4.E: Вправи
- Page ID
- 63127
Знайти\(-3\left[\begin{array}{c}5\\-1\\2\\-3\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{c}-8\\2\\-3\\6\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{c}-55\\13\\-21\\39\end{array}\right]\)
Знайти\(-7\left[\begin{array}{c}6\\0\\4\\-1\end{array}\right]+6\left[\begin{array}{c}-13\\-1\\1\\6\end{array}\right]\).
Вирішіть\[\vec{v}=\left[\begin{array}{c}4\\4\\-3\end{array}\right]\nonumber\], чи є лінійна комбінація векторів\[\vec{u}_{1}=\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}_{2}=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right].\nonumber\]
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{c}4\\4\\-3\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Вирішіть\[\vec{v}=\left[\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right]\nonumber\], чи є лінійна комбінація векторів\[\vec{u}_1=\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}_2=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right].\nonumber\]
- Відповідь
-
Система не\[\left[\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right]=a_1\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]+a_2\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\] має рішення.
Знайти векторне рівняння для прямої через\((−7, 6, 0)\) і\((−1, 1, 4)\). Потім знайдіть параметричні рівняння для цього рядка.
Знайти параметричні рівняння для прямої через точку\((7, 7, 1)\) з вектором напряму\(\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\6\\2\end{array}\right]\).
Параметричні рівняння\[\begin{aligned}x&=t+2 \\ y&=6-3t \\ x&=-t=6\end{aligned}\] прямої - Знайти вектор напрямку для прямої і точки на прямій.
Знайдіть векторне рівняння для прямої через дві точки\((−5, 5, 1),\: (2, 2, 4)\). Потім знайдіть параметричні рівняння.
Рівняння прямої в двох вимірах записується як\(y = x−5\). Знайдіть параметричні рівняння для цього рядка.
Знайти параметричні рівняння для прямої через\((6, 5,−2)\) і\((5, 1, 2)\).
Знайти векторне рівняння і параметричні рівняння для прямої через точку\((−7, 10,−6)\) з вектором напрямку\(\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{array}\right]\).
Параметричні рівняння прямої -\[\begin{aligned}x&=2t+2 \\ y&=5-4t \\ z&=-t-3\end{aligned}\] Знайти вектор напрямку для прямої і точки на прямій, і записати векторне рівняння прямої.
Знайдіть векторне рівняння та параметричні рівняння для прямої через дві точки\((4, 10, 0),\: (1,−5,−6)\).
Знайдіть точку на відрізку лінії, від\(P = (−4, 7, 5)\) до\(Q = (2,−2,−3)\)\(\frac{1}{7}\) якої йде шлях від\(P\) до\(Q\).
Припустимо, трикутник in\(\mathbb{R}^n\) має вершини в\(P_1,\: P_2,\) і\(P_3\). Розглянемо лінії, які проводяться від вершини до середини протилежної сторони. Покажіть ці три лінії, що перетинаються в точці і знайдіть координати цієї точки.
Знайти\(\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right]=17\)
Використовуйте формулу, наведену в Пропозиції 4.7.2, щоб перевірити нерівність Коші Шварца і показати, що рівність виникає тоді і лише тоді, коли один із векторів є скалярним кратним іншому
- Відповідь
-
Ця формула говорить, що\(\vec{u}\bullet\vec{v} = ||\vec{u}||\:||\vec{v}||\cos\theta\) де\(θ\) знаходиться включений кут між двома векторами. Таким чином\[||\vec{u}\bullet\vec{v}||=||\vec{u}||\:||\vec{v}||\:||\cos\theta||\leq ||\vec{u}||\:||\vec{v}||\nonumber\] і рівність тримається тоді і тільки якщо\(\theta = 0\) або\(π\). Це означає, що два вектори або вказують в одному напрямку, або в протилежних напрямках. Отже, одне є кратним іншому.
Для\(\vec{u}\),\(\vec{v}\) вектори в\(\mathbb{R}^3\), визначити добуток,\(\vec{u}\ast\vec{v} = u_1v_1 +2u_2v_2 +3u_3v_3\). Показувати аксіоми для точкового добутку, який утримується для цього продукту. Довести\[||\vec{u}\ast\vec{v}||\leq (\vec{u}\ast\vec{u})^{1/2}(\vec{v}\ast\vec{v})^{1/2}\nonumber\]
- Відповідь
-
Це випливає з нерівності Коші Шварца та доказу теореми 4.7.1, яка використовувала лише властивості точкового добутку. Оскільки цей новий продукт має ті ж властивості, нерівність Коші Шварца також має для нього.
\(\vec{b}\)Дозволяти\(\vec{a}\), бути векторами. Покажіть, що\(\left(\vec{a}\bullet\vec{b}\right)=\frac{1}{4}\left(||\vec{a}+\vec{b}||^2-||\vec{a}-\vec{b}||^2\right).\)
Використовуючи аксіоми точкового добутку, доведіть ідентичність паралелограма:\[||\vec{a}+\vec{b}||^2+||\vec{a}-\vec{b}||^2=2||\vec{a}||^2+2||\vec{b}||^2\nonumber\]
\(A\)Дозволяти реальна\(m\times n\) матриця і нехай\(\vec{u} ∈ \mathbb{R}^n\) і\(\vec{v} ∈ \mathbb{R}^m\). Показати\(A\vec{u}\bullet\vec{v} =\vec{u}\bullet A^T\vec{v}\). Підказка: Для цього скористайтеся визначенням множення матриць.
- Відповідь
-
\(A\vec{x}\bullet\vec{y}=\sum_k(A\vec{x})_ky_k=\sum_k\sum_iA_{ki}x_iy_k=\sum_i\sum_kA^T_{ik}x_iy_k=\vec{x}\bullet A^T\vec{y}\)
Використовуйте результат проблеми,\(\PageIndex{21}\) щоб безпосередньо перевірити, що\((AB)^T = B^TA^T\) без посилання на індекси.
- Відповідь
-
\[\begin{aligned}AB\vec{x}\bullet\vec{y}&=B\vec{x}\bullet A^T\vec{y} \\ &=\vec{x}\bullet B^TA^T\vec{y} \\ &=\vec{x}\bullet (AB)^T\vec{y}\end{aligned}\]Оскільки це вірно для всіх\(\vec{x}\), то випливає, що, зокрема, воно тримається за\[\vec{x}=B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\nonumber\] і так від аксіом точкового добутку,\[\left(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\right)\bullet\left(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\right)=0\nonumber\] і так\(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}=\vec{0}\). Однак це справедливо для всіх\(\vec{y}\) і так\(B^TA^T-(AB)^T=0\).
Знайти кут між векторами\[\vec{u}=\left[\begin{array}{r}3\\-1\\-1\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\4\\2\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
\(\frac{\left[\begin{array}{ccc}3&-1&-1\end{array}\right]^T\bullet\left[\begin{array}{ccc}1&4&2\end{array}\right]^T}{\sqrt{9+1+1}\sqrt{1+16+4}}=\frac{-3}{\sqrt{11}\sqrt{21}}=-0.19739=\cos\theta\)Тому нам потрібно вирішити\[-0.19739=\cos\theta\nonumber\] Таким чином\(\theta=1.7695\) радіани.
Знайти кут між векторами\[\vec{u}=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-7\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
\(\frac{-10}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{1+4+49}}=-0.55555=\cos\theta\)Тому потрібно вирішити\(−0.55555 = \cos θ\), що дає\(θ = 2.0313\) радіани.
Знайти\(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})\) де\(\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right]\) і\(\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{-5}{14}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{5}{14}\\-\frac{5}{7}\\-\frac{15}{14}\end{array}\right]\)
Знайти\(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})\) де\(\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right]\) і\(\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{-5}{10}\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\0\\-\frac{3}{2}\end{array}\right]\)
Знайти\(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})\) де\(\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right]\) і\(\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\0\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{\left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&1\end{array}\right]^T\bullet\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&0\end{array}\right]^T}{1+4+9}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}\\0\end{array}\right]\)
\(P = (1, 2, 3)\)Дозволяти бути точкою в\(\mathbb{R}^3\). \(L\)Дозволяти лінія через точку з\(P_0 = (1, 4, 5)\) напрямком вектора\(\vec{d} =\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]\). Знайдіть найкоротшу відстань від\(P\) до\(L\), і знайдіть точку\(L\),\(Q\) на якій найближче до\(P\).
\(P = (0, 2, 1)\)Дозволяти бути точкою в\(\mathbb{R}^3\). \(L\)Дозволяти лінія через точку з\(P_0 = (1, 1, 1)\) напрямком вектора\(\vec{d} =\left[\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right]\). Знайдіть найкоротшу відстань від\(P\) до\(L\), і знайдіть точку\(L\),\(Q\) на якій найближче до\(P\).
Чи є сенс говорити про\(\text{proj}_{\vec{0}} (\vec{w})\)?
- Відповідь
-
Ні, це не так. \(0\)Вектор не має напрямку. Формула для теж\(\text{proj}_{\vec{0}} (\vec{w})\) не має сенсу.
Доведіть нерівність Коші Шварца\(\mathbb{R}^n\) наступним чином. Для\(\vec{u}\)\(\vec{v}\) векторів розгляньте\[(\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}\vec{w})\bullet (\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}\vec{w})\geq 0\nonumber\] спрощення за допомогою аксіом крапкового добутку, а потім введіть формулу для проекції. Зверніть увагу, що цей вираз дорівнює,\(0\) і ви отримаєте рівність у нерівності Коші Шварца, якщо і тільки якщо\(\vec{w} = \text{proj}_{\vec{v}}\vec{w}\). У чому полягає геометричне значення\(\vec{w}= \text{proj}_{\vec{v}}\vec{w}\)?
- Відповідь
-
\[\left(\vec{u}-\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\right)\bullet\left(\vec{u}-\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\right)=||\vec{u}||^2-2(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\frac{1}{||\vec{v}||^2}+(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\frac{1}{||\vec{v}||^2}\geq 0\nonumber\]І так\[||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\geq (\vec{u}\bullet\vec{v})^2\nonumber\] Ви отримуєте рівність саме тоді\(\vec{u}=\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\), коли іншими словами, коли\(\vec{u}\) кратна\(\vec{v}\).
\(\vec{v},\:\vec{w},\:\vec{u}\)Дозволяти вектори. Покажіть, що\((\vec{w}+\vec{u})_{\perp}=\vec{w}_\perp +\vec{u}_\perp\) де\(\vec{w}_\perp =\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})\).
- Відповідь
-
\[\begin{aligned}\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\vec{u}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})&=\vec{w}+\vec{u}-(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})) \\ &=\vec{w}+\vec{u}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w}+\vec{u})\end{aligned}\]Це випливає, тому що\[\begin{aligned}\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})&=\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}+\frac{\vec{w}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \\ &=\frac{(\vec{u}+\vec{w})\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \\ &=\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w}+\vec{u})\end{aligned}\]
Показати, що\[(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}),\vec{u})=(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}))\bullet\vec{u}=0\nonumber\] і зробити висновок кожен вектор в\(\mathbb{R}^n\) можна записати як суму двох векторів, один який перпендикулярний і один, який паралельний даному вектору.
- Відповідь
-
\((\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}))\bullet\vec{u}=\vec{v}\bullet\vec{u}-\left(\frac{(\vec{v}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}\right)\bullet\vec{u}=\vec{v}\bullet\vec{u}-\vec{v}\bullet\vec{u}=0\). Тому,\(\vec{v}=\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})+\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})\). Перший перпендикулярний,\(\vec{u}\) а другий кратний\(\vec{u}\) тому він паралельний\(\vec{u}\).
Показати, що якщо\(\vec{a}\times\vec{u}=\vec{0}\) для будь-якої одиниці вектора\(\vec{u}\), то\(\vec{a}=\vec{0}\).
- Відповідь
-
Якщо\(\vec{a}\neq\vec{0}\), то умова говорить, що\(||\vec{a}\times\vec{u}||=||\vec{a}||\sin\theta =0\) для всіх кутів\(θ\). Звідси\(\vec{a}=\vec{0}\) все-таки.
Знайдіть площу трикутника, визначену трьома точками\((1, 2, 3),\: (4, 2, 0)\) і\((−3, 2, 1)\).
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{r}3\\0\\-3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}-4\\0\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\18\\0\end{array}\right]\). Так що площа є\(9\).
Знайдіть площу трикутника, визначену трьома точками\((1, 0, 3),\: (4, 1, 0)\) і\((−3, 1, 1)\).
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{r}3\\1\\-3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}-4\\1\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\18\\7\end{array}\right]\). Площа задається\[\frac{1}{2}\sqrt{1+(18)^2+49}=\frac{1}{2}\sqrt{374}\nonumber\]
Знайдіть площу трикутника, визначену трьома точками,\((1, 2, 3),\: (2, 3, 4)\) і\((3, 4, 5)\). Тут трапилося щось цікаве? Що значить геометрично?
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{ccc}2&2&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\end{array}\right]\). Площа є\(0\). Це означає, що три точки знаходяться на одній лінії.
Знайти площу паралелограма, визначену векторами\(\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}8\\8\\-8\end{array}\right]\). Площа є\(8\sqrt{3}\).
Знайти площу паралелограма, визначену векторами\(\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{r}4\\-2\\1\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}4\\-2\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}6\\11\\-2\end{array}\right]\). Площа є\(\sqrt{36+121+4}=\sqrt{161}\).
Є\(\vec{u}\times (\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}\)? У чому сенс\(\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w}\)? Поясніть. Підказка: Спробуйте\(\left(\vec{i}\times\vec{j}\right)\times\vec{k}\).
- Відповідь
-
\(\left(\vec{i}\times\vec{j}\right)\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{j}=i\vec{i}\). Однак\(\vec{i}\times\left(\vec{j}\times\vec{j}\right)=\vec{0}\) і так перехресний твір не асоціативний.
Переконайтеся безпосередньо, що координатний опис поперечного твору,\(\vec{u}\times\vec{v}\) має властивість, що воно перпендикулярно обом\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\). Потім показати шляхом прямого обчислення, що цей опис координат задовольняє,\[\begin{aligned} ||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2 \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2(1-\cos^2(\theta ))\end{aligned}\] де\(\theta\) знаходиться кут, включений між двома векторами. Поясніть, чому\(||\vec{u}\times\vec{v}||\) має правильну величину.
- Відповідь
-
Перевірте безпосередньо з координатного опису перехресного добутку, що правило правої руки застосовується до векторів\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\). Далі переконайтеся, що розподільний закон дотримується координатного опису перехресного добутку. Це дає ще один спосіб наближення до перехресного продукту. Спочатку визначте його з точки зору координат, а потім отримайте геометричні властивості з цього. Однак такий підхід не дуже легко дає властивість правилу правої руки. Від опису координат,\[\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{a}=\epsilon_{ijk}a_jb_ka_i=-\epsilon_{jik}a_kb_ka_i=-\epsilon_{jik}b_ka_ia_j=-\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{a}\nonumber\] і так\(\vec{a}\times\vec{b}\) перпендикулярно до\(\vec{a}\). Аналогічно\(\vec{a}\times\vec{b}\) робиться перпендикулярно\(\vec{b}\). Тепер нам потрібно, що\[||\vec{a}\times\vec{b}||^2=||\vec{a}||^2||\vec{b}||^2(1-\cos^2\theta )=||\vec{a}||^2||\vec{b}||^2\sin^2\theta\nonumber\] і так\(||\vec{a}\times\vec{b}||=||\vec{a}||\:||\vec{b}||\sin\theta\), площа паралелограма визначається\(\vec{a}\),\(\vec{b}\). Тільки правилом правої руки трохи проблематично. Однак одразу з визначення компонента можна побачити, що правило правої руки має для кожного зі стандартних векторів одиниць. Таким чином\(\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}\) і т.д.\[\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right|=\vec{k}\nonumber\]
Припустимо,\(A\) є\(3\times 3\) перекіс симетричної матриці такий, що\(A^T = −A\). Показати, що існує\(\vec{Ω}\) такий вектор, що для всіх\(\vec{u} ∈ \mathbb{R}^3\)\[A\vec{u}=\vec{\Omega}\times\vec{u}\nonumber\] Підказка: Поясніть,\(A\) чому оскільки нахил симетричний, він має форму,\[A=\left[\begin{array}{ccc}0&-\omega_3&\omega_2 \\ \omega_3&0&-\omega_1 \\ -\omega_2&\omega_1&0\end{array}\right]\nonumber\] де\(\omega_i\) є числами. Тоді розглянемо\(\omega_1\vec{i}+\omega_2\vec{j}+\omega_3\vec{k}\).
Знайти обсяг паралелепіпеда, що визначається векторами\(\left[\begin{array}{r}1\\-7\\-5\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-6\end{array}\right]\), і\(\left[\begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right]\).
- Відповідь
-
\(\left|\begin{array}{ccc}1&-7&-5 \\ 1&-2&-6 \\ 3&2&3\end{array}\right|=113\)
Припустимо\(\vec{u}\)\(\vec{v}\), і\(\vec{w}\) є трьома векторами, складовими яких є всі цілі числа. Чи можете ви зробити висновок, що обсяг паралелепіпеда, що визначається з цих трьох векторів, завжди буде цілим числом?
- Відповідь
-
Так. Він буде включати суму добутку цілих чисел, і тому вона буде цілим числом.
Що означає геометрично, якщо коробковий добуток трьох векторів дає нуль?
- Відповідь
-
Це означає, що якщо ви розмістите їх так, щоб всі вони мали хвости в одній точці, три будуть лежати в одній площині.
Використовуючи \(\PageIndex{45}\)Задача, знайдіть рівняння площини, що містить два вектори положення,\(\vec{p}\)\(\vec{q}\) і точку\(0\). Підказка: Якщо\((x, y,z)\) точка на цій площині, об'єм паралелепіпеда, визначеного\((x, y,z)\) векторами\(\vec{p}\),\(\vec{q}\) дорівнює\(0\).
- Відповідь
-
\(\vec{x}\bullet\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=0\)
Використовуючи поняття коробкового добутку, що дає або плюс, або мінус об'єм паралелепіпеда, визначеного заданими трьома векторами, показати, що\[(\vec{u}\times\vec{v})\bullet\vec{w}=\vec{u}\bullet (\vec{v}\times\vec{w})\nonumber\] Іншими словами, точка і хрест можуть бути переключені до тих пір, поки порядок векторів залишається незмінним. Підказка: Існує два способи зробити це: за координатним описом крапки та перехресного добутку та геометричним міркуванням.
Спростити\((\vec{u}\times\vec{v})\bullet (\vec{v}\times\vec{w})\times (\vec{w}\times\vec{z})\).
- Відповідь
-
Тут\([\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\) позначається коробка вироби. Розглянемо термін крос-добутку. З вищесказаного,\[\begin{aligned}(\vec{v}\times\vec{w})\times(\vec{w}\times\vec{z})&=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}-[\vec{w},\vec{w},\vec{z}]\vec{v} \\ &=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}\end{aligned}\] Таким чином, це зводиться до\[(\vec{u}\times\vec{v})\bullet [\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}][\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\nonumber\]
Спростити\(||\vec{u}\times\vec{v}||^2+(\vec{u}\bullet\vec{v})^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\).
- Відповідь
-
\[\begin{aligned}||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=\epsilon_{ijk}u_jv_k\epsilon_{irs}u_rv_s=(\delta_{jr}\delta_{ks}-\delta_{kr}\delta_{js})u_rv_su_jv_k \\ &=u_jv_ku_jv_k-u_kv_ju_jv_k=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\end{aligned}\]Звідси випливає, що вираз зводиться до\(0\). Також можна зробити наступне. \[\begin{aligned}||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\sin^2\theta \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2(1-\cos^2\theta ) \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\cos^2\theta \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\end{aligned}\]що має на увазі вираз дорівнює\(0\).
Для\(\vec{u},\:\vec{v},\:\vec{w}\) функцій\(t\), довести наступні правила продукту:\[\begin{aligned}(\vec{u}\times\vec{v})'&=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}' \\ (\vec{u}\bullet\vec{v})'&=\vec{u}'\bullet\vec{v}+\vec{u}\bullet\vec{v}'\end{aligned}\]
- Відповідь
-
Ми покажемо це за допомогою умовності підсумовування\[\begin{aligned}((\vec{u}\times\vec{v})')_i&=((\vec{u}\times\vec{v})_i)'=(\epsilon_{ijk}u_jv_k)' \\ &=\epsilon_{ijk}u_j'v_k+\epsilon_{ijk}u_kv_k'=(\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}')_i\end{aligned}\] та символу перестановки тощо\((\vec{u}\times\vec{v})'=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}'\).
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\7\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\7\\-10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}12\\17\\-24\end{array}\right]\nonumber\]Опишіть проміжок цих векторів як проміжок якомога меншої кількості векторів.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}12\\29\\-24\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\9\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\12\\-10\end{array}\right].\nonumber\]Опишіть проміжок цих векторів як проміжок якомога меншої кількості векторів.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\nonumber\]Опишіть проміжок цих векторів як проміжок якомога меншої кількості векторів.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right]\nonumber\]Тепер ось ще один вектор:\[\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\nonumber\] Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right]\nonumber\]Тепер ось ще один вектор:\[\left[\begin{array}{r}2\\-3\\-4\end{array}\right]\nonumber\] Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\nonumber\]Тепер ось ще один вектор:\[\left[\begin{array}{r}1\\9\\1\end{array}\right]\nonumber\] Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.
Ось деякі вектори,\[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-5\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\5\\2\end{array}\right]\nonumber\] Тепер ось ще один вектор:\[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right]\nonumber\] Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-5\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\5\\2\end{array}\right]\nonumber\]Тепер ось ще один вектор:\[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right]\nonumber\] Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.
Ось кілька векторів. \[\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-2\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\4\\2\end{array}\right]\nonumber\]Тепер ось ще один вектор:\[\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\2\end{array}\right]\nonumber\] Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.
Припустимо,\(\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}\) це набір векторів з\(\mathbb{R}^n\). Покажіть, що\(\vec{0}\) знаходиться в\(span\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}\).
- Відповідь
-
\(\sum\limits_{i=1}^k 0\vec{x}_k=\vec{0}\)
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\10\\2\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\2\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\-4\\3\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\6\\4\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\34\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\7\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. \[\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\-10\\3\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-5\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-4\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\10\\-14\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}1\\0\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\8\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\34\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\7\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\-5\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. \[\left[\begin{array}{r}1\\2\\2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\4\\1\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\0\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-2\\5\end{array}\right]\nonumber\]
Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. \[\left[\begin{array}{r}2\\3\\1\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-5\\-6\\0\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\0\\4\end{array}\right]\nonumber\]
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\3\\-1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-5\\-7\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\2\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-3\\3\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\11\\-1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}\\ \frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайти основу для прольоту цих векторів
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\3\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\7\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\-9\\-6\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\3\\3\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-9\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Ось деякі вектори в\(\mathbb{R}^4\). \[\left[\begin{array}{r}1\\b+1\\a\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\3b+3\\3a\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\b+2\\2a+1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\2b-5\\-5a-7\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\b+2\\2a+2\\1\end{array}\right]\nonumber\]Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.
Нехай\(H=span\left\{\left[\begin{array}{r}2\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\-1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\2\\3\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-2\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\3\\5\\-5\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\2\\-2\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}-2\\1\\1\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-9\\4\\3\\-9\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-33\\15\\12\\-36\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-22\\10\\8\\-24\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-4\\3\\-2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\2\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-7\\5\\-3\\-6\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}2\\3\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}8\\15\\6\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\6\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\6\\6\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}8\\15\\6\\3\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}0\\2\\0\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\6\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\16\\0\\-6\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\22\\0\\-8\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}5\\1\\1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}14\\3\\2\\8\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}38\\8\\6\\24\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}47\\10\\7\\28\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}10\\2\\3\\12\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(H\) позначають\(span\left\{\left[\begin{array}{r}6\\1\\1\\5\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}17\\3\\2\\10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}52\\9\\7\\35\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}18\\3\\4\\20\end{array}\right]\right\}\). Знайдіть розмірність\(H\) і визначте основу.
Нехай\(M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:\sin(u_1)=1\right\}\). Це\(M\) підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Ні. Нехай\(\vec{u}=\left[\begin{array}{c}\frac{\pi}{2} \\ 0\\0\\0\end{array}\right]\). Тоді\(2\vec{u}\cancel{\in}M\) хоча\(\vec{u}\in M\).
Нехай\(M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:||u_1||\leq 4\right\}\). Це\(M\) підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Ні. \(\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\in M\)але\(10\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\cancel{\in }M\).
Нехай\(M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_1\geq 0\text{ for each }i=1,2,3,4 \right\}\). Це\(M\) підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Це не підпростір. \(\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]\)знаходиться в ньому. Однак\((-1)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]\) це не так.
\(\vec{w}\)\(\vec{w}_1\)Дозволяти, бути задані вектори в\(\mathbb{R}^4\) і визначити\[M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4 :\vec{w}\bullet\vec{u}=0\text{ and }\vec{w}_1\bullet\vec{u}=0\right\}.\nonumber\]\(M\) є підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Це підпростір, оскільки він замкнутий щодо додавання векторів та скалярного множення.
Нехай\(\vec{w}\in\mathbb{R}^4\) і нехай\(M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:\vec{w}\bullet\vec{u}=0\right\}\). Це\(M\) підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Так, це підпростір, оскільки він замкнутий щодо додавання векторів та скалярного множення.
Нехай\(M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_3\geq u_1\right\}\). Це\(M\) підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Це не підпростір. \(\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]\)знаходиться в ньому. Однак\((-1)\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\\-1\\0\end{array}\right]\) це не так.
Нехай\(M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_3=u_1=0\right\}\). Це\(M\) підпростір? Поясніть.
- Відповідь
-
Це підпростір. Він замкнутий щодо векторного додавання і скалярного множення.
Розглянемо множину векторів,\(S\)\[S=\left\{\left[\begin{array}{c}4u+v-5w \\ 12u+6v-6w \\ 4u+4v+4w\end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\] заданих Is\(S\) a підпростір\(\mathbb{R}^3\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо множину векторів,\(S\)\[S=\left\{\left[\begin{array}{c}2u+6v+7w \\ -3u-9v-12w \\ 2u+6v+6w \\ u+3v+3w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\] заданих Is\(S\) a підпростір\(\mathbb{R}^4\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо множину векторів,\(S\) заданих чи\[S=\left\{\left[\begin{array}{c}2u+v \\ 6v-3u+3w \\ 3v-6u+3w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\] є цей набір векторів підпростором\(\mathbb{R}^3\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо вектори виду\[\left\{\left[\begin{array}{c}2u+v+7w \\ u-2v+w \\ -6v-6w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\] Чи є цей набір векторів підпростором\(\mathbb{R}^3\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо вектори виду\[\left\{\left[\begin{array}{c}3u+v+11w \\ 18u+6v+66w \\ 28u+8v+100w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\] Чи є цей набір векторів підпростором\(\mathbb{R}^3\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо вектори виду\[\left\{\left[\begin{array}{c}3u+v \\ 2w-4u \\ 2w-2v-8u \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\] Чи є цей набір векторів підпростором\(\mathbb{R}^3\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо множину векторів,\(S\) заданих Is,\[\left\{\left[\begin{array}{c}u+v+w \\ 2u+2v+4w \\ u+v+w \\ 0 \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\]\(S\) є підпростором\(\mathbb{R}^4\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Розглянемо множину векторів,\(S\) заданих Is,\[\left\{\left[\begin{array}{c}v \\ -3u-3w \\ 8u-4v+4w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber\]\(S\) є підпростором\(\mathbb{R}^4\)? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.
Якщо у вас є\(5\) вектори\(\mathbb{R}^5\) і вектори лінійно незалежні, чи завжди можна зробити висновок, що вони охоплюють\(\mathbb{R}^5\)? Поясніть.
- Відповідь
-
Так. Якщо ні, існував би вектор не в прольоті. Але тоді ви могли б додати в цей вектор і отримати лінійно незалежний набір векторів з більшою кількістю векторів, ніж базису.
Якщо у вас є\(6\) вектори\(\mathbb{R}^5\), чи можливо, вони лінійно незалежні? Поясніть.
- Відповідь
-
Їх не може бути.
Припустимо,\(A\) це\(m\times n\) матриця і\(\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}\) є лінійно незалежним набором векторів в\(A(\mathbb{R}^n ) ⊆ \mathbb{R}^m\). Тепер припустимо\(A\vec{z}_i = \vec{w}_i\). \(\{\vec{z}_1 ,\cdots ,\vec{z}_k\}\)Шоу також незалежне.
- Відповідь
-
Скажіть\(\sum\limits_{i=1}^k c_i\vec{z}_i=\vec{0}\). Потім наносите\(A\) на нього наступним чином. \[\sum\limits_{i=1}^k c_aA\vec{z}_i=\sum\limits_{i=1}^kc_i\vec{w}_i=\vec{0}\nonumber\]і так, по лінійної незалежності від того\(\vec{w}_i\), що випливає, що кожен\(c_i=0\).
\(V,\: W\)Припустимо, це підпростори\(\mathbb{R}^n\). \(V ∩W\)Дозволяти всі вектори, які знаходяться в обох\(V\) і\(W\). Показати, що\(V ∩W\) це підпростір також.
- Відповідь
-
Якщо\(\vec{x},\vec{y} ∈ V ∩W\), то для скалярів\(α,β\) лінійна комбінація\(α\vec{x} + β\vec{y}\) повинна бути в обох\(V\) і\(W\) так як вони обидва підпростори.
Припустимо,\(V\) і\(W\) обидва мають вимір рівний\(7\) і вони є підпросторами\(\mathbb{R}^{10}\). Які можливості для виміру\(V ∩W\)? Підказка: Пам'ятайте, що лінійний незалежний набір можна розширити, щоб сформувати основу.
Припустимо\(V\),\(W\) має розмірність\(p\)\(q\) і має вимір, і кожен з них міститься в підпросторі,\(U\) який має вимір рівний\(n\) де\(n > \text{max}(p,q)\). Які можливості для виміру\(V ∩W\)? Підказка: Пам'ятайте, що лінійно незалежний набір можна розширити, щоб сформувати основу.
- Відповідь
-
Нехай\(\{x_1,\cdots ,x_k\}\) буде основою для\(V∩W\). Тоді є основа для\(V\) і\(W\) які відповідно. З\[\{x_1, \cdots ,x_k, y_{k+1},\cdots ,y_p\},\:\{x_1,\cdots ,x_k, z_{k+1},\cdots z_q\}\nonumber\] цього випливає, що ви повинні мати\(k+p-k+q-k\leq n\) і так ви повинні мати\[p+q-n\leq k\nonumber\]
Припустимо,\(A\) це\(m\times n\) матриця і\(B\) є\(n\times p\) матрицею. Показати, що\[\text{dim}(\text{ker}(AB))\leq\text{dim}(\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B)).\nonumber\] Розглянемо підпростір\(B(\mathbb{R}^p )∩\text{ker}(A)\) і припустимо, що основою для цього підпростору є\(\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}\). Тепер припустимо,\(\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r\}\) це основа для\(\text{ker}(B)\). Нехай\(\{\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}\) будуть такі, що\(B\vec{z}_1 =\vec{w}_i\) і сперечатися, що\[\text{ker}(AB)⊆ span\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r,\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}.\nonumber\]
- Відповідь
-
Ось як ви це робите. Припустимо\(AB\vec{x} =\vec{0}\). Тоді\(B\vec{x} ∈ \text{ker}(A) ∩ B(\mathbb{R}^p)\) і так\(B\vec{x} =\sum\limits_{i=1}^k B\vec{z}_i\) показуючи, що\[\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^k\vec{z}_i\in\text{ker}(B)\nonumber\] Розглянемо\(B(\mathbb{R}^p )∩\text{ker}(A)\) і нехай основа буде\(\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}\). Тоді\(\vec{w}_i\) кожен має форму\(B\vec{z}_i =\vec{w}_i\). Тому\(\{\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}\) є лінійно незалежним і\(AB\vec{z}_i = 0\). Тепер нехай\(\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r\}\) буде основою для\(\text{ker}(B)\). Якщо\(AB\vec{x} =\vec{0}\), то\(B\vec{x} ∈ \text{ker}(A)∩B(\mathbb{R}^p)\) і так\(B\vec{x} =\sum\limits_{i=1}^k c_iB\vec{z}_1\) що має на увазі\[\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^k c_i\vec{z}_i\in\text{ker}(B)\nonumber\] і так воно має форму З\[\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^kc_i\vec{z}_i=\sum\limits_{j=1}^r d_j\vec{u}_j\nonumber\] цього випливає\(\vec{x} ∈ \text{ker}(AB)\), що якщо\(AB\vec{x} =\vec{0}\) так, то\[\vec{x}\in span (\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k,\vec{u}_1, \cdots ,\vec{u}_r ).\nonumber\] Тому,\[\begin{aligned}\text{dim}(\text{ker}(AB))&\leq k+r=\text{dim}(B(\mathbb{R}^p)∩\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B)) \\ &\leq\text{dim}(\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B))\end{aligned}\]
Показати, що якщо\(A\) є\(m\times n\) матрицею, то\(\text{ker}(A)\) є підпростором\(\mathbb{R}^n\).
- Відповідь
-
Якщо\(\vec{x}\),\(\vec{y}\in\text{ker}(A)\) то\[A(a\vec{x}+b\vec{y})=aA\vec{x}+bA\vec{y}=a\vec{0}+b\vec{0}=\vec{0}\nonumber\] і так\(\text{ker}(A)\) закривається при лінійних комбінаціях. Звідси це підпростір.
Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. \[\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&0&-2&0&3 \\ 3&9&1&-7&0&8 \\ 1&3&1&-3&1&-1 \\ 1&3&-1&-1&-2&10\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. \[\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&0&-2&7&3 \\ 3&9&1&-7&23&8 \\ 1&3&1&-3&9&2 \\ 1&3&-1&-1&5&4\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. \[\left[\begin{array}{rrrrrr}1&0&3&0&7&0 \\ 3&1&10&0&23&0 \\ 1&1&4&1&7&0 \\ 1&-1&2&-2&9&1\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. \[\left[\begin{array}{rrr}1&0&3 \\ 3&1&10 \\ 1&1&4 \\ 1&-1&2\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. \[\left[\begin{array}{rrrrr}0&0&-1&0&1 \\ 1&2&3&-2&-18 \\ 1&2&2&-1&-11 \\ -1&-2&-2&1&11\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. \[\left[\begin{array}{rrrr}1&0&3&0 \\ 3&1&10&0 \\ -1&1&-2&1 \\ 1&-1&2&-2\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть\(\text{ker}(A)\) для наступних матриць.
- \(A=\left[\begin{array}{rr}2&3 \\ 4&6\end{array}\right]\)
- \(A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&-1 \\ -1&1&3 \\ 3&2&1\end{array}\right]\)
- \(A=\left[\begin{array}{rrr}2&4&0 \\ 3&6&-2 \\ 1&2&-2\end{array}\right]\)
- \(A=\left[\begin{array}{rrrr}2&-1&3&5 \\ 2&0&1&2 \\ 6&4&-5&-6 \\ 0&2&-4&-6\end{array}\right]\)
Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. \[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\: \left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\: \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\]Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.
Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. \[\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber\]Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.
Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. \[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right]\nonumber\]Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.
Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. \[\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right]\nonumber\]Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.
Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. \[\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\-1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\]Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.
Ось деякі матриці. Позначте відповідно до того, чи є вони симетричними, косиметричними або ортогональними.
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&2&-3 \\ 2&1&4 \\ -3&4&7\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{ccc}0&-2&-3 \\ 2&0&-4 \\ 3&4&0\end{array}\right]\)
- Відповідь
-
- Ортогональні
- Симетричний
- Косий симетричний
Для\(U\) ортогональної матриці поясніть, чому\(||U\vec{x}|| =||\vec{x}||\) для будь-якого вектора\(\vec{x}\). Далі поясніть,\(U\) чому якщо\(n\times n\) матриця з властивістю, що\(||U\vec{x}|| =||\vec{x}||\) для всіх векторів\(\vec{x}\), то\(U\) повинна бути ортогональною. Таким чином, ортогональні матриці - це саме ті, які зберігають довжину.
- Відповідь
-
\(||U\vec{x}||^2=U\vec{x}\bullet U\vec{x}=U^TU\vec{x}\bullet\vec{x}=I\vec{x}\bullet\vec{x}=||\vec{x}||^2\). Далі припустимо, відстань зберігається\(U\). Тоді\[\begin{aligned} (U(\vec{x}+\vec{y}))\bullet (U(\vec{x}+\vec{y}))&=||Ux||^2+||Uy||^2+2(Ux\bullet Uy) \\ &=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2+2(U^TU\vec{x}\bullet\vec{y})\end{aligned}\] Але оскільки\(U\) зберігає відстані, це також так\[(U(\vec{x}+\vec{y})\bullet U(\vec{x}+\vec{y}))=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2+2(\vec{x}\bullet\vec{y})\nonumber\] Звідси\[\vec{x}\bullet\vec{y}=U^TU\vec{x}\bullet\vec{y}\nonumber\] і так\[((U^TU-I)\vec{x})\bullet\vec{y}=0\nonumber\] Оскільки\(y\) довільно, з цього випливає\(U^TU-I=0\). Таким\(U\) чином, ортогональний.
Припустимо,\(U\) це ортогональна\(n\times n\) матриця. Поясніть, чому\(rank(U) = n\).
- Відповідь
-
Ви могли спостерігати, що\(\text{det}(UU^T)=(\text{det}(U))^2-1\) так\(\text{det}(U)\neq 0\).
Заповніть відсутні записи, щоб матриця була ортогональною. \[\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\underline{\;}&\underline{\;} \\ \underline{\;}&\frac{\sqrt{6}}{3}&\underline{\;}\end{array}\right].\nonumber\]
- Відповідь
-
\[\begin{aligned} &\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&a \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&a \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&b\end{array}\right]^T \\ =&\left[\begin{array}{ccc} 1&\frac{1}{3}\sqrt{3}a-\frac{1}{3} &\frac{1}{3}\sqrt{3}b-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}a-\frac{1}{3}&a^2+\frac{2}{3}&ab-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}b-\frac{1}{3}&ab-\frac{1}{3}&b^2+\frac{2}{3}\end{array}\right]\end{aligned}\]Для цього потрібно,\(a=1/\sqrt{3},b=1/\sqrt{3}\). \[\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&1/\sqrt{3} \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&1/\sqrt{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&1/\sqrt{3} \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&1/\sqrt{3}\end{array}\right]^T =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right]\nonumber\]
Заповніть відсутні записи, щоб матриця була ортогональною. \[\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\underline{\;}&\underline{\;} \\ \underline{\;}&0&\underline{\;}\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2}\\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&a \\ -\frac{1}{3}&0&b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&a \\ -\frac{1}{3}&0&b\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{6}\sqrt{2}a-\frac{1}{18}&\frac{1}{6}\sqrt{2}b-\frac{2}{9} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2}a-\frac{1}{18}&a^2+\frac{17}{18} &ab-\frac{2}{9} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2}b-\frac{2}{9}&ab-\frac{2}{9}&b^2+\frac{1}{9}\end{array}\right]\nonumber\]Для цього потрібно\(a=\frac{1}{3\sqrt{2}},\:b=\frac{4}{3\sqrt{2}}\). \[\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3\sqrt{2}}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\nonumber\]
Заповніть відсутні записи, щоб матриця була ортогональною. \[\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\underline{\;} \\ \frac{2}{3}&0&\underline{\;} \\ \underline{\;}&\underline{\;}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
Спробуйте.\[\begin{aligned}&\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&c \\ \frac{2}{3}&0&d \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&c \\ \frac{2}{3}&0&d \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]^T \\ =&\left[\begin{array}{ccc}c^2+\frac{41}{45} &cd+\frac{2}{9}&\frac{4}{15}\sqrt{5}c-\frac{8}{45} \\ cd+\frac{2}{9}&d^2+\frac{4}{9} &\frac{4}{15}\sqrt{5}d+\frac{4}{9} \\ \frac{4}{15}\sqrt{5}c-\frac{8}{45}&\frac{4}{15}\sqrt{5}d+\frac{4}{9}&1\end{array}\right]\end{aligned}\] Це вимагає цього\(c=\frac{2}{3\sqrt{5}},d=\frac{-5}{3\sqrt{5}}\). \[\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&0&\frac{-5}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&0&\frac{-5}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть ортонормальну основу для прольоту кожного з наступних наборів векторів.
- \(\left[\begin{array}{r}3\\-4\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}7\\-1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{r}3\\0\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}11\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\7\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{r}3\\0\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\0\\10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-7\\1\\1\end{array}\right]\)
- Відповідь
-
- \(\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\ \frac{3}{5} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ 0\\ -\frac{4}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5} \\ 0\\ \frac{3}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\0\\-\frac{4}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\0\\ \frac{3}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\)
Використовуючи процес Грама Шмідта, знайдіть ортонормальну основу для наступного проміжку:\[span\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
- Відповідь
-
Рішення є\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\]
Використовуючи процес Грама Шмідта, знайдіть ортонормальну основу для наступного проміжку:\[span\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
- Відповідь
-
Тоді рішення є\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{1}{133}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ -\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}\end{array}\right]\nonumber\]
\(V=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] :2x+3y-z=0\right\}\)Безліч є підпростором\(\mathbb{R}^3\). Знайдіть ортонормальну основу для цього підпростору.
- Відповідь
-
Підпростір має форму,\[\left[\begin{array}{c}x\\y\\2x+3y\end{array}\right]\nonumber\] а основа -\(\left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right]\). Тому ортонормальною основою є\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{5}\sqrt{5} \\ 0\\ \frac{2}{5}\sqrt{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{35}\sqrt{5}\sqrt{14} \\ \frac{1}{14}\sqrt{5}\sqrt{14} \\ \frac{3}{70}\sqrt{5}\sqrt{14}\end{array}\right]\nonumber\]
Розглянемо наступне скалярне рівняння площини. \[2x-3y+z=0\nonumber\]Знайдіть ортогональне доповнення вектора\(\vec{v}=\left[\begin{array}{c}3\\4\\1\end{array}\right]\). Також знайдіть точку на площині, яка найближча до\((3,4,1)\).
Розглянемо наступне скалярне рівняння площини. \[x+3y+z=0\nonumber\]Знайдіть ортогональне доповнення вектора\(\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\). Також знайдіть точку на площині, яка найближча до\((3,4,1)\).
\(\vec{v}\)Дозволяти вектор і\(\vec{n}\) нехай нормальний вектор для площини через початок. Знайдіть рівняння прямої через точку, визначену за\(\vec{v}\) якою має вектор напряму\(\vec{n}\). Покажіть, що вона перетинає площину в точці, визначеній\(\vec{v}−proj_{\vec{n}}\vec{v}\). Підказка: Рядок:\(\vec{v}+t\vec{n}\). Він знаходиться в площині, якщо\(\vec{n}•(\vec{v}+t\vec{n}) = 0\). Визначте\(t\). Потім підставляємо в рівняння прямої.
Як показано у наведеній вище задачі, можна знайти найближчу точку до~v у площині через початок,\(\vec{v}\) знайшовши перетин прямої через вектор напрямку, рівний вектору нормалі до площини з площиною. Якщо площина не проходить через початок, це все одно спрацює, щоб знайти точку на площині, найближчій до визначеної точкою\(\vec{v}\). Ось відношення, яке визначає площину\[2x+y+z=11\nonumber\] і ось точка:\((1, 1, 2)\). Знайдіть точку на площині, яка найближча до цієї точки. Потім визначте відстань від точки до площини, взявши відстань між цими двома точками. Підказка: Рядок:\((x, y,z) = (1, 1, 2) +t(2, 1, 1)\). Тепер вимагаємо, щоб вона перетиналася з площиною.
Загалом, у вас є точка\((x_0, y_0,z_0)\) і скалярне рівняння для площини\(ax+by+cz = d\) де\(a^2 +b^2 +c^2 > 0\). Визначте формулу найближчої точки на площині до заданої точки. Потім використовуйте цю точку, щоб отримати формулу відстані від заданої точки до площини. Підказка: Знайдіть лінію, перпендикулярну площині, яка проходить через задану точку:\((x, y,z) = (x_0, y_0,z_0) + t(a,b, c)\). Тепер вимагаємо, щоб ця точка задовольняла рівнянню для визначення площини\(t\).
Знайдіть рішення найменших квадратів для наступної системи. \[\begin{aligned}x+2y&=1 \\ 2x+3y&=2 \\ 3x+5y&=4\end{aligned}\]
- Відповідь
-
\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right]\end{aligned}\]\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right],\end{aligned}\]Рішення полягає в:\(\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]\)
Ви робите експерименти і отримали впорядковані пари,\[(0, 1),(1, 2),(2, 3.5),(3, 4)\nonumber\] знайти\(m\) і\(b\) такі, які максимально\(\vec{y} = m\vec{x}+b\) наближають ці чотири точки.
Припустимо, у вас є кілька замовлених трійок,\((x_i , y_i ,z_i)\). Опишіть, як знайти многочлен, такий як\[z = a+bx+cy+dxy+ex^2 + fy^2\nonumber\] надання найкращого прилягання до заданих впорядкованих трійок.
Вітер дме з півдня зі швидкістю\(20\) кілометрів на годину, а літак, який летить зі швидкістю\(600\) кілометрів на годину в нерухомому повітрі, прямує на схід. Знайти швидкість літака і його місце розташування вже через дві години.
Вітер дме із заходу зі швидкістю\(30\) кілометрів на годину, а літак, який летить зі швидкістю\(400\) кілометрів на годину в нерухомому повітрі, прямує на північний схід. Знайти швидкість літака і його положення через дві години.
Вітер дме з півночі зі швидкістю\(10\) кілометрів на годину. Літак, який летить\(300\) зі швидкістю кілометрів на годину в нерухомому повітрі, повинен йти до точки, координати якої знаходяться\(\left( 100, 100 \right).\) в якому напрямку повинен літати літак?
На об'єкт діють три сили. Два є\(\left [ \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right ]\) і\(\left [ \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right ]\) Ньютони. Знайдіть третю силу, якщо об'єкт не рухатися.
На об'єкт діють три сили. Два є\(\left [ \begin{array}{r} 6 \\ -3 \\ 3 \end{array} \right ]\) і\(\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right ]\) Ньютони. Знайдіть третю силу, якщо сумарна сила на об'єкт повинна бути\(\left [ \begin{array}{r} 7 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right ] .\)
Річка тече Захід зі швидкістю\(b\) миль на годину. Човен може рухатися зі швидкістю\(8\) миль на годину. Знайдіть найменшу величину\(b\) такого, що не представляється можливим для човна, щоб перейти безпосередньо через річку.
Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю\(50\) миль на годину, а літак, який подорожує зі швидкістю\(400\) миль на годину в нерухомому повітрі, прямує на північний захід. Яка швидкість літака щодо землі? Яка складова цієї швидкості в напрямку на північ?
- Відповідь
-
Швидкість - це сума двох векторів. \(50\vec{i}+\frac{ 300}{\sqrt{2}} \left( \vec{i}+\vec{j}\right) =\left( 50+\frac{300}{\sqrt{2}} \right) \vec{i}+ \frac{300}{\sqrt{2}}\vec{j}.\)Компонент у напрямку на північ - тоді,\(\frac{300}{\sqrt{2}}= 150\sqrt{2}\) а швидкість щодо землі дорівнює\[\left( 50+\frac{300}{\sqrt{2}}\right) \vec{i}+\frac{300}{\sqrt{2}}\vec{j}\nonumber \]
Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю\(60\) миль на годину, і літак може подорожувати зі швидкістю\(100\) миль на годину в нерухомому повітрі. Скільки градусів на захід від півночі повинен очолити літак, щоб подорожувати точно на північ?
Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю\(50\) миль на годину, а літак, який подорожує зі швидкістю\(400\) миль на годину у нерухомому повітрі, прямуючи дещо на захід від півночі, так що з вітром він летить через північ. Він використовує\(30.0\) галони газу щогодини. Якщо йому доведеться проїхати\(600.0\) милі через Північ, скільки газу він буде використовувати при польоті до місця призначення?
Літак летить через північ зі швидкістю\(150.0\) миль на годину, але це насправді не відбувається через північ, тому що є вітер, який штовхає літак через схід зі швидкістю\(40.0\) миль на годину. Через годину літак починає літати на\(30^{\circ }\) схід від півночі. Припускаючи, що літак починається з того,\(\left( 0,0\right) ,\) де він після\(2\) години? Нехай північ буде напрямок позитивної\(y\) осі і нехай Схід - напрямок позитивної\(x\) осі.
- Відповідь
-
Швидкість літака протягом першої години:\(\left [ \begin{array}{cc} 0 & 150 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{cc} 40 & 150 \end{array} \right ] .\) Після однієї години він знаходиться в\(\left( 40,150\right) .\) наступному швидкість літака\(150\left [ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right ] +\left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ]\) в милі на годину. Через дві години це потім на\(\left( 40,150\right) + 150\left [ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right ] +\left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 155 & 75\sqrt{3}+150 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 155.0 & 279.\, 9 \end{array} \right ]\)
Місто А розташоване біля початку,\(\left( 0,0 \right)\) тоді як місто B знаходиться там,\(\left(300,500 \right)\) де відстані в милі. Літак летить зі швидкістю\(250\) миль на годину в нерухому повітрі. Цей літак хоче літати з міста А в місто Б, але вітер дме у напрямку позитивної\(y\) осі зі швидкістю\(50\) миль на годину. Знайдіть одиничний вектор такий, що якщо літак очолює в цьому напрямку, він опиниться в місті B, пролетів найкоротшу відстань. Скільки часу буде потрібно, щоб дістатися туди?
- Відповідь
-
Вітер:\(\left [ \begin{array}{cc} 0 & 50 \end{array} \right ] .\) Напрямок, який потрібно подорожувати:\(\left( 3,5 \right) \frac{1}{\sqrt{34}}.\) Тоді вам\(250 \left [ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 0 & 50 \end{array} \right ]\) потрібно мати цей напрямок, де\(\left [ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ]\) є відповідний вектор одиниці. Таким чином вам потрібно\[\begin{aligned} a^{2}+b^{2} &=1 \\ \frac{250b+50}{250a} &=\frac{5}{3}\end{aligned}\] Таким чином\(a=\frac{3}{5},b=\frac{4}{5}.\) Швидкість площини щодо землі є\(\left [ \begin{array}{cc} 150 & 250 \end{array} \right ] .\) Швидкість площини щодо землі задається\[\sqrt{\left( 150\right) ^{2}+\left( 250\right) ^{2}}= 291.55 \text{ miles per hour }\nonumber\] Він повинен пройти відстань у\(\sqrt{\left( 300\right) ^{2}+\left( 500\right) ^{2}}= 583.\, 10\) милі. Тому потрібно\[\frac{ 583.\, 1}{ 291.\, 55}=2 \text{ hours}\nonumber \]
Певна річка шириною півмилі з течією, що протікає зі швидкістю\(2\) миль на годину зі сходу на захід. Людина пливе прямо до протилежного берега від південного берега річки зі швидкістю\(3\) миль на годину. Як далеко вниз по річці він опиняється, коли переплив? Як далеко він в кінцевому підсумку подорожує?
- Відповідь
-
Вода:\(\left [ \begin{array}{rr} -2 & 0 \end{array} \right ]\) плавець:\(\left [ \begin{array}{rr} 0 & 3 \end{array} \right ]\) швидкість по відношенню до землі:\(\left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \end{array} \right ] .\) це займає йому\(1/6\) годину, щоб отримати через. Тому він закінчується проїзними\(\frac{1}{6}\sqrt{4+9}= \frac{1}{6}\sqrt{13}\) милями. Він закінчується вгору\(1/3\) милю вниз за течією.
Певна річка шириною півмилі з течією, що протікає на 2 милі на годину зі сходу на захід. Людина може плавати зі швидкістю\(3\) миль на годину в негазованій воді. В якому напрямку йому слід плисти, щоб пересуватися прямо через річку? Якою була б відповідь на цю проблему, якби річка текла зі швидкістю 3 милі на годину і людина могла плавати тільки зі швидкістю 2 милі на годину?
- Відповідь
-
Людина:\(3\left [ \begin{array}{rr} a & b \end{array} \right ]\) Вода:\(\left [ \begin{array}{rr} -2 & 0 \end{array} \right ]\) Тоді вам потрібно\(3a=2\) і так\(a=2/3\) і звідси\(b=\sqrt{5}/3\). Вектор тоді\(\left [ \begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} \end{array} \right ] .\)
У другому випадку він не зміг цього зробити. Вам потрібно було б мати\(\left [ \begin{array}{rr} a & b \end{array} \right ]\) одиничний вектор такий,\(2a=3\) що неможливо.
Три сили прикладені до точки, яка не рухається. Дві сили -\(2 \vec{i}+2 \vec{j} -6 \vec{k}\) Ньютони і\(8 \vec{i}+ 8 \vec{j}+ 3 \vec{k}\) Ньютони. Знайдіть третю силу.
Загальна сила, що діє на об'єкт, повинна бути\(4 \vec{i}+ 2 \vec{j} -3 \vec{k}\) Ньютонами. Застосовується сила\(-3 \vec{i} -1 \vec{j}+ 8 \vec{k}\) Ньютонів. Яку ще силу слід застосувати для досягнення бажаної сумарної сили?
Птах відлітає зі свого гнізда\(8\) км в напрямку на\(\frac{5}{6}\pi\) північ від сходу, де зупиняється, щоб відпочити на дереві. Потім він летить\(1\) км у напрямку через південний схід і приземляється на вершині телефонного стовпа. Помістіть систему\(xy\) координат так, щоб початком було пташине гніздо, а позитивна\(x\) вісь вказувала на схід, а позитивна\(y\) вісь вказувала на північ. Знайдіть вектор переміщення від гнізда до телефонного стовпа.
Якщо\(\vec{F}\) є силою і\(\vec{D}\) є вектором, покажіть,\(\mathrm{proj}_{\vec{D}}\left( \vec{F}\right) =\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \vec{u}\) де\(\vec{u}\) знаходиться одиничний вектор у напрямку\(\vec{D}\), де\(\vec{u}=\vec{D}/ \| \vec{D} \|\) і\(\theta\) є включеним кутом між двома векторами,\(\vec{F}\) і\(\vec{D}\). \( \| \vec{F} \| \cos \theta\)іноді називають складовою сили,\(\vec{F}\) в напрямку,\(\vec{D}\).
- Відповідь
-
\(\mathrm{proj}_{\vec{D}}\left( \vec{F}\right) = \frac{\vec{F}\bullet \vec{D}}{ \| \vec{D} \| }\frac{\vec{D}}{ \| \vec{D} \| }=\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \frac{\vec{D}}{ \| \vec{D} \| }=\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \vec{u}\)
Хлопчик тягне санки для\(100\) ніг уздовж землі, потягнувши за мотузку, яка знаходиться в\(20\) градусах від горизонталі з силою\(40\) кілограмів. Скільки роботи робить ця сила?
- Відповідь
-
\(40\cos \left( \frac{20}{180}\pi \right)100=3758.8\)
Дівчина тягне санки для\(200\) ніг уздовж землі, потягнувши за мотузку, яка знаходиться в\(30\) градусах від горизонталі з силою\(20\) кілограмів. Скільки роботи робить ця сила?
- Відповідь
-
\(20\cos \left( \frac{\pi }{6}\right)200= 3464.1\)
Велика собака тягне санки для\(300\) ніг уздовж землі, потягнувши за мотузку, яка знаходиться в\(45\) градусах від горизонталі з силою\(20\) кілограмів. Скільки роботи робить ця сила?
- Відповідь
-
\(20\left( \cos \frac{\pi }{4}\right)300=4242.6\)
Скільки роботи потрібно, щоб ковзати\(20\) метри обрешітки вздовж вантажного доку, потягнувши на нього з силою\(200\) Ньютона під кутом\(30^{\circ }\) від горизонталі? Висловіть свою відповідь в Ньютонних метрах.
- Відповідь
-
\(200\left( \cos \left( \frac{\pi }{6}\right) \right) 20= 3464.1\)
Об'єкт рухається на\(10\) метри в напрямку\(\vec{j}\). Є дві сили, що діють на цей об'єкт\(\vec{F}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+ 2\vec{k}\), і\(\vec{F}_{2}=-5\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}\). Знайдіть загальну роботу, виконану над об'єктом двома силами. Підказка: Ви можете взяти роботу, виконану в результаті двох сил, або ви можете додати роботу, виконану кожною силою. Чому?
- Відповідь
-
\(\left [ \begin{array}{r} -4 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] \times 10= 30\)Можна вважати результуючою з двох сил через властивості точкового добутку.
Об'єкт рухається на\(10\) метри в напрямку\(\vec{j}+\vec{i}\). Є дві сили, що діють на цей об'єкт\(\vec{F}_{1}=\vec{i}+2\vec{j} +2\vec{k}\), і\(\vec{F}_{2}=5\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}\). Знайдіть загальну роботу, виконану над об'єктом двома силами. Підказка: Ви можете взяти роботу, виконану в результаті двох сил, або ви можете додати роботу, виконану кожною силою. Чому?
- Відповідь
-
\[\begin{aligned} \vec{F}_{1}\bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10+\vec{F}_{2}\bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 &=\left( \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\right) \bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 \\ &= \left [ \begin{array}{r} 6 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 \\ &= 50\sqrt{2}\end{aligned}\]
Об'єкт рухається на\(20\) метри в напрямку\(\vec{k}+\vec{j}\). Є дві сили, що діють на цей об'єкт\(\vec{F}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+ 2\vec{k}\), і\(\vec{F}_{2}=\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}\). Знайдіть загальну роботу, виконану над об'єктом двома силами. Підказка: Ви можете взяти роботу, виконану в результаті двох сил, або ви можете додати роботу, виконану кожною силою.
- Відповідь
-
\(\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right ] 20= -10\sqrt{2}\)