2.5: Порядок операцій
Для зручності повторюємо «Правила, що керують порядком операцій», вперше введені в Розділі 1.5.
Правила, що керують порядком операцій
При оцінці виразів дійте в наступному порядку.
- Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
- Оцінити всі експоненти, які з'являються у виразі.
- Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
- Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
Давайте розглянемо ряд прикладів, які вимагають використання цих правил.
Приклад 1
Спрощення: (a) (−3) 2 та (b) −3 2
Рішення
Нагадаємо, що для будь-якого цілого числа a ми маємо (−1) a = − a. Оскільки заперечення еквівалентно множенню на −1, «Правила керівного порядку операцій» вимагають, щоб ми розглядали символи групування та показники перед запереченням.
а) Через угруповання символів ми заперечуємо спочатку, потім квадрат. Тобто,
(−3)2=(−3)(−3)=9.
б) У цьому прикладі відсутні символи групування. Таким чином, ми повинні спочатку квадрат, потім звести нанівець. Тобто,
−32=−(3⋅3)=−9.
Вправа
Спрощення: −2 2.
- Відповідь
-
−4
Приклад 2
Спрощення: −2 − 3 (5 − 7).
Рішення
Спочатку угруповання символів, потім множення, потім віднімання.
−2−3(5−7)=−2−3(−2) Perform subtraction within parentheses.=2−2−(−6) Multiply: 3(−2)=−6.=−2+6 Add the opposite.=4
Вправа
Спрощення: −3 − 2 (6 − 8).
- Відповідь
-
1
Приклад 3
Спрощення: −2 (2 − 4) 2 − 3 (3 − 5) 3.
Рішення
Спочатку угруповання символів, потім множення та віднімання в такому порядку.
\boldsymbol{\begin{aligned} -2(2-4)^2 -3(3-5)^3 = -2(-2)^2 -3(-2)^3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Perform subtraction within parentheses first.} \\ =2 (4) -3(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next.}} \\ =-8-(-24) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplications are next.}} \\ =-8+24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ =16 \end{aligned}\nonumber}
Вправа
Спрощення: −2 (5 − 6) 3 − 3 (5 − 7) 2
- Відповідь
-
-10
Приклад 4
Спрощення: −24 ÷ 8 (−3).
Рішення
Ділення не має переваг перед множенням, або навпаки. Ділення і множення необхідно виконувати в тому порядку, щоб вони відбувалися, рухаючись зліва направо.
−24÷8(−3)=−3(−3) Division first: −24÷8=−3.=9
Зверніть увагу, що якщо ви помножите спочатку, що було б неправильно, ви отримаєте зовсім іншу відповідь.
Вправа
Спрощення: −48 ÷ 6 (−2).
- Відповідь
-
16
Приклад 5
Спростити: (−2) (−3) (−2) 3.
Рішення
Спочатку показники, потім множення в тому порядку, в якому воно відбувається, рухаючись зліва направо.
(−2)(−3)(−2)3=(−2)(−3)(−8) Exponent first: (−2)3=−8.=6(−8) Multiply from left to right: (−2)(−3)=6.=−48
Ви спробуєте це!
Спростити: (−4) (−2) 2 (−1) 3.
- Відповідь
-
16
Оцінка дробів
Якщо присутній брусок дробу, оцініть чисельник і знаменник окремо за «Правилами керівного порядку операцій», потім виконайте поділ на заключному кроці.
Приклад 6
Спростити:
−5−5(2−4)3−22−3(−5)
Рішення
Оцінити чисельник і знаменник окремо, потім розділити.
−5−5(2−4)3−22−3(−5)=−5−5(−2)3−22−(−15) Numerator: parentheses first. Denominator: multiply 3(−5)=−15.=−5−5(−8)−22+15 Numerator: exponent (−2)3=−8. Denominator: add the opposite.=−5−(−40)−7 Numerator: multiply 5(−8)=−40. Denominator: add −22+15=−7.=−5+40−7 Numerator: add the opposite.=35−7 Numerator: −5+40=35.=−5 Divide: 35/−7=−5.
Вправа
Спростити:
6−2(−6)−2−(−2)2
- Відповідь
-
-3
Абсолютна величина
Абсолютне значення обчислює величину вектора, пов'язаного з цілим числом, яке дорівнює відстані між числом і початком (нулем) на числовому рядку. Так, наприклад, |4| = 4 і | − 5| = 5.
Але стовпчики абсолютних значень також діють як символи групування, і згідно з «Правилами, що керують порядком операцій», ви повинні спочатку оцінити вираз всередині пари символів групування.
Приклад 7
Спростити: (a) − (−3) та (b) −| − 3|.
Рішення
Існує величезна різниця між простими символами групування і абсолютним значенням.
а) Це випадок − (− a) = a. Таким чином, − (−3) = 3.
б) Цей випадок сильно відрізняється. Абсолютне значення −3 дорівнює 3, а від'ємне значення дорівнює −3. В символах,
−| − 3| = −3
Вправа
Спростити: −|−8|.
- Відповідь
-
−8
Приклад 8
Спрощення: −3 − 2|5 − 7|.
Рішення
Спочатку оцініть вираз всередині барів абсолютних значень. Потім множити, потім відняти.
−3−2|5−7|=−3−2|−2|
Вправа
Спрощення: −2 − 4|6 − 8|.
- Відповідь
-
−10
Вправи
У вправах 1-40 обчислити точне значення заданого виразу.
1. 7−−142
2. −2−−164
3. −7−−189
4. −6−−77
5. −54
6. −33
7. 9 − 1 (−7)
8. 85 − 8 (9)
9. −63
10. −35
11. 3 + 9 (4)
12. 6 + 7 (−1)
13. 10 − 72 ÷ 6 · 3+8
14. 8 − 120 ÷ 5 · 6+7
15. 6+142
16. 16+82
17. −34
18. −22
19. 3 − 24 ÷ 4 · 3+4
20. 4 − 40 ÷ 5 · 4+9
21. 64 ÷ 4 · 4
22. 18 ÷ 6 · 1
23. −2 − 3 (−5)
24. 64 − 7 (7)
25. 15 ÷ 1 · 3
26. 30 ÷ 3 · 5
27. 8 + 12 ÷ 6 · 1 − 5
28. 9 + 16 ÷ 2 · 4 − 9
29. 32 ÷ 4 · 4
30. 72 ÷ 4 · 6
31. −11+1616
32. 4+−204
33. −52
34. −43
35. 10 + 12 (−5)
36. 4 + 12 (4)
37. 2+6 ÷ 1 · 6 − 1
38. 1 + 12 ÷ 2 · 2 − 6
39. 40 ÷ 5 · 4
40. 30 ÷ 6 · 5
У вправах 41-80 спростіть даний вираз.
41. −11 + | − 1 − (−6) 2 |
42. 13 + | − 21 − (−4) 2 |
43. |0 (−4) | − 4 (−4)
44. |10 (−3) | − 3 (−1)
45. (2 + 3 · 4) − 8
46. (11 + 5 · 2) − 10
47. (8 − 1 · 12) + 4
48. (9 − 6 · 1) + 3
49. (6 + 10 · 4) − 6
50. (8 + 7 · 6) − 12
51. 10 + (6 − 4) 3 − 3
52. 5 + (12 − 7) 2 − 6
53. (6 − 8) 2 − (4 − 7) 3
54. (3 − 8) 2 − (4 − 9) 3
55. |0 (−10) | + 4 (−4)
56. |12 (−5) | + 7 (−5)
57. |8 (−1) | − 8 (−7)
58. |6 (−11) | − 7 (−1)
59. 3 + (3 − 8) 2 − 7
60. 9 + (8 − 3) 3 − 6
61. (4 − 2) 2 − (7 − 2) 3
62. (1 − 4) 2 − (3 − 6) 3
63. 8 −|− 25 − (−4) 2 |
64. 20 −|− 22 − 4 2 |
65. −4 − |30 − (−5) 2 |
66. −8 −|− 11 − (−6) 2 |
67. (8 − 7) 2 − (2 − 6) 3
68. (2 − 7) 2 − (4 − 7) 3
69. 4 − (3 − 6) 3 + 4
70. 6 − (7 − 8) 3 + 2
71. −3 + | − 22 − 5 2 |
72. 12 + |23 − (−6) 2 |
73. (3 − 4 · 1) + 6
74. (12 − 1 · 6) + 4
75. 1 − (1 − 5) 2 + 11
76. 9 − (3 − 1) 3 + 10
77. (2 − 6) 2 − (8 − 6) 3
78. (2 − 7) 2 − (2 − 4) 3
79. |9 (−3) | + 12 (−2)
80. |0 (−3) | + 9 (−7)
У вправах 81-104 спростити даний вираз.
81. 4(−10)−5−9
82. −4⋅6−(−8)−4
83. 102−422⋅6−10
84. 32−922⋅7−5
85. 32+625−1⋅8
86. 102+421−6⋅5
87. −8−47−13
88. 13−18−4
89. 22+6211−4⋅4
90. 72+3210−8⋅1
91. 12−529⋅1−5
92. 52−722⋅2−12
93. 42−826⋅3−2
94. 72−626⋅3−5
95. 102+2210−2⋅7
96. 22+10210−2⋅7
97. 16−(−2)19−1
98. −8−20−15−(−17
99. 15−(−15)13−(−17)
100. 7−(−9)−1−1
101. 4⋅5−(−19)3
102. 10⋅7−(−11)−3
103. −6⋅9−(−4)2
104. −6⋅2−10−11
Відповіді
1. 14
3. −5
5. −625
7. 16
9. −216
11. 39
13. −18
15. 13
17. −81
19. −11
21. 64
23. 13
25. 45
27. 5
29. 32
31. −10
33. −25
35. −50
37. 37
39. 32
41. 26
43. 16
45. 6
47. 0
49. 40
51. 15
53. 31
55. −16
57. 64
59. 21
61. −121
63. −33
65. −9
67. 65
69. 35
71. 44
73. 5
75. −4
77. 8
79. 3
81. 5
83. 42
85. −15
87. 2
89. −8
91. −6
93. −3
95. −8
97. 1
99. 1
101. 13
103. −25