2.1: Визначення

Template:MathJaxLevin

Досліджуйте!

Що далі:

\ begin {рівняння*} 1, ~~11, ~~21, ~~1211, ~~111221, ~~312211, ~~\ ldots\ end {рівняння*}

Послідовність - це просто впорядкований список чисел. Наприклад, ось послідовність: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Це відрізняється від множини,$\N$ тому що, хоча послідовність є повним списком кожного елемента в наборі натуральних чисел, в послідовності ми дуже дбаємо, в якому порядку приходять числа. З цієї причини, коли ми використовуємо змінні для представлення термінів у послідовності, вони будуть виглядати так:

\ begin {рівняння*} a_0, a_1, a_2, a_3,\ ldots\ end {рівняння*}

Щоб посилатися на всю послідовність відразу, ми напишемо$(a_n)_{n\in\N}$$(a_n)_{n\ge 0}\text{,}$ або іноді, якщо ми неохайні, просто$(a_n)$ (в цьому випадку ми припускаємо, що починаємо послідовність з$a_0$).

Ми могли б$a$ замінити на іншу букву, і іноді ми опускаємо$a_0\text{,}$ починаючи з і$a_1\text{,}$ в цьому випадку ми будемо$(a_n)_{n \ge 1}$ використовувати для позначення послідовності в цілому. Числа в індекси називаються індексами (множиною індексу).

Хоча ми часто просто думати про послідовності як впорядкований список чисел, вони дійсно є типом функції. Зокрема, послідовність$(a_n)_{n\ge 0}$ - це функція з доменом,$\N$ де$a_n$ зображення натурального числа$n\text{.}$ Пізніше ми будемо маніпулювати послідовностями приблизно так само, як ви маніпулювали функціями в алгебрі або численні. Ми можемо зрушити послідовність вгору або вниз, додати дві послідовності або запитати швидкість зміни послідовності. Вони робляться точно так, як ви б для функцій.

Тим не менш, зберігаючи суворе математичне визначення на увазі, корисно, ми часто описуємо послідовності, записуючи перші кілька термінів.

Приклад$\PageIndex{1}$

Чи можете ви знайти наступний термін у наступних послідовностях?

1. $7,7,7,7,7, \ldots$
2. $3, -3, 3, -3, 3, \ldots$
3. $1, 5, 2, 10, 3, 15, \ldots$
4. $1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots$
5. $1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$
6. $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$
7. $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$
8. $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$
9. $3, 2, 1, 0, -1, \ldots$
10. $1, 1, 2, 6, \ldots$

Рішення

Ні, ти не можеш. Ви можете здогадатися, що наступні терміни:

1. $7$
2. $-3$
3. $4$
4. 64
5. 49
6. 34
7. 28
8. 17
9. $-2$
10. $24$

Насправді це наступні терміни послідовностей, які я мав на увазі, коли складав приклад, але немає можливості переконатися, що вони правильні.

Все-таки ми будемо часто це робити. Враховуючи перші кілька термінів послідовності, ми можемо запитати, що шаблон у послідовності передбачає наступні члени.

Враховуючи, що жодної кількості початкових членів у послідовності не достатньо, щоб точно сказати, з якою послідовністю ми маємо справу, нам потрібно знайти інший спосіб задати послідовність. Розглянемо два способи зробити це:

Закрита формула

Закрита формула для послідовності$(a_n)_{n\in\N}$ - це формула для$a_n$ використання фіксованого кінцевого числа операцій на$n\text{.}$ Це те, що ви зазвичай думаєте про формулу в так$n\text{,}$ само, як якби ви визначали функцію з точки зору$n$ (тому що це саме те, що ви є. робити).

Рекурсивне визначення

Рекурсивне визначення (іноді його називають індуктивним визначенням) для послідовності$(a_n)_{n\in\N}$ складається з рекуррентного відношення: рівняння, що пов'язує член послідовності з попередніми термінами (терміни з меншим індексом) та початкової умови: список декількох члени послідовності (на одиницю менше, ніж кількість членів у співвідношенні повторення).

Простіше зрозуміти, що тут відбувається на прикладі:

Приклад$\PageIndex{2}$

Ось кілька закритих формул для послідовностей:

• $a_n = n^2\text{.}$
• $\d a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}$
• $\d a_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^{-n}}{5}\text{.}$

Зверніть увагу, в кожному випадку, якщо вам дано,$n\text{,}$ ви можете обчислити$a_n$ безпосередньо: просто підключіть.$n\text{.}$ Наприклад, щоб знайти$a_3$ в другій послідовності, просто обчислити$a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6\text{.}$

Ось кілька рекурсивних визначень для послідовностей:

• $a_n = 2a_{n-1}$з$a_0 = 1\text{.}$
• $a_n = 2a_{n-1}$з$a_0 = 27\text{.}$
• $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$з$a_0 = 0$ і$a_1 = 1\text{.}$

У цих випадках, якщо вам дано,$n\text{,}$ ви не можете розрахувати$a_n$ безпосередньо, вам спочатку потрібно знайти$a_{n-1}$ (або$a_{n-1}$ і$a_{n-2}$). У другій послідовності, щоб знайти$a_3$ ви б,$2a_2\text{,}$ але щоб знайти,$a_2 = 2a_1$ ми повинні знати$a_1 = 2a_0\text{.}$ Ми знаємо це, щоб ми могли простежити через ці рівняння, щоб знайти$a_1 = 54\text{,}$$a_2 = 108$ і нарешті.$a_3 = 216\text{.}$

Досліджуйте!

У вас є велика колекція$1\times 1$ квадратів і$1\times 2$ доміно. Ви хочете розташувати їх, щоб зробити$1 \times 15$ смужку. Скільки способів ви можете це зробити?

1. Почніть зі збору даних. Скільки довжини$1\times 1$ смужок можна зробити? Скільки$1\times 2$ смужок? Скільки$1\times 3$ смужок? І так далі.
2. Як пов'язані$1 \times 4$ смужки$1\times 3$ та смужки зі$1\times 5$ смужками?
3. Скільки$1\times 15$ смужок можна зробити?
4. Що робити, якщо я попрошу вас знайти кількість$1\times 1000$ смужок? Чи буде корисним метод, який ви використовували для обчислення кількості$1 \times 15$ смужок?

Ви можете задатися питанням, чому ми будемо турбувати рекурсивні визначення для послідовностей. Адже знайти$a_n$ з рекурсивним визначенням важче, ніж із замкнутою формулою. Це правда, але знайти замкнуту формулу для послідовності також важче, ніж знайти рекурсивне визначення. Отже, щоб знайти корисну закриту формулу, ми могли б спочатку знайти рекурсивне визначення, а потім використовувати це, щоб знайти закриту формулу.

Це не означає, що рекурсивні визначення не корисні при пошуку.$a_n\text{.}$ Ви завжди можете обчислити$a_n$ задане рекурсивне визначення, це може зайняти деякий час.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти$a_6$ в послідовності, визначеній$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$ з$a_0 = 3$ і$a_1 = 4\text{.}$

Рішення

Ми знаємо, що$a_6 = 2a_5 - a_4\text{.}$ Отже, щоб знайти,$a_6$ нам потрібно знайти$a_5$ і$a_4\text{.}$ Ну

\ почати {рівняння*} a_5 = 2a_4 - a_3\ qquad\ текст {і}\ qquad a_4 = 2a_3 - a_2,\ end {рівняння*}

так що, якщо ми можемо тільки знайти,$a_3$ і$a_2$ ми були б встановлені. Звичайно

\ почати {рівняння*} a_3 = 2a_2 - a_1\ qquad\ текст {і}\ qquad a_2 = 2a_1 - a_0,\ end {рівняння*}

тому нам потрібно лише знайти$a_1$ і$a_0\text{.}$ Але нам дають ці. Таким чином

\ почати {вирівнювати*} a_0 & = 3\\ a_1 & = 4\\ a_2 & = 2\ cdot 4 - 3 = 5\\ a_3 & = 2\ cdot 5 - 4 = 6\\ a_4 & = 2\ cdot 6 - 5 = 7\ a_5 & = 2\ cdot 7 - 6 = 8\ a_6 & = 2\ cdot 8 - 7 = 9. \ end {вирівнювати*}

Зауважте, що тепер ми можемо вгадати замкнуту формулу для$n$ го члена послідовності:$a_n = n+3\text{.}$ Щоб бути впевненим, що це завжди буде працювати, ми могли б підключити цю формулу до рекуррентного відношення:

\ почати {вирівнювати*} 2a_ {n-1} - a_ {n-2} & = 2 ((n-1) + 3) - ((n-2) + 3)\\ & = 2n + 4 - n - 1\\ & = n + 3\\ & = a_n.\ end {align*}

Це не зовсім достатньо, оскільки може бути кілька закритих формул, які задовольняють одному і тому ж рекуррентному відношенню; ми також повинні перевірити, чи наша замкнута формула узгоджується з початковими термінами послідовності. Оскільки$a_0 = 0 + 3 = 3$ і$a_1 = 1+3 = 4$ є правильними початковими умовами, тепер ми можемо зробити висновок, що маємо правильну замкнуту формулу.

Пошук замкнутих формул або навіть рекурсивних визначень для послідовностей не є тривіальним. Немає жодного методу для цього. Так само, як і при оцінці інтегралів або розв'язанні диференціальних рівнянь, корисно мати сумку хитрощів, які ви можете застосувати, але іноді немає легкої відповіді.

Один корисний метод полягає в тому, щоб пов'язати задану послідовність з іншою послідовністю, для якої ми вже знаємо замкнуту формулу.

Приклад$\PageIndex{4}$

Використовуйте формули$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ і$a_n = 2^n$ знайдіть замкнуті формули для наступних послідовностей.

1. $(b_n)\text{:}$$1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots \text{.}$
2. $(c_n)\text{:}$$3, 5, 9, 17, 33,\ldots \text{.}$
3. $(d_n)\text{:}$$0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots \text{.}$
4. $(e_n)\text{:}$$3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots\text{.}$
5. $(f_n)\text{:}$$0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots \text{.}$
6. $(g_n)$$3, 6, 12, 24, 48, \ldots \text{.}$
7. $(h_n)\text{:}$$6, 10, 18, 34, 66, \ldots \text{.}$
8. $(j_n)\text{:}$$15, 33, 57, 87, 123, \ldots\text{.}$

Рішення

1. Перш ніж сказати, що це неможливо, ми просимо просто знайти замкнуту формулу, яка узгоджується з усіма початковими термінами послідовностей. Звичайно, немає можливості прочитати в свідомості людини, яка записувала цифри, але ми можемо принаймні це зробити.
2. Перші кілька членів$(T_n)_{n\ge 0}$ є$0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$ (вони називаються трикутними числами). Перші кілька термінів$(a_n)_{n\ge 0}$ -$1, 2, 4, 8, 16, \ldots\text{.}$ Спробуємо знайти формули для заданих послідовностей:
3. $(1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, \ldots)\text{.}$Зверніть увагу, що якщо відняти 1 від кожного члена, ми отримуємо послідовність Таким$(T_n)\text{.}$ чином, ми маємо$b_n = T_n + 1\text{.}$ Тому закрита формула - це$b_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1\text{.}$ швидка перевірка перших кількох$n$ підтверджує, що ми маємо це право.
4. $(3, 5, 9, 17, 33, \ldots )\text{.}$Кожен член в цій послідовності один більше, ніж сила 2, так що ми могли б здогадатися, закрита формула,$c_n = a_n+1 = 2^n + 1\text{.}$ якщо ми спробуємо це, хоча, ми отримуємо$c_0 2^0 + 1 = 2$ і$c_1 = 2^1 + 1 = 3\text{.}$ ми вимкнені, тому що індекси зрушені. Те, що ми дійсно хочемо, - це$c_n = a_{n+1}+1$ дати$c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}$
5. ($0, 2, 6, 12, 20, 30, 42,\ldots$). Зверніть увагу, що всі ці терміни є парними. Що станеться, якщо ми враховуємо 2? Отримуємо$(T_n)\text{!}$ Точніше, знаходимо, що$d_n/2 = T_n\text{,}$ так ця послідовність має замкнуту формулу$d_n = n(n+1)\text{.}$
6. $(3, 6, 10, 15, 21, 28, \ldots)\text{.}$Це все трикутні числа. Однак ми починаємо з 3 як наш початковий термін, а не як наш третій термін. Так що, якби ми могли підключити в 2 замість 0 в формулу для$T_n\text{,}$ нас буде встановлено. Тому замкнута формула є$e_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}$ ($n+3$звідки взялася$(n+2)+1$). Думаючи про послідовності як функції, ми робимо горизонтальний зсув на 2:$e_n = T_{n+2}$ що призведе до зміщення графіка на 2 одиниці вліво.
7. $(0, 1, 3, 7, 15, 31, \ldots )\text{.}$Спробуйте додати 1 до кожного терміну, і ми отримаємо повноваження 2. Ви можете здогадатися, оскільки кожен термін трохи більше, ніж удвічі перевищує попередній термін (повноваження 2 рівно вдвічі перевищують попередній термін). Закрита формула:$f_n = 2^{n} - 1\text{.}$
8. $(3, 6, 12, 24, 48, \ldots )\text{.}$Ці числа також подвоюються кожен раз, але також всі кратні 3. Розділення кожного на 3 дає 1, 2, 4, 8,... Ага. Отримуємо замкнуту формулу$g_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}$
9. $(6, 10, 18, 34, 66, \ldots )\text{.}$Щоб перейти від одного члена до наступного, ми майже подвоюємо кожен термін. Так що, можливо, ми можемо пов'язати це назад до$2^n\text{.}$ Так, кожен термін 2 більше, ніж сила 2. Таким чином, ми отримуємо$h_n = 2^{n+2} + 2$ ($n+2$це тому, що перший термін 2 більше, ніж$2^2\text{,}$ ні$2^0$). Крім того, ми могли б пов'язати цю послідовність з другою послідовністю в цьому прикладі: починаючи з 3, 5, 9, 17,... ми бачимо, що ця послідовність вдвічі перевищує терміни з цієї послідовності. Ця послідовність була замкнута формула$c_n = 2^{n+1} + 1\text{.}$ Наша послідовність тут буде двічі це, так$h_n = 2(2^n + 1)\text{,}$ що те ж саме, що ми отримали раніше.
10. $(15, 33, 57, 87, 123, \ldots)\text{.}$Спробуйте розділити кожен член на 3. Це дає послідовність$5, 11, 19, 29, 41,\ldots\text{.}$ Тепер додайте 1:$6, 12, 20, 30, 42, \ldots\text{,}$ який є$(d_n)$ в цьому прикладі, за винятком починаючи з 6 замість 0. Отже, давайте почнемо з формули$d_n= n(n+1)\text{.}$ Для початку з 6, ми зрушуємо:$(n+2)(n+3)\text{.}$ Але це один занадто багато, так$(n+2)(n+3) - 1\text{.}$ що відніміть 1: Це дає нам нашу послідовність, але ділиться на 3. Так ми хочемо$j_n = 3((n+2)(n+3) - 1)\text{.}$