Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Порядок операцій

Для зручності повторюємо «Правила, що керують порядком операцій», вперше введені в Розділі 1.5.

Правила, що керують порядком операцій

При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

  1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
  2. Оцінити всі експоненти, які з'являються у виразі.
  3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
  4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

Давайте розглянемо ряд прикладів, які вимагають використання цих правил.

Приклад 1

Спрощення: (a) (−3) 2 та (b) −3 2

Рішення

Нагадаємо, що для будь-якого цілого числа a ми маємо (−1) a = − a. Оскільки заперечення еквівалентно множенню на −1, «Правила керівного порядку операцій» вимагають, щоб ми розглядали символи групування та показники перед запереченням.

а) Через угруповання символів ми заперечуємо спочатку, потім квадрат. Тобто,

(3)2=(3)(3)=9.

б) У цьому прикладі відсутні символи групування. Таким чином, ми повинні спочатку квадрат, потім звести нанівець. Тобто,

32=(33)=9.

Вправа

Спрощення: −2 2.

Відповідь

−4

Приклад 2

Спрощення: −2 − 3 (5 − 7).

Рішення

Спочатку угруповання символів, потім множення, потім віднімання.

23(57)=23(2)  Perform subtraction within parentheses.=22(6)  Multiply: 3(2)=6.=2+6  Add the opposite.=4

Вправа

Спрощення: −3 − 2 (6 − 8).

Відповідь

1

Приклад 3

Спрощення: −2 (2 − 4) 2 − 3 (3 − 5) 3.

Рішення

Спочатку угруповання символів, потім множення та віднімання в такому порядку.

\boldsymbol{\begin{aligned} -2(2-4)^2 -3(3-5)^3 = -2(-2)^2 -3(-2)^3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Perform subtraction within parentheses first.} \\ =2 (4) -3(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next.}} \\ =-8-(-24) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplications are next.}} \\ =-8+24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ =16 \end{aligned}\nonumber}

Вправа

Спрощення: −2 (5 − 6) 3 − 3 (5 − 7) 2

Відповідь

-10

Приклад 4

Спрощення: −24 ÷ 8 (−3).

Рішення

Ділення не має переваг перед множенням, або навпаки. Ділення і множення необхідно виконувати в тому порядку, щоб вони відбувалися, рухаючись зліва направо.

24÷8(3)=3(3)  Division first: 24÷8=3.=9

Зверніть увагу, що якщо ви помножите спочатку, що було б неправильно, ви отримаєте зовсім іншу відповідь.

Вправа

Спрощення: −48 ÷ 6 (−2).

Відповідь

16

Приклад 5

Спростити: (−2) (−3) (−2) 3.

Рішення

Спочатку показники, потім множення в тому порядку, в якому воно відбувається, рухаючись зліва направо.

(2)(3)(2)3=(2)(3)(8)  Exponent first: (2)3=8.=6(8)  Multiply from left to right: (2)(3)=6.=48

Ви спробуєте це!

Спростити: (−4) (−2) 2 (−1) 3.

Відповідь

16

Оцінка дробів

Якщо присутній брусок дробу, оцініть чисельник і знаменник окремо за «Правилами керівного порядку операцій», потім виконайте поділ на заключному кроці.

Приклад 6

Спростити:

55(24)3223(5)

Рішення

Оцінити чисельник і знаменник окремо, потім розділити.

55(24)3223(5)=55(2)322(15)  Numerator: parentheses first. Denominator: multiply 3(5)=15.=55(8)22+15  Numerator: exponent (2)3=8. Denominator: add the opposite.=5(40)7 Numerator: multiply 5(8)=40. Denominator: add 22+15=7.=5+407  Numerator: add the opposite.=357  Numerator: 5+40=35.=5  Divide: 35/7=5.

Вправа

Спростити:

62(6)2(2)2

Відповідь

-3

Абсолютна величина

Абсолютне значення обчислює величину вектора, пов'язаного з цілим числом, яке дорівнює відстані між числом і початком (нулем) на числовому рядку. Так, наприклад, |4| = 4 і | − 5| = 5.

Але стовпчики абсолютних значень також діють як символи групування, і згідно з «Правилами, що керують порядком операцій», ви повинні спочатку оцінити вираз всередині пари символів групування.

Приклад 7

Спростити: (a) − (−3) та (b) −| − 3|.

Рішення

Існує величезна різниця між простими символами групування і абсолютним значенням.

а) Це випадок − (− a) = a. Таким чином, − (−3) = 3.

б) Цей випадок сильно відрізняється. Абсолютне значення −3 дорівнює 3, а від'ємне значення дорівнює −3. В символах,

−| − 3| = −3

Вправа

Спростити: −|−8|.

Відповідь

−8

Приклад 8

Спрощення: −3 − 2|5 − 7|.

Рішення

Спочатку оцініть вираз всередині барів абсолютних значень. Потім множити, потім відняти.

32|57|=32|2| 

Вправа

Спрощення: −2 − 4|6 − 8|.

Відповідь

−10

Вправи

У вправах 1-40 обчислити точне значення заданого виразу.

1. 7142

2. 2164

3. 7189

4. 677

5. −54

6. −33

7. 9 − 1 (−7)

8. 85 − 8 (9)

9. −63

10. −35

11. 3 + 9 (4)

12. 6 + 7 (−1)

13. 10 − 72 ÷ 6 · 3+8

14. 8 − 120 ÷ 5 · 6+7

15. 6+142

16. 16+82

17. −34

18. −22

19. 3 − 24 ÷ 4 · 3+4

20. 4 − 40 ÷ 5 · 4+9

21. 64 ÷ 4 · 4

22. 18 ÷ 6 · 1

23. −2 − 3 (−5)

24. 64 − 7 (7)

25. 15 ÷ 1 · 3

26. 30 ÷ 3 · 5

27. 8 + 12 ÷ 6 · 1 − 5

28. 9 + 16 ÷ 2 · 4 − 9

29. 32 ÷ 4 · 4

30. 72 ÷ 4 · 6

31. 11+1616

32. 4+204

33. −52

34. −43

35. 10 + 12 (−5)

36. 4 + 12 (4)

37. 2+6 ÷ 1 · 6 − 1

38. 1 + 12 ÷ 2 · 2 − 6

39. 40 ÷ 5 · 4

40. 30 ÷ 6 · 5


У вправах 41-80 спростіть даний вираз.

41. −11 + | − 1 − (−6) 2 |

42. 13 + | − 21 − (−4) 2 |

43. |0 (−4) | − 4 (−4)

44. |10 (−3) | − 3 (−1)

45. (2 + 3 · 4) − 8

46. (11 + 5 · 2) − 10

47. (8 − 1 · 12) + 4

48. (9 − 6 · 1) + 3

49. (6 + 10 · 4) − 6

50. (8 + 7 · 6) − 12

51. 10 + (6 − 4) 3 − 3

52. 5 + (12 − 7) 2 − 6

53. (6 − 8) 2 − (4 − 7) 3

54. (3 − 8) 2 − (4 − 9) 3

55. |0 (−10) | + 4 (−4)

56. |12 (−5) | + 7 (−5)

57. |8 (−1) | − 8 (−7)

58. |6 (−11) | − 7 (−1)

59. 3 + (3 − 8) 2 − 7

60. 9 + (8 − 3) 3 − 6

61. (4 − 2) 2 − (7 − 2) 3

62. (1 − 4) 2 − (3 − 6) 3

63. 8 −|− 25 − (−4) 2 |

64. 20 −|− 22 − 4 2 |

65. −4 − |30 − (−5) 2 |

66. −8 −|− 11 − (−6) 2 |

67. (8 − 7) 2 − (2 − 6) 3

68. (2 − 7) 2 − (4 − 7) 3

69. 4 − (3 − 6) 3 + 4

70. 6 − (7 − 8) 3 + 2

71. −3 + | − 22 − 5 2 |

72. 12 + |23 − (−6) 2 |

73. (3 − 4 · 1) + 6

74. (12 − 1 · 6) + 4

75. 1 − (1 − 5) 2 + 11

76. 9 − (3 − 1) 3 + 10

77. (2 − 6) 2 − (8 − 6) 3

78. (2 − 7) 2 − (2 − 4) 3

79. |9 (−3) | + 12 (−2)

80. |0 (−3) | + 9 (−7)


У вправах 81-104 спростити даний вираз.

81. 4(10)59

82. 46(8)4

83. 102422610

84. 3292275

85. 32+62518

86. 102+42165

87. 84713

88. 13184

89. 22+621144

90. 72+321081

91. 1252915

92. 52722212

93. 4282632

94. 7262635

95. 102+221027

96. 22+1021027

97. 16(2)191

98. 82015(17

99. 15(15)13(17)

100. 7(9)11

101. 45(19)3

102. 107(11)3

103. 69(4)2

104. 621011

Відповіді

1. 14

3. −5

5. −625

7. 16

9. −216

11. 39

13. −18

15. 13

17. −81

19. −11

21. 64

23. 13

25. 45

27. 5

29. 32

31. −10

33. −25

35. −50

37. 37

39. 32

41. 26

43. 16

45. 6

47. 0

49. 40

51. 15

53. 31

55. −16

57. 64

59. 21

61. −121

63. −33

65. −9

67. 65

69. 35

71. 44

73. 5

75. −4

77. 8

79. 3

81. 5

83. 42

85. −15

87. 2

89. −8

91. −6

93. −3

95. −8

97. 1

99. 1

101. 13

103. −25