot}$. Зверніть увагу, що$\vec{F}_{||}$ діє у напрямку руху і$\vec{F}_{\bot }$ діє перпендикулярно напрямку руху. Тільки$\vec{F}_{||}$ сприяє виконаній роботою над об'єктом у міру його переміщення від$P$ до$Q$.$\vec{F}$ $\vec{F}_{||}$називається складовою сили у напрямку руху. З тригонометрії ви бачите, що величина$\vec{F}_{||}$ повинна дорівнювати.$\| \vec{F} \| \left| \cos \theta \right| .$ Таким чином, оскільки$\vec{F}_{||}$ точки в напрямку вектора від$P$ до$Q,$ загальної виконаної роботи повинні дорівнювати $$\| \vec{F} \| \| \vec{PQ} \| \cos \theta = \| \vec{F} \| \| \vec{q}-\vec{p} \| \cos \theta\nonumber$$

Тепер, припустимо, що включений кут був тупим. Тоді робота, виконана силою$\vec{F}$ над об'єктом, була б негативною, оскільки$-1$ вказувала$\vec{F}_{||}$ б у рази напрямок руху. У цьому випадку також$\cos \theta$ буде негативним, і тому все ще залишається так, що виконана робота буде дана за вищевказаною формулою. Таким чином, з геометричного опису точкового добутку, наведеного вище, робота дорівнює $$\| \vec{F} \| \| \vec{q}-\vec{p} \| \cos \theta =\vec{F}\bullet \left( \vec{q}-\vec{p}\right)\nonumber$$ Це пояснює наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{3}$: Work Done on an Object by a Force

$\vec{F}$Дозволяти сила, що діє на об'єкт, який рухається від точки$P$ до точки$Q$, які мають вектори положення, задані$\vec{q}$ відповідно$\vec{p}$ і. Тоді робота, виконана над об'єктом за заданою силою, дорівнює$\vec{F}\bullet \left( \vec{q}-\vec{p}\right) .$

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{4}$: Finding Work

Нехай$\vec{F}= \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 7 & -3 \end{array} \right ]^T$ Ньютони. Знайдіть роботу, виконану цією силою в русі від точки$\left( 1,2,3\right)$ до точки$\left( -9,-3,4\right)$ по прямому відрізку, що з'єднує ці точки, де відстані вимірюються в метрах.

Рішення

Спочатку обчислити вектор$\vec{q} - \vec{p}$, заданий $$\left [ \begin{array}{rrr} -9 & -3 & 4 \end{array} \right ]^T - \left [ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \end{array} \right ]^T = \left [ \begin{array}{rrr} -10 & -5 & 1 \end{array} \right ]^T\nonumber$$

Згідно з $\PageIndex{3}$визначенням, виконана робота є $$\begin{aligned} \left [ \begin{array}{rrr} 2 & 7 & 3 \end{array} \right ]^T \bullet \left [ \begin{array}{rrr} -10 & -5 & 1 \end{array} \right ]^T & =-20+\left( -35\right) +\left( -3\right) \\ & =-58\text{ Newton meters}\end{aligned}$$

Зверніть увагу, що якби сила була дана в фунтах, а відстань була дана в ногах, одиниці на роботі були б фунтами ніг. Загалом, робота має одиниці, рівні одиницям сили на одиниці довжини. Нагадаємо, що метр$1$ Ньютона дорівнює$1$ Джоулю. Також зверніть увагу, що робота, виконана силою, може бути негативною, як в наведеному вище прикладі.