Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Віднімання цілих чисел

У розділі 1.2 ми заявили, що «Віднімання - це протилежність додаванню». Таким чином, щоб відняти 4 з 7, ми пройшли сім одиниць вправо по числовій лінії, але потім пройшли 4 одиниці в зворотному напрямку (вліво), як показано на малюнку2.3.1.

Знімок екрана 2019-08-14 о 10.40.12 AM.png
Малюнок2.3.1: Віднімання вимагає зворотного напрямку.

Таким чином, 7 − 4 = 3. Ключова фраза - «додати протилежне». Таким чином, віднімання 7 − 4 стає додаванням 7 + (−4), яке ми зобразили на числовому рядку, як показано на малюнку2.3.2.

Знімок екрана 2019-08-14 о 10.40.18 AM.png
Малюнок2.3.2: Віднімання означає додати протилежне.

Малюнок2.3.1 і рисунок2.3.2 дають достатньо доказів того, що віднімання 7−4 ідентичне додаванню 7+ (−4). Знову ж таки, віднімання означає «додати протилежне». Тобто 7 − 4=7+ (−4).

Визначення віднімання

Віднімання означає «додати протилежне». Тобто, якщо a і b є будь-якими цілими числами, то

ab=a+(b).

Так, наприклад, −123−150 = −123+ (−150) і −57− (−91) = −57+91. У кожному випадку віднімання означає «додати протилежне». У першому випадку віднімання 150 є таким же, як додавання −150. У другому випадку віднімання−91 є таким же, як додавання 91.

Приклад 1

Знайдіть відмінності: (a) 4 − 8, (b) −15 − 13 та (c) −117 − (−115).

Рішення

У кожному випадку віднімання означає «додати протилежне».

а) Змініть віднімання на додавання фразою «віднімання означає додати протилежне». Тобто 4−8 = 4+ (−8). Тепер ми можемо виконати це додавання на числовому рядку.

Знімок екрана 2019-08-14 в 10.43.44 AM.png

Таким чином, 4 − 8=4+ (−8) = −4.

б) Спочатку змініть віднімання на додавання, «додаючи протилежне». Тобто −15 − 13 = −15 + (−13). Тепер ми можемо використовувати фізичну інтуїцію для виконання додавання. Почніть з початку (нуль), пройдіть 15 одиниць вліво, потім ще 13 одиниць зліва, доходячи до відповіді −28. Тобто,

1513=15+(13) =28.

в) Спочатку змініть віднімання на додавання, «додаючи протилежне». Тобто, −117 − (−115) = −117 + 115. Використовуючи «Додавання двох цілих чисел зі знаками відмінності» з розділу 2.2, спочатку відніміть меншу величину від більшої величини; тобто 117 − 115 = 2. Оскільки значення −117 має більшу величину і його знак від'ємний, префіксуйте негативний знак різниці величин. Таким чином,

117(115)=117+115=2.

Вправа

Для оцінки різниці −11 − (−9) використайте кожен із методів у частях (a), (b) та (c) Прикладу 1.

Відповідь

−2

Порядок операцій

Тепер ми застосуємо «Правила, що керують порядком операцій» з розділу 1.5 до ряду прикладів вправ.

Приклад 2

Спростити −5 − (−8) − 7.

Рішення

Працюємо зліва направо, змінюючи кожне віднімання «додаючи протилежне».

5(8)7=5+8+(7)  Add the opposite of 8, which is 8.  Add the opposite of 7, which is 7.=3+(7) Working left to right, 5+8=3.=4 3+(7)=4.

Вправа

Спрощення: −3 − (−9) − 11.

Відповідь

−5

Угруповання символів говорить «зроби мене першим».

Приклад2.3.1

Спростити −2 − (−2 − 4).

Рішення

Спочатку слід обчислити дужкові вирази.

2(24)=2(2+(4))  Simplify the parenthetical expression  first. Add the opposite of 4, which is 4.=2(6)  Inside the parentheses, 2+(4)=6.=2+6  Subtracting a 6 is the same as adding a 6.=4   Add: 2+6=4.

Вправа

Спрощення: −3 − (−3 − 3).

Відповідь

3

Зміна як різниця

Припустимо, що коли я виходжу з дому рано вранці, температура на вулиці становить 40 за Фаренгейтом. Пізніше вдень температура вимірює 60◦ за Фаренгейтом. Як виміряти зміну температури?

Зміна кількості

Щоб виміряти зміну кількості, завжди віднімайте перше вимірювання з останнього вимірювання. Тобто:

Change in a Quantity=Latter MeasurementFormer Measurement

Таким чином, для вимірювання зміни температури виконую віднімання наступним чином:

Change in Temperature=Latter MeasurementFormer Measurement =60F40F =20F

Відзначимо, що позитивна відповідь узгоджується з тим, що підвищилася температура.

Приклад 4

Припустимо, що вдень температура вимірюється 65 за Фаренгейтом, потім пізно ввечері температура опускається до 44 за Фаренгейтом. Знайдіть зміну температури.

Рішення

Щоб виміряти зміну температури, ми повинні відняти колишнє вимірювання з останнього вимірювання.

Change in Temperature=Latter MeasurementFormer Measurement =44F65F =11F

Відзначимо, що негативна відповідь узгоджується з тим, що температура знизилася. Відбулася «зміна» −11 за Фаренгейтом.

Вправа

Маріанна прокидається до ранкової температури 54 за Фаренгейтом. Шторм б'є, знижуючи температуру до 43 за Фаренгейтом. Знайдіть зміну температури.

Відповідь

−11◦ Фаренгейт

Приклад 5

Іноді гістограма не є найбільш підходящою візуалізацією для ваших даних. Наприклад, розглянемо гістограму на малюнку,2.3.3 що зображує середнє значення Dow Industrial Average протягом семи днів поспіль у березні 2009 року. Оскільки бруски мають майже однакову висоту, важко виявити коливання або зміну промислового середнього Dow.

Визначимо зміну середнього показника Dow Industrial щодня. Не забудьте відняти останнє вимірювання мінус перше (поточний день мінус колишній день). Це дає нам наступні зміни.

Послідовні дні Зміна промислового середнього показника Dow
Нд-Пн 6900 - 7000 = -100
пн-вт 6800 - 6900 = -100
Віт-Ср 6800 - 6800 = 0
Ср-Чт 7000 - 6800 = 200
чт-пт 7100 - 7000 = 100
Пт-Сб 7200 - 7100 = 100
Знімок екрана 2019-08-14 о 11.06.59 AM.png
Малюнок2.3.3: Гістограма прибутку і збитків.

Ми будемо використовувати дані в таблиці для побудови лінійного графіка. На горизонтальній осі розміщуємо пари днів поспіль (див.2.3.4 Рис. На вертикальній осі розміщуємо Зміна промислового Dow Average. У кожну пару днів будуємо точку на висоті, рівній зміні Dow Industrial Average, розрахованого в нашій таблиці.

Знімок екрана 2019-08-14 о 11.07.23 AM.png
Малюнок2.3.4: Графік зміни в Dow в порівнянні з послідовними днями.

Зверніть увагу, що дані, відображені на малюнку,2.3.4 більш легко показують зміни в Dow Industrial Average щодня. Наприклад, зараз легко вибрати день, в якому спостерігався найбільший приріст Доу (з середи по четвер Доу піднявся на 200 пунктів).

вправи

У Вправи 1-24 знайдіть різницю.

1. 16 − 20

2. 17 − 2

3. 10 − 12

4. 16 − 8

5. 14 − 11

6. 5 − 8

7. 7 − (−16)

8. 20 − (−10)

9. −4 − (−9)

10. −13 − (−3)

11. 8 − (−3)

12. 14 − (−20)

13. 2 − 11

14. 16 − 2

15. −8 − (−10)

16. −14 − (−2)

17. 13 − (−1)

18. 12 − (−13)

19. −4 − (−2)

20. −6 − (−8)

21. 7 − (−8)

22. 13 − (−14)

23. −3 − (−10)

24. −13 − (−9)


У вправах 25-34 спростіть даний вираз.

25. 14 − 12 − 2

26. −19 − (−7) − 11

27. −20 − 11 − 18

28. 7 − (−13) − (−1)

29. 5 − (−10) − 20

30. −19 − 12 − (−8)

31. −14 − 12 − 19

32. −15 − 4 − (−6)

33. −11 − (−7) − (−6)

34. 5 − (−5) − (−14)


У вправах 35-50 спростіть даний вираз.

35. −2 − (−6 − (−5))

36. 6 − (−14 − 9)

37. (−5 − (−8)) − (−3 − (−2))

38. (−6 − (−8)) − (−9 − 3)

39. (6 − (−9)) − (3 − (−6))

40. (−2 − (−3)) − (3 − (−6))

41. −1 − (10 − (−9))

42. 7 − (14 − (−8)

43. 3 − (−8 − 17)

44. 1 − (−1 − 4)

45. 13 − (16 − (−1))

46. −7 − (−3 − (−8))

47. (7 − (−8)) − (5 − (−2))

48. (6 − 5) − (7 − 3)

49. (6 − 4) − (−8 − 2)

50. (2 − (−6)) − (−9 − (−3))


51. Перша зареєстрована температура 42 F Через чотири години, друга температура 65 F Що таке зміна температури?

52. Перша зареєстрована температура - 79 F Через чотири години, друга температура 46 F Що таке зміна температури?

53. Перша зареєстрована температура - 30 F Через чотири години, друга температура 51 F Що таке зміна температури?

54. Перша зареєстрована температура - 109 F Через чотири години, друга температура - 58 F Що таке зміна температури?

55. Типові температури в Фербенксі, на Алясці в січні складають −2 градуси за Фаренгейтом вдень і −19 градусів за Фаренгейтом вночі. Що таке зміна температури від дня до ночі?

56. Типові літні температури в Фербенксі, на Алясці, в липні становлять 79 градусів за Фаренгейтом вдень і 53 градуси за Фаренгейтом вночі. Що таке зміна температури від дня до ночі?

57. Спілкування. Підводний човен на 1600 футів нижче рівня моря спілкується з пілотом, що летить 22,500 футів у повітрі безпосередньо над підводним човном. Як далеко подорожує комюніке?

58. Найвищий до найнижчого. Найвище місце на землі знаходиться на горі Еверест в Непалі-Тибеті на 8,848 метрів. Найнижча точка земної кори - Маріанська западина в північній частині Тихого океану на 10 923 метри нижче рівня моря. Яка відстань між найвищою та найнижчою точками на землі? Вікіпедія http://en.Wikipedia.org/wiki/Extremes_on_Earth

59. Найнижча висота. Найнижча точка в Північній Америці - Долина Смерті, Каліфорнія на -282 футів. Найнижча точка на всій земній масі знаходиться на березі Мертвого моря вздовж ізраїльсько-йорданського кордону з висотою -1371 футів. Наскільки нижче берег Мертвого моря від Долини Смерті?

60. Результати іспитів. Оцінки Фрейди на її перших семи іспитах з математики показані на наступній гістограмі. Обчисліть відмінності між послідовними іспитами, а потім створіть лінійний графік відмінностей на кожній парі послідовних іспитів. Між якими двома парами послідовних іспитів Фрейда показала найбільше вдосконалення?

Знімок екрана 2019-08-14 о 11.11.07 AM.png


Відповіді

1. −4

3. −2

5. 3

7. 23

9. 5 11. 11 13. −9 15. 2 17. 14 19. −2 21. 15 23. 7 25. 0 27. −49 29. −5 31. -45 33. 2 35. −1 37. 4 39. 6 41. −20 43. 28 45. −4 47. 8 49. 12 51. 23◦ F 53. 21◦ F 55. −17 градусів Фаренгейта 57. 100 футів 59. 1089 футів нижче