2.1: Визначення

Template:MathJaxLevin

Досліджуйте!

Що далі:

\ begin {рівняння*} 1, ~~11, ~~21, ~~1211, ~~111221, ~~312211, ~~\ ldots\ end {рівняння*}

Послідовність - це просто впорядкований список чисел. Наприклад, ось послідовність: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Це відрізняється від множини,\(\N\) тому що, хоча послідовність є повним списком кожного елемента в наборі натуральних чисел, в послідовності ми дуже дбаємо, в якому порядку приходять числа. З цієї причини, коли ми використовуємо змінні для представлення термінів у послідовності, вони будуть виглядати так:

\ begin {рівняння*} a_0, a_1, a_2, a_3,\ ldots\ end {рівняння*}

Щоб посилатися на всю послідовність відразу, ми напишемо\((a_n)_{n\in\N}\)\((a_n)_{n\ge 0}\text{,}\) або іноді, якщо ми неохайні, просто\((a_n)\) (в цьому випадку ми припускаємо, що починаємо послідовність з\(a_0\)).

Ми могли б\(a\) замінити на іншу букву, і іноді ми опускаємо\(a_0\text{,}\) починаючи з і\(a_1\text{,}\) в цьому випадку ми будемо\((a_n)_{n \ge 1}\) використовувати для позначення послідовності в цілому. Числа в індекси називаються індексами (множиною індексу).

Хоча ми часто просто думати про послідовності як впорядкований список чисел, вони дійсно є типом функції. Зокрема, послідовність\((a_n)_{n\ge 0}\) - це функція з доменом,\(\N\) де\(a_n\) зображення натурального числа\(n\text{.}\) Пізніше ми будемо маніпулювати послідовностями приблизно так само, як ви маніпулювали функціями в алгебрі або численні. Ми можемо зрушити послідовність вгору або вниз, додати дві послідовності або запитати швидкість зміни послідовності. Вони робляться точно так, як ви б для функцій.

Тим не менш, зберігаючи суворе математичне визначення на увазі, корисно, ми часто описуємо послідовності, записуючи перші кілька термінів.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Чи можете ви знайти наступний термін у наступних послідовностях?

1. \(7,7,7,7,7, \ldots\)
2. \(3, -3, 3, -3, 3, \ldots\)
3. \(1, 5, 2, 10, 3, 15, \ldots\)
4. \(1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots\)
5. \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots\)
6. \(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\)
7. \(1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots\)
8. \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\)
9. \(3, 2, 1, 0, -1, \ldots\)
10. \(1, 1, 2, 6, \ldots\)

Рішення

Ні, ти не можеш. Ви можете здогадатися, що наступні терміни:

1. \(7\)
2. \(-3\)
3. \(4\)
4. 64
5. 49
6. 34
7. 28
8. 17
9. \(-2\)
10. \(24\)

Насправді це наступні терміни послідовностей, які я мав на увазі, коли складав приклад, але немає можливості переконатися, що вони правильні.

Все-таки ми будемо часто це робити. Враховуючи перші кілька термінів послідовності, ми можемо запитати, що шаблон у послідовності передбачає наступні члени.

Враховуючи, що жодної кількості початкових членів у послідовності не достатньо, щоб точно сказати, з якою послідовністю ми маємо справу, нам потрібно знайти інший спосіб задати послідовність. Розглянемо два способи зробити це:

Закрита формула

Закрита формула для послідовності\((a_n)_{n\in\N}\) - це формула для\(a_n\) використання фіксованого кінцевого числа операцій на\(n\text{.}\) Це те, що ви зазвичай думаєте про формулу в так\(n\text{,}\) само, як якби ви визначали функцію з точки зору\(n\) (тому що це саме те, що ви є. робити).

Рекурсивне визначення

Рекурсивне визначення (іноді його називають індуктивним визначенням) для послідовності\((a_n)_{n\in\N}\) складається з рекуррентного відношення: рівняння, що пов'язує член послідовності з попередніми термінами (терміни з меншим індексом) та початкової умови: список декількох члени послідовності (на одиницю менше, ніж кількість членів у співвідношенні повторення).

Простіше зрозуміти, що тут відбувається на прикладі:

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Ось кілька закритих формул для послідовностей:

• \(a_n = n^2\text{.}\)
• \(\d a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
• \(\d a_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^{-n}}{5}\text{.}\)

Зверніть увагу, в кожному випадку, якщо вам дано,\(n\text{,}\) ви можете обчислити\(a_n\) безпосередньо: просто підключіть.\(n\text{.}\) Наприклад, щоб знайти\(a_3\) в другій послідовності, просто обчислити\(a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6\text{.}\)

Ось кілька рекурсивних визначень для послідовностей:

• \(a_n = 2a_{n-1}\)з\(a_0 = 1\text{.}\)
• \(a_n = 2a_{n-1}\)з\(a_0 = 27\text{.}\)
• \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\)з\(a_0 = 0\) і\(a_1 = 1\text{.}\)

У цих випадках, якщо вам дано,\(n\text{,}\) ви не можете розрахувати\(a_n\) безпосередньо, вам спочатку потрібно знайти\(a_{n-1}\) (або\(a_{n-1}\) і\(a_{n-2}\)). У другій послідовності, щоб знайти\(a_3\) ви б,\(2a_2\text{,}\) але щоб знайти,\(a_2 = 2a_1\) ми повинні знати\(a_1 = 2a_0\text{.}\) Ми знаємо це, щоб ми могли простежити через ці рівняння, щоб знайти\(a_1 = 54\text{,}\)\(a_2 = 108\) і нарешті.\(a_3 = 216\text{.}\)

Досліджуйте!

У вас є велика колекція\(1\times 1\) квадратів і\(1\times 2\) доміно. Ви хочете розташувати їх, щоб зробити\(1 \times 15\) смужку. Скільки способів ви можете це зробити?

1. Почніть зі збору даних. Скільки довжини\(1\times 1\) смужок можна зробити? Скільки\(1\times 2\) смужок? Скільки\(1\times 3\) смужок? І так далі.
2. Як пов'язані\(1 \times 4\) смужки\(1\times 3\) та смужки зі\(1\times 5\) смужками?
3. Скільки\(1\times 15\) смужок можна зробити?
4. Що робити, якщо я попрошу вас знайти кількість\(1\times 1000\) смужок? Чи буде корисним метод, який ви використовували для обчислення кількості\(1 \times 15\) смужок?

Ви можете задатися питанням, чому ми будемо турбувати рекурсивні визначення для послідовностей. Адже знайти\(a_n\) з рекурсивним визначенням важче, ніж із замкнутою формулою. Це правда, але знайти замкнуту формулу для послідовності також важче, ніж знайти рекурсивне визначення. Отже, щоб знайти корисну закриту формулу, ми могли б спочатку знайти рекурсивне визначення, а потім використовувати це, щоб знайти закриту формулу.

Це не означає, що рекурсивні визначення не корисні при пошуку.\(a_n\text{.}\) Ви завжди можете обчислити\(a_n\) задане рекурсивне визначення, це може зайняти деякий час.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти\(a_6\) в послідовності, визначеній\(a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}\) з\(a_0 = 3\) і\(a_1 = 4\text{.}\)

Рішення

Ми знаємо, що\(a_6 = 2a_5 - a_4\text{.}\) Отже, щоб знайти,\(a_6\) нам потрібно знайти\(a_5\) і\(a_4\text{.}\) Ну

\ почати {рівняння*} a_5 = 2a_4 - a_3\ qquad\ текст {і}\ qquad a_4 = 2a_3 - a_2,\ end {рівняння*}

так що, якщо ми можемо тільки знайти,\(a_3\) і\(a_2\) ми були б встановлені. Звичайно

\ почати {рівняння*} a_3 = 2a_2 - a_1\ qquad\ текст {і}\ qquad a_2 = 2a_1 - a_0,\ end {рівняння*}

тому нам потрібно лише знайти\(a_1\) і\(a_0\text{.}\) Але нам дають ці. Таким чином

\ почати {вирівнювати*} a_0 & = 3\\ a_1 & = 4\\ a_2 & = 2\ cdot 4 - 3 = 5\\ a_3 & = 2\ cdot 5 - 4 = 6\\ a_4 & = 2\ cdot 6 - 5 = 7\ a_5 & = 2\ cdot 7 - 6 = 8\ a_6 & = 2\ cdot 8 - 7 = 9. \ end {вирівнювати*}

Зауважте, що тепер ми можемо вгадати замкнуту формулу для\(n\) го члена послідовності:\(a_n = n+3\text{.}\) Щоб бути впевненим, що це завжди буде працювати, ми могли б підключити цю формулу до рекуррентного відношення:

\ почати {вирівнювати*} 2a_ {n-1} - a_ {n-2} & = 2 ((n-1) + 3) - ((n-2) + 3)\\ & = 2n + 4 - n - 1\\ & = n + 3\\ & = a_n.\ end {align*}

Це не зовсім достатньо, оскільки може бути кілька закритих формул, які задовольняють одному і тому ж рекуррентному відношенню; ми також повинні перевірити, чи наша замкнута формула узгоджується з початковими термінами послідовності. Оскільки\(a_0 = 0 + 3 = 3\) і\(a_1 = 1+3 = 4\) є правильними початковими умовами, тепер ми можемо зробити висновок, що маємо правильну замкнуту формулу.

Пошук замкнутих формул або навіть рекурсивних визначень для послідовностей не є тривіальним. Немає жодного методу для цього. Так само, як і при оцінці інтегралів або розв'язанні диференціальних рівнянь, корисно мати сумку хитрощів, які ви можете застосувати, але іноді немає легкої відповіді.

Один корисний метод полягає в тому, щоб пов'язати задану послідовність з іншою послідовністю, для якої ми вже знаємо замкнуту формулу.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте формули\(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\) і\(a_n = 2^n\) знайдіть замкнуті формули для наступних послідовностей.

1. \((b_n)\text{:}\)\(1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots \text{.}\)
2. \((c_n)\text{:}\)\(3, 5, 9, 17, 33,\ldots \text{.}\)
3. \((d_n)\text{:}\)\(0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \text{.}\)
4. \((e_n)\text{:}\)\(3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots\text{.}\)
5. \((f_n)\text{:}\)\(0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots \text{.}\)
6. \((g_n)\)\(3, 6, 12, 24, 48, \ldots \text{.}\)
7. \((h_n)\text{:}\)\(6, 10, 18, 34, 66, \ldots \text{.}\)
8. \((j_n)\text{:}\)\(15, 33, 57, 87, 123, \ldots\text{.}\)

Рішення

1. Перш ніж сказати, що це неможливо, ми просимо просто знайти замкнуту формулу, яка узгоджується з усіма початковими термінами послідовностей. Звичайно, немає можливості прочитати в свідомості людини, яка записувала цифри, але ми можемо принаймні це зробити.
2. Перші кілька членів\((T_n)_{n\ge 0}\) є\(0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots\) (вони називаються трикутними числами). Перші кілька термінів\((a_n)_{n\ge 0}\) -\(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\text{.}\) Спробуємо знайти формули для заданих послідовностей:
3. \((1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots)\text{.}\)Зверніть увагу, що якщо відняти 1 від кожного члена, ми отримуємо послідовність Таким\((T_n)\text{.}\) чином, ми маємо\(b_n = T_n + 1\text{.}\) Тому закрита формула - це\(b_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1\text{.}\) швидка перевірка перших кількох\(n\) підтверджує, що ми маємо це право.
4. \((3, 5, 9, 17, 33, \ldots )\text{.}\)Кожен член в цій послідовності один більше, ніж сила 2, так що ми могли б здогадатися, закрита формула,\(c_n = a_n+1 = 2^n + 1\text{.}\) якщо ми спробуємо це, хоча, ми отримуємо\(c_0 2^0 + 1 = 2\) і\(c_1 = 2^1 + 1 = 3\text{.}\) ми вимкнені, тому що індекси зрушені. Те, що ми дійсно хочемо, - це\(c_n = a_{n+1}+1\) дати\(c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}\)
5. (\(0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \)). Зверніть увагу, що всі ці терміни є парними. Що станеться, якщо ми враховуємо 2? Отримуємо\((T_n)\text{!}\) Точніше, знаходимо, що\(d_n/2 = T_n\text{,}\) так ця послідовність має замкнуту формулу\(d_n = n(n+1)\text{.}\)
6. \((3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots)\text{.}\)Це все трикутні числа. Однак ми починаємо з 3 як наш початковий термін, а не як наш третій термін. Так що, якби ми могли підключити в 2 замість 0 в формулу для\(T_n\text{,}\) нас буде встановлено. Тому замкнута формула є\(e_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}\) (\(n+3\)звідки взялася\((n+2)+1\)). Думаючи про послідовності як функції, ми робимо горизонтальний зсув на 2:\(e_n = T_{n+2}\) що призведе до зміщення графіка на 2 одиниці вліво.
7. \((0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots )\text{.}\)Спробуйте додати 1 до кожного терміну, і ми отримаємо повноваження 2. Ви можете здогадатися, оскільки кожен термін трохи більше, ніж удвічі перевищує попередній термін (повноваження 2 рівно вдвічі перевищують попередній термін). Закрита формула:\(f_n = 2^{n} - 1\text{.}\)
8. \((3, 6, 12, 24, 48, \ldots )\text{.}\)Ці числа також подвоюються кожен раз, але також всі кратні 3. Розділення кожного на 3 дає 1, 2, 4, 8,... Ага. Отримуємо замкнуту формулу\(g_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}\)
9. \((6, 10, 18, 34, 66, \ldots )\text{.}\)Щоб перейти від одного члена до наступного, ми майже подвоюємо кожен термін. Так що, можливо, ми можемо пов'язати це назад до\(2^n\text{.}\) Так, кожен термін 2 більше, ніж сила 2. Таким чином, ми отримуємо\(h_n = 2^{n+2} + 2\) (\(n+2\)це тому, що перший термін 2 більше, ніж\(2^2\text{,}\) ні\(2^0\)). Крім того, ми могли б пов'язати цю послідовність з другою послідовністю в цьому прикладі: починаючи з 3, 5, 9, 17,... ми бачимо, що ця послідовність вдвічі перевищує терміни з цієї послідовності. Ця послідовність була замкнута формула\(c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}\) Наша послідовність тут буде двічі це, так\(h_n = 2(2^n + 1)\text{,}\) що те ж саме, що ми отримали раніше.
10. \((15, 33, 57, 87, 123, \ldots)\text{.}\)Спробуйте розділити кожен член на 3. Це дає послідовність\(5, 11, 19, 29, 41,\ldots\text{.}\) Тепер додайте 1:\(6, 12, 20, 30, 42, \ldots\text{,}\) який є\((d_n)\) в цьому прикладі, за винятком починаючи з 6 замість 0. Отже, давайте почнемо з формули\(d_n= n(n+1)\text{.}\) Для початку з 6, ми зрушуємо:\((n+2)(n+3)\text{.}\) Але це один занадто багато, так\((n+2)(n+3) - 1\text{.}\) що відніміть 1: Це дає нам нашу послідовність, але ділиться на 3. Так ми хочемо\(j_n = 3((n+2)(n+3) - 1)\text{.}\)