Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4: Множення та ділення цілих чисел

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57332

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перш ніж ми почнемо, нехай відомо, що цілі числа задовольняють тим же властивостям множення, що і цілі числа.

    Цілочисельні властивості множення

    Комутативне майно. Якщо a і b є цілими числами, то їх добуток комутується. Тобто,

    \[a \cdot b = b \cdot a.\nonumber \]

    Асоціативна властивість. Якщо a, b і c є цілими числами, то їх добуток асоціативний. Тобто,

    \[(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).\nonumber \]

    Мультиплікативна властивість ідентичності. Якщо a - будь-яке ціле число, то

    \[a \cdot 1 = a \text{ and } 1 \cdot a = a.\nonumber \]

    Оскільки множення будь-якого цілого числа на 1 повертає однакове ціле число, ціле число 1 називається мультиплікативною ідентичністю.

    У розділі 1.3 ми дізналися, що множення еквівалентно повторному додаванню. Наприклад,

    \[ 3 \cdot 4 = \underbrace{4 + 4 + 4}_{\text{three fours}} \nonumber \]

    На числовому рядку три набори з чотирьох еквівалентно ходіння трьох наборів з чотирьох одиниць праворуч, починаючи з нуля, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

    Знімок екрана 2019-08-14 о 11.28.28 AM.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зверніть увагу, що 3 · 4 = 4 + 4 + 4. Тобто 3 · 4 = 12.

    Цей приклад і невелика думка повинні переконати читачів, що добуток двох натуральних чисел завжди буде натуральним числом.

    Добуток двох натуральних чисел

    Якщо a і b - два натуральних числа, то їх добуток ab також є натуральним числом.

    Наприклад, 2 · 3 = 6 і 13 · 117 = 1521. У кожному конкретному випадку добуток двох натуральних чисел є натуральне число.

    Добуток натурального цілого та від'ємного цілого

    Якщо ми продовжимо ідею, що множення еквівалентно повторному додаванню, то воно повинно бути таким

    \[ 3 \cdot (-4) = \underbrace{-4+(-4)+(-4)}_{ \text{three negative fours}}. \nonumber\nonumber \]

    На малюнку на числовому рядку 3 · (−4) буде еквівалентно ходьбі трьох множин негативних чотирьох одиниць (ліворуч), починаючи з нуля, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

    Знімок екрана 2019-08-14 о 11.32.05 AM.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Зауважте, що 3 · (−4) = −4+ (−4) + (−4). Тобто 3 · (−4) = −12.

    Зверніть увагу, принаймні в даному конкретному випадку, що добуток натурального і від'ємного цілого числа є від'ємним цілим числом.

    Ми показали, що 3 · (−4) = −12. Однак цілочисельне множення є комутативним, тому має бути істинним, що −4 · 3 = −12. Тобто добуток від'ємного цілого і натурального цілого - це теж від'ємне ціле число. Хоча і не є доказом, цей аргумент мотивує наступний факт про цілочисельне множення.

    Добуток натурального цілого та від'ємного цілого

    Два факти вірні:

    1. Якщо a - натуральне число, а b - від'ємне, то добуток ab є від'ємним числом.
    2. Якщо a - від'ємне ціле число, а b - натуральне, то добуток ab є від'ємним цілим числом.

    Так, наприклад, 5 · (−12) = −60 і −13 · 2 = −26. У кожному випадку відповідь негативна, оскільки ми приймаємо продукт, де один із факторів є позитивним, а інший негативним.

    Розподільна власність

    Цілі числа задовольняють розподільчої властивості.

    Розподільна власність

    Нехай a, b і c будуть цілими числами. Потім,

    \[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c.\nonumber \]

    Ми говоримо, що «множення є розподільним щодо додавання».

    Зверніть увагу, як a «розподіляється». A множиться на кожен член у дужках.

    Для прикладу розглянемо вираз 3 · (4 + 5). Ми можемо оцінити цей вираз відповідно до порядку операцій, спочатку спрощуючи вираз всередині дужок.

    \[ \begin{align*} 3 \cdot (4 + 5) &= 3 \cdot 9 \\[4pt] &= 27 \end{align*}\nonumber \]

    Але ми також можемо використовувати розподільну властивість, множивши кожен член всередині дужок на три, а потім спрощуючи результат.

    \ [\ почати {вирівняний} ~ &\ textcolor {червоний} {\ текст {Розподілити 3:}} 3 (4+5)\\
    ~ &\ textcolor {червоний} {\ текст {Виконайте множення спочатку:}} = 3\ cdot 4 + 3\ cdot 5\\
    ~ &\ textcolor {червоний} {\ текст {Додати:}} =12+15\
    ~ &\ textcolor {червоний}} {\ текст {Сума:}} =27 \\
    \ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

    Зверніть увагу, що оцінка 3 · (4 + 5) за допомогою розподільної властивості дає той же результат, що і оцінка (2.1) з використанням порядку операцій.

    Мультиплікативна властивість нуля

    Дистрибутивна властивість може бути використана для надання доказів ряду важливих властивостей цілих чисел. Одним з важливих властивостей є той факт, що якщо помножити ціле число на нуль, то добуток дорівнює нулю. Ось доказ того факту, який використовує розподільну властивість.

    Дозвольте a бути будь-яким цілим числом. Потім,

    \[ \begin{aligned} a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Additive Identity Property: = 0 + 0 = 0.}} \\ a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute } a \text{ times each zero in the parentheses.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Далі, щоб «скасувати» ефект додавання a · 0, відніміть a · 0 з обох сторін рівняння.

    \[ \begin{aligned} a \cdot 0 - a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0 + a \cdot 0 - a \cdot 0 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } a \cdot 0 \text{ from both sides.}} \\ 0 = a \cdot 0 ~ & \textcolor{red}{ a \cdot 0 - a \cdot 0 = 0 \text{ on each side.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Мультиплікативна властивість нуля

    Дозвольте a представляти будь-яке ціле число. Тоді

    а · 0 = 0 і 0 · а = 0.

    Так, наприклад, −18 · 0 = 0 і 0 · 122 = 0.

    Множення на мінус одиницю

    Ось ще одне корисне застосування розподільного властивості.

    \ [\ begin {вирівняний} (-1) a + a = (-1) a + 1a ~ &\ textcolor {червоний} {\ text {Замінити} a\ text {з} 1a.}\
    = (-1 + 1) a ~ &\ textcolor {червоний} {\ text {Використовуйте розподільну властивість для фактору} a.} \\
    =0a ~ &\ колір тексту {червоний} {\ текст {Замінити} -1+1\ текст {з} 0.} \\
    =0~ &\ колір тексту {червоний} {\ текст {Замінити} 0a\ текст {з 0.}} \ end {вирівняний}\ nonumber\]

    Таким чином, (−1) a + a = 0. Тобто, якщо ви додасте (−1) a до a, ви отримаєте нуль. Однак, Additive Inverse Property говорить, що − a — це унікальне число, яке ви додаєте до a, щоб отримати нуль. Слід зробити висновок, що (−1) a = − a.

    Множення на мінус одиницю

    Якщо a - будь-яке ціле число, то

    \[(−1)a = −a.\nonumber \]

    Так, наприклад, −1 (4) = −4 і −1 (−4) = − (−4) = 4.

    Це властивість досить важливо, як ми побачимо в подальшій роботі. Він не тільки говорить нам про те, що (−1) a = − a, але й говорить нам, що якщо ми бачимо − a, то його можна інтерпретувати як значення (−1) a.

    Добуток двох від'ємних цілих чисел

    Ми можемо використати мультиплікативну властивість −1, тобто (−1) a = − a, щоб знайти добуток двох від'ємних чисел.

    \[ \begin{aligned} (-4)(-3) = [(-1)(4)](-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Replace } -4 \text{ with } (-1)(4).} \\ =(-1)[(4)(-3)] ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the associative property to regroup.}} \\ = (-1)(-12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ We know: } (4)(-3) = -12.} \\ = -(-12) ~ & \textcolor{red}{ (-1)a = -a. \text{ Here } (-1)(-12) = -(-12).} \\ =12 ~ & \textcolor{red}{ -(-a) = a. \text{ Here } -(-12) = 12.} \end{aligned}\nonumber \]

    Таким чином, принаймні у випадку (−4) (−3) добуток двох від'ємних чисел є натуральним числом. Це вірно в цілому.

    Добуток двох від'ємних цілих чисел

    Якщо і a, і b є від'ємними цілими числами, то їх добуток ab є натуральним числом.

    Так, наприклад, (−5) (−7) = 35 і (−112) (−6) = 672. У кожному випадку відповідь позитивна, тому що добуток двох від'ємних цілих чисел є натуральним числом.

    Пристрій пам'яті

    Ось простий пристрій пам'яті, який допоможе запам'ятати правила знаходження добутку двох цілих чисел.

    Як і на відміну від знаків

    Виділяють два випадки:

    На відміну від знаків. Добуток двох цілих чисел з несхожими знаками від'ємний. Тобто:

    (+) (−) = −

    (−) (+) = −

    Як Знаки. Добуток двох цілих чисел з подібними знаками є додатним. Тобто:

    (+) (+) = +

    (−) (−) =+

    Приклад 1

    Спростити: (a) (−3) (−2), (b) (4) (−10) та (c) (12) (−3).

    Рішення

    У кожному прикладі ми використовуємо підхід знаків «подобається» і «на відміну».

    а) Подібні ознаки дає позитивний результат. Отже, (−3) (−2) = 6.

    б) На відміну від знаків дає негативний результат. Отже, (4) (−10) = −40.

    в) На відміну від знаків дає негативний результат. Отже, (12) (−3) = −36.

    Вправа

    Спростити: (a) (−12) (4) та (b) (−3) (−11).

    Відповідь

    (а) −48, (б) 33

    Приклад 2

    Спростити (−3) (2) (−4) (−2).

    Рішення

    Порядок операцій вимагає, щоб ми працювали зліва направо.

    \[ \begin{aligned} (-3)(2)(-4)(-2) = (-6)(-4)(-2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Work left to right: } (-3)(2) = -6.} \\ = (24)(-2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Work left to right: } (-6)(-4) = 24.} \\ =-48 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } (24)(-2) = -48.} \end{aligned}\nonumber \]

    Отже, (−3) (2) (−4) (−2) = −48.

    Вправа

    Спростити: (−2) (−3) (4) (−1).

    Відповідь

    −24.

    Приклад 3

    Спрощення: (a) (−2) 3 та (c) (−3) 4.

    Рішення

    У кожному прикладі використовуйте

    \[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{m \text{ times}},\nonumber \]

    потім працюйте зліва направо з множенням.

    а) Використовуйте визначення показника, потім порядок операцій.

    \[ \begin{aligned} (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Write } -2 \text{ as a factor three times.}} \\ =4(-2) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Work left to right: } (-2)(-2) = 4.} \\ =-8 \end{aligned}\nonumber \]

    б) Використовувати визначення показника, потім порядку операцій.

    \[ \begin{aligned} (-3)^4 = (-3)(-3)(-3)(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Write } -3 \text{ as a factor four times.}} \\ =9(-3)(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Work left to right: } (-3)(-3) = 9.} \\ =-27(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Work left to right: } 9(-3) = -27.} \\ = 81 \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: (a) (−2) 2 та (b) −2 2.

    Відповідь

    (a) 4 і (b) −4

    Приклад 3 мотивує наступний факт.

    Парне і непарне

    Два факти очевидні.

    1. Якщо товар містить непарну кількість негативних факторів, то продукт негативний.
    2. Якщо продукт містить парну кількість негативних факторів, то продукт позитивний.

    Так, наприклад,

    \[(−2)^5 = (−2)(−2)(−2)(−2)(−2) = −32\nonumber \]

    швидко оцінюється як −32, оскільки має непарну кількість негативних чинників. З іншого боку,

    \[(−2)^6 = (−2)(−2)(−2)(−2)(−2)(−2) = 64\nonumber \]

    швидко оцінюється як 64, оскільки має парну кількість негативних факторів.

    Ділення цілих чисел

    Вважайте, що

    \(\frac{12}{3} = 4\)тому що\(3(4) = 12\) і\(\frac{-12}{-3} = 4\) тому\(-3(4) = -12\).

    Подібним чином,

    \(\frac{12}{-3} = -4\)тому що -3 (-4) = 12 і\(\frac{-12}{3} = -4\) тому що\(3(-4) = -12\).

    Таким чином, правила ділення цілих чисел такі ж, як і правила множення цілих чисел.

    Як і на відміну від знаків

    Виділяють два випадки:

    На відміну від знаків. Частка двох цілих чисел з несхожими знаками від'ємна. Тобто,

    \[ \begin{array} \frac{(+)}{(-)} = - \\ \frac{(-)}{(+)} = - \end{array}\nonumber \]

    Як Знаки. Коефіцієнт двох цілих чисел з подібними знаками є додатним. Тобто,

    \[ \begin{array} \frac{(+)}{(+)} = + \\ \frac{(-)}{(-)} = + \end{array}\nonumber \]

    Так, наприклад, 12/ (−6) = −2 і −44/ (−4) = 11. У першому випадку на відміну від знаків дає негативний коефіцієнт. У другому випадку подібний знак дає позитивний коефіцієнт.

    Одне останнє нагадування.

    Розподіл на нуль не визначено

    Якщо a - будь-яке ціле число, частка

    \[ \frac{a}{0}\nonumber \]

    не визначено. Ділення на нуль безглуздо.

    Дивіться дискусію в Розділі 1.3 для обговорення щодо поділу на нуль.

    Приклад 4

    Спрощення: (a) −12/ (−4), (b) 6/ (−3) та (c) −15/0.

    Рішення

    У кожному прикладі ми використовуємо підхід знаків «подобається» і «на відміну».

    а) Подібні ознаки дає позитивний результат. Отже,

    \[ \frac{-12}{-4} = 3.\nonumber \]

    б) На відміну від знаків дає негативний результат. Отже,

    \[ \frac{6}{-3} = -2.\nonumber \]

    в) Ділення на нуль не визначено. Отже,

    \[ \frac{-15}{0}\nonumber \]

    не визначено.

    Вправа

    Спрощення: (a) −24/4 та (b) −28/ (−7).

    Відповідь

    (а) −6, (б) 4

    Вправи

    У вправах 1-16 викладіть властивість множення, зображене заданою ідентичністю.

    1. (−2) (−16) (13) = (−2) (−16) (13)

    2. (10) (−15) (−6) = (10) (−15) (−6)

    3. (−17) (−10) = (−10) (−17)

    4. (−5) (3) = (3) (−5)

    5. (4) (11) = (11) (4)

    6. (−5) (−11) = (−11) (−5)

    7. 16 · (8 + (−15) = 16 · 8 + 16 · (−15)

    8. 1 · (−16 + (−6) = 1 · (−16) + 1 · (−6)

    9. (17) (20) (11) = (17) (20) (11)

    10. (14) (−20) (−18) = (14) (−20) (−18)

    11. −19 · 1 = −19

    12. −17 · 1 = −17

    13. 8 · 1=8

    14. −20 · 1 = −20

    15. 14 · (−12 + 7 = 14 · (−12) + 14 · 7

    16. −14 · (−3+6 = −14 · (−3) + (−14) · 6

    У вправах 17-36 спрощуйте кожне задане вираз.

    17. 4 · 7

    18. 4 · 2

    19. 3 · (−3)

    20. 7 · (−9)

    21. −1 · 10

    22. -1 · 11

    23. −1 · 0

    24. −8 · 0

    25. −1 · (−14)

    26. −1 · (−13)

    27. −1 · (−19)

    28. −1 · (−17)

    29. 2 · 0

    30. −6 · 0

    31. −3 · 8

    32. 7 · (−3)

    33. 7 · 9

    34. 6 · 3

    35. -1 · 5

    36. −1 · 2

    У вправах 37-48 спрощуйте кожне задане вираз.

    37. (−7) (−1) (3)

    38. (10) (6) (3)

    39. (−7) (9) (10) (−10)

    40. (−8) (−5) (7) (−9)

    41. (6) (5) (8)

    42. (7) (−1) (−9)

    43. (−10) (4) (−3) (8)

    44. (8) (−2) (−5) (2)

    45. (6) (−3) (−8)

    46. (−5) (−4) (1)

    47. (2) (1) (3) (4)

    48. (7) (5) (1) (4)

    У вправах 49-60 обчислити точне значення.

    49. (−4)

    50. (−34)

    5.1 (−54)

    52. (−2)

    53. (−52)

    54. (−33)

    5.5 (−62)

    56. (−64)

    57. (−45)

    58. (−4+2)

    59. (−53)

    60. (−32)

    У вправах 61-84 спростіть кожне задане вираз.

    61. −16 ÷ (−8)

    62. −33 ÷ (−3)

    63. \( \frac{-8}{1}\)

    64. \(\frac{40}{-20}\)

    65. \(\frac{-1}{0}\)

    66. \ (\ гідророзриву {2} {0}\

    67. −3 ÷ 3

    68. -58 ÷ 29

    69. \(\frac{56}{-28}\)

    70. \(\frac{60}{-12}\)

    71. 0 ÷ 15

    72. 0 ÷ (−4)

    73. \(\frac{63}{21}\)

    74. \(\frac{-6}{-1}\)

    75. \(\frac{78}{13}\)

    76. \(\frac{-84}{-14}\)

    77. 0 ÷ 5

    78. 0 ÷ (−16)

    79. \(\frac{17}{0}\)

    80. \(\frac{-20}{0}\)

    81. −45 ÷ 15

    82. −28 ÷ 28

    83. 12 ÷ 3

    84. −22 ÷ (−22)

    85. Підводне плавання. Дайвер спускається на 25 футів. Другий дайвер потім пірнає вниз в 5 разів далі, ніж перший дайвер. Запишіть кінцеву глибину другого дайвера як ціле число.

    86. Інвестування збитків. Інвестиційний клуб з п'яти друзів втратив $4400 на торгівлі. Якщо вони поділяють збитки порівну, запишіть втрату кожного члена як ціле число.

    Відповіді

    1. Асоціативна властивість множення

    3. Комутативна властивість множення

    5. Комутативна властивість множення

    7. Розподільна власність

    9. Асоціативна властивість множення

    11. Властивість мультиплікативної ідентичності

    13. Властивість мультиплікативної ідентичності

    15. Розподільна власність

    17. 28

    19. −9

    21. −10

    23. 0

    25. 14

    27. 19

    29. 0

    31. −24

    33. 63

    35. −5

    37. 21

    39. 6300

    41. 240

    43. 960

    45. 144

    47. 24

    49. 256

    51. 625

    53. 25

    55. 36

    57. −1024

    59. −125

    61. 2

    63. −8

    65. Ділення на нуль не визначено.

    67. −1

    69. −2

    71. 0

    73. 3

    75. 6

    77. 0

    79. Ділення на нуль не визначено.

    81. −3 83. 4

    85. −125 футів