1.4: Дроби

У нашому попередньому розділі ми визначили цілі числа:\(0,\pm 1,\pm 2,\pm 3, \ldots .\) До цього набору, тепер ми додамо всі співвідношення цілих чисел з ненульовими знаменниками, як\(\frac{2}{7}, \frac{-11}{17} \ldots\) Ми називаємо це множиною раціональних чисел. Будь-яке раціональне число виглядає як\(\frac{p}{q}\) де\(p\) і\(q\) є цілими числами і не\(q\) є\(0 .\)

Подібно до того, як ми можемо виконувати арифметичні операції з цілими числами, ми також можемо виконувати арифметичні операції з раціональними числами (дробами). Два типи дробів, з якими ми зіткнемося, називаються правильними та неправильними:

• Правильні дроби мають значення менше, ніж\(1,\) наприклад,\(\frac{2}{5}\) і\(\frac{1}{8} .\) Зверніть увагу, що для цих дробів чисельник менше знаменника.
• Неправильні дроби мають значення більше або дорівнює,\(1,\) наприклад,\(\frac{7}{6}\) і\(\frac{3}{2} .\) Для цих дробів чисельник більше знаменника.

Кожне дробове значення може мати безліч різних, еквівалентних форм, наприклад Для\(1=\frac{2}{2}=\frac{-5}{-5}=\ldots\) того, щоб визначити, чи є два дроби еквівалентними, ми можемо використовувати фундаментальний принцип дробів.

Фундаментальний принцип дробів

\[\frac{2}{3}=\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\frac{8}{12}\nonumber\]

Тобто до тих пір, поки ви множите і чисельник і знаменник на одне і те ж число, значення дробу не змінюється, і ви отримаєте еквівалентні дроби.

Приклад 2.1

Напишіть дріб, еквівалентний\(\frac{3}{5}\).

Рішення

Почніть з нашого вихідного дробу\(\frac{3}{5}\) і застосуйте основний принцип дробів, щоб отримати

\[\frac{3}{5}=\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}=\frac{6}{10}\nonumber\]

Приклад 2.2

Спростити дріб\(\frac{15}{35}\).

Рішення

Почніть з нашого вихідного дробу і застосуйте фундаментальний принцип дробів у зворотному напрямку, щоб отримати

\[\frac{15}{35}=\frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}=\frac{3}{7}\nonumber\]

Множення дробів

Множимо чисельники разом і знаменники разом:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\nonumber\]

Приклад 2.3

Твір цих двох фракцій робиться наступним чином:

\[\frac{14 \cdot 9}{3 \cdot 7}=\frac{2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 7}=\frac{6}{1}=6\nonumber\]

Взаємне дробу

Зворотний дріб\(\frac{p}{q}\) - це дріб, утворений при перемиканні чисельника і знаменника, а саме\(\frac{q}{p}\)

Приклад 2.4

1. Відповідне\(\frac{3}{5}\) є\(\frac{5}{3}\).
2. Відповідне\(\frac{-2}{7}\) є\(\frac{7}{-2}=\frac{-7}{2}=-\frac{7}{2}\).
3. Відповідне\(\frac{1}{8}\) є\(\frac{8}{1}=8\).
4. Відповідне\(4=\frac{4}{1}\) є\(\frac{1}{4}\).

Ділення дробів

Першу дріб множимо на зворотний другий:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\nonumber\]

Приклад 2.5

Частка цих двох дробів зустрічається наступним чином:

\(\frac{8}{3} \div \frac{4}{5}=\frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4}=\frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 4} =\frac{2 \cdot 4 \cdot 5}{3 \cdot 4}=\frac{10}{3}\)

Додавання дробів (з однаковими знаменниками)

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}\nonumber\]

Віднімання дробів (з однаковими знаменниками)

\[\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}\nonumber\]

Приклад 2.6

Додати\(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\)

Рішення

\[\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3+1}{5}=\frac{4}{5}\nonumber\]

Додавання або віднімання дробів (з відмінними знаменниками)

Додавання (або віднімання) дробів з несхожими знаменниками вимагає від нас спочатку знайти спільний знаменник. РК-дисплей або найменш спільний знаменник - це найменше число, яке обидва знаменника рівномірно ділять. Після того, як ми перепишемо кожен з наших дробів так, щоб їх знаменник був РК-дисплеєм, ми можемо додавати або віднімати дроби відповідно до вищезазначених властивостей.

Пошук РК-дисплея

• Крок 1: Складіть список (достатньо) кратних для кожного знаменника.
• Крок 2: Визначте найнижчу загальну кратну. Якщо ви не бачите його, то ваші списки на кроці 1. потрібно розширити.

Щоб мати можливість додавати або віднімати дроби, нам потрібно піти ще один крок: Після того, як ви визначили РК-дисплей, перепишіть обидва дроби (множивши і чисельник, і знаменник на відповідне число), щоб отримати РК-дисплей як знаменник.

Приклад 2.7

Знайдіть РК-дисплей, а потім додайте та спростіть\(\frac{3}{12}+\frac{5}{8}\).

Рішення

Давайте спочатку знайдемо РК-дисплей, дотримуючись нашої процедури.

Крок 1. Складіть список (достатньо) кратних:

\(8: 8,16,24,32, \ldots\)

\(12: 12,24,36,48, \ldots\)

Крок 2. РК-дисплей:\(24,8 \cdot 3=24,12 \cdot 2=24\)

Крок 3. Перепишіть кожен дріб за допомогою РК-дисплея:

\[\frac{3}{12}=\frac{3 \cdot 2}{12 \cdot 2}=\frac{6}{24}\nonumber\]

і

\[\frac{5}{8}=\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3}=\frac{15}{24}\nonumber\]

Тепер ми готові додати наші дроби

\[\frac{6}{24}+\frac{15}{24}=\frac{21}{24}\nonumber\]

спрощення врожайності

1. \[\frac{21}{24}=\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 8}=\frac{7}{8}\nonumber\]

Приклад 2.8

Знайдіть РК-дисплей, а потім відніміть і спростіть\(\frac{1}{9}-\frac{3}{5}\).

Рішення

Давайте спочатку знайдемо РК-дисплей, дотримуючись нашої процедури.

Крок 1. Складіть список (достатньо) кратних:

\(9: 9,18,27,36,45,54,63, \ldots\)

\(5: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55, \ldots\)

Крок 2. РК-дисплей:\(45\)

Крок 3. Перепишіть кожен дріб за допомогою РК-дисплея:

\[\frac{1}{9}=\frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5}=\frac{5}{45}\nonumber\]

і

\[\frac{3}{5}=\frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9}=\frac{27}{45}\nonumber\]

Тепер ми готові відняти наші дроби, але, спочатку, перепишемо віднімання як додавання протилежного:

\[\frac{1}{9}-\frac{3}{5}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{5}{45}+\left(-\frac{27}{45}\right)=\frac{5+(-27)}{45}=\frac{-22}{45}\nonumber\]

Написання неправильного дробу як мішаного числа

1. Розділіть чисельник на знаменник.
2. Якщо залишився залишок, напишіть його над знаменником.

Приклад 2.9

Пишіть\(\frac{42}{5}\) як мішане число.

Рішення

Починаємо з ділення чисельника\(42\) на знаменник,\(5\) щоб отримати\(8,\) з залишком\(2\). Наше змішане число є\(8 \frac{2}{5}\).

Написання мішаного числа як неправильного дробу

1. Помножте ціле число і знаменник, потім додайте чисельник. Використовуйте результат як новий чисельник.
2. Знаменник залишається колишнім

Приклад 2.10

Запишіть мішане число\(3 \frac{5}{6}\) як неправильний дріб.

Рішення

1. Помножте знаменник на ціле число.
2. Додайте цей результат до чисельника.
3. Встановіть цей новий чисельник 23 над знаменником 6.

Ми множимо ціле число 3 і знаменник 6, щоб отримати\(18 .\) Далі, ми додаємо до цього чисельник 5, щоб отримати\(23 .\) Це наш новий чисельник і наш неправильний дріб стає\(\frac{23}{6}\).

Додавання і віднімання мішаних чисел

Щоб додати (або відняти) мішані числа, ми можемо перетворити числа на неправильні дроби, а потім додати (або відняти) дроби, як ми бачили в цьому розділі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Відніміть\(7-2 \frac{3}{8}\).

Рішення

Спочатку конвертуємо\(2 \frac{3}{8}=\frac{19}{8}\). Потім ми перепишемо операцію віднімання як додавання протилежного:

\[7-\frac{19}{8}=7+\left(-\frac{19}{8}\right)=\frac{7}{1}+\left(-\frac{19}{8}\right)=\frac{56}{8}+\left(-\frac{19}{8}\right)=\frac{56+(-19)}{8}=\frac{37}{8}=4 \frac{5}{8}\nonumber\]

Крім того, ми можемо зберігати змішані дроби та змішані дроби, а також, додавати (або віднімати) цілочисельні частини разом, а частини дробу разом.

Приклад 2.12

Додати\(7 \frac{3}{4}+3 \frac{1}{5}\)

Рішення

Сюди ж додаємо\(7+3=10\) і\(\frac{3}{4}+\frac{1}{5}=\frac{15}{20}+\frac{4}{20}=\frac{19}{20}\).

І наша остаточна відповідь\(10 \frac{19}{20}\). Зауважимо, що\(\frac{19}{20}\) це правильна фракція, значить, наша робота виконана. Але, якби наша відповідь закінчилася неправильним дробом, нам довелося б зробити конверсію, щоб написати відповідь у спрощеній формі.

Множення та ділення мішаних чисел

Будьте обережні при множенні мішаних чисел. Ви повинні спочатку перетворити їх на неправильні дроби і використовувати правила множення дробів, щоб завершити вашу задачу.

Приклад 2.13

Помножити\(2 \frac{3}{5}\) і\(3 \frac{1}{2}\).

Рішення

Почніть з переписування кожного змішаного числа як неправильного дробу:\(2 \frac{3}{5}=\frac{13}{5}\) і\(3 \frac{1}{2}=\frac{7}{2}\). Тепер приступаємо до множення дробів.

\[\frac{13}{5} \cdot \frac{7}{2}=\frac{13 \cdot 7}{5 \cdot 2}=\frac{91}{10}\nonumber\]

Тепер ми можемо записати результат (якщо хочемо) у вигляді змішаного числа:\(9 \frac{1}{10}\).

Приклад 2.14

Розділити\(\left(1 \frac{4}{5}\right) \div\left(1 \frac{1}{2}\right)\)

Рішення

Починаємо з переписування кожного змішаного числа як неправильного дробу:\(1 \frac{4}{5}=\frac{9}{5}\) а\(1 \frac{1}{2}=\frac{3}{2} .\) тепер приступаємо до ділення дробів

\[\frac{9}{5} \div \frac{3}{2}=\frac{9}{5} \cdot \frac{2}{3}=\frac{9 \cdot 2}{5 \cdot 3}=\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 1}=\frac{6}{5}=1 \frac{1}{5}\nonumber\]

Проблема виходу

Оцініть:\(\frac{3}{4}-1 \frac{5}{6}\).