2.3: Підгонка поліномів

Template:MathJaxLevin

Досліджуйте!

Стандартна$8 \times 8$ шахова дошка містить 64 квадрата. Власне, це всього лише кількість одиниць квадратів. Скільки квадратів всіх розмірів знаходиться на шахівниці? Почніть з менших дощок:$1\times 1\text{,}$$2 \times 2\text{,}$$3\times 3\text{,}$ і т.д. Знайдіть формулу для загальної кількості квадратів на$n\times n$ дошці.

Поки ми бачили методи знаходження замкнутих формул для арифметичних і геометричних послідовностей. Оскільки ми знаємо, як обчислити суму перших$n$ членів арифметичних та геометричних послідовностей, ми можемо обчислити замкнуті формули для послідовностей, які мають арифметичну (або геометричну) послідовність відмінностей між долями. Але що, якщо ми розглянемо послідовність, яка є сумою перших$n$ членів послідовності, яка сама по собі сума арифметичної послідовності?

Перш ніж ми занадто захопимося, розглянемо приклад: Скільки квадратів (всіх розмірів) є на шаховій дошці? Шахова дошка складається з$64$ квадратів, але ми також хочемо розглянути квадрати більшої довжини сторони. Незважаючи на те, що ми розглядаємо лише$8 \times 8$ дошку, вже є на що розраховувати. Отже, натомість давайте побудуємо послідовність: перший член буде кількість квадратів на$1 \times 1$ дошці, другий член - кількість квадратів на$2 \times 2$ дошці тощо. Трохи подумавши, приходимо до послідовності

\ begin {рівняння*} 1,5,14,30, 55,\ ldots\ end {рівняння*}

Ця послідовність не арифметична (або геометрична для цього питання), але, можливо, це послідовність відмінностей. За відмінності отримуємо

\ begin {рівняння*} 4, 9, 16, 25,\ ldots\ end {рівняння*}

Не величезний сюрприз: один із способів підрахувати кількість квадратів у$4 \times 4$ шахівниці - це помітити, що є$16$ квадрати з довжиною сторони 1, 9 з довжиною сторони 2, 4 з довжиною сторони 3 та 1 з довжиною сторони 4. Таким чином, вихідна послідовність просто сума квадратів. Тепер ця послідовність відмінностей не є арифметичною, оскільки це послідовність відмінностей (відмінності відмінностей вихідної послідовності) не є постійною. По суті, ця послідовність другої відмінності

\ begin {рівняння*} 5, 7, 9,\ ldots\ end {рівняння*}

яка є арифметичною послідовністю (з постійною різницею 2). Зверніть увагу, що наша початкова послідовність мала треті відмінності (тобто відмінності відмінностей відмінностей оригіналу) константу. Назвемо таку послідовність$\Delta^3$ -константа. Послідовність$1, 4, 9, 16, \ldots$ має другу відмінність постійної, тому вона буде$\Delta^2$ -постійною послідовністю. Загалом, ми скажемо, що послідовність $\Delta^k$- це постійна послідовність, якщо$k$ ті відмінності постійні.

Приклад$\PageIndex{1}$

Які з наступних послідовностей є$\Delta^k$ -постійними для деякого значення$k\text{?}$

1. $2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots\text{.}$
2. $1, 8, 27, 64, 125, 216, \ldots\text{.}$
3. $1,2,4,8,16,64,128,\ldots\text{.}$

Рішення

1. Це послідовність з Прикладу 2.2.6, в якій ми знайшли замкнуту формулу, розпізнавши послідовність як послідовність часткових сум арифметичної послідовності. Дійсно, послідовність перших відмінностей є$1,4,7, 10, 13,\ldots\text{,}$ яка сама має відмінності$3,3,3,3,\ldots\text{.}$ Таким чином$2, 3, 7, 14, 24, 37,\ldots$ є$\Delta^2$ -постійна послідовність.
2. Це ідеальні кубики. Послідовність перших відмінностей - це$7, 19, 37, 61, 91, \ldots\text{;}$ послідовність другої відмінності -$12, 18, 24, 30,\ldots\text{;}$ послідовність третіх відмінностей є постійною:$6,6,6,\ldots\text{.}$ Таким чином, ідеальні куби є$\Delta^3$ постійною послідовністю.
3. Якщо ми візьмемо перші відмінності, ми отримаємо$1,2,4,8,16,\ldots\text{.}$ Зачекайте, що? Ось з цієї послідовності ми почали. Тож прийняття другої відмінності дасть нам ту саму послідовність знову. Незалежно від того, скільки разів ми повторюємо це, ми завжди матимемо однакову послідовність, що, зокрема, означає, що ніяка кінцева кількість відмінностей не буде постійною. Таким чином, ця послідовність не$\Delta^k$ -постійна для будь-якого$k\text{.}$

$\Delta^0$Послідовності -константи самі по собі постійні, тому замкнуту формулу для них легко обчислити (це просто константа). $\Delta^1$Послідовності -константи є арифметичними, і у нас є метод пошуку замкнених формул для них, а також. Кожна$\Delta^2$ -константна послідовність - це сума арифметичної послідовності, тому ми можемо знайти формули для них, а також. Але зверніть увагу, що формат замкнутої формули для$\Delta^2$ -константної послідовності завжди квадратичний. Наприклад, квадратні числа$\Delta^2$ - константа із замкнутою формулою$a_n= n^2\text{.}$ Трикутні числа (також$\Delta^2$ -константа) мають замкнуту формулу,$a_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}$ яка при множенні дає вам також$n^2$ термін. Виявляється, що кожен раз, коли ми збільшуємо складність послідовності, тобто збільшуємо кількість відмінностей до отримання констант, ми також збільшуємо ступінь полінома, який використовується для замкнутої формули. Ми переходимо від постійної до лінійної до квадратичної. Послідовність відмінностей між термінами говорить нам щось про швидкість зростання послідовності. Якщо послідовність зростає з постійною швидкістю, то формула для послідовності буде лінійною. Якщо послідовність зростає зі швидкістю, яка сама по собі зростає з постійною швидкістю, то формула квадратична. Ви бачили це в іншому місці: якщо функція має постійну другу похідну (швидкість зміни), то функція повинна бути квадратичною.

Це працює в цілому:

скінченні відмінності

Закрита формула для послідовності буде градусним$k$ поліномом тоді і тільки тоді, коли послідовність$\Delta^k$ -константа (тобто$k$ -я послідовність відмінностей постійна).

Це говорить нам про те, що послідовність чисел квадратів на шахівниці,$1, 5, 14, 30, 55, \ldots\text{,}$ яку ми вважали$\Delta^3$ -постійною, матиме кубічний (поліном 3 ступеня) для своєї замкнутої формули.

Тепер, коли ми знаємо, який формат займе замкнута формула для послідовності, набагато простіше насправді знайти замкнуту формулу. У випадку, якщо замкнута формула є$k$ градусним поліномом, нам просто потрібні точки$k+1$ даних, щоб «підігнати» многочлен до даних.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайти формулу для послідовності$3, 7, 14, 24,\ldots\text{.}$ Припустимо$a_1 = 3\text{.}$

Рішення

Спочатку перевірте, чи має формула постійні відмінності на якомусь рівні. Послідовність перших відмінностей -$4, 7, 10, \ldots$ це арифметика, тому послідовність другої відмінності постійна. Послідовність$\Delta^2$ -константа, тому формула для$a_n$ буде поліном 2 ступеня. Тобто ми знаємо, що для деяких констант$a\text{,}$$b\text{,}$ і$c\text{,}$

\ begin {рівняння*} a_n = an^2 + bn + c.\ end {рівняння*}

Тепер знайти$a\text{,}$$b\text{,}$ і$c\text{.}$ по-перше, непогано б знати, що$a_0$ таке, так як підключення до мережі значно$n = 0$ спрощує вищевказану формулу. У цьому випадку$a_0 = 2$ (працювати назад від послідовності постійних відмінностей). Таким чином

\ begin {рівняння*} a_0 = 2 = a\ cdot 0^2 + b\ cdot 0 + c,\ end {рівняння*}

так що$c = 2\text{.}$ тепер підключіть$n =1$ і$n = 2\text{.}$ ми отримуємо

\ begin {рівняння*} a_1 = 3 = a + b + 2\ end {рівняння*}\ begin {рівняння*} a_2 = 7 = a4 + b 2 + 2. \ end {рівняння*}

На даний момент у нас є два (лінійні) рівняння і два невідомих, тому ми можемо вирішити систему для$a$ і$b$ (використовуючи підстановку або елімінацію або навіть матриці). Знаходимо$a = \frac{3}{2}$ і$b = \frac{-1}{2}\text{,}$ так$a_n = \frac{3}{2} n^2 - \frac{1}{2}n + 2\text{.}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть замкнуту формулу для кількості квадратів на$n \times n$ шахівниці.

Рішення

Ми бачили, що$1, 5, 14, 30, 55, \ldots$ послідовність$\Delta^3$ -константа, тому ми шукаємо поліном 3 ступеня. Тобто,

\ begin {рівняння*} a_n = an^3 + bn^2 + cn + d.\ end {рівняння*}

Ми можемо знайти,$d$ якщо ми знаємо, що$a_0$ таке. Працюючи назад від третьої відмінності, знаходимо$a_0 = 0$ (не дивно, так як квадратів на$0\times 0$ шаховій дошці немає). Таким чином$d = 0\text{.}$ Тепер підключіть$n = 1\text{,}$$n =2\text{,}$ і$n =3\text{:}$

\ почати {вирівнювати*} 1 = & а + б + с\\ 5 = & 8а + 4b + 2c\\ 14 = & 27a + 9b + 3c. \ end {вирівнювати*}

Якщо вирішити цю систему рівнянь, то отримаємо$a = \frac{1}{3}\text{,}$$b = \frac{1}{2}$ і$c = \frac{1}{6}\text{.}$ тому кількість квадратів на$n \times n$ шаховій дошці дорівнює$a_n = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n\text{.}$

Примітка: Оскільки проблема квадратів на шахівниці дійсно запитує суму квадратів, тепер у нас є хороша формула для$\d\sum_{k=1}^n k^2\text{.}$

Не всі послідовності матимуть поліноми як замкнуту формулу. Ми можемо використовувати теорію скінченних відмінностей для їх ідентифікації.

Приклад$\PageIndex{4}$

Визначте, чи можна описати наступні послідовності поліномом, і якщо так, то якого ступеня.

1. $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$
2. $0, 7, 50, 183, 484, 1055, \ldots$
3. $1,1,2,3,5,8,13,\ldots$

Рішення

1. Як ми бачили в прикладі 2.3.1, ця послідовність не є$\Delta^k$ постійною для будь-якої$k\text{.}$ Тому замкнута формула для послідовності не є поліномом. Насправді ми знаємо замкнуту формулу,$a_n = 2^n\text{,}$ яка зростає швидше, ніж будь-який многочлен (так що це не многочлен).
2. Послідовність перших відмінностей є$7, 43, 133, 301, 571,\ldots\text{.}$ Друга відмінність:$36, 90, 168, 270,\ldots\text{.}$ Третя різниця:$54, 78, 102,\ldots\text{.}$ Четверті відмінності:$24, 24, \ldots\text{.}$ Наскільки ми можемо сказати, ця послідовність відмінностей є постійною, тому послідовність$\Delta^4$ -постійна, і як така замкнута формула є поліном 4 ступеня.
3. Це послідовність Фібоначчі. Послідовність перших відмінностей друга відмінності є$1, 0, 1, 1, 2, 3, 5\ldots\text{.}$ Ми помічаємо, що після перших кількох членів, ми отримуємо початкову послідовність назад.$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots\text{,}$ Так що постійних відмінностей ніколи не буде, тому замкнута формула для послідовності Фібоначчі не є поліномом.