4.6: Параметричні лінії

Результати

1. Знайти векторні та параметричні рівняння прямої.

Ми можемо використовувати концепцію векторів і точок, щоб знайти рівняння для довільних ліній в$\mathbb{R}^n$, хоча в цьому розділі фокус буде на рядках в$\mathbb{R}^3$.

Для початку розглянемо випадок$n=1$ так у нас$\mathbb{R}^{1}=\mathbb{R}$. Тут є лише один рядок, який є звичним числовим рядком, тобто$\mathbb{R}$ сама по собі. Тому не варто досліджувати випадок$n=1$ далі.

Тепер розглянемо випадок$n=2$, коли, іншими словами$\mathbb{R}^2$. $P$$P_0$Дозволяти і бути дві різні точки$\mathbb{R}^{2}$, в яких містяться в рядку$L$. $\vec{p}$$\vec{p_0}$Дозволяти і бути вектори положення для точок$P$ і$P_0$ відповідно. Припустимо, що$Q$ це довільна точка на$L$. Розглянемо наступну схему.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Наша мета - вміти визначати з$Q$ точки зору$P$ і$P_0$. Розглянемо вектор$\overrightarrow{P_0P} = \vec{p} - \vec{p_0}$, у якого є хвіст$P_0$ і точка на$P$. Якщо ми додамо$\vec{p} - \vec{p_0}$ до вектора позиції$\vec{p_0}$ для$P_0$, сума буде вектором з його точкою в$P$. Іншими словами, $$\vec{p} = \vec{p_0} + (\vec{p} - \vec{p_0})\nonumber$$

Тепер припустимо, що ми повинні були додати$t(\vec{p} - \vec{p_0})$ до$\vec{p}$ де$t$ є деякі скалярні. Ви можете бачити, що, зробивши це, ми могли б знайти вектор з його точкою в$Q$. Іншими словами, ми можемо знайти$t$ таке, що $$\vec{q} = \vec{p_0} + t \left( \vec{p}- \vec{p_0}\right)\nonumber$$

Це рівняння визначає рядок$L$ в$\mathbb{R}^2$. По суті, він визначає рядок$L$ в$\mathbb{R}^n$. Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{1}$: Vector Equation of a Line

Припустимо$L$, рядок$\mathbb{R}^{n}$ містить дві різні точки$P$ і$P_0$. $\vec{p}$$\vec{p_0}$Дозволяти і бути вектори положення цих двох точок, відповідно. Потім,$L$ це набір точок,$Q$ які мають вектор позиції,$\vec{q}$ заданий $$\vec{q}=\vec{p_0}+t\left( \vec{p}-\vec{p_0}\right)\nonumber$$ де$t\in \mathbb{R}$.

Нехай$\vec{d} = \vec{p} - \vec{p_0}$. Потім$\vec{d}$ - вектор напрямку для,$L$ а векторне рівняння для$L$ задається $$\vec{p}=\vec{p_0}+t\vec{d}, t\in\mathbb{R}\nonumber$$

Зверніть увагу, що це визначення узгоджується зі звичайним поняттям лінії в двох вимірах і тому це узгоджується з більш ранніми поняттями. Розглянемо тепер пункти в$\mathbb{R}^3$. Якщо точка$P \in \mathbb{R}^3$ задається$P = \left( x,y,z \right)$,$P_0 \in \mathbb{R}^3$ по$P_0 = \left( x_0, y_0, z_0 \right)$, то ми можемо написати $$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \nonumber$$ де$\vec{d} = \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right]$. Це векторне рівняння,$L$ записане в складовій формі.

Наступна теорема стверджує, що таке рівняння насправді є лінією.

Пропозиція$\PageIndex{1}$: Algebraic Description of a Straight Line

Нехай$\vec{a},\vec{b}\in \mathbb{R}^{n}$ с$\vec{b}\neq \vec{0}$. Потім$\vec{x}=\vec{a}+t\vec{b},\; t\in \mathbb{R}$, це лінія.

Доказ

Нехай$\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}} \in \mathbb{R}^n$. Визначте$\vec{x_{1}}=\vec{a}$ і нехай$\vec{x_{2}}-\vec{x_{1}}=\vec{b}$. Так як$\vec{b} \neq \vec{0}$, випливає, що$\vec{x_{2}}\neq \vec{x_{1}}.$ Тоді$\vec{a}+t\vec{b}=\vec{x_{1}} + t\left( \vec{x_{2}}-\vec{x_{1}}\right)$. Звідси випливає, що$\vec{x}=\vec{a}+t\vec{b}$ це рядок, що містить дві різні точки$X_1$ і вектори положення$X_2$ якої задаються$\vec{x}_2$ відповідно$\vec{x}_1$ і.

Ми можемо використовувати вищезазначене обговорення, щоб знайти рівняння прямої, коли задано дві різні точки. Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$: A Line From Two Points

Знайти векторне рівняння для прямої через точки$P_0 = \left( 1,2,0\right)$ і$P = \left( 2,-4,6\right).$

Рішення

Ми будемо використовувати визначення рядка, наведеного вище в Definition, $\PageIndex{1}$щоб записати цей рядок у вигляді

$$\vec{q}=\vec{p_0}+t\left( \vec{p}-\vec{p_0}\right)\nonumber$$

Нехай$\vec{q} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]B$. Потім ми можемо знайти$\vec{p}$ і$\vec{p_0}$ взявши вектори положення точок$P$ і$P_0$ відповідно. Потім,

$$\vec{q}=\vec{p_0}+t\left( \vec{p}-\vec{p_0}\right)\nonumber$$ можна записати як

$$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right]B = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right]B + t \left[ \begin{array}{r} 1 \\ -6 \\ 6 \end{array} \right]B, \;t\in \mathbb{R}\nonumber$$

Тут вектор напрямку$\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -6 \\ 6 \end{array} \right]B$ отримується так,$\vec{p} - \vec{p_0} = \left[ \begin{array}{r} 2 \\ -4 \\ 6 \end{array} \right]B - \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right]B$ як зазначено вище у Визначенні$\PageIndex{1}$.

Зверніть увагу, що в наведеному вище прикладі ми сказали, що ми знайшли «a» векторне рівняння для прямої, а не «рівняння». Причина цієї термінології полягає в тому, що існує нескінченно багато різних векторних рівнянь для однієї лінії. Щоб побачити це, замініть$t$ іншим параметром, скажімо$3s.$ Тоді ви отримаєте інше векторне рівняння для тієї ж лінії, оскільки виходить однаковий набір точок.

У прикладі вектор$\PageIndex{1}$, заданий,$\left[ \begin{array}{r} 1 \\ -6 \\ 6 \end{array} \right]B$ є вектора напрямку, визначеного в Definition$\PageIndex{1}$. Якщо ми знаємо вектор напрямку прямої, а також точку на прямій, ми можемо знайти векторне рівняння.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{2}$: A Line From a Point and a Direction Vector

Знайти векторне рівняння для прямої, яка містить точку$P_0 = \left( 1,2,0\right)$ та має вектор напрямку$\vec{d} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]B$

Рішення

Ми будемо використовувати Definition,$\PageIndex{1}$ щоб записати цей рядок у формі$\vec{p}=\vec{p_0}+t\vec{d},\; t\in \mathbb{R}$. Нам дано вектор напрямку$\vec{d}$. Для того$\vec{p_0}$, щоб знайти, ми можемо використовувати вектор положення точки$P_0$. Це задається$\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right]B.$$\vec{p} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]B$ Letting, рівняння для прямої задається $$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]B = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right]B + t \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]B, \;t\in \mathbb{R} \label{vectoreqn}$$

Іноді ми обираємо написати такий рядок, як той, який наведено$\eqref{vectoreqn}$ у вигляді $$\begin{array}{ll} \left. \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2+2t \\ z=t \end{array} \right\} & \mbox{where} \; t\in \mathbb{R} \end{array} \label{parameqn}$$ Цей набір рівнянь дає ту ж інформацію$\eqref{vectoreqn}$, що і називається параметричним рівнянням прямої.

Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: Parametric Equation of a Line

$L$Дозволяти лінія$\mathbb{R}^3$, в якій має напрямок вектор$\vec{d} = \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right]B$ і проходить через точку$P_0 = \left( x_0, y_0, z_0 \right)$. Потім, дозволяючи$t$ бути параметром, ми можемо записати$L$ як $$\begin{array}{ll} \left. \begin{array}{c} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{array} \right\} & \mbox{where} \; t\in \mathbb{R} \end{array}\nonumber$$ Це називається параметричне рівняння рядка$L$.

Ви можете переконатися, що форма, розглянута нижче Приклад$\PageIndex{2}$ у рівнянні$\eqref{parameqn}$, має форму, наведену у Визначенні$\PageIndex{2}$.

Існує ще одна форма для рядка, яка є корисною, яка є симетричною формою. Розглянемо рядок, задану$\eqref{parameqn}$. Ви можете вирішити для параметра$t$ записати $$\begin{array}{l} t=x-1 \\ t=\frac{y-2}{2} \\ t=z \end{array}\nonumber$$ Тому, $$x-1=\frac{y-2}{2}=z\nonumber$$ Це симетрична форма рядка.

У наступному прикладі ми розглянемо, як прийняти рівняння прямої від симетричної форми до параметричної форми.

Приклад$\PageIndex{3}$: Change Symmetric Form to Parametric Form

Припустимо, симетричною формою рядка є $$\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=z+3\nonumber$$ Запишіть рядок у параметричній формі, а також у векторній формі.

Рішення

Ми хочемо написати цей рядок у формі, заданій Definition$\PageIndex{2}$. Це форми $$\begin{array}{ll} \left. \begin{array}{c} x = x_0 + ta \\ y = y_0 + tb \\ z = z_0 + tc \end{array} \right\} & \mbox{where} \; t\in \mathbb{R} \end{array}\nonumber$$

Нехай$t=\frac{x-2}{3},t=\frac{y-1}{2}$ і$t=z+3$, як дано в симетричній формі лінії. Потім рішення для$x,y,z,$ врожайності $$\begin{array}{ll} \left. \begin{array}{c} x=2 + 3t \\ y=1 + 2t \\ z=-3 + t \end{array} \right\} & \mbox{with} \;t\in \mathbb{R} \end{array}\nonumber$$

Це параметричне рівняння для цієї лінії.

Тепер, ми хочемо, щоб написати цей рядок у формі, заданої Definition$\PageIndex{1}$. Це форма $$\vec{p}=\vec{p_0}+t\vec{d}\nonumber$$ де$t\in \mathbb{R}$. Це рівняння стає $$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right]B = \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right]B + t \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]B, \;t\in \mathbb{R}\nonumber$$