4.E: Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайти$-3\left[\begin{array}{c}5\\-1\\2\\-3\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{c}-8\\2\\-3\\6\end{array}\right]$.

Відповідь

$\left[\begin{array}{c}-55\\13\\-21\\39\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайти$-7\left[\begin{array}{c}6\\0\\4\\-1\end{array}\right]+6\left[\begin{array}{c}-13\\-1\\1\\6\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішіть $$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}4\\4\\-3\end{array}\right]\nonumber$$ , чи є лінійна комбінація векторів $$\vec{u}_{1}=\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}_{2}=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right].\nonumber$$

Відповідь

$$\left[\begin{array}{c}4\\4\\-3\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішіть $$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right]\nonumber$$ , чи є лінійна комбінація векторів $$\vec{u}_1=\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}_2=\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right].\nonumber$$

Відповідь

Система не $$\left[\begin{array}{c}4\\4\\4\end{array}\right]=a_1\left[\begin{array}{c}3\\1\\-1\end{array}\right]+a_2\left[\begin{array}{c}2\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ має рішення.

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайти векторне рівняння для прямої через$(−7, 6, 0)$ і$(−1, 1, 4)$. Потім знайдіть параметричні рівняння для цього рядка.

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайти параметричні рівняння для прямої через точку$(7, 7, 1)$ з вектором напряму$\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\6\\2\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Параметричні рівняння $$\begin{aligned}x&=t+2 \\ y&=6-3t \\ x&=-t=6\end{aligned}$$ прямої - Знайти вектор напрямку для прямої і точки на прямій.

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть векторне рівняння для прямої через дві точки$(−5, 5, 1),\: (2, 2, 4)$. Потім знайдіть параметричні рівняння.

Вправа$\PageIndex{9}$

Рівняння прямої в двох вимірах записується як$y = x−5$. Знайдіть параметричні рівняння для цього рядка.

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайти параметричні рівняння для прямої через$(6, 5,−2)$ і$(5, 1, 2)$.

Вправа$\PageIndex{11}$

Знайти векторне рівняння і параметричні рівняння для прямої через точку$(−7, 10,−6)$ з вектором напрямку$\vec{d}=\left[\begin{array}{c}1\\1\\3\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{12}$

Параметричні рівняння прямої - $$\begin{aligned}x&=2t+2 \\ y&=5-4t \\ z&=-t-3\end{aligned}$$ Знайти вектор напрямку для прямої і точки на прямій, і записати векторне рівняння прямої.

Вправа$\PageIndex{13}$

Знайдіть векторне рівняння та параметричні рівняння для прямої через дві точки$(4, 10, 0),\: (1,−5,−6)$.

Вправа$\PageIndex{14}$

Знайдіть точку на відрізку лінії, від$P = (−4, 7, 5)$ до$Q = (2,−2,−3)$$\frac{1}{7}$ якої йде шлях від$P$ до$Q$.

Вправа$\PageIndex{15}$

Припустимо, трикутник in$\mathbb{R}^n$ має вершини в$P_1,\: P_2,$ і$P_3$. Розглянемо лінії, які проводяться від вершини до середини протилежної сторони. Покажіть ці три лінії, що перетинаються в точці і знайдіть координати цієї точки.

Вправа$\PageIndex{16}$

Знайти$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right]$.

Відповідь

$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\4\end{array}\right]\bullet\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right]=17$

Вправа$\PageIndex{17}$

Використовуйте формулу, наведену в Пропозиції 4.7.2, щоб перевірити нерівність Коші Шварца і показати, що рівність виникає тоді і лише тоді, коли один із векторів є скалярним кратним іншому

Відповідь

Ця формула говорить, що$\vec{u}\bullet\vec{v} = ||\vec{u}||\:||\vec{v}||\cos\theta$ де$θ$ знаходиться включений кут між двома векторами. Таким чином $$||\vec{u}\bullet\vec{v}||=||\vec{u}||\:||\vec{v}||\:||\cos\theta||\leq ||\vec{u}||\:||\vec{v}||\nonumber$$ і рівність тримається тоді і тільки якщо$\theta = 0$ або$π$. Це означає, що два вектори або вказують в одному напрямку, або в протилежних напрямках. Отже, одне є кратним іншому.

Вправа$\PageIndex{18}$

Для$\vec{u}$,$\vec{v}$ вектори в$\mathbb{R}^3$, визначити добуток,$\vec{u}\ast\vec{v} = u_1v_1 +2u_2v_2 +3u_3v_3$. Показувати аксіоми для точкового добутку, який утримується для цього продукту. Довести $$||\vec{u}\ast\vec{v}||\leq (\vec{u}\ast\vec{u})^{1/2}(\vec{v}\ast\vec{v})^{1/2}\nonumber$$

Відповідь

Це випливає з нерівності Коші Шварца та доказу теореми 4.7.1, яка використовувала лише властивості точкового добутку. Оскільки цей новий продукт має ті ж властивості, нерівність Коші Шварца також має для нього.

Вправа$\PageIndex{19}$

$\vec{b}$Дозволяти$\vec{a}$, бути векторами. Покажіть, що$\left(\vec{a}\bullet\vec{b}\right)=\frac{1}{4}\left(||\vec{a}+\vec{b}||^2-||\vec{a}-\vec{b}||^2\right).$

Вправа$\PageIndex{20}$

Використовуючи аксіоми точкового добутку, доведіть ідентичність паралелограма: $$||\vec{a}+\vec{b}||^2+||\vec{a}-\vec{b}||^2=2||\vec{a}||^2+2||\vec{b}||^2\nonumber$$

Вправа $\PageIndex{21}$

$A$Дозволяти реальна$m\times n$ матриця і нехай$\vec{u} ∈ \mathbb{R}^n$ і$\vec{v} ∈ \mathbb{R}^m$. Показати$A\vec{u}\bullet\vec{v} =\vec{u}\bullet A^T\vec{v}$. Підказка: Для цього скористайтеся визначенням множення матриць.

Відповідь

$A\vec{x}\bullet\vec{y}=\sum_k(A\vec{x})_ky_k=\sum_k\sum_iA_{ki}x_iy_k=\sum_i\sum_kA^T_{ik}x_iy_k=\vec{x}\bullet A^T\vec{y}$

Вправа$\PageIndex{22}$

Використовуйте результат проблеми,$\PageIndex{21}$ щоб безпосередньо перевірити, що$(AB)^T = B^TA^T$ без посилання на індекси.

Відповідь

$$\begin{aligned}AB\vec{x}\bullet\vec{y}&=B\vec{x}\bullet A^T\vec{y} \\ &=\vec{x}\bullet B^TA^T\vec{y} \\ &=\vec{x}\bullet (AB)^T\vec{y}\end{aligned}$$ Оскільки це вірно для всіх$\vec{x}$, то випливає, що, зокрема, воно тримається за $$\vec{x}=B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\nonumber$$ і так від аксіом точкового добутку, $$\left(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\right)\bullet\left(B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}\right)=0\nonumber$$ і так$B^TA^T\vec{y}-(AB)^T\vec{y}=\vec{0}$. Однак це справедливо для всіх$\vec{y}$ і так$B^TA^T-(AB)^T=0$.

Вправа$\PageIndex{23}$

Знайти кут між векторами $$\vec{u}=\left[\begin{array}{r}3\\-1\\-1\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\4\\2\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

$\frac{\left[\begin{array}{ccc}3&-1&-1\end{array}\right]^T\bullet\left[\begin{array}{ccc}1&4&2\end{array}\right]^T}{\sqrt{9+1+1}\sqrt{1+16+4}}=\frac{-3}{\sqrt{11}\sqrt{21}}=-0.19739=\cos\theta$Тому нам потрібно вирішити $$-0.19739=\cos\theta\nonumber$$ Таким чином$\theta=1.7695$ радіани.

Вправа$\PageIndex{24}$

Знайти кут між векторами $$\vec{u}=\left[\begin{array}{r}1\\-2\\1\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-7\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

$\frac{-10}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{1+4+49}}=-0.55555=\cos\theta$Тому потрібно вирішити$−0.55555 = \cos θ$, що дає$θ = 2.0313$ радіани.

Вправа$\PageIndex{25}$

Знайти$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$ де$\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right]$ і$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]$.

Відповідь

$\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{-5}{14}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{5}{14}\\-\frac{5}{7}\\-\frac{15}{14}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{26}$

Знайти$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$ де$\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right]$ і$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]$.

Відповідь

$\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{-5}{10}\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\\0\\-\frac{3}{2}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{27}$

Знайти$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$ де$\vec{w}=\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right]$ і$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\0\end{array}\right]$.

Відповідь

$\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{\vec{u}\bullet\vec{u}}\vec{u}=\frac{\left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&1\end{array}\right]^T\bullet\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&0\end{array}\right]^T}{1+4+9}\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}\\0\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{28}$

$P = (1, 2, 3)$Дозволяти бути точкою в$\mathbb{R}^3$. $L$Дозволяти лінія через точку з$P_0 = (1, 4, 5)$ напрямком вектора$\vec{d} =\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right]$. Знайдіть найкоротшу відстань від$P$ до$L$, і знайдіть точку$L$,$Q$ на якій найближче до$P$.

Вправа$\PageIndex{29}$

$P = (0, 2, 1)$Дозволяти бути точкою в$\mathbb{R}^3$. $L$Дозволяти лінія через точку з$P_0 = (1, 1, 1)$ напрямком вектора$\vec{d} =\left[\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right]$. Знайдіть найкоротшу відстань від$P$ до$L$, і знайдіть точку$L$,$Q$ на якій найближче до$P$.

Вправа$\PageIndex{30}$

Чи є сенс говорити про$\text{proj}_{\vec{0}} (\vec{w})$?

Відповідь

Ні, це не так. $0$Вектор не має напрямку. Формула для теж$\text{proj}_{\vec{0}} (\vec{w})$ не має сенсу.

Вправа$\PageIndex{31}$

Доведіть нерівність Коші Шварца$\mathbb{R}^n$ наступним чином. Для$\vec{u}$$\vec{v}$ векторів розгляньте $$(\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}\vec{w})\bullet (\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}\vec{w})\geq 0\nonumber$$ спрощення за допомогою аксіом крапкового добутку, а потім введіть формулу для проекції. Зверніть увагу, що цей вираз дорівнює,$0$ і ви отримаєте рівність у нерівності Коші Шварца, якщо і тільки якщо$\vec{w} = \text{proj}_{\vec{v}}\vec{w}$. У чому полягає геометричне значення$\vec{w}= \text{proj}_{\vec{v}}\vec{w}$?

Відповідь

$$\left(\vec{u}-\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\right)\bullet\left(\vec{u}-\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}\right)=||\vec{u}||^2-2(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\frac{1}{||\vec{v}||^2}+(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\frac{1}{||\vec{v}||^2}\geq 0\nonumber$$ І так $$||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\geq (\vec{u}\bullet\vec{v})^2\nonumber$$ Ви отримуєте рівність саме тоді$\vec{u}=\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}$, коли іншими словами, коли$\vec{u}$ кратна$\vec{v}$.

Вправа$\PageIndex{32}$

$\vec{v},\:\vec{w},\:\vec{u}$Дозволяти вектори. Покажіть, що$(\vec{w}+\vec{u})_{\perp}=\vec{w}_\perp +\vec{u}_\perp$ де$\vec{w}_\perp =\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})$.

Відповідь

$$\begin{aligned}\vec{w}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\vec{u}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})&=\vec{w}+\vec{u}-(\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})) \\ &=\vec{w}+\vec{u}-\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w}+\vec{u})\end{aligned}$$ Це випливає, тому що $$\begin{aligned}\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w})+\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})&=\frac{\vec{u}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v}+\frac{\vec{w}\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \\ &=\frac{(\vec{u}+\vec{w})\bullet\vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \\ &=\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{w}+\vec{u})\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{33}$

Показати, що $$(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}),\vec{u})=(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}))\bullet\vec{u}=0\nonumber$$ і зробити висновок кожен вектор в$\mathbb{R}^n$ можна записати як суму двох векторів, один який перпендикулярний і один, який паралельний даному вектору.

Відповідь

$(\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}))\bullet\vec{u}=\vec{v}\bullet\vec{u}-\left(\frac{(\vec{v}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}\right)\bullet\vec{u}=\vec{v}\bullet\vec{u}-\vec{v}\bullet\vec{u}=0$. Тому,$\vec{v}=\vec{v}-\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})+\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})$. Перший перпендикулярний,$\vec{u}$ а другий кратний$\vec{u}$ тому він паралельний$\vec{u}$.

Вправа$\PageIndex{34}$

Показати, що якщо$\vec{a}\times\vec{u}=\vec{0}$ для будь-якої одиниці вектора$\vec{u}$, то$\vec{a}=\vec{0}$.

Відповідь

Якщо$\vec{a}\neq\vec{0}$, то умова говорить, що$||\vec{a}\times\vec{u}||=||\vec{a}||\sin\theta =0$ для всіх кутів$θ$. Звідси$\vec{a}=\vec{0}$ все-таки.

Вправа$\PageIndex{35}$

Знайдіть площу трикутника, визначену трьома точками$(1, 2, 3),\: (4, 2, 0)$ і$(−3, 2, 1)$.

Відповідь

$\left[\begin{array}{r}3\\0\\-3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}-4\\0\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\18\\0\end{array}\right]$. Так що площа є$9$.

Вправа$\PageIndex{36}$

Знайдіть площу трикутника, визначену трьома точками$(1, 0, 3),\: (4, 1, 0)$ і$(−3, 1, 1)$.

Відповідь

$\left[\begin{array}{r}3\\1\\-3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}-4\\1\\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\18\\7\end{array}\right]$. Площа задається $$\frac{1}{2}\sqrt{1+(18)^2+49}=\frac{1}{2}\sqrt{374}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{37}$

Знайдіть площу трикутника, визначену трьома точками,$(1, 2, 3),\: (2, 3, 4)$ і$(3, 4, 5)$. Тут трапилося щось цікаве? Що значить геометрично?

Відповідь

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{ccc}2&2&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\end{array}\right]$. Площа є$0$. Це означає, що три точки знаходяться на одній лінії.

Вправа$\PageIndex{38}$

Знайти площу паралелограма, визначену векторами$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]$.

Відповідь

$\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}8\\8\\-8\end{array}\right]$. Площа є$8\sqrt{3}$.

Вправа$\PageIndex{39}$

Знайти площу паралелограма, визначену векторами$\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{r}4\\-2\\1\end{array}\right]$.

Відповідь

$\left[\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right]\times\left[\begin{array}{r}4\\-2\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}6\\11\\-2\end{array}\right]$. Площа є$\sqrt{36+121+4}=\sqrt{161}$.

Вправа$\PageIndex{40}$

Є$\vec{u}\times (\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{w}$? У чому сенс$\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w}$? Поясніть. Підказка: Спробуйте$\left(\vec{i}\times\vec{j}\right)\times\vec{k}$.

Відповідь

$\left(\vec{i}\times\vec{j}\right)\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{j}=i\vec{i}$. Однак$\vec{i}\times\left(\vec{j}\times\vec{j}\right)=\vec{0}$ і так перехресний твір не асоціативний.

Вправа$\PageIndex{41}$

Переконайтеся безпосередньо, що координатний опис поперечного твору,$\vec{u}\times\vec{v}$ має властивість, що воно перпендикулярно обом$\vec{u}$ і$\vec{v}$. Потім показати шляхом прямого обчислення, що цей опис координат задовольняє, $$\begin{aligned} ||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2 \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2(1-\cos^2(\theta ))\end{aligned}$$ де$\theta$ знаходиться кут, включений між двома векторами. Поясніть, чому$||\vec{u}\times\vec{v}||$ має правильну величину.

Відповідь

Перевірте безпосередньо з координатного опису перехресного добутку, що правило правої руки застосовується до векторів$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$. Далі переконайтеся, що розподільний закон дотримується координатного опису перехресного добутку. Це дає ще один спосіб наближення до перехресного продукту. Спочатку визначте його з точки зору координат, а потім отримайте геометричні властивості з цього. Однак такий підхід не дуже легко дає властивість правилу правої руки. Від опису координат, $$\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{a}=\epsilon_{ijk}a_jb_ka_i=-\epsilon_{jik}a_kb_ka_i=-\epsilon_{jik}b_ka_ia_j=-\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{a}\nonumber$$ і так$\vec{a}\times\vec{b}$ перпендикулярно до$\vec{a}$. Аналогічно$\vec{a}\times\vec{b}$ робиться перпендикулярно$\vec{b}$. Тепер нам потрібно, що $$||\vec{a}\times\vec{b}||^2=||\vec{a}||^2||\vec{b}||^2(1-\cos^2\theta )=||\vec{a}||^2||\vec{b}||^2\sin^2\theta\nonumber$$ і так$||\vec{a}\times\vec{b}||=||\vec{a}||\:||\vec{b}||\sin\theta$, площа паралелограма визначається$\vec{a}$,$\vec{b}$. Тільки правилом правої руки трохи проблематично. Однак одразу з визначення компонента можна побачити, що правило правої руки має для кожного зі стандартних векторів одиниць. Таким чином$\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$ і т.д. $$\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right|=\vec{k}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{42}$

Припустимо,$A$ є$3\times 3$ перекіс симетричної матриці такий, що$A^T = −A$. Показати, що існує$\vec{Ω}$ такий вектор, що для всіх$\vec{u} ∈ \mathbb{R}^3$ $$A\vec{u}=\vec{\Omega}\times\vec{u}\nonumber$$ Підказка: Поясніть,$A$ чому оскільки нахил симетричний, він має форму, $$A=\left[\begin{array}{ccc}0&-\omega_3&\omega_2 \\ \omega_3&0&-\omega_1 \\ -\omega_2&\omega_1&0\end{array}\right]\nonumber$$ де$\omega_i$ є числами. Тоді розглянемо$\omega_1\vec{i}+\omega_2\vec{j}+\omega_3\vec{k}$.

Вправа$\PageIndex{43}$

Знайти обсяг паралелепіпеда, що визначається векторами$\left[\begin{array}{r}1\\-7\\-5\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-6\end{array}\right]$, і$\left[\begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right]$.

Відповідь

$\left|\begin{array}{ccc}1&-7&-5 \\ 1&-2&-6 \\ 3&2&3\end{array}\right|=113$

Вправа$\PageIndex{44}$

Припустимо$\vec{u}$$\vec{v}$, і$\vec{w}$ є трьома векторами, складовими яких є всі цілі числа. Чи можете ви зробити висновок, що обсяг паралелепіпеда, що визначається з цих трьох векторів, завжди буде цілим числом?

Відповідь

Так. Він буде включати суму добутку цілих чисел, і тому вона буде цілим числом.

Вправа $\PageIndex{45}$

Що означає геометрично, якщо коробковий добуток трьох векторів дає нуль?

Відповідь

Це означає, що якщо ви розмістите їх так, щоб всі вони мали хвости в одній точці, три будуть лежати в одній площині.

Вправа$\PageIndex{46}$

Використовуючи $\PageIndex{45}$Задача, знайдіть рівняння площини, що містить два вектори положення,$\vec{p}$$\vec{q}$ і точку$0$. Підказка: Якщо$(x, y,z)$ точка на цій площині, об'єм паралелепіпеда, визначеного$(x, y,z)$ векторами$\vec{p}$,$\vec{q}$ дорівнює$0$.

Відповідь

$\vec{x}\bullet\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=0$

Вправа$\PageIndex{47}$

Використовуючи поняття коробкового добутку, що дає або плюс, або мінус об'єм паралелепіпеда, визначеного заданими трьома векторами, показати, що $$(\vec{u}\times\vec{v})\bullet\vec{w}=\vec{u}\bullet (\vec{v}\times\vec{w})\nonumber$$ Іншими словами, точка і хрест можуть бути переключені до тих пір, поки порядок векторів залишається незмінним. Підказка: Існує два способи зробити це: за координатним описом крапки та перехресного добутку та геометричним міркуванням.

Вправа$\PageIndex{48}$

Спростити$(\vec{u}\times\vec{v})\bullet (\vec{v}\times\vec{w})\times (\vec{w}\times\vec{z})$.

Відповідь

Тут$[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]$ позначається коробка вироби. Розглянемо термін крос-добутку. З вищесказаного, $$\begin{aligned}(\vec{v}\times\vec{w})\times(\vec{w}\times\vec{z})&=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}-[\vec{w},\vec{w},\vec{z}]\vec{v} \\ &=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}\end{aligned}$$ Таким чином, це зводиться до $$(\vec{u}\times\vec{v})\bullet [\vec{v},\vec{w},\vec{z}]\vec{w}=[\vec{v},\vec{w},\vec{z}][\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{49}$

Спростити$||\vec{u}\times\vec{v}||^2+(\vec{u}\bullet\vec{v})^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2$.

Відповідь

$$\begin{aligned}||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=\epsilon_{ijk}u_jv_k\epsilon_{irs}u_rv_s=(\delta_{jr}\delta_{ks}-\delta_{kr}\delta_{js})u_rv_su_jv_k \\ &=u_jv_ku_jv_k-u_kv_ju_jv_k=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\end{aligned}$$ Звідси випливає, що вираз зводиться до$0$. Також можна зробити наступне. $$\begin{aligned}||\vec{u}\times\vec{v}||^2&=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\sin^2\theta \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2(1-\cos^2\theta ) \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2\cos^2\theta \\ &=||\vec{u}||^2||\vec{v}||^2-(\vec{u}\bullet\vec{v})^2\end{aligned}$$ що має на увазі вираз дорівнює$0$.

Вправа$\PageIndex{50}$

Для$\vec{u},\:\vec{v},\:\vec{w}$ функцій$t$, довести наступні правила продукту: $$\begin{aligned}(\vec{u}\times\vec{v})'&=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}' \\ (\vec{u}\bullet\vec{v})'&=\vec{u}'\bullet\vec{v}+\vec{u}\bullet\vec{v}'\end{aligned}$$

Відповідь

Ми покажемо це за допомогою умовності підсумовування $$\begin{aligned}((\vec{u}\times\vec{v})')_i&=((\vec{u}\times\vec{v})_i)'=(\epsilon_{ijk}u_jv_k)' \\ &=\epsilon_{ijk}u_j'v_k+\epsilon_{ijk}u_kv_k'=(\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}')_i\end{aligned}$$ та символу перестановки тощо$(\vec{u}\times\vec{v})'=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}'$.

Вправа$\PageIndex{51}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\7\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\7\\-10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}12\\17\\-24\end{array}\right]\nonumber$$ Опишіть проміжок цих векторів як проміжок якомога меншої кількості векторів.

Вправа$\PageIndex{52}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}12\\29\\-24\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\9\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\12\\-10\end{array}\right].\nonumber$$ Опишіть проміжок цих векторів як проміжок якомога меншої кількості векторів.

Вправа$\PageIndex{53}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Опишіть проміжок цих векторів як проміжок якомога меншої кількості векторів.

Вправа$\PageIndex{54}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер ось ще один вектор: $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.

Вправа$\PageIndex{55}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер ось ще один вектор: $$\left[\begin{array}{r}2\\-3\\-4\end{array}\right]\nonumber$$ Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.

Вправа$\PageIndex{56}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-3\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер ось ще один вектор: $$\left[\begin{array}{r}1\\9\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.

Вправа$\PageIndex{57}$

Ось деякі вектори, $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-5\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\5\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер ось ще один вектор: $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.

Вправа$\PageIndex{58}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-5\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\5\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер ось ще один вектор: $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\end{array}\right]\nonumber$$ Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.

Вправа$\PageIndex{59}$

Ось кілька векторів. $$\left[\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-2\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\4\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Тепер ось ще один вектор: $$\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\2\end{array}\right]\nonumber$$ Чи є цей вектор в діапазоні перших чотирьох векторів? Якщо це так, виставляйте лінійну комбінацію перших чотирьох векторів, яка дорівнює цьому вектору, використовуючи якомога менше векторів у лінійній комбінації.

Вправа$\PageIndex{60}$

Припустимо,$\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}$ це набір векторів з$\mathbb{R}^n$. Покажіть, що$\vec{0}$ знаходиться в$span\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}$.

Відповідь

$\sum\limits_{i=1}^k 0\vec{x}_k=\vec{0}$

Вправа$\PageIndex{61}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\10\\2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{62}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\2\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\-4\\3\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\6\\4\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{63}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{64}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\6\\34\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\7\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{65}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\-10\\3\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{66}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-5\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-4\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\10\\-14\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{67}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}1\\0\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\8\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\34\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\7\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{68}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\-5\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{69}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\4\\1\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\0\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-2\\5\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{70}$

Чи є наступні вектори лінійно незалежними? Якщо вони є, поясніть, чому, а якщо їх немає, виставляйте одну з них як лінійну комбінацію інших. Також наведіть лінійно незалежний набір векторів, який має той самий проміжок, що і задані вектори. $$\left[\begin{array}{r}2\\3\\1\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-5\\-6\\0\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\0\\4\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{71}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{72}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\3\\-1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{73}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-2\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-5\\-7\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{74}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-3\\3\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\3\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{75}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\11\\-1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{76}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}\\ \frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{77}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\4\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайти основу для прольоту цих векторів

Вправа$\PageIndex{78}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\4\\-2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\3\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\5\\-2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{79}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\7\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\-9\\-6\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\8\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{80}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\3\\3\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-9\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{81}$

Ось деякі вектори в$\mathbb{R}^4$. $$\left[\begin{array}{r}1\\b+1\\a\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\3b+3\\3a\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\b+2\\2a+1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\2b-5\\-5a-7\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\b+2\\2a+2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Ці вектори не можуть бути лінійно незалежними. Розкажіть чому. Далі отримуємо лінійно незалежну підмножину цих векторів, яка має той самий проміжок, що і ці вектори. Іншими словами, знайдіть основу для прольоту цих векторів.

Вправа$\PageIndex{82}$

Нехай$H=span\left\{\left[\begin{array}{r}2\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\-1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\2\\3\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-2\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{83}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\-2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\3\\5\\-5\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\2\\-2\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{84}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}-2\\1\\1\\-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-9\\4\\3\\-9\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-33\\15\\12\\-36\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-22\\10\\8\\-24\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{85}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-4\\3\\-2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\2\\-1\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\-2\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-7\\5\\-3\\-6\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{86}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}2\\3\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}8\\15\\6\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}3\\6\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}4\\6\\6\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}8\\15\\6\\3\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{87}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}0\\2\\0\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\6\\0\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\16\\0\\-6\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-3\\22\\0\\-8\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{88}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}5\\1\\1\\4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}14\\3\\2\\8\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}38\\8\\6\\24\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}47\\10\\7\\28\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}10\\2\\3\\12\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{89}$

Нехай$H$ позначають$span\left\{\left[\begin{array}{r}6\\1\\1\\5\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}17\\3\\2\\10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}52\\9\\7\\35\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}18\\3\\4\\20\end{array}\right]\right\}$. Знайдіть розмірність$H$ і визначте основу.

Вправа$\PageIndex{90}$

Нехай$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:\sin(u_1)=1\right\}$. Це$M$ підпростір? Поясніть.

Відповідь

Ні. Нехай$\vec{u}=\left[\begin{array}{c}\frac{\pi}{2} \\ 0\\0\\0\end{array}\right]$. Тоді$2\vec{u}\cancel{\in}M$ хоча$\vec{u}\in M$.

Вправа$\PageIndex{91}$

Нехай$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:||u_1||\leq 4\right\}$. Це$M$ підпростір? Поясніть.

Відповідь

Ні. $\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\in M$але$10\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right]\cancel{\in }M$.

Вправа$\PageIndex{92}$

Нехай$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_1\geq 0\text{ for each }i=1,2,3,4 \right\}$. Це$M$ підпростір? Поясніть.

Відповідь

Це не підпростір. $\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]$знаходиться в ньому. Однак$(-1)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]$ це не так.

Вправа$\PageIndex{93}$

$\vec{w}$$\vec{w}_1$Дозволяти, бути задані вектори в$\mathbb{R}^4$ і визначити $$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4 :\vec{w}\bullet\vec{u}=0\text{ and }\vec{w}_1\bullet\vec{u}=0\right\}.\nonumber$$ $M$ є підпростір? Поясніть.

Відповідь

Це підпростір, оскільки він замкнутий щодо додавання векторів та скалярного множення.

Вправа$\PageIndex{94}$

Нехай$\vec{w}\in\mathbb{R}^4$ і нехай$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:\vec{w}\bullet\vec{u}=0\right\}$. Це$M$ підпростір? Поясніть.

Відповідь

Так, це підпростір, оскільки він замкнутий щодо додавання векторів та скалярного множення.

Вправа$\PageIndex{95}$

Нехай$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_3\geq u_1\right\}$. Це$M$ підпростір? Поясніть.

Відповідь

Це не підпростір. $\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]$знаходиться в ньому. Однак$(-1)\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\\-1\\0\end{array}\right]$ це не так.

Вправа$\PageIndex{96}$

Нехай$M=\left\{\vec{u}=\left[\begin{array}{c}u_1 \\ u_2\\u_3\\u_4\end{array}\right]\in\mathbb{R}^4:u_3=u_1=0\right\}$. Це$M$ підпростір? Поясніть.

Відповідь

Це підпростір. Він замкнутий щодо векторного додавання і скалярного множення.

Вправа$\PageIndex{97}$

Розглянемо множину векторів,$S$ $$S=\left\{\left[\begin{array}{c}4u+v-5w \\ 12u+6v-6w \\ 4u+4v+4w\end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ заданих Is$S$ a підпростір$\mathbb{R}^3$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{98}$

Розглянемо множину векторів,$S$ $$S=\left\{\left[\begin{array}{c}2u+6v+7w \\ -3u-9v-12w \\ 2u+6v+6w \\ u+3v+3w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ заданих Is$S$ a підпростір$\mathbb{R}^4$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{99}$

Розглянемо множину векторів,$S$ заданих чи $$S=\left\{\left[\begin{array}{c}2u+v \\ 6v-3u+3w \\ 3v-6u+3w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ є цей набір векторів підпростором$\mathbb{R}^3$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{100}$

Розглянемо вектори виду $$\left\{\left[\begin{array}{c}2u+v+7w \\ u-2v+w \\ -6v-6w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Чи є цей набір векторів підпростором$\mathbb{R}^3$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{101}$

Розглянемо вектори виду $$\left\{\left[\begin{array}{c}3u+v+11w \\ 18u+6v+66w \\ 28u+8v+100w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Чи є цей набір векторів підпростором$\mathbb{R}^3$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{102}$

Розглянемо вектори виду $$\left\{\left[\begin{array}{c}3u+v \\ 2w-4u \\ 2w-2v-8u \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ Чи є цей набір векторів підпростором$\mathbb{R}^3$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{103}$

Розглянемо множину векторів,$S$ заданих Is, $$\left\{\left[\begin{array}{c}u+v+w \\ 2u+2v+4w \\ u+v+w \\ 0 \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ $S$ є підпростором$\mathbb{R}^4$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{104}$

Розглянемо множину векторів,$S$ заданих Is, $$\left\{\left[\begin{array}{c}v \\ -3u-3w \\ 8u-4v+4w \end{array}\right] :u,v,w\in\mathbb{R}\right\}.\nonumber$$ $S$ є підпростором$\mathbb{R}^4$? Якщо так, поясніть чому, дайте основу для підпростору і знайдіть його розмірність.

Вправа$\PageIndex{105}$

Якщо у вас є$5$ вектори$\mathbb{R}^5$ і вектори лінійно незалежні, чи завжди можна зробити висновок, що вони охоплюють$\mathbb{R}^5$? Поясніть.

Відповідь

Так. Якщо ні, існував би вектор не в прольоті. Але тоді ви могли б додати в цей вектор і отримати лінійно незалежний набір векторів з більшою кількістю векторів, ніж базису.

Вправа$\PageIndex{106}$

Якщо у вас є$6$ вектори$\mathbb{R}^5$, чи можливо, вони лінійно незалежні? Поясніть.

Відповідь

Їх не може бути.

Вправа$\PageIndex{107}$

Припустимо,$A$ це$m\times n$ матриця і$\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}$ є лінійно незалежним набором векторів в$A(\mathbb{R}^n ) ⊆ \mathbb{R}^m$. Тепер припустимо$A\vec{z}_i = \vec{w}_i$. $\{\vec{z}_1 ,\cdots ,\vec{z}_k\}$Шоу також незалежне.

Відповідь

Скажіть$\sum\limits_{i=1}^k c_i\vec{z}_i=\vec{0}$. Потім наносите$A$ на нього наступним чином. $$\sum\limits_{i=1}^k c_aA\vec{z}_i=\sum\limits_{i=1}^kc_i\vec{w}_i=\vec{0}\nonumber$$ і так, по лінійної незалежності від того$\vec{w}_i$, що випливає, що кожен$c_i=0$.

Вправа$\PageIndex{108}$

$V,\: W$Припустимо, це підпростори$\mathbb{R}^n$. $V ∩W$Дозволяти всі вектори, які знаходяться в обох$V$ і$W$. Показати, що$V ∩W$ це підпростір також.

Відповідь

Якщо$\vec{x},\vec{y} ∈ V ∩W$, то для скалярів$α,β$ лінійна комбінація$α\vec{x} + β\vec{y}$ повинна бути в обох$V$ і$W$ так як вони обидва підпростори.

Вправа$\PageIndex{109}$

Припустимо,$V$ і$W$ обидва мають вимір рівний$7$ і вони є підпросторами$\mathbb{R}^{10}$. Які можливості для виміру$V ∩W$? Підказка: Пам'ятайте, що лінійний незалежний набір можна розширити, щоб сформувати основу.

Вправа$\PageIndex{110}$

Припустимо$V$,$W$ має розмірність$p$$q$ і має вимір, і кожен з них міститься в підпросторі,$U$ який має вимір рівний$n$ де$n > \text{max}(p,q)$. Які можливості для виміру$V ∩W$? Підказка: Пам'ятайте, що лінійно незалежний набір можна розширити, щоб сформувати основу.

Відповідь

Нехай$\{x_1,\cdots ,x_k\}$ буде основою для$V∩W$. Тоді є основа для$V$ і$W$ які відповідно. З $$\{x_1, \cdots ,x_k, y_{k+1},\cdots ,y_p\},\:\{x_1,\cdots ,x_k, z_{k+1},\cdots z_q\}\nonumber$$ цього випливає, що ви повинні мати$k+p-k+q-k\leq n$ і так ви повинні мати $$p+q-n\leq k\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{111}$

Припустимо,$A$ це$m\times n$ матриця і$B$ є$n\times p$ матрицею. Показати, що $$\text{dim}(\text{ker}(AB))\leq\text{dim}(\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B)).\nonumber$$ Розглянемо підпростір$B(\mathbb{R}^p )∩\text{ker}(A)$ і припустимо, що основою для цього підпростору є$\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}$. Тепер припустимо,$\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r\}$ це основа для$\text{ker}(B)$. Нехай$\{\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}$ будуть такі, що$B\vec{z}_1 =\vec{w}_i$ і сперечатися, що $$\text{ker}(AB)⊆ span\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r,\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}.\nonumber$$

Відповідь

Ось як ви це робите. Припустимо$AB\vec{x} =\vec{0}$. Тоді$B\vec{x} ∈ \text{ker}(A) ∩ B(\mathbb{R}^p)$ і так$B\vec{x} =\sum\limits_{i=1}^k B\vec{z}_i$ показуючи, що $$\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^k\vec{z}_i\in\text{ker}(B)\nonumber$$ Розглянемо$B(\mathbb{R}^p )∩\text{ker}(A)$ і нехай основа буде$\{\vec{w}_1,\cdots ,\vec{w}_k\}$. Тоді$\vec{w}_i$ кожен має форму$B\vec{z}_i =\vec{w}_i$. Тому$\{\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k\}$ є лінійно незалежним і$AB\vec{z}_i = 0$. Тепер нехай$\{\vec{u}_1,\cdots ,\vec{u}_r\}$ буде основою для$\text{ker}(B)$. Якщо$AB\vec{x} =\vec{0}$, то$B\vec{x} ∈ \text{ker}(A)∩B(\mathbb{R}^p)$ і так$B\vec{x} =\sum\limits_{i=1}^k c_iB\vec{z}_1$ що має на увазі $$\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^k c_i\vec{z}_i\in\text{ker}(B)\nonumber$$ і так воно має форму З $$\vec{x}-\sum\limits_{i=1}^kc_i\vec{z}_i=\sum\limits_{j=1}^r d_j\vec{u}_j\nonumber$$ цього випливає$\vec{x} ∈ \text{ker}(AB)$, що якщо$AB\vec{x} =\vec{0}$ так, то $$\vec{x}\in span (\vec{z}_1,\cdots ,\vec{z}_k,\vec{u}_1, \cdots ,\vec{u}_r ).\nonumber$$ Тому, $$\begin{aligned}\text{dim}(\text{ker}(AB))&\leq k+r=\text{dim}(B(\mathbb{R}^p)∩\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B)) \\ &\leq\text{dim}(\text{ker}(A))+\text{dim}(\text{ker}(B))\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{112}$

Показати, що якщо$A$ є$m\times n$ матрицею, то$\text{ker}(A)$ є підпростором$\mathbb{R}^n$.

Відповідь

Якщо$\vec{x}$,$\vec{y}\in\text{ker}(A)$ то $$A(a\vec{x}+b\vec{y})=aA\vec{x}+bA\vec{y}=a\vec{0}+b\vec{0}=\vec{0}\nonumber$$ і так$\text{ker}(A)$ закривається при лінійних комбінаціях. Звідси це підпростір.

Вправа$\PageIndex{113}$

Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. $$\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&0&-2&0&3 \\ 3&9&1&-7&0&8 \\ 1&3&1&-3&1&-1 \\ 1&3&-1&-1&-2&10\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{114}$

Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. $$\left[\begin{array}{rrrrrr}1&3&0&-2&7&3 \\ 3&9&1&-7&23&8 \\ 1&3&1&-3&9&2 \\ 1&3&-1&-1&5&4\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{115}$

Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. $$\left[\begin{array}{rrrrrr}1&0&3&0&7&0 \\ 3&1&10&0&23&0 \\ 1&1&4&1&7&0 \\ 1&-1&2&-2&9&1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{116}$

Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. $$\left[\begin{array}{rrr}1&0&3 \\ 3&1&10 \\ 1&1&4 \\ 1&-1&2\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{117}$

Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. $$\left[\begin{array}{rrrrr}0&0&-1&0&1 \\ 1&2&3&-2&-18 \\ 1&2&2&-1&-11 \\ -1&-2&-2&1&11\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{118}$

Знайдіть ранг наступної матриці. Також знайдіть основу для пробілів рядків і стовпців. $$\left[\begin{array}{rrrr}1&0&3&0 \\ 3&1&10&0 \\ -1&1&-2&1 \\ 1&-1&2&-2\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{119}$

Знайдіть$\text{ker}(A)$ для наступних матриць.

1. $A=\left[\begin{array}{rr}2&3 \\ 4&6\end{array}\right]$
2. $A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&-1 \\ -1&1&3 \\ 3&2&1\end{array}\right]$
3. $A=\left[\begin{array}{rrr}2&4&0 \\ 3&6&-2 \\ 1&2&-2\end{array}\right]$
4. $A=\left[\begin{array}{rrrr}2&-1&3&5 \\ 2&0&1&2 \\ 6&4&-5&-6 \\ 0&2&-4&-6\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{120}$

Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\: \left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\: \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$ Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.

Вправа$\PageIndex{121}$

Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. $$\left[\begin{array}{r}1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.

Вправа$\PageIndex{122}$

Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.

Вправа$\PageIndex{123}$

Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. $$\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.

Вправа$\PageIndex{124}$

Визначте, чи є наступний набір векторів ортогональним. Якщо він ортогональний, визначте, чи є він також ортонормальним. $$\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\1\\-1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ Якщо множина векторів ортогональна, але не ортонормальна, задайте ортонормальний набір векторів, який має однаковий проміжок.

Вправа$\PageIndex{125}$

Ось деякі матриці. Позначте відповідно до того, чи є вони симетричними, косиметричними або ортогональними.

1. $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{ccc}1&2&-3 \\ 2&1&4 \\ -3&4&7\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{ccc}0&-2&-3 \\ 2&0&-4 \\ 3&4&0\end{array}\right]$

Відповідь

1. Ортогональні
2. Симетричний
3. Косий симетричний

Вправа$\PageIndex{126}$

Для$U$ ортогональної матриці поясніть, чому$||U\vec{x}|| =||\vec{x}||$ для будь-якого вектора$\vec{x}$. Далі поясніть,$U$ чому якщо$n\times n$ матриця з властивістю, що$||U\vec{x}|| =||\vec{x}||$ для всіх векторів$\vec{x}$, то$U$ повинна бути ортогональною. Таким чином, ортогональні матриці - це саме ті, які зберігають довжину.

Відповідь

$||U\vec{x}||^2=U\vec{x}\bullet U\vec{x}=U^TU\vec{x}\bullet\vec{x}=I\vec{x}\bullet\vec{x}=||\vec{x}||^2$. Далі припустимо, відстань зберігається$U$. Тоді $$\begin{aligned} (U(\vec{x}+\vec{y}))\bullet (U(\vec{x}+\vec{y}))&=||Ux||^2+||Uy||^2+2(Ux\bullet Uy) \\ &=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2+2(U^TU\vec{x}\bullet\vec{y})\end{aligned}$$ Але оскільки$U$ зберігає відстані, це також так $$(U(\vec{x}+\vec{y})\bullet U(\vec{x}+\vec{y}))=||\vec{x}||^2+||\vec{y}||^2+2(\vec{x}\bullet\vec{y})\nonumber$$ Звідси $$\vec{x}\bullet\vec{y}=U^TU\vec{x}\bullet\vec{y}\nonumber$$ і так $$((U^TU-I)\vec{x})\bullet\vec{y}=0\nonumber$$ Оскільки$y$ довільно, з цього випливає$U^TU-I=0$. Таким$U$ чином, ортогональний.

Вправа$\PageIndex{127}$

Припустимо,$U$ це ортогональна$n\times n$ матриця. Поясніть, чому$rank(U) = n$.

Відповідь

Ви могли спостерігати, що$\text{det}(UU^T)=(\text{det}(U))^2-1$ так$\text{det}(U)\neq 0$.

Вправа$\PageIndex{128}$

Заповніть відсутні записи, щоб матриця була ортогональною. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\underline{\;}&\underline{\;} \\ \underline{\;}&\frac{\sqrt{6}}{3}&\underline{\;}\end{array}\right].\nonumber$$

Відповідь

$$\begin{aligned} &\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&a \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&a \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&b\end{array}\right]^T \\ =&\left[\begin{array}{ccc} 1&\frac{1}{3}\sqrt{3}a-\frac{1}{3} &\frac{1}{3}\sqrt{3}b-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}a-\frac{1}{3}&a^2+\frac{2}{3}&ab-\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}b-\frac{1}{3}&ab-\frac{1}{3}&b^2+\frac{2}{3}\end{array}\right]\end{aligned}$$ Для цього потрібно,$a=1/\sqrt{3},b=1/\sqrt{3}$. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&1/\sqrt{3} \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&1/\sqrt{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{6}}&1/\sqrt{3} \\ 0&\frac{\sqrt{6}}{3}&1/\sqrt{3}\end{array}\right]^T =\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{129}$

Заповніть відсутні записи, щоб матриця була ортогональною. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\underline{\;}&\underline{\;} \\ \underline{\;}&0&\underline{\;}\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2}\\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&a \\ -\frac{1}{3}&0&b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&a \\ -\frac{1}{3}&0&b\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{6}\sqrt{2}a-\frac{1}{18}&\frac{1}{6}\sqrt{2}b-\frac{2}{9} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2}a-\frac{1}{18}&a^2+\frac{17}{18} &ab-\frac{2}{9} \\ \frac{1}{6}\sqrt{2}b-\frac{2}{9}&ab-\frac{2}{9}&b^2+\frac{1}{9}\end{array}\right]\nonumber$$ Для цього потрібно$a=\frac{1}{3\sqrt{2}},\:b=\frac{4}{3\sqrt{2}}$. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{6}\sqrt{2} \\ \frac{2}{3}&\frac{-\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{3}&0&\frac{4}{3\sqrt{2}}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{130}$

Заповніть відсутні записи, щоб матриця була ортогональною. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\underline{\;} \\ \frac{2}{3}&0&\underline{\;} \\ \underline{\;}&\underline{\;}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Спробуйте. $$\begin{aligned}&\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&c \\ \frac{2}{3}&0&d \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&c \\ \frac{2}{3}&0&d \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]^T \\ =&\left[\begin{array}{ccc}c^2+\frac{41}{45} &cd+\frac{2}{9}&\frac{4}{15}\sqrt{5}c-\frac{8}{45} \\ cd+\frac{2}{9}&d^2+\frac{4}{9} &\frac{4}{15}\sqrt{5}d+\frac{4}{9} \\ \frac{4}{15}\sqrt{5}c-\frac{8}{45}&\frac{4}{15}\sqrt{5}d+\frac{4}{9}&1\end{array}\right]\end{aligned}$$ Це вимагає цього$c=\frac{2}{3\sqrt{5}},d=\frac{-5}{3\sqrt{5}}$. $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&0&\frac{-5}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&0&\frac{-5}{3\sqrt{5}} \\ \frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{15}\sqrt{5}\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{131}$

Знайдіть ортонормальну основу для прольоту кожного з наступних наборів векторів.

1. $\left[\begin{array}{r}3\\-4\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}7\\-1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\7\\1\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{r}3\\0\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}11\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\1\\7\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{r}3\\0\\-4\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}5\\0\\10\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-7\\1\\1\end{array}\right]$

Відповідь

1. $\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\ \frac{3}{5} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ 0\\ -\frac{4}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5} \\ 0\\ \frac{3}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\0\\-\frac{4}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{4}{5}\\0\\ \frac{3}{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{132}$

Використовуючи процес Грама Шмідта, знайдіть ортонормальну основу для наступного проміжку: $$span\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Відповідь

Рішення є $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{133}$

Використовуючи процес Грама Шмідта, знайдіть ортонормальну основу для наступного проміжку: $$span\left\{\left[\begin{array}{r}1\\2\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Відповідь

Тоді рішення є $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{1}{133}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ -\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{134}$

$V=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] :2x+3y-z=0\right\}$Безліч є підпростором$\mathbb{R}^3$. Знайдіть ортонормальну основу для цього підпростору.

Відповідь

Підпростір має форму, $$\left[\begin{array}{c}x\\y\\2x+3y\end{array}\right]\nonumber$$ а основа -$\left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right]$. Тому ортонормальною основою є $$\left[\begin{array}{c}\frac{1}{5}\sqrt{5} \\ 0\\ \frac{2}{5}\sqrt{5}\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{35}\sqrt{5}\sqrt{14} \\ \frac{1}{14}\sqrt{5}\sqrt{14} \\ \frac{3}{70}\sqrt{5}\sqrt{14}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{135}$

Розглянемо наступне скалярне рівняння площини. $$2x-3y+z=0\nonumber$$ Знайдіть ортогональне доповнення вектора$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}3\\4\\1\end{array}\right]$. Також знайдіть точку на площині, яка найближча до$(3,4,1)$.

Вправа$\PageIndex{136}$

Розглянемо наступне скалярне рівняння площини. $$x+3y+z=0\nonumber$$ Знайдіть ортогональне доповнення вектора$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$. Також знайдіть точку на площині, яка найближча до$(3,4,1)$.

Вправа$\PageIndex{137}$

$\vec{v}$Дозволяти вектор і$\vec{n}$ нехай нормальний вектор для площини через початок. Знайдіть рівняння прямої через точку, визначену за$\vec{v}$ якою має вектор напряму$\vec{n}$. Покажіть, що вона перетинає площину в точці, визначеній$\vec{v}−proj_{\vec{n}}\vec{v}$. Підказка: Рядок:$\vec{v}+t\vec{n}$. Він знаходиться в площині, якщо$\vec{n}•(\vec{v}+t\vec{n}) = 0$. Визначте$t$. Потім підставляємо в рівняння прямої.

Вправа$\PageIndex{138}$

Як показано у наведеній вище задачі, можна знайти найближчу точку до~v у площині через початок,$\vec{v}$ знайшовши перетин прямої через вектор напрямку, рівний вектору нормалі до площини з площиною. Якщо площина не проходить через початок, це все одно спрацює, щоб знайти точку на площині, найближчій до визначеної точкою$\vec{v}$. Ось відношення, яке визначає площину $$2x+y+z=11\nonumber$$ і ось точка:$(1, 1, 2)$. Знайдіть точку на площині, яка найближча до цієї точки. Потім визначте відстань від точки до площини, взявши відстань між цими двома точками. Підказка: Рядок:$(x, y,z) = (1, 1, 2) +t(2, 1, 1)$. Тепер вимагаємо, щоб вона перетиналася з площиною.

Вправа$\PageIndex{139}$

Загалом, у вас є точка$(x_0, y_0,z_0)$ і скалярне рівняння для площини$ax+by+cz = d$ де$a^2 +b^2 +c^2 > 0$. Визначте формулу найближчої точки на площині до заданої точки. Потім використовуйте цю точку, щоб отримати формулу відстані від заданої точки до площини. Підказка: Знайдіть лінію, перпендикулярну площині, яка проходить через задану точку:$(x, y,z) = (x_0, y_0,z_0) + t(a,b, c)$. Тепер вимагаємо, щоб ця точка задовольняла рівнянню для визначення площини$t$.

Вправа$\PageIndex{140}$

Знайдіть рішення найменших квадратів для наступної системи. $$\begin{aligned}x+2y&=1 \\ 2x+3y&=2 \\ 3x+5y&=4\end{aligned}$$

Відповідь

$$\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&3\\3&5\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right]\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}14&23\\23&38\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}17\\28\end{array}\right],\end{aligned}$$ Рішення полягає в:$\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{141}$

Ви робите експерименти і отримали впорядковані пари, $$(0, 1),(1, 2),(2, 3.5),(3, 4)\nonumber$$ знайти$m$ і$b$ такі, які максимально$\vec{y} = m\vec{x}+b$ наближають ці чотири точки.

Вправа$\PageIndex{142}$

Припустимо, у вас є кілька замовлених трійок,$(x_i , y_i ,z_i)$. Опишіть, як знайти многочлен, такий як $$z = a+bx+cy+dxy+ex^2 + fy^2\nonumber$$ надання найкращого прилягання до заданих впорядкованих трійок.

Вправа$\PageIndex{143}$

Вітер дме з півдня зі швидкістю$20$ кілометрів на годину, а літак, який летить зі швидкістю$600$ кілометрів на годину в нерухомому повітрі, прямує на схід. Знайти швидкість літака і його місце розташування вже через дві години.

Вправа$\PageIndex{144}$

Вітер дме із заходу зі швидкістю$30$ кілометрів на годину, а літак, який летить зі швидкістю$400$ кілометрів на годину в нерухомому повітрі, прямує на північний схід. Знайти швидкість літака і його положення через дві години.

Вправа$\PageIndex{145}$

Вітер дме з півночі зі швидкістю$10$ кілометрів на годину. Літак, який летить$300$ зі швидкістю кілометрів на годину в нерухомому повітрі, повинен йти до точки, координати якої знаходяться$\left( 100, 100 \right).$ в якому напрямку повинен літати літак?

Вправа$\PageIndex{146}$

На об'єкт діють три сили. Два є$\left [ \begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right ]$ і$\left [ \begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 4 \end{array} \right ]$ Ньютони. Знайдіть третю силу, якщо об'єкт не рухатися.

Вправа$\PageIndex{147}$

На об'єкт діють три сили. Два є$\left [ \begin{array}{r} 6 \\ -3 \\ 3 \end{array} \right ]$ і$\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right ]$ Ньютони. Знайдіть третю силу, якщо сумарна сила на об'єкт повинна бути$\left [ \begin{array}{r} 7 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right ] .$

Вправа$\PageIndex{148}$

Річка тече Захід зі швидкістю$b$ миль на годину. Човен може рухатися зі швидкістю$8$ миль на годину. Знайдіть найменшу величину$b$ такого, що не представляється можливим для човна, щоб перейти безпосередньо через річку.

Вправа$\PageIndex{149}$

Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю$50$ миль на годину, а літак, який подорожує зі швидкістю$400$ миль на годину в нерухомому повітрі, прямує на північний захід. Яка швидкість літака щодо землі? Яка складова цієї швидкості в напрямку на північ?

Відповідь

Швидкість - це сума двох векторів. $50\vec{i}+\frac{ 300}{\sqrt{2}} \left( \vec{i}+\vec{j}\right) =\left( 50+\frac{300}{\sqrt{2}} \right) \vec{i}+ \frac{300}{\sqrt{2}}\vec{j}.$Компонент у напрямку на північ - тоді,$\frac{300}{\sqrt{2}}= 150\sqrt{2}$ а швидкість щодо землі дорівнює $$\left( 50+\frac{300}{\sqrt{2}}\right) \vec{i}+\frac{300}{\sqrt{2}}\vec{j}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{150}$

Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю$60$ миль на годину, і літак може подорожувати зі швидкістю$100$ миль на годину в нерухомому повітрі. Скільки градусів на захід від півночі повинен очолити літак, щоб подорожувати точно на північ?

Вправа$\PageIndex{151}$

Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю$50$ миль на годину, а літак, який подорожує зі швидкістю$400$ миль на годину у нерухомому повітрі, прямуючи дещо на захід від півночі, так що з вітром він летить через північ. Він використовує$30.0$ галони газу щогодини. Якщо йому доведеться проїхати$600.0$ милі через Північ, скільки газу він буде використовувати при польоті до місця призначення?

Вправа$\PageIndex{152}$

Літак летить через північ зі швидкістю$150.0$ миль на годину, але це насправді не відбувається через північ, тому що є вітер, який штовхає літак через схід зі швидкістю$40.0$ миль на годину. Через годину літак починає літати на$30^{\circ }$ схід від півночі. Припускаючи, що літак починається з того,$\left( 0,0\right) ,$ де він після$2$ години? Нехай північ буде напрямок позитивної$y$ осі і нехай Схід - напрямок позитивної$x$ осі.

Відповідь

Швидкість літака протягом першої години:$\left [ \begin{array}{cc} 0 & 150 \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{cc} 40 & 150 \end{array} \right ] .$ Після однієї години він знаходиться в$\left( 40,150\right) .$ наступному швидкість літака$150\left [ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right ] +\left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ]$ в милі на годину. Через дві години це потім на$\left( 40,150\right) + 150\left [ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right ] +\left [ \begin{array}{cc} 40 & 0 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 155 & 75\sqrt{3}+150 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{cc} 155.0 & 279.\, 9 \end{array} \right ]$

Вправа$\PageIndex{153}$

Місто А розташоване біля початку,$\left( 0,0 \right)$ тоді як місто B знаходиться там,$\left(300,500 \right)$ де відстані в милі. Літак летить зі швидкістю$250$ миль на годину в нерухому повітрі. Цей літак хоче літати з міста А в місто Б, але вітер дме у напрямку позитивної$y$ осі зі швидкістю$50$ миль на годину. Знайдіть одиничний вектор такий, що якщо літак очолює в цьому напрямку, він опиниться в місті B, пролетів найкоротшу відстань. Скільки часу буде потрібно, щоб дістатися туди?

Відповідь

Вітер:$\left [ \begin{array}{cc} 0 & 50 \end{array} \right ] .$ Напрямок, який потрібно подорожувати:$\left( 3,5 \right) \frac{1}{\sqrt{34}}.$ Тоді вам$250 \left [ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ] + \left [ \begin{array}{cc} 0 & 50 \end{array} \right ]$ потрібно мати цей напрямок, де$\left [ \begin{array}{cc} a & b \end{array} \right ]$ є відповідний вектор одиниці. Таким чином вам потрібно $$\begin{aligned} a^{2}+b^{2} &=1 \\ \frac{250b+50}{250a} &=\frac{5}{3}\end{aligned}$$ Таким чином$a=\frac{3}{5},b=\frac{4}{5}.$ Швидкість площини щодо землі є$\left [ \begin{array}{cc} 150 & 250 \end{array} \right ] .$ Швидкість площини щодо землі задається $$\sqrt{\left( 150\right) ^{2}+\left( 250\right) ^{2}}= 291.55 \text{ miles per hour }\nonumber$$ Він повинен пройти відстань у$\sqrt{\left( 300\right) ^{2}+\left( 500\right) ^{2}}= 583.\, 10$ милі. Тому потрібно $$\frac{ 583.\, 1}{ 291.\, 55}=2 \text{ hours}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{154}$

Певна річка шириною півмилі з течією, що протікає зі швидкістю$2$ миль на годину зі сходу на захід. Людина пливе прямо до протилежного берега від південного берега річки зі швидкістю$3$ миль на годину. Як далеко вниз по річці він опиняється, коли переплив? Як далеко він в кінцевому підсумку подорожує?

Відповідь

Вода:$\left [ \begin{array}{rr} -2 & 0 \end{array} \right ]$ плавець:$\left [ \begin{array}{rr} 0 & 3 \end{array} \right ]$ швидкість по відношенню до землі:$\left [ \begin{array}{rr} -2 & 3 \end{array} \right ] .$ це займає йому$1/6$ годину, щоб отримати через. Тому він закінчується проїзними$\frac{1}{6}\sqrt{4+9}= \frac{1}{6}\sqrt{13}$ милями. Він закінчується вгору$1/3$ милю вниз за течією.

Вправа$\PageIndex{155}$

Певна річка шириною півмилі з течією, що протікає на 2 милі на годину зі сходу на захід. Людина може плавати зі швидкістю$3$ миль на годину в негазованій воді. В якому напрямку йому слід плисти, щоб пересуватися прямо через річку? Якою була б відповідь на цю проблему, якби річка текла зі швидкістю 3 милі на годину і людина могла плавати тільки зі швидкістю 2 милі на годину?

Відповідь

Людина:$3\left [ \begin{array}{rr} a & b \end{array} \right ]$ Вода:$\left [ \begin{array}{rr} -2 & 0 \end{array} \right ]$ Тоді вам потрібно$3a=2$ і так$a=2/3$ і звідси$b=\sqrt{5}/3$. Вектор тоді$\left [ \begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} \end{array} \right ] .$

У другому випадку він не зміг цього зробити. Вам потрібно було б мати$\left [ \begin{array}{rr} a & b \end{array} \right ]$ одиничний вектор такий,$2a=3$ що неможливо.

Вправа$\PageIndex{156}$

Три сили прикладені до точки, яка не рухається. Дві сили -$2 \vec{i}+2 \vec{j} -6 \vec{k}$ Ньютони і$8 \vec{i}+ 8 \vec{j}+ 3 \vec{k}$ Ньютони. Знайдіть третю силу.

Вправа$\PageIndex{157}$

Загальна сила, що діє на об'єкт, повинна бути$4 \vec{i}+ 2 \vec{j} -3 \vec{k}$ Ньютонами. Застосовується сила$-3 \vec{i} -1 \vec{j}+ 8 \vec{k}$ Ньютонів. Яку ще силу слід застосувати для досягнення бажаної сумарної сили?

Вправа$\PageIndex{158}$

Птах відлітає зі свого гнізда$8$ км в напрямку на$\frac{5}{6}\pi$ північ від сходу, де зупиняється, щоб відпочити на дереві. Потім він летить$1$ км у напрямку через південний схід і приземляється на вершині телефонного стовпа. Помістіть систему$xy$ координат так, щоб початком було пташине гніздо, а позитивна$x$ вісь вказувала на схід, а позитивна$y$ вісь вказувала на північ. Знайдіть вектор переміщення від гнізда до телефонного стовпа.

Вправа$\PageIndex{159}$

Якщо$\vec{F}$ є силою і$\vec{D}$ є вектором, покажіть,$\mathrm{proj}_{\vec{D}}\left( \vec{F}\right) =\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \vec{u}$ де$\vec{u}$ знаходиться одиничний вектор у напрямку$\vec{D}$, де$\vec{u}=\vec{D}/ \| \vec{D} \|$ і$\theta$ є включеним кутом між двома векторами,$\vec{F}$ і$\vec{D}$. $\| \vec{F} \| \cos \theta$іноді називають складовою сили,$\vec{F}$ в напрямку,$\vec{D}$.

Відповідь

$\mathrm{proj}_{\vec{D}}\left( \vec{F}\right) = \frac{\vec{F}\bullet \vec{D}}{ \| \vec{D} \| }\frac{\vec{D}}{ \| \vec{D} \| }=\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \frac{\vec{D}}{ \| \vec{D} \| }=\left( \| \vec{F} \| \cos \theta \right) \vec{u}$

Вправа$\PageIndex{160}$

Хлопчик тягне санки для$100$ ніг уздовж землі, потягнувши за мотузку, яка знаходиться в$20$ градусах від горизонталі з силою$40$ кілограмів. Скільки роботи робить ця сила?

Відповідь

$40\cos \left( \frac{20}{180}\pi \right)100=3758.8$

Вправа$\PageIndex{161}$

Дівчина тягне санки для$200$ ніг уздовж землі, потягнувши за мотузку, яка знаходиться в$30$ градусах від горизонталі з силою$20$ кілограмів. Скільки роботи робить ця сила?

Відповідь

$20\cos \left( \frac{\pi }{6}\right)200= 3464.1$

Вправа$\PageIndex{162}$

Велика собака тягне санки для$300$ ніг уздовж землі, потягнувши за мотузку, яка знаходиться в$45$ градусах від горизонталі з силою$20$ кілограмів. Скільки роботи робить ця сила?

Відповідь

$20\left( \cos \frac{\pi }{4}\right)300=4242.6$

Вправа$\PageIndex{163}$

Скільки роботи потрібно, щоб ковзати$20$ метри обрешітки вздовж вантажного доку, потягнувши на нього з силою$200$ Ньютона під кутом$30^{\circ }$ від горизонталі? Висловіть свою відповідь в Ньютонних метрах.

Відповідь

$200\left( \cos \left( \frac{\pi }{6}\right) \right) 20= 3464.1$

Вправа$\PageIndex{164}$

Об'єкт рухається на$10$ метри в напрямку$\vec{j}$. Є дві сили, що діють на цей об'єкт$\vec{F}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+ 2\vec{k}$, і$\vec{F}_{2}=-5\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. Знайдіть загальну роботу, виконану над об'єктом двома силами. Підказка: Ви можете взяти роботу, виконану в результаті двох сил, або ви можете додати роботу, виконану кожною силою. Чому?

Відповідь

$\left [ \begin{array}{r} -4 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ] \times 10= 30$Можна вважати результуючою з двох сил через властивості точкового добутку.

Вправа$\PageIndex{165}$

Об'єкт рухається на$10$ метри в напрямку$\vec{j}+\vec{i}$. Є дві сили, що діють на цей об'єкт$\vec{F}_{1}=\vec{i}+2\vec{j} +2\vec{k}$, і$\vec{F}_{2}=5\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. Знайдіть загальну роботу, виконану над об'єктом двома силами. Підказка: Ви можете взяти роботу, виконану в результаті двох сил, або ви можете додати роботу, виконану кожною силою. Чому?

Відповідь

$$\begin{aligned} \vec{F}_{1}\bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10+\vec{F}_{2}\bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 &=\left( \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\right) \bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 \\ &= \left [ \begin{array}{r} 6 \\ 4 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right ] 10 \\ &= 50\sqrt{2}\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{166}$

Об'єкт рухається на$20$ метри в напрямку$\vec{k}+\vec{j}$. Є дві сили, що діють на цей об'єкт$\vec{F}_{1}=\vec{i}+\vec{j}+ 2\vec{k}$, і$\vec{F}_{2}=\vec{i}+2\vec{j}-6\vec{k}$. Знайдіть загальну роботу, виконану над об'єктом двома силами. Підказка: Ви можете взяти роботу, виконану в результаті двох сил, або ви можете додати роботу, виконану кожною силою.

Відповідь

$\left [ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right ] \bullet \left [ \begin{array}{r} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right ] 20= -10\sqrt{2}$