2: Послідовності

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.S: Підрахунок (резюме)
- 2.1: Визначення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Послідовність - це просто впорядкований список чисел. Наприклад, ось послідовність: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Це відрізняється від множини N, тому що, хоча послідовність є повним списком кожного елемента в наборі натуральних чисел, в послідовності ми дуже дбаємо, в якому порядку приходять числа.

2.1: Визначення
Хоча ми часто просто думати про послідовності як впорядкований список чисел, вони дійсно є типом функції. Пізніше ми будемо маніпулювати послідовностями приблизно так само, як ви маніпулювали функціями в алгебрі чи численні. Ми можемо зрушити послідовність вгору або вниз, додати дві послідовності або запитати швидкість зміни послідовності. Вони робляться точно так, як ви б для функцій.
2.2: Арифметичні та геометричні послідовності
Якщо терміни послідовності відрізняються константою, ми говоримо, що послідовність є арифметичною. Послідовність називається геометричною, якщо відношення між послідовними долями постійне.
2.3: Підгонка поліномів
Поки ми бачили методи знаходження замкнутих формул для арифметичних і геометричних послідовностей. Оскільки ми знаємо, як обчислити суму перших n термінів арифметичних та геометричних послідовностей, ми можемо обчислити замкнуті формули для послідовностей, які мають арифметичну (або геометричну) послідовність відмінностей між долями. Але що, якщо ми розглянемо послідовність, яка є сумою перших n членів послідовності, яка сама по собі сума арифметичної послідовності?
2.4: Вирішення відносин повторення
Ми бачили, що часто легше знайти рекурсивні визначення, ніж закриті формули. На щастя для нас, існує кілька методик перетворення рекурсивних визначень в закриті формули. Це називається розв'язанням рекуррентних відносин. Нагадаємо, що рекуррентне відношення є рекурсивним визначенням без початкових умов.
2.5: Індукція
Індукція - це стиль аргументу, який ми використовуємо, щоб переконати себе та інших, що математичне твердження завжди вірно. Багато математичні твердження можна довести, просто пояснивши, що вони означають. Інших дуже важко довести - насправді є відносно прості математичні твердження, які ще ніхто не знає, як довести. Щоб полегшити відкриття доказів, важливо бути знайомим з деякими стандартними стилями аргументів
2.E: Послідовності (вправи)
2.S: Послідовності (резюме)
У цьому розділі ми досліджували послідовності та математичну індукцію. Спочатку вони можуть здатися не зовсім пов'язаними, але є посилання: рекурсивні міркування. Коли у нас багато випадків (може бути, нескінченно багато), часто простіше описати конкретний випадок, сказавши, як він відноситься до інших випадків, замість того, щоб описувати його абсолютно. Для послідовностей ми можемо описати n -й термін у послідовності, сказавши, як він пов'язаний з попереднім терміном.