5.6: Дроби та десяткові
- Page ID
- 57294
При перетворенні дробу в десятковий може статися тільки одна з двох речей. Або процес завершиться, або десяткове подання почне повторювати візерунок цифр. У кожному випадку процедура зміни дробу на десятковий однаковий.
Зміна дробу на десятковий
Щоб змінити дріб на десятковий, розділіть чисельник на знаменник. Підказка: Якщо ви спочатку зменшите дріб до найнижчих, числа будуть меншими, і в результаті ділення буде трохи легше.
Завершення десяткових знаків
Закінчення десяткових знаків
Спочатку зменшіть дріб до найнижчих показників. Якщо знаменник отриманого дробу має просту факторизацію, що складається строго з двійки і/або п'ятірки, то десяткове подання «закінчиться».
Приклад 1
Змініть 15/48 на десяткову.
Рішення
По-перше, зменшіть дріб до найнижчих показників.
\[ \begin{aligned} \frac{15}{48} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 16} \\ = \frac{5}{16} \end{aligned}\nonumber \]
Далі зверніть увагу, що знаменник 5/16 має просту факторизацію 16 = 2·2·2·2 · 2. Він складається тільки з двійки. Отже, десяткове подання 5/16 має закінчуватися.
Нульовий залишок завершує процес. Значить, 5/16 = 0,3125.
Вправа
Змініть 10/16 на десяткову.
- Відповідь
-
0,625
Приклад 2
\(3 \frac{7}{20}\)Змінити на десяткову.
Рішення
Зверніть увагу, що 7/20 зводиться до найнижчих членів і його знаменник має просту факторизацію 20 = 2 · 2 · 5. Він складається тільки з двійки і п'ятірки. Отже, десяткове подання 7/20 має закінчуватися.
Нульовий залишок завершує процес. Значить, 7/20 = 0,35. Отже,\(3 \frac{7}{20}\) = 3,35.
Вправа
\(7 \frac{11}{20}\)Змінити на десяткову.
- Відповідь
-
7.55
Повторення десяткових знаків
Повторення десяткових знаків
Спочатку зменшіть дріб до найнижчих показників. Якщо просте факторизація отриманого знаменника не складається строго з двійки і п'ятірки, то процес ділення ніколи не матиме залишку нуля. Однак повторювані закономірності цифр повинні врешті-решт розкритися.
Приклад 3
Змініть 1/12 на десяткову.
Рішення
Зверніть увагу, що 1/12 зводиться до найнижчих членів і знаменник має просту факторизацію 12 = 2 · 2 · 3, яка не складається строго з двійки і п'ятірки. Отже, десяткове подання 1/12 не буде «припинено». Проводити поділ потрібно до тих пір, поки не з'явиться залишок вдруге. Це буде свідчити про початок повторення.
Зверніть увагу на другий вигляд 4 як залишок у поділі вище. Це вказівка на те, що повторення починається. Однак, щоб бути впевненим, давайте проведемо поділ ще на пару місць.
Зверніть увагу, як решта 4 повторюється знову і знову. У частці зверніть увагу, як цифра 3 повторюється знову і знову. Цілком очевидно, що якби ми проводили поділ ще на кілька місць, ми б отримали
\[\frac{1}{12} = 0.833333 \cdots\nonumber \]
Трикрапка - це символічний спосіб сказати, що трійки повторяться назавжди. Це математичний еквівалент слова «etcetera».
Вправа
Змініть 5/12 на десяткову.
- Відповідь
-
0.41666...
Існує альтернативне позначення крапки, а саме
\[ \frac{1}{12} = 0.08 \overline{3}.\nonumber \]
Смуга над 3 (називається «повторюваною смугою») вказує на те, що 3 буде повторюватися нескінченно довго. Тобто,
\[0.08 \overline{3} = 0.083333 ....\nonumber \]
Використання повторюваної смуги
Щоб використовувати позначення повторюваної смуги, візьміть будь-який блок цифр під повторюваним рядком і дублюйте цей блок цифр нескінченно праворуч.
Таким чином, наприклад:
- \(5. \overline{345} = 5.3454545 ....\)
- \(0. \overline{142857} = 0.142857142857142857 ....\)
Важливе спостереження
Хоча також\(0.8 \overline{33}\) буде виробляти 0.8333333..., як правило, ми повинні використовувати якомога менше цифр під повторюваною смугою. Таким чином,\(0.8 \overline{3}\) є кращим перед\(0.8 \overline{33}\).
Приклад 4
Змініть 23/111 на десяткову.
Рішення
Знаменник 23/111 має просту факторизацію 111 = 3 ·37 і не складається строго з двійки і п'ятірки. Отже, десяткове подання не буде «припинено». Нам потрібно виконувати поділ, поки не помітимо повторюваний залишок.
Зверніть увагу на повернення 23 як залишок. Таким чином, цифра в частці повинна починатися заново, але давайте додамо ще кілька місць до нашого поділу, щоб бути впевненим.
Ага! Знову залишок 23. Повторення! На даний момент ми впевнені, що
\[ \frac{23}{111} = 0.207207 ....\nonumber \]
Використовуючи «повторювану смугу», цей результат можна записати
\[ \frac{23}{111} = 0. \overline{207}.\nonumber \]
Вправа
Змініть 5/33 на десяткову.
- Відповідь
-
0.151515...
Вирази, що містять як десяткові, так і дроби
У цей момент ми можемо перетворити дроби в десяткові числа, і навпаки, ми можемо перетворити десяткові дроби в дроби. Тому ми повинні мати можливість оцінювати вирази, які містять суміш дробових і десяткових чисел.
Приклад 5
Спростити:\(- \frac{3}{8} - 1.25\).
Рішення
Давайте змінимо 1.25 на неправильний дріб.
\[ \begin{aligned} 1.25 = \frac{125}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Two decimal places } \Rightarrow \text{ two zeroes.} \\ = \frac{5}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce to lowest terms.}} \end{aligned}\nonumber \]
У початковій задачі замініть 1,25 на 5/4, зробіть еквівалентні дроби загальним знаменником, потім відніміть.
\[ \begin{aligned} - \frac{3}{8} - 1.25 = - \frac{3}{8} - \frac{5}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Replace 1.25 with 5/4.}} \\ = - \frac{3}{8} - \frac{5 \cdot \textcolor{red}{2}}{4 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions, LCD = 8.}} \\ = - \frac{3}{8} - \frac{10}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify the numerator and denominator.}} \\ = - \frac{3}{8} + \left( - \frac{10}{8} \right) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = = \frac{13}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, −3/8 − 1,25 = −13/8.
Альтернативне рішення
Оскільки значення −3/8 зводиться до найнижчих, а 8 = 2 ·2 ·2 складається лише з двох, десяткове подання −3/8 завершиться.
Отже, −3/8 = −0,375. Тепер замініть −3/8 у вихідній задачі на −0.375, а потім спростіть.
\[ \begin{aligned} - \frac{3}{8} - 1.25 = -0.375 - 1.25 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Replace } -3/8 \text{ with } -0.375.} \\ =-0.375 + (-1.25) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = -1.625 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, −3/8 − 1,25 = −1,625.
Вони однакові?
Перший метод дав −13/8 як відповідь; другий метод дав −1,625. Це однакові результати? Один із способів з'ясувати це — змінити −1.625 на неправильний дріб.
\[ \begin{aligned} -1.625 = - \frac{1625}{1000} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Three places } \Rightarrow \text{ three zeroes.}} \\ = - \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Prime factor.}} \\ = - \frac{13}{2 \cdot 2 \cdot 2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common factors.}} \\ = - \frac{13}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber \]
Таким чином, дві відповіді однакові.
Вправа
Спростити:\(− \frac{7}{8} − 6.5\)
- Відповідь
-
\(−7 \frac{3}{8}\)або −7,375
Приклад 6
Спростити:\(-\frac{2}{3} + 0.35\).
Рішення
Давайте атакуємо цей вираз, спочатку змінивши 0.35 на дріб.
\[ \begin{aligned} - \frac{2}{3} + 0.35 = - \frac{2}{3} + \frac{35}{100} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change 0.35 to a fraction.}} \\ = - \frac{2}{3} + \frac{7}{20} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reduce 35/100 to lowest terms.}} \end{aligned}\nonumber \]
Знайдіть РК-дисплей, зробіть еквівалентні дроби, потім додайте.
\[ \begin{aligned} = - \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} + \frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Equivalent fractions with LCD = 60.}} \\ = - \frac{40}{60} + \frac{21}{60} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify numerators and denominators.}} \\ = - \frac{19}{60} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]
Потім,\(-\frac{2}{3} +0.35 = - \frac{19}{60}\).
Вправа
Спростити:\(-\frac{4}{9} + 0.25\)
- Відповідь
-
−7/36
У прикладі 6 ми зіткнемося з проблемами, якщо спробуємо змінити −2/3 на десяткову. Десяткове подання для −2/3 є повторюваним десятковим (знаменник не складається лише з двох і п'ятірок). Дійсно, −2/3 =\(−0. \overline{6}\). Щоб додати\(−0. \overline{6}\) і 0.35, ми повинні вирівняти десяткові крапки, а потім почати додавання в правому кінці. Але не\(−0. \overline{6}\) має правильного кінця! Це спостереження призводить до наступної поради.
Важливе спостереження
При представленні задачі, що містить як десяткові, так і дроби, якщо десяткове подання будь-якого дробу повторюється, то краще спочатку змінити всі числа на дроби, потім спростити.
Вправи
У вправах 1-20 перетворіть заданий дріб в кінцевий десятковий.
1. \(\frac{59}{16}\)
2. \(\frac{19}{5}\)
3. \(\frac{35}{4}\)
4. \(\frac{21}{4}\)
5. \(\frac{1}{16}\)
6. \(\frac{14}{5}\)
7. \(\frac{6}{8}\)
8. \(\frac{7}{175}\)
9. \(\frac{3}{2}\)
10. \(\frac{15}{16}\)
11. \(\frac{119}{175}\)
12. \(\frac{4}{8}\)
13. \(\frac{9}{8}\)
14. \(\frac{5}{2}\)
15. \(\frac{78}{240}\)
16. \(\frac{150}{96}\)
17. \(\frac{25}{10}\)
18. \(\frac{2}{4}\)
19. \(\frac{9}{24}\)
20. \(\frac{216}{150}\)
У вправах 21-44 перетворіть заданий дріб у повторюваний десятковий. Використовуйте позначення «повторювана смуга».
21. \(\frac{256}{180}\)
22. \(\frac{268}{180}\)
23. \(\frac{364}{12}\)
24. \(\frac{292}{36}\)
25. \(\frac{81}{110}\)
26. \(\frac{82}{99}\)
27. \(\frac{76}{15}\)
28. \(\frac{23}{9}\)
29. \(\frac{50}{99}\)
30. \(\frac{53}{99}\)
31. \(\frac{61}{15}\)
32. \(\frac{37}{18}\)
33. \(\frac{98}{66}\)
34. \(\frac{305}{330}\)
35. \(\frac{190}{495}\)
36. \(\frac{102}{396}\)
37. \(\frac{13}{15}\)
38. \(\frac{65}{36}\)
39. \(\frac{532}{21}\)
40. \(\frac{44}{60}\)
41. \(\frac{26}{198}\)
42. \(\frac{686}{231}\)
43. \(\frac{47}{66}\)
44. \(\frac{41}{198}\)
У вправах 45-52 спростіть заданий вираз, спочатку перетворивши дріб у кінцевий десятковий.
45. \(\frac{7}{4} − 7.4\)
46. \(\frac{3}{2} − 2.73\)
47. \(\frac{7}{5} + 5.31\)
48. \(− \frac{7}{4} + 3.3\)
49. \(\frac{9}{10} − 8.61\)
50. \(\frac{3}{4} + 3.7\)
51. \(\frac{6}{5} − 7.65\)
52. \(− \frac{3}{10} + 8.1\)
У вправах 53-60 спростити заданий вираз, попередньо перетворивши десяткове число в дріб.
53. \(\frac{7}{6} − 2.9\)
54. \(− \frac{11}{6} + 1.12\)
55. \(− \frac{4}{3} − 0.32\)
56. \(\frac{11}{6} − 0.375\)
57. \(− \frac{2}{3} + 0.9\)
58. \(\frac{2}{3} − 0.1\)
59. \(\frac{4}{3} − 2.6\)
60. \(− \frac{5}{6} + 2.3\)
У вправах 61-64 спростіть даний вираз.
61. \(\frac{5}{6} + 2.375\)
62. \(\frac{5}{3} + 0.55\)
63. \(\frac{11}{8} + 8.2\)
64. \(\frac{13}{8} + 8.4\)
65. \(− \frac{7}{10} + 1.2\)
66. \(− \frac{7}{5} − 3.34\)
67. \(− \frac{11}{6} + 0.375\)
68. \(\frac{5}{3} − 1.1\)
Відповіді
1. 3,6875
3. 8,75
5. 0.0625
7. 0,75
9. 1,5
11. 0,68
13. 1,125
15. 0,325
17. 2,5
19. 0,375
21. \(1.4 \overline{2}\)
23. \(30. \overline{3}\)
25. \(0.7 \overline{36}\)
27. \(5.0 \overline{6}\)
29. \(0. \overline{50}\)
31. \(4.0 \overline{6}\)
33. \(1. \overline{48}\)
35. \(0. \overline{38}\)
37. \(0.8 \overline{6}\)
39. \(25. \overline{3}\)
41. \(0. \overline{13}\)
43. \(0.7 \overline{12}\)
45. —5,65
47. 6,71
49. —7,71
51. −6,45
53. \(− \frac{26}{15}\)
55. \(− \frac{124}{75}\)
57. \(\frac{7}{30}\)
59. \(− \frac{19}{15}\)
61. \(\frac{77}{24}\)
63. 9,575
65. 0,5
67. \(− \frac{35}{24}\)