5.6: Дроби та десяткові

При перетворенні дробу в десятковий може статися тільки одна з двох речей. Або процес завершиться, або десяткове подання почне повторювати візерунок цифр. У кожному випадку процедура зміни дробу на десятковий однаковий.

Зміна дробу на десятковий

Щоб змінити дріб на десятковий, розділіть чисельник на знаменник. Підказка: Якщо ви спочатку зменшите дріб до найнижчих, числа будуть меншими, і в результаті ділення буде трохи легше.

Завершення десяткових знаків

Закінчення десяткових знаків

Спочатку зменшіть дріб до найнижчих показників. Якщо знаменник отриманого дробу має просту факторизацію, що складається строго з двійки і/або п'ятірки, то десяткове подання «закінчиться».

Приклад 1

Змініть 15/48 на десяткову.

Рішення

По-перше, зменшіть дріб до найнижчих показників.

$$\begin{aligned} \frac{15}{48} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 16} \\ = \frac{5}{16} \end{aligned}\nonumber$$

Далі зверніть увагу, що знаменник 5/16 має просту факторизацію 16 = 2·2·2·2 · 2. Він складається тільки з двійки. Отже, десяткове подання 5/16 має закінчуватися.

Нульовий залишок завершує процес. Значить, 5/16 = 0,3125.

Вправа

Змініть 10/16 на десяткову.

Відповідь

0,625

Приклад 2

$3 \frac{7}{20}$Змінити на десяткову.

Рішення

Зверніть увагу, що 7/20 зводиться до найнижчих членів і його знаменник має просту факторизацію 20 = 2 · 2 · 5. Він складається тільки з двійки і п'ятірки. Отже, десяткове подання 7/20 має закінчуватися.

Нульовий залишок завершує процес. Значить, 7/20 = 0,35. Отже,$3 \frac{7}{20}$ = 3,35.

Вправа

$7 \frac{11}{20}$Змінити на десяткову.

Відповідь

7.55

Повторення десяткових знаків

Повторення десяткових знаків

Спочатку зменшіть дріб до найнижчих показників. Якщо просте факторизація отриманого знаменника не складається строго з двійки і п'ятірки, то процес ділення ніколи не матиме залишку нуля. Однак повторювані закономірності цифр повинні врешті-решт розкритися.

Приклад 3

Змініть 1/12 на десяткову.

Рішення

Зверніть увагу, що 1/12 зводиться до найнижчих членів і знаменник має просту факторизацію 12 = 2 · 2 · 3, яка не складається строго з двійки і п'ятірки. Отже, десяткове подання 1/12 не буде «припинено». Проводити поділ потрібно до тих пір, поки не з'явиться залишок вдруге. Це буде свідчити про початок повторення.

Зверніть увагу на другий вигляд 4 як залишок у поділі вище. Це вказівка на те, що повторення починається. Однак, щоб бути впевненим, давайте проведемо поділ ще на пару місць.

Зверніть увагу, як решта 4 повторюється знову і знову. У частці зверніть увагу, як цифра 3 повторюється знову і знову. Цілком очевидно, що якби ми проводили поділ ще на кілька місць, ми б отримали

$$\frac{1}{12} = 0.833333 \cdots\nonumber$$

Трикрапка - це символічний спосіб сказати, що трійки повторяться назавжди. Це математичний еквівалент слова «etcetera».

Вправа

Змініть 5/12 на десяткову.

Відповідь

0.41666...

Існує альтернативне позначення крапки, а саме

$$\frac{1}{12} = 0.08 \overline{3}.\nonumber$$

Смуга над 3 (називається «повторюваною смугою») вказує на те, що 3 буде повторюватися нескінченно довго. Тобто,

$$0.08 \overline{3} = 0.083333 ....\nonumber$$

Використання повторюваної смуги

Щоб використовувати позначення повторюваної смуги, візьміть будь-який блок цифр під повторюваним рядком і дублюйте цей блок цифр нескінченно праворуч.

Таким чином, наприклад:

• $5. \overline{345} = 5.3454545 ....$
• $0. \overline{142857} = 0.142857142857142857 ....$

Важливе спостереження

Хоча також$0.8 \overline{33}$ буде виробляти 0.8333333..., як правило, ми повинні використовувати якомога менше цифр під повторюваною смугою. Таким чином,$0.8 \overline{3}$ є кращим перед$0.8 \overline{33}$.

Приклад 4

Змініть 23/111 на десяткову.

Рішення

Знаменник 23/111 має просту факторизацію 111 = 3 ·37 і не складається строго з двійки і п'ятірки. Отже, десяткове подання не буде «припинено». Нам потрібно виконувати поділ, поки не помітимо повторюваний залишок.

Зверніть увагу на повернення 23 як залишок. Таким чином, цифра в частці повинна починатися заново, але давайте додамо ще кілька місць до нашого поділу, щоб бути впевненим.

Ага! Знову залишок 23. Повторення! На даний момент ми впевнені, що

$$\frac{23}{111} = 0.207207 ....\nonumber$$

Використовуючи «повторювану смугу», цей результат можна записати

$$\frac{23}{111} = 0. \overline{207}.\nonumber$$

Вправа

Змініть 5/33 на десяткову.

Відповідь

0.151515...

Вирази, що містять як десяткові, так і дроби

У цей момент ми можемо перетворити дроби в десяткові числа, і навпаки, ми можемо перетворити десяткові дроби в дроби. Тому ми повинні мати можливість оцінювати вирази, які містять суміш дробових і десяткових чисел.

Приклад 5

Спростити:$- \frac{3}{8} - 1.25$.

Рішення

Давайте змінимо 1.25 на неправильний дріб.

$$\begin{aligned} 1.25 = \frac{125}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Two decimal places } \Rightarrow \text{ two zeroes.} \\ = \frac{5}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce to lowest terms.}} \end{aligned}\nonumber$$

У початковій задачі замініть 1,25 на 5/4, зробіть еквівалентні дроби загальним знаменником, потім відніміть.

$$\begin{aligned} - \frac{3}{8} - 1.25 = - \frac{3}{8} - \frac{5}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Replace 1.25 with 5/4.}} \\ = - \frac{3}{8} - \frac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{4 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions, LCD = 8.}} \\ = - \frac{3}{8} - \frac{10}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify the numerator and denominator.}} \\ = - \frac{3}{8} + \left( - \frac{10}{8} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = = \frac{13}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, −3/8 − 1,25 = −13/8.

Альтернативне рішення

Оскільки значення −3/8 зводиться до найнижчих, а 8 = 2 ·2 ·2 складається лише з двох, десяткове подання −3/8 завершиться.

Отже, −3/8 = −0,375. Тепер замініть −3/8 у вихідній задачі на −0.375, а потім спростіть.

$$\begin{aligned} - \frac{3}{8} - 1.25 = -0.375 - 1.25 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Replace } -3/8 \text{ with } -0.375.} \\ =-0.375 + (-1.25) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = -1.625 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, −3/8 − 1,25 = −1,625.

Вони однакові?

Перший метод дав −13/8 як відповідь; другий метод дав −1,625. Це однакові результати? Один із способів з'ясувати це — змінити −1.625 на неправильний дріб.

$$\begin{aligned} -1.625 = - \frac{1625}{1000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Three places } \Rightarrow \text{ three zeroes.}} \\ = - \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Prime factor.}} \\ = - \frac{13}{2 \cdot 2 \cdot 2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common factors.}} \\ = - \frac{13}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, дві відповіді однакові.

Вправа

Спростити:$− \frac{7}{8} − 6.5$

Відповідь

$−7 \frac{3}{8}$або −7,375

Приклад 6

Спростити:$-\frac{2}{3} + 0.35$.

Рішення

Давайте атакуємо цей вираз, спочатку змінивши 0.35 на дріб.

$$\begin{aligned} - \frac{2}{3} + 0.35 = - \frac{2}{3} + \frac{35}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 0.35 to a fraction.}} \\ = - \frac{2}{3} + \frac{7}{20} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce 35/100 to lowest terms.}} \end{aligned}\nonumber$$

Знайдіть РК-дисплей, зробіть еквівалентні дроби, потім додайте.

$$\begin{aligned} = - \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} + \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 60.}} \\ = - \frac{40}{60} + \frac{21}{60} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = - \frac{19}{60} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber$$

Потім,$-\frac{2}{3} +0.35 = - \frac{19}{60}$.

Вправа

Спростити:$-\frac{4}{9} + 0.25$

Відповідь

−7/36

У прикладі 6 ми зіткнемося з проблемами, якщо спробуємо змінити −2/3 на десяткову. Десяткове подання для −2/3 є повторюваним десятковим (знаменник не складається лише з двох і п'ятірок). Дійсно, −2/3 =$−0. \overline{6}$. Щоб додати$−0. \overline{6}$ і 0.35, ми повинні вирівняти десяткові крапки, а потім почати додавання в правому кінці. Але не$−0. \overline{6}$ має правильного кінця! Це спостереження призводить до наступної поради.

Важливе спостереження

При представленні задачі, що містить як десяткові, так і дроби, якщо десяткове подання будь-якого дробу повторюється, то краще спочатку змінити всі числа на дроби, потім спростити.

Вправи

У вправах 1-20 перетворіть заданий дріб в кінцевий десятковий.

1. $\frac{59}{16}$

2. $\frac{19}{5}$

3. $\frac{35}{4}$

4. $\frac{21}{4}$

5. $\frac{1}{16}$

6. $\frac{14}{5}$

7. $\frac{6}{8}$

8. $\frac{7}{175}$

9. $\frac{3}{2}$

10. $\frac{15}{16}$

11. $\frac{119}{175}$

12. $\frac{4}{8}$

13. $\frac{9}{8}$

14. $\frac{5}{2}$

15. $\frac{78}{240}$

16. $\frac{150}{96}$

17. $\frac{25}{10}$

18. $\frac{2}{4}$

19. $\frac{9}{24}$

20. $\frac{216}{150}$

---

У вправах 21-44 перетворіть заданий дріб у повторюваний десятковий. Використовуйте позначення «повторювана смуга».

21. $\frac{256}{180}$

22. $\frac{268}{180}$

23. $\frac{364}{12}$

24. $\frac{292}{36}$

25. $\frac{81}{110}$

26. $\frac{82}{99}$

27. $\frac{76}{15}$

28. $\frac{23}{9}$

29. $\frac{50}{99}$

30. $\frac{53}{99}$

31. $\frac{61}{15}$

32. $\frac{37}{18}$

33. $\frac{98}{66}$

34. $\frac{305}{330}$

35. $\frac{190}{495}$

36. $\frac{102}{396}$

37. $\frac{13}{15}$

38. $\frac{65}{36}$

39. $\frac{532}{21}$

40. $\frac{44}{60}$

41. $\frac{26}{198}$

42. $\frac{686}{231}$

43. $\frac{47}{66}$

44. $\frac{41}{198}$

---

У вправах 45-52 спростіть заданий вираз, спочатку перетворивши дріб у кінцевий десятковий.

45. $\frac{7}{4} − 7.4$

46. $\frac{3}{2} − 2.73$

47. $\frac{7}{5} + 5.31$

48. $− \frac{7}{4} + 3.3$

49. $\frac{9}{10} − 8.61$

50. $\frac{3}{4} + 3.7$

51. $\frac{6}{5} − 7.65$

52. $− \frac{3}{10} + 8.1$

---

У вправах 53-60 спростити заданий вираз, попередньо перетворивши десяткове число в дріб.

53. $\frac{7}{6} − 2.9$

54. $− \frac{11}{6} + 1.12$

55. $− \frac{4}{3} − 0.32$

56. $\frac{11}{6} − 0.375$

57. $− \frac{2}{3} + 0.9$

58. $\frac{2}{3} − 0.1$

59. $\frac{4}{3} − 2.6$

60. $− \frac{5}{6} + 2.3$

---

У вправах 61-64 спростіть даний вираз.

61. $\frac{5}{6} + 2.375$

62. $\frac{5}{3} + 0.55$

63. $\frac{11}{8} + 8.2$

64. $\frac{13}{8} + 8.4$

65. $− \frac{7}{10} + 1.2$

66. $− \frac{7}{5} − 3.34$

67. $− \frac{11}{6} + 0.375$

68. $\frac{5}{3} − 1.1$

---

Відповіді

1. 3,6875

3. 8,75

5. 0.0625

7. 0,75

9. 1,5

11. 0,68

13. 1,125

15. 0,325

17. 2,5

19. 0,375

21. $1.4 \overline{2}$

23. $30. \overline{3}$

25. $0.7 \overline{36}$

27. $5.0 \overline{6}$

29. $0. \overline{50}$

31. $4.0 \overline{6}$

33. $1. \overline{48}$

35. $0. \overline{38}$

37. $0.8 \overline{6}$

39. $25. \overline{3}$

41. $0. \overline{13}$

43. $0.7 \overline{12}$

45. —5,65

47. 6,71

49. —7,71

51. −6,45

53. $− \frac{26}{15}$

55. $− \frac{124}{75}$

57. $\frac{7}{30}$

59. $− \frac{19}{15}$

61. $\frac{77}{24}$

63. 9,575

65. 0,5

67. $− \frac{35}{24}$