5.5: Ділення десяткових знаків

У цьому та наступних розділах ми використовуємо терміни дільник, дивіденд, частка та залишок.

Дільник, дивіденд, частка та залишок

Ця схема нагадує читачам положення цих термінів в процесі поділу.

Тепер, коли ці терміни визначені, починаємо обговорення ділення десяткових чисел. Припустимо, що ми хочемо розділити 637 на 100. Ми могли б зробити це у формі дробу, змінити результат на змішаний дріб, потім змішаний дріб на десяткову форму.

$$\frac{637}{100} = 6 \frac{37}{100} = 6.37\nonumber$$

Ми також можемо організувати поділ так само, як ми поділ двох цілих чисел.

Зверніть увагу, що додавання двох нулів після коми в дивіденді не змінює значення 637. Далі зверніть увагу, що ділимо так, ніби ділимо два цілих числа, поміщаючи десяткову крапку в частку безпосередньо над десятковою крапкою в дивіденді.

Ці спостереження призводять до наступного алгоритму.

Ділення десяткового числа на ціле число

Щоб розділити десяткове число на ціле число, дійте наступним чином:

1. Налаштуйте довге ділення так само, як і ділення двох цілих чисел.
2. Виконуйте поділ так, ніби числа обидва були цілими числами, додаючи нулі праворуч від десяткової крапки в дивіденді, якщо це необхідно для завершення ділення.
3. Помістіть десяткову крапку в частку безпосередньо над десятковою крапкою в дивіденді.

Приклад 1

Розділіть 23 на 20.

Рішення

Організуйте так, ніби використовуючи довге ділення для поділу цілих чисел, додавши достатню кількість нулів праворуч від десяткової крапки в дивіденді для завершення ділення.

Отже, 23 ділиться на 20 дорівнює 1,15.

Додавання нулів праворуч від десяткової крапки

Зазвичай не відразу видно, скільки нулів праворуч від десяткової крапки в дивіденді потрібно. Ці нулі зазвичай додаються на кожному кроці поділу, поки поділ не буде завершено або користувач не готовий припинити процес і прийняти лише оцінку частки.

Приклад 2

Розділити: 155,2 ÷ 25.

Рішення

Організуйте так, ніби використовуючи довге ділення, щоб розділити цілі числа, і почати.

У нас все ще є ненульовий залишок. Додавання ще одного нуля не приносить користі.

Однак, якщо додати ще один додатковий нуль, ділення завершується нульовим залишком.

Таким чином, 155,2 розділений на 25 дорівнює 6,208.

Вправа

Розділити: 42,55 ÷ 23

Відповідь

1,85

Десяткові дільники Коли дільник містить десяткову крапку, у нас є невелика робота, перш ніж почати процес ділення. Припустимо, що ми хочемо розділити 1,25 на 2,5. У формі дробу, ми могли б почати з

$$\frac{1.25}{2.5},\nonumber$$

потім очистіть десяткові знаки від знаменника, помноживши і чисельник, і знаменник на 10. Примітка: Нагадаємо, що множення на 10 переміщує десяткову крапку на одне місце вправо.

$$\begin{aligned} \frac{1.25}{2.5} = \frac{1.25 \cdot 10}{2.5 \cdot 10} \\ = \frac{12.5}{25} \end{aligned}\nonumber$$

Таким чином, ділення 1,25 на 2,5 еквівалентно діленню 12,5 на 25. Це ми вміємо робити.

Таким чином, 1,25 ділиться на 2,5 дорівнює 0,5.

Написання математики

Ніколи не пишіть .5. Завжди додавайте початковий нуль на місці одиниць і записуйте 0,5.

Замість того, щоб працювати у формі дробу, ми можемо подбати про позиціонування десяткової крапки в рамках довгого ділення. Почніть з:

Перемістіть десяткову крапку в дільнику до кінця дільника, потім перемістіть десяткову крапку в дивіденді на рівну кількість знаків.

Таким чином, поділ стає

і ми продовжуємо, як зазначено вище, щоб знайти частку. Це обговорення мотивує наступний алгоритм.

Ділення на десятковий дільник

Якщо дільник містить десяткове число, дійте наступним чином:

1. Перемістіть десяткове число до кінця дільника.
2. Перемістіть десяткове число в дивіденді на рівну кількість знаків.

Потім ми можемо завершити поділ, використовуючи правила ділення десяткового числа на ціле число.

Приклад 3

Розділити:$\overline{ )4.392}$

Рішення

Перемістіть десяткове число в дільнику до кінця дільника. Перемістіть десяткове число в дивіденді на рівну кількість знаків (два місця) вправо.

Тепер ми можемо слідувати алгоритму ділення десяткового числа на ціле число.

Таким чином, 4,392 ділиться на 0,36 дорівнює 12,2.

Вправа

Розділити:$0.45 \overline{)36.99}$

Відповідь

82.2

Ділення знакових десяткових чисел

Правила, що регулюють ділення знакових десяткових чисел, ідентичні правилам, що регулюють ділення цілих чисел.

Як знаки. Коефіцієнт двох десяткових чисел з подібними знаками є додатним. Тобто:

$$\frac{(+)}{(+)} = + \text{ and } \frac{(−)}{(−)} = +\nonumber$$

На відміну від знаків. Частка двох десяткових чисел з несхожими знаками від'ємна. Тобто:

$$\frac{(+)}{(−)} = − \text{ and } \frac{(−)}{(+)} = −\nonumber$$

Приклад 4

Розділити: −0,03 ÷ 0,024.

Рішення

Спочатку розділіть величини. Перемістіть десяткове число в дільнику до кінця дільника. Перемістіть десяткове число в дивіденді на рівну кількість знаків (три місця) вправо. Зверніть увагу, що для цього потрібен додатковий кінцевий нуль у дивідендах.

Нашою проблемою тоді стає:

\ [24\ оверлайн {24) 30}\)

Тепер ми можемо слідувати алгоритму ділення десяткового числа на ціле число. Зауважте, що ми повинні додати два кінцевих нуля в дивіденді, щоб завершити поділ з нульовим залишком.

Нарешті, оскільки коефіцієнт несхожих знаків є від'ємним, −0,03, поділений на 0,024, дорівнює −1,25. Тобто,

$$\frac{-0.03}{0.024} = -1.25.\nonumber$$

Вправа

Поділ: −0,0113 ÷ 0,05

Відповідь

−0,226

Округлення

Іноді точне десяткове подання дробу не потрібно і є наближення більш ніж адекватним.

Приклад 5

Перетворення 4/7 в десяткове число. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Рішення

Нам потрібно провести поділ на одне місце за соті місця.

Щоб округлити до найближчої сотої, спочатку визначте округлення і контрольні цифри.

Оскільки «тестова цифра» менше 5, залиште цифру округлення в спокої і обрізайте. Тому поправте до найближчої сотої, 4/7 ≈ 0,57.

Вправа

Перетворіть 5/7 в десяткове число. Округлите свою відповідь до найближчої сотої.

Відповідь

0,71

Поділ на повноваження десяти

Нагадаємо:

$$\begin{aligned} 10^1 = 10 \\ 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \\ 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \end{aligned}\nonumber$$

повноваження десяти

У виразі 10 n показник відповідає кількості нулів у відповіді. Отже, 10 n буде 1, а потім n нулів.

Таким чином, 10 ⁴ = 10 000, 10 ⁵ = 100 000 тощо Показник показує нам, скільки нулів буде слідувати за 1.

Давайте розділимо 123456,7 на 1000.

Зверніть увагу на результат: 123456,7 розділений на 1000 дорівнює 123.4567. Ділення на 1000 переміщує десяткову крапку на 3 розряди вліво!

Це обговорення призводить до наступного результату.

Ділення десяткового числа на ступінь десяти

Ділення десяткового числа на 10 n призведе до переміщення десяткової крапки на n знаків вліво.

приклад 6

Спрощення: 123456,7 ÷ 10 ⁴

Рішення

Ділення на 10 ⁴ (або еквівалентно, 10000) переміщує десяткову крапку на чотири розряди вліво. Таким чином, 123456,7 ÷ 10 ⁴ = 12,34567.

Вправа

Спрощення: 123456,7 ÷ 10 ²

Відповідь

1234.567

Порядок операцій

Нагадуємо читачам Правил Керівного Порядку експлуатації с.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
2. Оцінити всі експоненти, які з'являються у виразі.
3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

Крім того, при наявності дробів:

Дробові вирази

Якщо присутній дробовий вираз, спростіть чисельник і знаменник окремо, потім діліть.

Приклад 7

Оцініть ab/ (c + d), враховуючи, що a = 2,1, b = −3,4, c = −1,3, а d = 1,1.

Рішення

Нагадаємо, що хорошою практикою є підготовка виразу для підміни за допомогою дужок.

$$ab/(c + d) = (~)(~)/((~) +(~)) \nonumber$$

Замініть задані значення на a, b, c та d, а потім скористайтеся Правилами Керівного порядку операцій, щоб спростити отриманий вираз.

$$\begin{aligned} ab/(c+d) = (2.1)(-3.4)/((-1.3)+(1.1)) ~ & \textcolor{red}{2.1, -3.4,-1.3, 1.1 \text{ for } a, b, c, d.} \\ = (2.1)(-3.4)/(-0.2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parens: } (-1.3) + (1.1) = -0.2.} \\ =-7.14/(-0.2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } (2.1)(-3.4) = -7.14.} \\ =35.7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } -7.14/(-0.2) = 35.7} \end{aligned}\nonumber$$

Вправа

Якщо a = −2,1, b = 1,7, c = 4, а d = 0,05, оцініть:

$$\frac{a+b}{cd}\nonumber$$

Відповідь

−2

Приклад 8

Задано a = 0.1 і b = −0,3, оцініть вираз

$$\frac{a+2b}{2a+b}.\nonumber$$

Рішення

Підставте задані значення, а потім скористайтеся Правилами Керівний порядок операцій, щоб спростити результуючий вираз.

$$\begin{aligned} \frac{a+2b}{2a+b} = \frac{(0.1)+2(-0.3)}{2(0.1)+(-0.3)} ~ & \textcolor{red}{ \text{ 0.1 for } a,~ -0.3 \text{ for } b.} \end{aligned}\nonumber$$

Спростити чисельник, спростити знаменник, потім розділити.

$$\begin{aligned} = \frac{0.1+(-0.6)}{0.2+(-0.3)} ~ & \textcolor{red}{ \begin{aligned} \text{ Numerator: } 2(-0.3) = -0.6. \\ \text{ Denominator: } 2(0.1)=0.2. \end{aligned}} \\ = \frac{-0.5}{-0.1} ~ & \textcolor{red}{ \begin{aligned} \text{ Numerator: } 0.1 + (-0.6)=-0.5 \\ \text{ Denominator: } 0.2 + (-0.3) = -0.1. \end{aligned}} \\ =5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } -0.5/(-0.1)=5.} \end{aligned}\nonumber$$

Вправа

Якщо a = 0,5 і b = −0,125, оцініть:

$$\frac{2a-b}{a+2b}\nonumber$$

Відповідь

4.5

Вправи

У вправах 1-16 розділіть числа.

1. $\frac{39}{52}$

2. $\frac{16}{25}$

3. $\frac{755.3}{83}$

4. $\frac{410.4}{76}$

5. $\frac{333}{74}$

6. $\frac{117}{65}$

7. $\frac{32.12}{73}$

8. $\frac{12.32}{44}$

9. $\frac{37.63}{71}$

10. $\frac{20.46}{31}$

11. $\frac{138}{92}$

12. $\frac{110}{25}$

13. $\frac{17}{25}$

14. $\frac{18}{75}$

15. $\frac{229.5}{51}$

16. $\frac{525.6}{72}$

---

У вправах 17-40 розділіть десяткові знаки.

17. $\frac{0.3478}{0.47}$

18. $\frac{0.4559}{0.97}$

19. $\frac{1.694}{2.2}$

20. $\frac{1.008}{1.8}$

21. $\frac{43.61}{4.9}$

22. $\frac{22.78}{3.4}$

23. $\frac{1.107}{0.41}$

24. $\frac{2.465}{0.29}$

25. $\frac{2.958}{0.51}$

26. $\frac{5.141}{0.53}$

27. $\frac{71.76}{7.8}$

28. $\frac{14.08}{8.8}$

29. $\frac{0.8649}{0.93}$

30. $\frac{0.3901}{0.83}$

31. $\frac{0.6958}{0.71}$

32. $\frac{0.1829}{0.31}$

33. $\frac{1.248}{0.52}$

34. $\frac{6.375}{0.85}$

35. $\frac{62.56}{9.2}$

36. $\frac{28.08}{7.8}$

37. $\frac{6.278}{8.6}$

38. $\frac{3.185}{4.9}$

39. $\frac{2.698}{7.1}$

40. $\frac{4.959}{8.7}$

---

У вправах 41-64 розділіть десяткові знаки.

41. $\frac{−11.04}{1.6}$

42. $\frac{−31.27}{5.3}$

43. $\frac{−3.024}{5.6}$

44. $\frac{−3.498}{5.3}$

45. $\frac{−0.1056}{0.22}$

46. $\frac{−0.2952}{−0.72}$

47. $\frac{0.3204}{−0.89}$

48. $\frac{0.3306}{−0.38}$

49. $\frac{−1.419}{0.43}$

50. $\frac{−1.625}{−0.25}$

51. $\frac{−16.72}{−2.2}$

52. $\frac{−66.24}{9.2}$

53. $\frac{−2.088}{−0.87}$

54. $\frac{−2.025}{−0.75}$

55. $\frac{−1.634}{−8.6}$

56. $\frac{−3.094}{3.4}$

57. $\frac{−0.119}{0.85}$

58. $\frac{0.5766}{−0.62}$

59. $\frac{−3.591}{−6.3}$

60. $\frac{−3.016}{5.8}$

61. $\frac{36.96}{−4.4}$

62. $\frac{−78.26}{−8.6}$

63. $\frac{−2.156}{−0.98}$

64. $\frac{−6.072}{0.66}$

---

У вправах 65-76 ділимо десяткове число на задану ступінь 10.

65. $\frac{524.35}{100}$

66. $\frac{849.39}{100}$

67. $\frac{563.94}{10^3}$

68. $\frac{884.15}{10^3}$

69. $\frac{116.81}{10^2}$

70. $\frac{578.01}{10^3}$

71. $\frac{694.55}{10}$

72. $\frac{578.68}{100}$

73. $\frac{341.16}{10^3}$

74. $\frac{46.63}{10^4}$

75. $\frac{113.02}{1000}$

76. $\frac{520.77}{1000}$

---

77. Обчислити частку 52/83 і округлити відповідь до найближчої десятої.

78. Обчислити частку 43/82 і округлити відповідь до найближчої десятої.

79. Обчислити частку 51/59 і округлити відповідь до найближчої десятої.

80. Обчислити частку 17/69 і округлити відповідь до найближчої десятої.

81. Обчислити частку 5/74 і округлити свою відповідь до найближчої сотої.

82. Обчислити частку 3/41 і округлити відповідь до найближчої сотої.

83. Обчислити частку 5/94 і округлити відповідь до найближчої сотої.

84. Обчислити частку 3/75 і округлити відповідь до найближчої сотої.

85. Обчислити частку 7/72 і округлити відповідь до найближчої сотої.

86. Обчислити частку 4/57 і округлити свою відповідь до найближчої сотої.

87. Обчислити частку 16/86 і округлити відповідь до найближчої десятої.

88. Обчислити частку 21/38 і округлити відповідь до найближчої десятої.

---

У вправах 89-100 спростіть даний вираз.

89. $\frac{7.5 \cdot 7.1 − 19.5}{0.54}$

90. $\frac{1.5(−8.8) − (−18.6)}{1.8}$

91. $\frac{17.76 − (−11.7)}{0.52}$

92. $\frac{−14.8 − 2.1}{2.62}$

93. $\frac{−18.22 − 6.7}{14.75 − 7.75}$

94. $\frac{1.4 − 13.25}{−6.84 − (−2.1)}$

95. $\frac{−12.9 − (−10.98)}{0.5^2}$

96. $\frac{5.1 − (−16.5)}{(−1.5)^2}$

97. $\frac{−9.5 \cdot 1.6 − 3.7}{−3.6}$

98. $\frac{6.5(−1.6) − 3.35}{−2.75}$

99. $\frac{−14.98 − 9.6}{17.99 − 19.99}$

100. $\frac{−5.6 − 7.5}{−5.05 − 1.5}$

---

101. Задано a = −2,21, c = 3.3, а d = 0.5, обчислити і спростити наступний вираз.

$$\frac{a − c}{d^2}\nonumber$$

102. Задано a = 2.8, c = −14,68 і d = 0.5, обчислити і спростити наступний вираз.

$$\frac{a − c}{d^2}\nonumber$$

103. З огляду на a = −5,8, b = 10.37, c = 4.8 і d = 5,64, оцініть і спростіть наступний вираз:

$$\frac{a − b}{c − d}\nonumber$$

104. Враховуючи a = −10,79, b = 3.94, c = −3.2 та d = −8.11, оцініть та спростіть наступний вираз:

$$\frac{a − b}{c − d}\nonumber$$

105. Задано a = −1,5, b = 4,7, c = 18,8 і d = −11,75, обчислити і спростити наступний вираз.

$$\frac{ab − c}{d}\nonumber$$

106. Задано a = 9.3, b = 6.6, c = 14.27, а d = 0,2, оцініть і спростіть наступний вираз.

$$\frac{ab − c}{d}\nonumber$$

---

107. Біодизельні рослини. Є близько 180 біодизельних установок, що працюють приблизно в 40 штатах. З держав, які їх мають, яка середня кількість біодизельних рослин на державу? Associated Press-Times-Standard 01/02/10 Молода біопаливна промисловість закінчується рік на ноті.

108. Гриб кажана. Грибок під назвою «синдром білого носа» вбив приблизно 500 000 кажанів по всій країні. Це означає, що близько 2 400 000 фунтів клопів не з'їдаються протягом року, каже біолог Forest Service Беккі Юінг. Скільки кілограмів комах щорічно їсть середньостатистична кажана? Асоційований прес-Час-Стандарт 5/2/09

109. Патентне відставання. У відомстві патентів і товарних знаків США 6000 екзаменаторів мають відставання 770 000 нових, нерозглянутих заявок на патенти. Скільки заявок на кожного екзаменатора наздогнати? Округлите відповідь до найближчої десятої. Асоційований прес-Час-Стандарт 5/5/09

110. Робити добре. Великий медичний страховик Wellpoint, Inc., власник Anthem Blue Cross, заробив 536 мільйонів доларів за останні три місяці 2009 року. Яким був середній заробіток на місяць для страховика за цей період? Округлити до найближчого мільйона. Associated Press-Times-Standard 02/09/10 Секретар HHS просить Гімн Синій Хрест виправдати підвищення ставки.

111. Кібератаки. Пентагон витратив 100 мільйонів доларів протягом шести місяців, реагуючи на пошкодження кібератак та інших проблем з комп'ютерною мережею та відшкодувавши їх. Яка середня сума грошей, витрачених на місяць за цей час? Округлите свою відповідь до найближчої сотої частки мільйона. Асоційовані Прес-Час-Стандарт 4/19/09

112. Щоденне молоко. Середня каліфорнійська корова може виробляти 2,305 галонів молока щорічно. Скільки молока може виробляти корова щодня? Округліть відповідь до найближчої сотої частки галона. www.moomilk.com/faq.htm

113. Медіа-пошта. Щоб просувати свій бізнес, Тереза надсилає кілька пакетів через Media Mail. Один пакет вагою 2 фунтів. коштує $2,77, інший пакет вагою 3 фунтів. коштує $3,16, а третій пакет вагою 5 фунтів. коштує $3,94 на пошту. Якою була середня вартість за фунт на пошту пакетів? Округляйте результат до найближчого копійки. www.usps.com/prices/media-mailprices.htm

---

Відповіді

1. 0,75

3. 9.1

5. 4.5

7. 0,44

9. 0,53

11. 1.5

13. 0,68

15. 4.5

17. 0,74

19. 0,77

21. 8,9

23. 2.7

25. 5,8

27. 9.2

29. 0,93

31. 0,98

33. 2.4

35. 6,8

37. 0,73

39. 0,38

41. −6.9

43. −0,54

45. −0,48

47. −0,36

49. −3.3

51. 7.6

53. 2.4

55. 0,19

57. −0,14

59. 0,57

61. −8.4

63. 2.2

65. 5,2435

67. 0,56394

69. 1,1681

71. 69.455

73. 0,34116

75. 0,1302

77. 0,6

79. 0,9

81. 0,07

83. 0,05

85. 0,10

87. 0,2

89. 62,5

91. 117,84

93. −3.56

95. —7,68

97. 5,25

99. 12,29

101. −22.04

103. 19,25

105. 2.2

107. 4.5 біодизельних установок

109. 128,3

111. 16,67 мільйонів доларів

113. 0,99 дол. США за фунт