15.4: Нормальні підгрупи та групові гомоморфізми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65091

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Наша мета в цьому розділі - відповісти на відкрите запитання раніше в цьому розділі та представити пов'язане поняття. Питання: Коли залишаються косети підгрупи групи під індукованою операцією? Це питання відкрите для неабелевих груп. Тепер, коли у нас є кілька прикладів для роботи, ми можемо спробувати кілька експериментів.

Звичайні підгрупи

Приклад$\PageIndex{1}$: Cosets of $A_3$

Ми бачили, що$A_3= \left\{i,r_1,r_2\right\}$ це підгрупа$S_3\text{,}$ і її ліві косети$A_3$ самі по собі і$B_3=\left\{f_1,f_2,f_3\right\}\text{.}$ Чи$\left\{A_3 , B_3 \right\}$ є група зводиться до визначення того, чи добре визначена індукована операція. Розглянемо операційну таблицю для$S_3$ на рис$\PageIndex{1}$.

$clipboard_ed2ddb2971ba6c78702f75fa1ea68ce90.png$ Малюнок$\PageIndex{1}$: Операційна таблиця для$S_3$

Ми затінювали всі випадки елементів сірим$B_3$ кольором. Ми назвемо ці елементи сірими елементами і елементами білих.$A_3$

Тепер розглянемо процес обчислення косетного твору. «$A_3\circ B_3\text{.}$Продукт» виходить при виборі одного білого елемента і одного елемента сірого кольору. Зверніть увагу, що білий «раз» сірий завжди сірий. Таким чином,$A_3\circ B_3$ чітко визначено. Аналогічно, інші три можливі продукти чітко визначені. Таблиця для групи$S_3/A_3$ факторів

\ begin {рівняння*}\ почати {масив} {c|c}\ circ &\ begin {масив} {cc} A_3 & B_3\\ кінець {масив}\\ hline\ begin {масив} {c} A_ {3}\\ B_3\\ кінець {масив} &\ begin {масив} {cc} A_3 & B_3\\ B_3 & A_3 & A_3 3\\\ end {масив}\\ end {масив}\ кінець {рівняння*}

$S_3/A_3$Зрозуміло, є ізоморфним, щоб$\mathbb{Z}_2\text{.}$ Помітити, що$A_3$ і$B_3$ є також правильні$A_3\text{.}$ витрати Це важливо.

Приклад$\PageIndex{2}$: Cosets of Another Subgroup of $S_3$

Тепер давайте спробуємо ліві косети$\langle f_1 \rangle$ в$S_3\text{.}$ Є три з них. Чи отримаємо ми складну версію$\mathbb{Z}_3\text{?}$ Ліві косети є$C_0=\left\langle f_1\right\rangle\text{,}$$C_1= r_1\left\langle f_1\right\rangle = \left\{r_1,f_3\right\}\text{,}$ і$C_2= r_2\left\langle f_1\right\rangle = \left\{r_2,f_2\right\}\text{.}$

Читач може очікувати, що в кінцевому підсумку щось піде не так, і ось воно. Для визначення$C_1\circ C_2$ ми можемо вибрати з чотирьох пар представників:

\ begin {рівняння*}\ почати {масив} {c} r_1\ в C_1, r_2\ в C_2\ longrightarrow r_1\ коло r_2=i\ в C_0\\ r_1\ в C_1, f_2\ у C_2\ longrightarrow r_1\ circ f_2=f\ в C_2\ 0\\ f_3\ в C_1, r_2\ в C_2\ довга стрілка f_3\ circ r_2=f_2\ в C_2\\ f_3\ в C_1, f_2\ в C_2\ longrightarrow f_3\ коло f_2=r_2\ в C_2\\ кінець {масив}\ кінець { рівняння*}

Цього разу ми не отримуємо однакову косету для кожної пари представників. Тому індукована операція недостатньо визначена, і група факторів не виробляється.

Спостереження$\PageIndex{1}$

Цей останній приклад змінює наш курс дій. Якби ми отримали групу факторів,$\left\{C_0,C_1,C_2\right\}\text{,}$ ми могли б сподіватися довести, що кожна колекція лівих косетів утворює групу. Тепер наше питання: Як ми можемо визначити, чи отримаємо ми факторну групу? Звичайно, це питання еквівалентно: Коли індукована операція чітко визначена? Був лише один крок у доведенні теореми 15.2.4, де ми використовували той факт, що$G$ був абелем. Повторюємо рівняння тут:

\ begin {рівняння*} a'*b' =\ лівий (a*h_1\ правий) *\ лівий (b*h_2\ правий) = (a*b) *\ лівий (h_1*h_2\ правий)\ end {рівняння*}

так як$G$ був абеліан.

Останній крок став можливим завдяки тому, що$h_1*b=b*h_1\text{.}$ Як доказ продовжував, ми використовували той факт, що$h_1*h_2$ був$H$ і так$a'*b'$$(a*b)*h$ для деяких$h$ у$H\text{.}$ Все, що нам дійсно потрібно в «абелевському кроці» було те, що$h_1*b = b*(\textrm{something in } H) = b*h_3\text{.}$ Тоді, так як$H$ закритий $G$операція under,$h_3*h_2$ є елементом$H\text{.}$ Наслідком цього спостереження є те, що ми визначаємо певний вид підгрупи, яка гарантує, що індуктована операція є чітко визначеною.

Визначення $\PageIndex{1}$: Normal Subgroup

Якщо$G$ є групою,$H \leq G\text{,}$ то$H$ є нормальною підгрупою$G\text{,}$ позначається$H \triangleleft G\text{,}$ тоді і тільки тоді, коли кожна ліва косет$H$ є правою косетою$H\text{;}$ i. е.$a*H = H*a \quad \forall a \in G$

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$H \leq G\text{,}$ тоді операція, індукована на лівих$H$ косетах операцією,$G$ добре визначена тоді і лише тоді, коли виконується будь-яка з наступних умов:

$H$є нормальною підгрупою$G\text{.}$
Якщо$h \in H\text{,}$$a \in G\text{,}$ тоді існує$h' \in H$ таке, що$h*a = a*h'\text{.}$
Якщо$h \in H\text{,}$$a \in G\text{,}$ тоді$a^{-1}*h*a \in H\text{.}$

Доказ: Доказ цієї теореми ми залишаємо читачеві.

Будьте обережні, наступний наслідок не є твердженням «... якщо і тільки якщо...».

Слідство$\PageIndex{1}$

Якщо$H \leq G\text{,}$ тоді операція, індукована на лівих$H$ косетах операцією, добре визначена, якщо виконується будь-яка з наступних двох умов.$G$

$G$є абелевським.
$\left| H\right| = \frac{\left| G\right| }{2}\text{.}$

Приклад$\PageIndex{3}$: A Non-Normal Subgroup

Праві косети$\left\langle f_1\right\rangle \leq S_3$ є$\left\{i, f_1\right\}\text{,}$$\left\{r_1 f_2 \right\}\text{,}$ і$\left\{r_2 ,f_3\right\}\text{.}$ Це не те ж саме, що ліві косети$\left\langle f_1\right\rangle\text{.}$ Крім того,$f_2{}^{-1}f_1f_2=f_2f_1f_2=f_3\notin \left\langle f_1\right\rangle\text{.}$ Таким чином, не$\left\langle f_1\right\rangle$ є нормальним.

Неправильні підгрупи$\{e\}$ і$G$ будь-якої групи$G$ є нормальними підгрупами. $G/\{e\}$ізоморфний до$G\text{.}$ Всі інші нормальні підгрупи групи, якщо вони існують, називаються власними нормальними підгрупами.

Приклад$\PageIndex{4}$

За умовою b слідства$\PageIndex{1}$,$A_n$ є нормальною підгрупою$S_n$ і$S_n/A_n$ є ізоморфним до$\mathbb{Z}_2\text{.}$

Приклад$\PageIndex{5}$: Subgroups of $A_5$

$A_5\text{,}$група в своєму власному праві з 60 елементами, має багато належних підгруп, але жодна не є нормальною. Хоча це може бути зроблено грубою силою, кількість елементів у групі зробить процес нудним. Набагато більш елегантним способом підходу до перевірки цього твердження є використання наступного факту про циклічну структуру перестановок. Якщо$f\in S_n$ це перестановка з певною структурою циклу,$\sigma _1\sigma _2\cdots \sigma _k\text{,}$ де довжина$\sigma _i$ є,$\ell_i\text{,}$ то для будь-якого,$g\in S_n\text{,}$$g^{-1}\circ f\circ g\text{,}$ який є сполученим$f$ по$g\text{,}$ буде мати структуру циклу з точно такими ж довжинами циклу. Наприклад, якщо ми візьмемо$f=(1,2,3,4)(5,6)(7,8,9)\in S_9$ і спряжуємо по$g=(1,3,5,7,9)\text{,}$

\ почати {рівняння*}\ почати {спліт} g^ {-1}\ circ f\ circ g & = (1,9,7,5,3)\ коло (1,2,3,4) (5,6) (7,8,9)\ circ (1,3,5,7,9)\\ & = (1,4,9,2) (3,6) (5,8,7)\\ кінець {спліт}\ кінець {кінець {рівняння *}

Зверніть увагу, що умовою нормальності підгрупи$H$$G$ є те, що сполучення будь-якого елемента$H$ за елементом з$G$ повинен залишатися в$H\text{.}$

Щоб переконатися, що не$A_5$ має належних нормальних підгруп, ви можете почати з каталогізації різних структур циклу, які відбуваються в$A_5$ і скільки елементів мають ці структури. Потім розглянемо, що відбувається, коли ви пов'язуєте ці різні структури циклу з елементами контуру процесу є у вправах.$A_5\text{.}$

Приклад$\PageIndex{6}$

$G$Дозволяти множина двох на дві оборотні матриці дійсних чисел. Тобто,

\ begin {рівняння*} G=\ лівий\ {\ left (\ begin {масив} {cc} a & b\\ c & d\\ кінець {масив}\ праворуч)\ середина a, b, c, d\ in\ mathbb {R}, a d-b c\ neq 0\ праворуч\}\ кінець {рівняння*}

Ми бачили в главі 11, що$G$ є групою з множенням матриці.

Ця група має багато підгруп, але розглянемо лише дві:$H_1=\left\{\left.\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{array} \right)\right| a \neq 0\right\}$ і$H_2=\left\{\left.\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \\ \end{array} \right)\right| a d \neq 0\right\}\text{.}$ досить просто застосувати одну з умов, які ми спостерігали для нормальності, що$H_1$ нормальна підгрупа while$G\text{,}$ не$H_2$ є нормальною в$G\text{.}$

Гомоморфізми

Подумайте про слово ізоморфізм. Швидше за все, одне з перших образів, яке спадає на думку, - це рівняння, щось на зразок

\ begin {рівняння*}\ тета (x* y) =\ тета (x)\ алмаз\ тета (y)\ кінець {рівняння*}

Ізоморфізм повинен бути біекцією, але рівняння вище - алгебраїчна властивість ізоморфізму. Тут ми розглянемо функції, які задовольняють рівнянням даного типу.

Визначення$\PageIndex{2}$: Homomorphism

$[G';\diamond ]$Дозволяти$[G; *]$ і бути групами. $\theta:G \to G'$це гомоморфізм, якщо$\theta(x * y) = \theta(x) \diamond \theta(y)$ для всіх$x, y \in G\text{.}$

Багато гомоморфізми корисні, оскільки вони вказують на подібність між двома групами (або, на універсальному рівні, двома алгебраїчними системами).

Приклад$\PageIndex{7}$: Decreasing Modularity

Визначити$\alpha:\mathbb{Z}_6\to \mathbb{Z}_3$ по$\alpha(n)=n \textrm{ mod } 3\text{.}$ Тому,$\alpha(0) = 0\text{,}$$\alpha(1) = 1\text{,}$$\alpha(2) = 2\text{,}$$\alpha(3) =1 + 1 + 1=0\text{,}$$\alpha(4) = 1\text{,}$ і$\alpha(5) = 2\text{.}$ якщо$n, m \in \mathbb{Z}_6\text{.}$ ми могли б насправді показати, що$\alpha$ це гомоморфізм, перевіряючи всі$6^2=36$ різні випадки для формули

\[\label{eq:1}\alpha (n+_6 m)=\alpha (n)+_3 \alpha(m)\]

але ми будемо використовувати лінію міркувань, яка узагальнює. Ми вже стикалися з китайською теоремою про залишок, яка передбачає, що функція,$\beta: \mathbb{Z}_6\to \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2$ визначена$\beta(n)=(n\textrm{ mod } 3, n\textrm{ mod } 2)\text{.}$ нам потрібно лише спостерігати, що прирівнюючи перші координати обох сторін рівняння

\[\label{eq:2}\beta (n+_6 m)=\beta(n)+\beta(m)\]

дає нам саме властивість гомоморфізму.

Теорема$\PageIndex{2}$: Group Homomorphism Properties

Якщо$\theta: G \rightarrow G'$ це гомоморфізм, то:

$\theta(e) =\theta(\textrm{the identity of } G) = \textrm{the identity of } G' = e'\text{.}$
$\theta\left(a ^{-1}\right) = \theta(a)^{-1}$для всіх$a \in G\text{.}$
Якщо$H \leq G\text{,}$ тоді$\theta(H) = \{\theta(h) | h\in H\}\leq G'\text{.}$

Доказ

Нехай$a$ be any element of $G\text{.}$ Then $\theta(a) \in G'\text{.}$
\ begin {рівняння*}\ begin {спліт}\ тета (а)\ діамант e' &=\ тета (а)\ quad\ textrm {за визначенням} e'\\ &=\ тета (a*e)\ quad\ textrm {за визначенням} е\\\ &=\ тета (а)\ тета (е)\ quad\ textrm {за фактом, що}\ тета\ текст {є гомоморфізм}\\ end {split}\ end {рівняння*}
За скасуванням,$e' = \theta(e)\text{.}$
Знову, нехай$a \in G\text{.}$$e' = \theta(e) = \theta\left(a*a^{-1} \right) = \theta(a)\diamond \theta\left(a^{-1}\right)\text{.}$ звідси, по унікальності зворотних,$\theta(a) ^{-1}= \theta\left(a^{-1}\right)\text{.}$
Нехай$b_1, b_2 \in \theta(H)\text{.}$ Тоді існує$a_1, a_2\in H$ таке, що$\theta\left(a_1\right) = b_1\text{,}$$\theta\left(a_2\right) = b_2\text{.}$ Нагадаємо, що компактним необхідним і достатнім умовою для$H \leq G$ є те, що$x*y^{-1}\in H$ для всіх$x, y \in H\text{.}$ Тепер ми застосовуємо ту ж умову в$G'\text{:}$
\ begin {equation*}\ begin {split} b_1\ diamond b_2 {} ^ { -1} &=\ тета\ ліворуч (a_1\ праворуч)\ алмаз\ тета\ ліворуч (a_2\ праворуч) {} ^ {-1}\ & =\ тета\ ліворуч (a_1\ праворуч)\ алмаз\ тета\ ліворуч (a_2 {-1}} ^ {-1}\ праворуч)\\\ & =\ тета\ ліворуч (a_1*a_2 {} ^ {-1}\ праворуч)\ in\ theta (H)\\ end {split}\ end {рівняння*}
так як$a_1*a_2{}^{-1}\in H\text{,}$ і тому ми можемо зробити висновок, що$\theta(H)\leq G'\text{.}$

Слідство$\PageIndex{2}$

Так як гомоморфізм не повинен бути surjection і частина (c) теореми$\PageIndex{2}$ вірна для випадку діапазону$\theta\text{,}$$\theta(G)\text{,}$ є підгрупою$H = G\text{,}$$G'$

Приклад$\PageIndex{8}$

Якщо ми$\pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ визначимо$\pi$,$\pi(n) = n + 4\mathbb{Z}\text{,}$ то це гомоморфізм. Зображення підгрупи$4\mathbb{Z}$ є єдиною косетною$0 + 4\mathbb{Z}\text{,}$ ідентичністю факторної групи. Гомоморфізми цього типу називаються природними гомоморфізмами. Наступні теореми перевірять, що$\pi$ це гомоморфізм, а також показують зв'язок між гомоморфізмами та нормальними підгрупами. Читач може знайти більш детальну інформацію та докази в більшості текстів абстрактної алгебри.

Теорема$\PageIndex{3}$

Якщо$H \triangleleft G\text{,}$ тоді функція,$\pi:G\to G/H$ визначена$\pi(a) = a H$, є гомоморфізмом.

Доказ: Доказ цієї теореми ми залишаємо читачеві.

Визначення$\PageIndex{3}$: Natural Homomorphism

Якщо$H \triangleleft G\text{,}$ тоді функція,$\pi:G\to G/H$ визначена$\pi(a) = a H$, називається природним гомоморфізмом.

Виходячи з теореми$\PageIndex{3}$, кожна нормальна підгрупа дає нам гомоморфізм. Далі ми бачимо, що зворотне вірно.

Визначення $\PageIndex{4}$: Kernel of a Homomorphism

$\theta: G \to G'$Дозволяти бути гомоморфізм,$e$ і нехай і$e'$ бути ідентичностями$G$ і$G'\text{,}$ відповідно. Ядро$\theta$ - це набір$\ker \theta=\{a\in G \mid \theta(a)=e'\}$

Теорема$\PageIndex{4}$

$\theta: G \to G'$Дозволяти бути гомоморфізм з$G$ в$G'$. Ядро з$\theta$ є нормальною підгрупою$G\text{.}$

Доказ

Нехай$K=\textrm{ker }\theta\text{.}$ Ми бачимо, що$K$ це підгрупа, дозволяючи$a,b \in K$ і перевірити, що$a*b^{-1} \in K$ шляхом обчислення$\theta(a*b^{-1})= \theta(a)*\theta(b)^{-1} = e'*e'^{-1}=e'\text{.}$ Щоб довести нормальність, ми дозволяємо$g$ бути будь-який елемент$G$ і$k \in K\text{.}$ Ми обчислюємо,$\theta(g*k*g^{-1})$ щоб перевірити, що$G$$g*k*g^{-1}\in K\text{.}$

\ begin {рівняння*}\ почати {спліт}\ тета (g*k*g^ {-1}) &=\ тета (g) *\ тета (k) *\ тета (k) *\ тета (g) *\ тета (g) *\ тета (g) ^ {-1}\\ & =\ тета (g) * e'*\ тета (г) ^ {-1}}\\ & =\ тета (г) *\ тета (г) ^ {-1}\\ & =e'\\ end {спліт}\ кінець {рівняння*}

Виходячи з цієї останньої теореми, кожен гомоморфізм дає нам нормальну підгрупу.

Теорема$\PageIndex{5}$: Fundamental Theorem of Group Homomorphisms

$\theta: G \to G'$Дозволяти бути гомоморфізмом. Тоді$\theta(G)$ ізоморфний до$G/\ker \theta\text{.}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Визначити$\theta: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{10}$$\theta(n) = n \textrm{ mod }10\text{.}$ за Три попередні теореми мають на увазі наступне:

$\pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$визначається$\pi(n) = n + 10\mathbb{Z}$ це гомоморфізм.
$\{n\in \mathbb{Z}|\theta(n) = 0\} = \{10n \mid n \in \mathbb{Z}\}= 10\mathbb{Z} \triangleleft \mathbb{Z}\text{.}$
$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ізоморфний до$\mathbb{Z}_{10}\text{.}$

Приклад$\PageIndex{10}$

$G$Дозволяти бути тією ж групою з двох на дві оборотні дійсні матриці, як у прикладі$\PageIndex{6}$. $\Phi: G \rightarrow G$Визначити$\Phi(A) = \frac{A}{\sqrt{\lvert \det A \rvert }}\text{.}$ ми дозволимо читачеві перевірити, що$\Phi$ це гомоморфізм. Наведені вище теореми мають на увазі наступне.

$\ker \Phi = \{A\in G |\Phi (A) =I\} = \left\{\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{array} \right) \mid a\in \mathbb{R},a\neq 0\right\}\triangleleft G\text{.}$Це підтверджує наше твердження в прикладі$\PageIndex{6}$. Як і в цьому прикладі, нехай$\ker \Phi = H_1\text{.}$
$G\left/H_1\right.$ізоморфний до$\{A \in G \mid \det A= 1\}\text{.}$
$\pi: G \rightarrow G\left/H_1\right.$визначається, природно,$\pi(A) =A H_1$ є гомоморфізмом.

Для решти цього розділу ми будемо розглядати певні види гомоморфізмів, які відіграватимуть роль у нашому основному застосуванні до гомоморфізмів, теорії кодування.

Приклад$\PageIndex{11}$

Розглянемо$\Phi :\mathbb{Z}_2{}^2\to \mathbb{Z}_2{}^3$ визначено$\Phi (a, b) = \left(a, b, a +_2 b\right)\text{.}$ If$\left(a_1,b_1\right), \left(a _2 , b_2 \right) \in \mathbb{Z}_2{}^2\text{,}$

\ begin {рівняння*}\ почати {спліт}\ Phi\ ліворуч (\ ліворуч (a_1, b_1\ праворуч) +\ лівий (a _2, b_2\ правий)\ правий) &=\ Phi\ ліворуч (a_1+_2a_2, b_1 +_2) +_2 b_2)\\ & =\ ліворуч (a_1+_2a_2, b_1 +_2\ правий)\\ & =\ ліворуч (a_1+_2a_2, b_1 +_2 b_2, a_1+_2a_2+_2b_1 +_2 b_2\ праворуч)\\ & =\ лівий (a_1, b_1, a_1+_2b_1\ правий) +\ лівий (a_2, b_2, a_2b_2\ правий)\\ & =\ Phi\ ліворуч (a_1, b_ 1\ праворуч) +\ Phi\ ліворуч (a _2, b_2\ праворуч)\\ кінець {спліт}\ end {рівняння*}

Оскільки$\Phi (a, b)\text = (0, 0, 0)$ має на увазі, що$a = 0$ і$b = 0\text{,}$ ядро$\Phi$ є$\{(0, 0)\}\text{.}$ За попередніми теоремами,$\Phi \left(\mathbb{Z}_2{}^2\right)= \{(0, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)\}$ є ізоморфним до$\mathbb{Z}_2{}^2\text{.}$

Ми можемо узагальнити попередній приклад наступним чином: Якщо$n, m \geq 1$ і$A$ є$m\times n$ матрицею 0 і 1 (елементів$\mathbb{Z}_2$), то$\Phi :\mathbb{Z}_2{}^m\to \mathbb{Z}_2{}^n$ визначається

\ begin {рівняння*}\ Phi\ ліворуч (a_1, a_2,., a _m\ праворуч) =\ left (a_1, a_2,.,., a _m\ right) A\ end {рівняння*}

це гомоморфізм. Це вірно тому, що множення матриці розподіляється над додаванням. Єдина нова ідея тут полягає в тому, що обчислення проводиться в$\mathbb{Z}_2\text{.}$ If$a=\left(a_1, a_2 , . . . , a _m\right)$ і$b=\left(b_1, b_2 , . . . , b _m\right)\text{,}$$(a + b)A = a A + b A$ вірно за основними законами матриці. Тому$\Phi (a + b) = \Phi (a) + \Phi (b)\text{.}$

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Які з перерахованих нижче функцій мають гомоморфізми? Які є ядра тих функцій, які є гомоморфізмами?

$\theta_1: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$визначено$\theta_1(a) =\left| a\right|\text{.}$
$\theta_2 : \mathbb{Z}_5 \rightarrow \mathbb{Z}_2$де$\theta_2(n) =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \textrm{ if } n \textrm{ is even} \\ 1 & \textrm{ if } n \textrm{ is odd} \\ \end{array} \right.\text{.}$
$\theta_3 : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\text{,}$де$\theta_3(a, b) = a + b\text{.}$
$\theta_4 : S_4 \to S_4$визначено$\theta_4(f) = f\circ f=f^2\text{.}$

Відповідь

Так, ядро$\{1, -1\}$
Ні, так як,$\theta _2\left(2 +_{5} 4\right)= \theta_2(1)=1\text{,}$ але$\theta _2(2)+_2\theta_{2} (4)=0+_{2}0 =0$
Наступний може бути запитати, що станеться, якщо 5 буде замінено деяким іншим додатним цілим числом у цій частині.
Так, ядро$\{(a, -a)| a \in \mathbb{R}\}$
Ні. Контрприкладом серед багатьох було б розглянути дві транспозиції$t_1=(1,3)$ та$t_2=(1,2)\text{.}$ Порівняти$\theta_4(t_1 \circ t_2)$ та$\theta_4(t_1) \circ \theta_4(t_2)\text{.}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Які з перерахованих нижче функцій мають гомоморфізми? Які є ядра тих функцій, які є гомоморфізмами?

$\alpha_1: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\text{,}$визначено$\alpha_1(A) = A_{11} A_{22} + A_{12} A_{21}\text{.}$
$\alpha_2 : \left(\mathbb{R}^*\right)^2 \rightarrow \mathbb{R}^*$визначено$\alpha_2 (a, b) = a b\text{.}$
$\alpha_3 : \left\{\left.A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| \det A \neq 0\right\} \to \mathbb{R}^*\text{,}$де$\alpha_3(A) = \det A\text{.}$
$\alpha_4 : S_4\rightarrow S_4$визначено$\alpha_4(f)=f^{-1}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Показати, що$D_4$ має одну правильну нормальну підгрупу, але$\langle (1,4)(2,3)\rangle$ це не нормально.

Відповідь: $\langle r\rangle =\left\{i,r,r^2,r^3\right\}$є нормальною підгрупою$D_4\text{.}$ Щоб побачити, ви можете скористатися таблицею, наданою у розв'язанні вправи 15.3.5 розділу 15.3, і перевірити, що$a^{-1}h a \in \langle r\rangle$ для всіх$a\in D_4$ і$h\in \langle r\rangle\text{.}$ більш ефективним підходом є доведення загальної теореми, що якщо$H$ підгрупа$G$ з рівно двома різними лівими косетами, ніж$H$ це нормально. $\left\langle f_1\right\rangle$не є нормальною підгрупою$D_4\text{.}$$\left\langle f_1\right\rangle =\left\{i,f_1\right\}$ і якщо ми вибираємо,$a = r$ а$h=f_1$ потім$a^{-1}h a= r^3f_1r=f_2\notin \left\langle f_1\right\rangle$

Вправа$\PageIndex{4}$

Доведіть, що функція$\Phi$ в прикладі$\PageIndex{10}$ є гомоморфізм.

Вправа$\PageIndex{5}$

Визначте дві функції$\alpha: \mathbb{Z}_2{}^3\rightarrow \mathbb{Z}_2{}^4$$\alpha\left(a_1,a_2,a_3 \right) = \left(a_1,a_2,a_3 ,a_1+_2 a_2+_2a_3\right)\text{,}$ та$\beta :\mathbb{Z}_2{}^4\to \mathbb{Z}_2$$\beta \left(b_1,b_2,b_3,b_4\right)=b_1+b_2+b_3+b_4$ опишіть функцію$\beta \circ \alpha\text{.}$ Це гомоморфізм?

Відповідь: $(\beta \circ \alpha )\left(a_1,a_2,a_3\right) = 0$і$\beta \circ \alpha$ так тривіальний гомоморфізм, але гомоморфізм все ж.

Вправа$\PageIndex{6}$

$\Phi$Висловіть у$\PageIndex{10}$ прикладі в матричній формі.

Вправа$\PageIndex{7}$

Доведіть, що якщо$G$ це абелева група, то$q(x) = x^2$ визначає гомоморфізм з$G$ в$G\text{.}$ Чи$q$ коли-небудь ізоморфізм?

Відповідь

Нехай$x, y \in G\text{.}$

\ begin {рівняння*}\ почати {спліт} q (x* y) &= (x * y) ^2\\ & = x*y*x*y\\ & = x*x*y*y* y\ quad\ textrm {так} G\ textrm {є абелейським}\\ & = x^2*y^2\ &= q (x) * q (y) кінець {спліт}\ end {рівняння*}

Звідси і$q$ є гомоморфізм. Для того,$q$ щоб бути ізоморфізмом, це повинно бути так, що жоден елемент, крім ідентичності, не є власним зворотним.

\ begin {рівняння*}\ почати {спліт} x\ in\ textrm {Ker} (q) &\ Стрілка вліво q (x) = e\\ &\ Стрілка вліво x * x = e\\ &\ Стрілка вліво x ^ {-1} = x\\ кінець {спліт}\ кінець {рівняння*}

Вправа$\PageIndex{8}$

Доведіть, що якщо$\theta : G\rightarrow G'$ це гомоморфізм, а$H\triangleleft G\text{,}$ потім$\theta(H) \triangleleft \theta(G)\text{.}$ Чи вірно це також, що$\theta(H) \triangleleft G'\text{?}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Доведіть, що якщо$\theta : G \rightarrow G'$ це гомоморфізм, а$H' \leq \theta(G)\text{,}$ потім$\theta^{-1}(H') =\{a\in G| \theta (a)\in H'\}\leq G\text{.}$

Відповідь

Доказ: Нагадаємо, що зворотне зображення$H'$ under$\theta$ є$\theta ^{-1}(H')=\{g\in G | \theta (g)\in H'\}\text{.}$

Закриття: Нехай$g_1, g_2\in \theta ^{-1}(H')\text{,}$ тоді$\theta \left(g_1\right),\theta \left(g_2\right)\in H'\text{.}$ з тих пір$H'$ є підгрупою$G'\text{,}$

\ begin {рівняння*}\ тета\ лівий (g_1\ правий)\ діамант\ тета\ лівий (g_2\ правий) =\ тета\ лівий (g_1*g_2\ правий)\ in H'\ Right g_1*g_2\ in\ theta^ {-1} (H ')\ end {рівняння*}}

Ідентичність: За теоремою$\PageIndex{2}$ (а),$e \in \theta ^{-1}(H')\text{.}$

Зворотний: Нехай$a\in \theta ^{-1}(H')$. Потім$\theta (a)\in H'$ і по$\PageIndex{2}$ теоремі (b),$\theta (a)^{-1}= \theta \left(a^{-1}\right)\in H'$ і так$a^{-1}\in \theta ^{-1}(H')\text{.}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Слідуючи за прикладом$\PageIndex{5}$, довести, що$A_5$ це проста група; тобто, вона не має належних нормальних підгруп.

Складіть список різних структур циклу, які відбуваються в$A_5$ і скільки елементів мають ці структури.
У межах кожної множини перестановок з різними циклічними структурами визначте, які підмножини замкнуті щодо операції сполучення. При цьому у вас буде розділ на сполучені$A_5$ класи де для кожного класу,$C\text{,}$$f, g\in C$ якщо і тільки якщо$\exists \phi \in A_5$ такий, що$\phi ^{-1}\circ f\circ \phi = g\text{.}$
Використовуйте той факт, що нормальна підгрупа$A_5$ повинна бути об'єднанням сполучених класів і переконайтеся, що такого об'єднання не існує.