1.S: Підрахунок (резюме)

Досліджуйте!

Припустимо, у вас є величезна коробка тваринних сухариків, що містить багато кожного з 10 різних тварин. Для підрахунку питань нижче уважно вивчіть їх схожість і відмінності, а потім дайте відповідь. Відповіді є одними з наступних:

\(P(10,6)\qquad\)

\({10 \choose 6}\qquad\)

\(10^6\qquad\)

\({15 \choose 9}.\)

1. Скільки парадів тварин, що містять 6 крекерів, ви можете вишикуватися?
2. Скільки тваринних парадів з 6 крекерів ви можете вибудувати так, щоб тварини з'являлися в алфавітному порядку?
3. Скільки способів ви могли б вибудувати 6 різних тварин в алфавітному порядку?
4. Скільки способів ви могли б вибудувати 6 різних тварин, якщо вони можуть прийти в будь-якому порядку?
5. Скільки способів ви могли б дати 6 дітям по одній тварині зломщик кожен?
6. Скільки способів ви могли б дати 6 дітям по одному тваринному зломщику кожен, щоб жодне і те ж тварина не отримало двох дітей?
7. Скільки способів ви могли б дати 6 жирафи 10 дітям?
8. Напишіть питання про те, щоб давати дітям сухарі для тварин, що має відповідь\({10\choose 6}\text{.}\)

З усіма різними методами підрахунку, які ми освоїли в цьому останньому розділі, може бути важко знати, коли застосовувати яку техніку. Дійсно, дуже легко змішатися і використовувати неправильний метод підрахунку для даної проблеми. Ви стаєте краще з практикою. Коли ви практикуєте, ви починаєте помічати деякі тенденції, які можуть допомогти вам розрізнити типи проблем підрахунку. Ось кілька пропозицій, які можуть бути корисними при вирішенні питання про те, як вирішити проблему підрахунку та перевірити, чи правильне ваше рішення.

• Пам'ятайте, що ви підраховуєте кількість елементів в деякому списку результатів. Запишіть частину цього списку. Запишіть елемент в середині списку - як ви вирішуєте, чи дійсно ваш елемент знаходиться в списку. Чи не могли б ви отримати цей елемент більше одного разу, використовуючи запропоновану відповідь?
• Якщо генерація елемента у списку передбачає вибір чогось (наприклад, вибір листа або вибір позиції, щоб поставити лист тощо), чи можна повторювати вибрані вами речі? Пам'ятайте, що перестановки та комбінації вибирають об'єкти з набору без повторів.
• Чи має значення порядок? Будьте обережні тут і будьте впевнені, що ви знаєте, що ваша відповідь насправді означає. Зазвичай ми говоримо, що порядок має значення, коли ви отримуєте різні результати, коли одні й ті ж об'єкти вибираються в різних порядках. Комбінації і «Stars & Bars» використовуються, коли порядок не має значення.
• Є чотири можливості, коли мова йде про порядок і повторюється. Якщо порядок має значення і повторення дозволені, відповідь буде виглядати як\(n^k\text{.}\) Якщо порядок має значення і повторення не дозволені, у нас є\(P(n,k)\text{.}\) Якщо замовлення не має значення і повторення дозволені, використовуйте зірки та бари. Якщо порядок не має значення і повторення заборонено, використовуйте\({n\choose k}\text{.}\) Але будьте обережні: це стосується лише тоді, коли ви вибираєте речі, і ви повинні переконатися, що ви точно знаєте, що вибираєте, перш ніж визначати, в якому випадку ви перебуваєте.
• Подумайте про те, як би ви представляли свою проблему підрахунку з точки зору наборів або функцій. Ми знаємо, як рахувати різні види множин і різні типи функцій.
• Як ми бачили з комбінаторними доказами, часто можна вирішити проблему підрахунку більш ніж одним способом. Зробіть це і порівняйте свої числові відповіді. Якщо вони не збігаються, щось не так.

Хоча ми розглянули багато методів підрахунку, ми насправді лише подряпали поверхню великого предмета перерахувальної комбінаторики. Є математики, які роблять оригінальні дослідження в цій галузі, навіть коли ви читаєте це. Підрахунок може бути дуже важким.

У наступному розділі ми підходимо до підрахунку питань з зовсім іншого напрямку, і при цьому відповімо на нескінченно багато питань підрахунку одночасно. Ми створимо послідовності відповідей на пов'язані питання.

Огляд глави

1

У вас є 9 подарунків, щоб подарувати своїм 4 дітям. Скільки способів це можна зробити, якщо:

1. Подарунки ідентичні, і кожен малюк отримує хоча б один подарунок?
2. Подарунки ідентичні, і деякі діти можуть отримати не подарунки?
3. Подарунки унікальні, і деякі діти можуть отримати не подарунки?
4. Подарунки унікальні, і кожен малюк отримує хоча б один подарунок?

Відповідь

1. \({8 \choose 3}\) ways, after giving one present to each kid, you are left with 5 presents (stars) which need to be divide among the 4 kids (giving 3 bars).
2. \({12 \choose 3}\) ways. You have 9 stars and 3 bars.
3. \(4^9\text{.}\) You have 4 choices for whom to give each present. This is like making a function from the set of presents to the set of kids.
4. \(4^9 - \left[{4 \choose 1}3^9 - {4\choose 2}2^9 + {4 \choose 3}1^9 \right]\) ways. Now the function from the set of presents to the set of kids must be surjective.

2

Для кожної з наступних проблем підрахунку скажіть, чи є відповідь\({10\choose 4}\text{,}\)\(P(10,4)\text{,}\) чи ні. Якщо ви відповідаєте «ні», скажіть, якою має бути відповідь.

1. Скільки там найкоротших ґратчастих шляхів від\((0,0)\) до\((10,4)\text{?}\)
2. Якщо у вас 10 краваток-метеликів, і ви хочете вибрати 4 з них на наступний тиждень, скільки варіантів у вас є?
3. Припустимо, у вас є 10 краватків-метеликів, і ви будете носити по одному на кожен з наступних 4 днів. Скільки варіантів у вас є?
4. Якщо ви хочете носити 4 зі своїх 10 краватки-метелики наступного тижня (з понеділка по неділю), скільки способів це можна досягти?
5. З групи з 10 однокласників, скільки способів ви можете ранжувати своїх топ-4 друзів?
6. Якщо 10 студентів приходять до свого професорського кабінету, але тільки 4 можуть поміститися одночасно, як різні комбінації з 4 студентів можуть побачити професора першим?
7. Скільки слів з 4 букв можна скласти з перших 10 букв алфавіту?
8. Скільки способів можна зробити слово «торт» з перших 10 букв алфавіту?
9. Скільки існує способів розподілити 10 яблук серед 4 дітей?
10. Якщо у вас 10 дітей (і живуть у взутті) та 4 види каш, скільки способів можуть снідати ваші діти?
11. Скільки способів можна розташувати рівно 4 в рядку з 10 двійкових цифр?
12. Ви хочете вибрати 4 однозначні числа, як лото вибирає. Скільки варіантів у вас є?
13. 10 дітей хочуть морозива. У вас є 4 різновиди. Скільки існує способів дати дітям стільки морозива, скільки вони хочуть?
14. Скільки функцій 1-1 є від\(\{1,2,\ldots, 10\}\) до\(\{a,b,c,d\}\text{?}\)
15. Скільки існує суб'єктивних функцій від\(\{1,2,\ldots, 10\}\) до\(\{a,b,c,d\}\text{?}\)
16. Кожен з ваших 10 краватки-метелики відповідають 4 пари підтяжок. Скільки нарядів ви можете зробити?
17. Після вечірки 10 дітей кожен вибирає одну з 4 вечірок. Скільки результатів?
18. Скільки 6-елементних підмножин є у множині\(\{1,2,\ldots, 10\}\)
19. Скільки способів ви можете розділити 11 дітей на 5 команд?
20. Скільки існує рішень,\(x_1 + x_2 + \cdots + x_5 = 6\) де кожен\(x_i\) ненегативний?
21. Ваша група вирушає на гастролі. На відстані їзди 10 міст, але достатньо часу, щоб пограти в 4 з них. Скільки варіантів у вас є для міст у вашому турі?
22. Скільки різних способів ви можете грати в 4 міста, які ви обираєте?
23. З 10 сухих сніданків, доступних, ви хочете мати 4 миски. Скільки способів ви можете це зробити?
24. Доступно 10 типів файлів cookie. Ви хочете зробити 4 печива стек. Скільки різних стеків ви можете зробити?
25. З вашого будинку в (0,0) ви хочете піти або пончик магазин в (5,4) або той, що в (3,6). Скільки шляхів ви могли б пройти?
26. Скільки 10-значних чисел не містять підрядка з 4 повторюваних цифр?

Відповідь

1. Ні. \({14 \choose 4}\) paths.
2. \({10\choose 4}\) bow ties.\(P(10,4)\text{,}\) since order is important.
3. Ні. Припускаючи, що ви будете носити кожен з 4 краватки всього на 4 з 7 днів, без повторів:\({10\choose 4}P(7,4)\text{.}\)
4. \(P(10,4)\text{.}\)\({10\choose 4}\text{.}\)
5. Ні. Так як ви могли повторити букви:\(10^4\text{.}\) If no repeats are allowed, it would be \(P(10,4)\text{.}\)
6. Ні. Власне, «k» - це 11-а буква алфавіту, тому відповідь дорівнює 0. Якби «k» виявився серед перших 10 букв, був би тільки 1 спосіб - запишіть його.
7. Ні. Або\({9\choose 3}\) (if every kid gets an apple) or \({13 \choose 3}\) (if appleless kids are allowed).
8. Ні. Зверніть увагу, що цього не могло бути\({10 \choose 4}\) since the 10 things and 4 things are from different groups. \(4^{10}\text{.}\)
9. \({10 \choose 4}\) - don't be fooled by the “arrange” in there - you are picking 4 out of 10 spots to put the 1's.\({10 \choose 4}\) (assuming order is irrelevant).
10. Ні. \(16^{10}\) (each kid chooses yes or no to 4 varieties).
11. Ні. 0.
12. Ні. \(4^{10} - [{4\choose 1}3^{10} - {4\choose 2}2^{10} + {4 \choose 3}1^{10}]\text{.}\)
13. Ні. \(10\cdot 4\text{.}\)
14. Ні. \(4^{10}\text{.}\)
15. \({10 \choose 4}\) (which is the same as \({10 \choose 6}\)).
16. Ні. Якби всі діти були однаковими, а ви не хотіли порожніх команд, це було б\({10 \choose 4}\text{.}\) Instead, this will be the same as the number of surjective functions from a set of size 11 to a set of size 5.
17. \({10 \choose 4}\text{.}\)\({10 \choose 4}\text{.}\)
18. Ні. \(4!\text{.}\)
19. Ні. Це\({10 \choose 4}\) if you won't repeat any choices. If repetition is allowed, then this becomes \(x_1 + x_2 + \cdots +x_{10} = 4\text{,}\) which has \({13 \choose 9}\) solutions in non-negative integers.
20. Ні. Оскільки повторення типу cookie дозволено, відповідь:\(10^4\text{.}\) Without repetition, you would have \(P(10,4)\text{.}\)
21. \({10 \choose 4}\) since that is equal to \({9 \choose 4} + {9 \choose 3}\text{.}\)
22. Ні. Це буде складна (можливо, PIE) проблема підрахунку.

3

Нагадаємо, ви володієте 3 звичайними краватками і 5 краватками-метеликами. Ви розумієте, що було б нормально носити більше двох зв'язків до інтерв'ю клоуна коледжу.

1. Ви повинні вибрати деякі з ваших краватки для носіння. Все гаразд, від будь-яких зв'язків до всіх зв'язків. Скільки варіантів у вас є?
2. Якщо ви хочете носити хоча б одну звичайну краватку та одну краватку-метелику, але готові носити всі ваші краватки, скільки варіантів у вас є, на які краватки носити?
3. Скільки варіантів у вас є, якщо ви носите рівно 2 з 3 регулярних краватки і 3 з 5 краватки-метелики?
4. Після того, як ви вибрали 2 регулярні та 3 краватки-метелики, у скільки замовлень ви могли б надіти краватки, припускаючи, що у вас повинен бути один з трьох краваток на вершині?

Відповідь

1. \(2^8 = 256\) choices. You have two choices for each tie: wear it or don't.
2. У вас є 7 варіантів для регулярних зв'язків (вибір 8 менше варіант «немає регулярного краватки») і 31 вибір для краватки-метелики (32 всього мінус опція «без краватки»). Таким чином, загальна у вас є\(7 \cdot 31 = 217\) choices.
3. \({3\choose 2}{5\choose 3} = 30\) choices.
4. Виберіть один з 3 краватки-метелики, щоб піти зверху. Потім є 4 варіанти для наступного краватки, 3 для краватки після цього, і так далі. Таким чином\(3\cdot 4! = 72\) choices.

4

Дайте підрахунок питання, де відповідь\(8\cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\) Дайте інше питання, де відповідь\(8 + 3 + 3 + 5\text{.}\)

Відповідь

У вас є 8 фіолетових краватки-метелики, 3 червоні краватки-метелики, 3 сині краватки-метелики та 5 зелених краваток Скільки способів ви можете вибрати один з кожного кольору краватку, щоб взяти з собою в подорож? \(8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\) ways. How many choices do you have for a single bow tie to wear tomorrow? \(8 + 3 + 3 + 5\) choices.

5

Розглянемо п'ятизначні числа\(\alpha = a_1a_2a_3a_4a_5\text{,}\) з кожною цифрою з безлічі\(\{1,2,3,4\}\text{.}\)

1. Скільки таких номерів?
2. Скільки таких чисел, для яких сума цифр парна?
3. Скільки таких чисел містить більше парних цифр, ніж непарні цифри?

Відповідь

1. \(4^5\) numbers.
2. \(4^4\cdot 2\) numbers (choose any digits for the first four digits - then pick either an even or an odd last digit to make the sum even).
3. Нам потрібно 3 і більше парних цифр. 3 парні цифри:\({5 \choose 3}2^3 2^2\text{.}\) 4 even digits: \({5 \choose 4}2^4 2\text{.}\) 5 even digits: \({5 \choose 5}2^5\text{.}\) So all together: \({5 \choose 3}2^3 2^2 + {5 \choose 4}2^4 2 + {5 \choose 5}2^5\) numbers.

6

У недавньому невеликому опитуванні пасажирів авіакомпанії 25 заявили, що вони літали американцями в минулому році, 30 літали Jet Blue, а 20 літали Continental. З них 10 повідомили, що вони летіли на американському і Jet Blue, 12 літали на Jet Blue і Continental, а 7 літали на американських і континентальних. 5 пасажирів прилетіли на всіх трьох авіакомпаніях.

Скільки пасажирів було обстежено? (Припустимо, що результати вище складають все опитування.)

Відповідь

51 пасажир.

7

Нагадаємо, під\(8\) -bit рядками ми маємо на увазі рядки двійкових цифр, довжиною 8.

1. Скільки всього\(8\) -бітових рядків?
2. Скільки\(8\) -bit рядків мають вагу 5?
3. Скільки підмножин множини\(\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\) містять рівно 5 елементів?
4. Поясніть, чому ваші відповіді на частини (b) і (c) однакові. Чому ці питання рівнозначні?

Відповідь

1. \(2^8\) strings.
2. \({8 \choose 5}\) strings.
3. \({8 \choose 5}\) strings.
4. Існує біекція між підмножинами та бітовими рядками: a 1 означає, що елемент у є підмножиною, а 0 означає, що елемент відсутній у підмножині. Щоб отримати підмножину набору елементів 8, ми маємо 8-бітний рядок. Щоб переконатися, що підмножина містить рівно 5 елементів, має бути 5 1, тому вага повинна бути 5.

8

Який коефіцієнт\(x^{10}\) в розширенні\((x+1)^{13} + x^2(x+1)^{17}\text{?}\)

Відповідь

\({13 \choose 10} + {17 \choose 8}\text{.}\)

9

Скільки 8-літерних слів містять рівно 5 голосних (a, e, i, o, u)? Що робити, якщо повторні листи не допускалися?

Відповідь

З повторюваними літерами допускається:\({8 \choose 5}5^5 21^3\) words. Without repeats: \({8 \choose 5}5! P(21, 3)\) words.

10

Для кожного з перерахованих нижче знайдіть кількість найкоротших шляхів решітки, від\((0,0)\)\((8,8)\) яких:

1. пройти через точку\((2,3)\text{.}\)
2. уникати (не проходити через) точки\((7,5)\text{.}\)
3. або пройти через\((2,3)\) або\((5,7)\) (або обидва).

Відповідь

1. \({5 \choose 2}{11 \choose 6}\) paths.
2. \({16 \choose 8} - {12 \choose 7}{4 \choose 1}\) paths.
3. \({5 \choose 2}{11 \choose 6} + {12 \choose 5}{4 \choose 3} - {5 \choose 2}{7 \choose 3}{4 \choose 3}\) paths.

11

Ви живете в Grid-Town на розі 2-го і 3-го, і працюєте в будівлі на розі 10-го і 13-го. Скільки маршрутів, які доставляють вас з дому на роботу, а потім додому, але іншим маршрутом?

Відповідь

\({18 \choose 8}\left({18 \choose 8} - 1\right)\) routes.

12

Скільки 10-бітних рядків починаються з\(111\) або закінчуються на\(101\) або обидва?

Відповідь

\(2^7 + 2^7 - 2^4\) strings (using PIE).

13

Скільки 10-бітних рядків вагою 6 починаються з\(111\) або закінчуються\(101\) або обидва?

Відповідь

\({7 \choose 3} + {7 \choose 4} - {4 \choose 1}\) strings.

14

Скільки 6 літерних слів, зроблених з букв\(a,b,c,d,e,f\) без повторів, не містять підслова «погано» в (а) послідовних літерах? або (б) необов'язково послідовні літери (але по порядку)?

Відповідь

(а)\(6! - 4\cdot 3!\) words. (b) \(6! - {6 \choose 3}3!\) words.

15

Поясніть, чому використання ґратчастих шляхів\(\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n\text{.}\)

Відповідь

\(2^n\) is the number of lattice paths which have length \(n\text{,}\) since for each step you can go up or right. Such a path would end along the line \(x + y = n\text{.}\) So you will end at \((0,n)\text{,}\) or \((1,n-1)\) or \((2, n-2)\) or … or \((n,0)\text{.}\) Counting the paths to each of these points separately, give \({n \choose 0}\text{,}\) \({n \choose 1}\text{,}\) \({n \choose 2}\text{,}\) …, \({n \choose n}\) (each time choosing which of the \(n\) steps to be to the right). These two methods count the same quantity, so are equal.

16

Припустимо, у вас є 20 однодоларові купюри, щоб видати як призи вашим топ-5 дискретних студентів математики. Скільки способів можна це зробити, якщо:

1. Кожен з 5 студентів отримує щонайменше 1 долар?
2. Деякі студенти можуть нічого не отримати?
3. Кожен студент отримує мінімум 1 долар, але не більше 7 доларів?

Підказка

Зірки і бари.

Відповідь

1. \({19 \choose 4}\) ways.
2. \({24 \choose 4}\) ways.
3. \({19 \choose 4} - \left[{5 \choose 1}{12 \choose 4} - {5 \choose 2}{5 \choose 4} \right]\) ways.

17

Скільки функцій\(f: \{1,2,3,4,5\} \to \{a,b,c,d,e\}\) є задовольняють:

1. \(f(1) = a\)або\(f(2) = b\) (або обидва)?
2. \(f(1) \ne a\)або\(f(2) \ne b\) (або обидва)?
3. \(f(1) \ne a\)\(f(2) \ne b\text{,}\)і чи\(f\) є ін'єкційним?
4. \(f\)є суб'єктивним, але\(f(1) \ne a\text{,}\)\(f(2) \ne b\text{,}\)\(f(3) \ne c\text{,}\)\(f(4) \ne d\) і\(f(5) \ne e\text{?}\)

Відповідь

1. \(5^4 + 5^4 - 5^3\) functions.
2. \(4\cdot 5^4 + 5 \cdot 4 \cdot 5^3 - 4 \cdot 4 \cdot 5^3\) functions.
3. \(5! - \left[ 4! + 4! - 3! \right]\) functions. Note we use factorials instead of powers because we are looking for injective functions.
4. Зауважте, що бути суб'єктивним тут те саме, що бути ін'єкційним, тому ми можемо почати з усіх\(5!\) injective functions and subtract those which have one or more “fixed point”. We get \(5! - \left[{5 \choose 1}4! - {5 \choose 2}3! + {5 \choose 3}2! - {5 \choose 4}1! + {5 \choose 5} 0!\right]\) functions.

18

Скільки функцій відображаються\(\{1,2,3,4,5,6\}\) на\(\{a,b,c,d\}\) (тобто, скільки існує припущень)?

Відповідь

\(4^6 - \left[{4 \choose 1}3^6 - {4 \choose 2}2^6 + {4 \choose 3} 1^6 \right]\text{.}\)

19

Щоб подякувати своєму професору математики за те, що він робив таку дивовижну роботу весь семестр, ви вирішили спекти печиво Оскар. Ви знаєте, як зробити 10 різних видів печива.

1. Якщо ви хочете дати своєму професору 4 різні типи файлів cookie, скільки різних комбінацій типу печива ви можете вибрати? Поясніть свою відповідь.
2. Щоб речі були цікавими, ви вирішили зробити різну кількість кожного виду печива. Якщо знову ви хочете вибрати 4 типи файлів cookie, скільки способів ви можете вибрати типи файлів cookie та вирішити, для яких буде найбільше, друге найбільше тощо Поясніть свою відповідь.
3. Ви знову передумаєте. Цього разу ви вирішите, що ви зробите загалом 12 файлів cookie. Кожне печиво може бути будь-яким з 10 видів печива, які ви знаєте, як спекти (і це нормально, якщо ви залишите деякі типи поза). Скільки варіантів у вас є? Поясніть.
4. Ви розумієте, що попередній план не враховував подання. Цього разу ви знову хочете зробити 12 печива, кожен з яких може бути будь-яким з 10 типів печива. Однак тепер ви плануєте сформувати печиво в цифри 1, 2,..., 12 (і, ймовірно, організувати їх, щоб зробити гігантський годинник, але ви ще не визначилися з цим). Скільки варіантів у вас є для яких видів печива випікати в які цифри? Поясніть.
5. Єдиний недолік останнього плану полягає в тому, що ваш професор може не отримати пробу всіх 10 різних сортів печива. Скільки варіантів у вас є для яких типів печива зробити в які цифри, враховуючи, що кожен тип печива повинен бути присутнім хоча б один раз? Поясніть.

Відповідь

1. \({10 \choose 4}\) combinations. You need to choose 4 of the 10 cookie types. Order doesn't matter.
2. \(P(10, 4) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\) ways. You are choosing and arranging 4 out of 10 cookies. Order matters now.
3. \({21 \choose 9}\) choices. You must switch between cookie type 9 times as you make your 12 cookies. The cookies are the stars, the switches between cookie types are the bars.
4. \(10^{12}\) choices. You have 10 choices for the “1” cookie, 10 choices for the “2” cookie, and so on.
5. \(10^{12} - \left[{10 \choose 1}9^{12} - {10 \choose 2}8^{12} + \cdots - {10 \choose 10}0^{12} \right]\) choices. We must use PIE to remove all the ways in which one or more cookie type is not selected.

20

Для якої з частин попередньої задачі (Вправа 1.7.19) має сенс інтерпретувати питання підрахунку як підрахунок деякої кількості функцій? Скажіть, яким повинен бути домен і кодомен, і чи підраховуєте ви всі функції, ін'єкції, відхилення або щось інше.

Відповідь

1. Ви даєте своєму професору 4 типи файлів cookie, що надходять з 10 різних типів файлів cookie. Це погано піддається інтерпретації функцій. Можна сказати, що домен містить 4 типи, які ви дасте своєму професору, а кодомен містить 10, з яких ви можете вибрати, але тоді підрахунок ін'єкцій буде занадто багато (не має значення, якщо ви виберете тип 3 перший і тип 2 другий, або навпаки, тільки що ви вибираєте ці два види).
2. Ми хочемо розглянути ін'єкційні функції з множини\(\{\)most, second most, second least, least\(\}\) to the set of 10 cookie types. We want injections because we cannot pick the same type of cookie to give most and least of (for example).
3. Це не є гарною проблемою для інтерпретації як функції. Проблема полягає в тому, що домен повинен бути 12 печива, які ви випікаєте, але ці елементи не відрізняються (немає першого печива, другого печива і т.д.).
4. Домен повинен бути 12 форм, кодомен 10 типів файлів cookie. Оскільки ми можемо використовувати один і той же тип для різних форм, ми зацікавлені в підрахунку всіх функцій тут.
5. Тут ми наполягаємо на тому, щоб кожен тип файлів cookie був наданий принаймні один раз, тому зараз ми просимо кількість відхилень від цих функцій, підрахованих у попередній частині.