Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Порядок операцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57316

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для зручності повторюємо «Правила, що керують порядком операцій», вперше введені в Розділі 1.5.

    Правила, що керують порядком операцій

    При оцінці виразів дійте в наступному порядку.

    1. Спочатку оцініть вирази, що містяться в символах групування. Якщо символи групування вкладені, спочатку оцініть вираз у внутрішній парі символів групування.
    2. Оцінити всі експоненти, які з'являються у виразі.
    3. Виконуйте всі множення і ділення в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.
    4. Виконуйте всі додавання і віднімання в тому порядку, щоб вони відображалися у виразі, рухаючись зліва направо.

    Давайте розглянемо ряд прикладів, які вимагають використання цих правил.

    Приклад 1

    Спрощення: (a) (−3) 2 та (b) −3 2

    Рішення

    Нагадаємо, що для будь-якого цілого числа a ми маємо (−1) a = − a. Оскільки заперечення еквівалентно множенню на −1, «Правила керівного порядку операцій» вимагають, щоб ми розглядали символи групування та показники перед запереченням.

    а) Через угруповання символів ми заперечуємо спочатку, потім квадрат. Тобто,

    \[ \begin{aligned} (−3)^2 = (−3)(−3) \\ & = 9. \end{aligned}\nonumber \]

    б) У цьому прикладі відсутні символи групування. Таким чином, ми повинні спочатку квадрат, потім звести нанівець. Тобто,

    \[ \begin{aligned} −3^2 = −(3 \cdot 3) \\ = −9. \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −2 2.

    Відповідь

    −4

    Приклад 2

    Спрощення: −2 − 3 (5 − 7).

    Рішення

    Спочатку угруповання символів, потім множення, потім віднімання.

    \[ \begin{aligned} -2-3(5-7)=-2-3(-2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Perform subtraction within parentheses.}} \\ =2 -2-(-6) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3(-2)=-6.} \\ = -2+6 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ =4 \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −3 − 2 (6 − 8).

    Відповідь

    1

    Приклад 3

    Спрощення: −2 (2 − 4) 2 − 3 (3 − 5) 3.

    Рішення

    Спочатку угруповання символів, потім множення та віднімання в такому порядку.

    \[ \begin{aligned} -2(2-4)^2 -3(3-5)^3 = -2(-2)^2 -3(-2)^3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Perform subtraction within parentheses first.} \\ =2 (4) -3(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponents are next.}} \\ =-8-(-24) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiplications are next.}} \\ =-8+24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ =16 \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −2 (5 − 6) 3 − 3 (5 − 7) 2

    Відповідь

    -10

    Приклад 4

    Спрощення: −24 ÷ 8 (−3).

    Рішення

    Ділення не має переваг перед множенням, або навпаки. Ділення і множення необхідно виконувати в тому порядку, щоб вони відбувалися, рухаючись зліва направо.

    \[ \begin{aligned} -24 \div 8(-3) = -3(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Division first: } -24 \div 8 = -3.} \\ =9 \end{aligned}\nonumber \]

    Зверніть увагу, що якщо ви помножите спочатку, що було б неправильно, ви отримаєте зовсім іншу відповідь.

    Вправа

    Спрощення: −48 ÷ 6 (−2).

    Відповідь

    16

    Приклад 5

    Спростити: (−2) (−3) (−2) 3.

    Рішення

    Спочатку показники, потім множення в тому порядку, в якому воно відбувається, рухаючись зліва направо.

    \[ \begin{aligned} (-2)(-3)(-2)^3 = (-2)(-3)(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Exponent first: } (-2)^3 = -8.} \\ =6(-8) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply from left to right: } (-2)(-3) = 6.} \\ =-48 \end{aligned}\nonumber \]

    Ви спробуєте це!

    Спростити: (−4) (−2) 2 (−1) 3.

    Відповідь

    16

    Оцінка дробів

    Якщо присутній брусок дробу, оцініть чисельник і знаменник окремо за «Правилами керівного порядку операцій», потім виконайте поділ на заключному кроці.

    Приклад 6

    Спростити:

    \[ \frac{-5-5(2-4)^3}{-22 - 3(-5)}\nonumber \]

    Рішення

    Оцінити чисельник і знаменник окремо, потім розділити.

    \[ \begin{aligned} \frac{-5-5(2-4)^3}{-22-3(-5)} = \frac{-5-5(-2)^3}{-22-(-15)} ~ & \begin{array}{l} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: parentheses first.}} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: multiply } 3(-5)=-15.} \end{array} \\ = \frac{-5-5(-8)}{-22+15} ~ & \begin{array}{l} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: exponent } (-2)^3 = -8.} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: add the opposite.}} \end{array} \\ = \frac{-5-(-40)}{-7} & \begin{array}{l} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: multiply } 5(-8) = -40.} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: add } -22 + 15 = -7.} \end{array} \\ = \frac{-5+40}{-7} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Numerator: add the opposite.}} \\ = \frac{35}{-7} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Numerator: } -5 + 40 = 35.} \\ = -5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 35/-7 = -5.} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спростити:

    \[ \frac{6-2(-6)}{-2-(-2)^2}\nonumber \]

    Відповідь

    -3

    Абсолютна величина

    Абсолютне значення обчислює величину вектора, пов'язаного з цілим числом, яке дорівнює відстані між числом і початком (нулем) на числовому рядку. Так, наприклад, |4| = 4 і | − 5| = 5.

    Але стовпчики абсолютних значень також діють як символи групування, і згідно з «Правилами, що керують порядком операцій», ви повинні спочатку оцінити вираз всередині пари символів групування.

    Приклад 7

    Спростити: (a) − (−3) та (b) −| − 3|.

    Рішення

    Існує величезна різниця між простими символами групування і абсолютним значенням.

    а) Це випадок − (− a) = a. Таким чином, − (−3) = 3.

    б) Цей випадок сильно відрізняється. Абсолютне значення −3 дорівнює 3, а від'ємне значення дорівнює −3. В символах,

    −| − 3| = −3

    Вправа

    Спростити: −|−8|.

    Відповідь

    −8

    Приклад 8

    Спрощення: −3 − 2|5 − 7|.

    Рішення

    Спочатку оцініть вираз всередині барів абсолютних значень. Потім множити, потім відняти.

    \[ \begin{aligned} -3-2|5-7|=-3-2|-2| ~ & \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −2 − 4|6 − 8|.

    Відповідь

    −10

    Вправи

    У вправах 1-40 обчислити точне значення заданого виразу.

    1. \(7 - \frac{-14}{2}\)

    2. \(-2 - \frac{-16}{4}\)

    3. \(-7 - \frac{-18}{9}\)

    4. \(-6 - \frac{-7}{7}\)

    5. −54

    6. −33

    7. 9 − 1 (−7)

    8. 85 − 8 (9)

    9. −63

    10. −35

    11. 3 + 9 (4)

    12. 6 + 7 (−1)

    13. 10 − 72 ÷ 6 · 3+8

    14. 8 − 120 ÷ 5 · 6+7

    15. \(6 + \frac{14}{2}\)

    16. \(16 + \frac{8}{2}\)

    17. −34

    18. −22

    19. 3 − 24 ÷ 4 · 3+4

    20. 4 − 40 ÷ 5 · 4+9

    21. 64 ÷ 4 · 4

    22. 18 ÷ 6 · 1

    23. −2 − 3 (−5)

    24. 64 − 7 (7)

    25. 15 ÷ 1 · 3

    26. 30 ÷ 3 · 5

    27. 8 + 12 ÷ 6 · 1 − 5

    28. 9 + 16 ÷ 2 · 4 − 9

    29. 32 ÷ 4 · 4

    30. 72 ÷ 4 · 6

    31. \(-11 + \frac{16}{16}\)

    32. \(4 + \frac{-20}{4}\)

    33. −52

    34. −43

    35. 10 + 12 (−5)

    36. 4 + 12 (4)

    37. 2+6 ÷ 1 · 6 − 1

    38. 1 + 12 ÷ 2 · 2 − 6

    39. 40 ÷ 5 · 4

    40. 30 ÷ 6 · 5

    У вправах 41-80 спростіть даний вираз.

    41. −11 + | − 1 − (−6) 2 |

    42. 13 + | − 21 − (−4) 2 |

    43. |0 (−4) | − 4 (−4)

    44. |10 (−3) | − 3 (−1)

    45. (2 + 3 · 4) − 8

    46. (11 + 5 · 2) − 10

    47. (8 − 1 · 12) + 4

    48. (9 − 6 · 1) + 3

    49. (6 + 10 · 4) − 6

    50. (8 + 7 · 6) − 12

    51. 10 + (6 − 4) 3 − 3

    52. 5 + (12 − 7) 2 − 6

    53. (6 − 8) 2 − (4 − 7) 3

    54. (3 − 8) 2 − (4 − 9) 3

    55. |0 (−10) | + 4 (−4)

    56. |12 (−5) | + 7 (−5)

    57. |8 (−1) | − 8 (−7)

    58. |6 (−11) | − 7 (−1)

    59. 3 + (3 − 8) 2 − 7

    60. 9 + (8 − 3) 3 − 6

    61. (4 − 2) 2 − (7 − 2) 3

    62. (1 − 4) 2 − (3 − 6) 3

    63. 8 −|− 25 − (−4) 2 |

    64. 20 −|− 22 − 4 2 |

    65. −4 − |30 − (−5) 2 |

    66. −8 −|− 11 − (−6) 2 |

    67. (8 − 7) 2 − (2 − 6) 3

    68. (2 − 7) 2 − (4 − 7) 3

    69. 4 − (3 − 6) 3 + 4

    70. 6 − (7 − 8) 3 + 2

    71. −3 + | − 22 − 5 2 |

    72. 12 + |23 − (−6) 2 |

    73. (3 − 4 · 1) + 6

    74. (12 − 1 · 6) + 4

    75. 1 − (1 − 5) 2 + 11

    76. 9 − (3 − 1) 3 + 10

    77. (2 − 6) 2 − (8 − 6) 3

    78. (2 − 7) 2 − (2 − 4) 3

    79. |9 (−3) | + 12 (−2)

    80. |0 (−3) | + 9 (−7)

    У вправах 81-104 спростити даний вираз.

    81. \( \frac{4(-10) -5}{-9}\)

    82. \( \frac{-4 \cdot 6 - (-8)}{-4}\)

    83. \(\frac{10^2 - 4^2}{2 \cdot 6 - 10}\)

    84. \(\frac{3^2 - 9^2}{2 \cdot 7 - 5}\)

    85. \( \frac{3^2 + 6^2}{5 - 1 \cdot 8}\)

    86. \( \frac{10^2 + 4^2}{1 - 6 \cdot 5}\)

    87. \( \frac{-8-4}{7 - 13}\)

    88. \( \frac{13-1}{8-4}\)

    89. \( \frac{2^2 + 6^2}{11 - 4 \cdot 4}\)

    90. \( \frac{7^2 + 3^2}{10 - 8 \cdot 1}\)

    91. \(\frac{1^2 - 5^2}{9 \cdot 1 - 5}\)

    92. \( \frac{5^2 - 7^2}{2 \cdot 2 - 12}\)

    93. \( \frac{4^2 - 8^2}{6 \cdot 3 - 2}\)

    94. \( \frac{7^2 - 6^2}{6 \cdot 3 - 5}\)

    95. \( \frac{10^2 + 2^2}{10-2 \cdot 7}\)

    96. \( \frac{2^2 + 10^2}{10 - 2 \cdot 7}\)

    97. \( \frac{16-(-2)}{19-1}\)

    98. \( \frac{-8-20}{-15-(-17}\)

    99. \( \frac{15 -(-15)}{13-(-17)}\)

    100. \( \frac{7-(-9)}{-1-1}\)

    101. \( \frac{4 \cdot 5 - (-19)}{3}\)

    102. \( \frac{10 \cdot 7 - (-11)}{-3}\)

    103. \( \frac{-6 \cdot 9 -(-4)}{2}\)

    104. \( \frac{-6 \cdot 2 - 10}{-11}\)

    Відповіді

    1. 14

    3. −5

    5. −625

    7. 16

    9. −216

    11. 39

    13. −18

    15. 13

    17. −81

    19. −11

    21. 64

    23. 13

    25. 45

    27. 5

    29. 32

    31. −10

    33. −25

    35. −50

    37. 37

    39. 32

    41. 26

    43. 16

    45. 6

    47. 0

    49. 40

    51. 15

    53. 31

    55. −16

    57. 64

    59. 21

    61. −121

    63. −33

    65. −9

    67. 65

    69. 35

    71. 44

    73. 5

    75. −4

    77. 8

    79. 3

    81. 5

    83. 42

    85. −15

    87. 2

    89. −8

    91. −6

    93. −3

    95. −8

    97. 1

    99. 1

    101. 13

    103. −25