1: Початок роботи - Мова ОДУ
- Page ID
- 61205
Це курс про звичайні диференціальні рівняння (ОДУ). Отже, ми починаємо з визначення того, що ми маємо на увазі під цим терміном.
ВИЗНАЧЕННЯ 1: ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ
Звичайне диференціальне рівняння (ОДЕ) - це рівняння для функції однієї змінної, яка включає («звичайні») похідні функції (і, можливо, відомі функції тієї ж змінної).
Нижче наведемо кілька прикладів.
- \(\frac{d^{2}x}{dt^2}+\omega^{2}x = 0\)
- \(\frac{d^{2}x}{dt^2}-\alpha x\frac{dx}{dt}-x+x^3 = \sin(\omega t)\)
- \(\frac{d^{2}x}{dt^2}- \mu(1-x^2)\frac{dx}{dt}+x = 0\)
- \(\frac{d^{3}f}{d\eta^3} +f\frac{d^{2}f}{d\eta^2}+ \beta(1-(\frac{d^{2}f}{d\eta^2})^2) = 0\)
- \(\frac{d^{4}y}{dx^4}+x^2\frac{d^{2}y}{dx^2}+x^5 = 0\)
ОДУ можна стисло написати, прийнявши більш компактні позначення для похідних. Наведені вище приклади ми перепишемо з цим скороченим позначенням.
- \(\ddot{x}+ \omega^{2}x = 0\)
- \(\ddot{x}-\alpha x\dot{x}-x+x^3 = \sin(\omega t)\)
- \(\ddot{x}-\mu(1-x^2)\dot{x}+x = 0\)
- \(f'''+ff''+\beta(1-(f'')^2) = 0\)
- \(y''''+x^{2}y''+x^5 = 0\)
Характеризуючи ОДУ
Тепер, коли ми визначили поняття ОДА, нам потрібно буде розробити деякі додаткові поняття, щоб більш глибоко описати структуру ОДУ. Поняття «структура» важливі, оскільки ми побачимо, що вони відіграють ключову роль у тому, як ми розуміємо природу поведінки рішень ОДУ.
ВИЗНАЧЕННЯ 2: ЗАЛЕЖНА ЗМІННА
Значення функції, наприклад, 1,\(x(t)\).
ВИЗНАЧЕННЯ 3: НЕЗАЛЕЖНА ЗМІННА
Аргумент функції, наприклад, 1, t.
Ми узагальнюємо список залежних і незалежних змінних в п'яти прикладах ОДУ, наведених вище.
| Приклад | Залежна змінна | Незалежна змінна |
|---|---|---|
| 1 | \(x\) | \(t\) |
| 2 | \(x\) | \(t\) |
| 3 | \(x\) | \(t\) |
| 4 | \(f\) | \(\eta\) |
| 5 | \(y\) | \(x\) |
Поняття «порядок» є важливою характеристикою ОДУ.
ВИЗНАЧЕННЯ 4: ПОРЯДОК ОДИ
Число, пов'язане з найбільшою похідною залежної змінної в ODE.
Наведемо порядок кожної з ОД в п'яти прикладах вище.
| Приклад | Замовити |
|---|---|
| 1 | Друге замовлення |
| 2 | Друге замовлення |
| 3 | Друге замовлення |
| 4 | Третій порядок |
| 5 | Четвертий орден |
Розмежування незалежних і залежних змінних дозволяє визначити поняття автономних і неавтономних ОД.
ВИЗНАЧЕННЯ 5: АВТОНОМНІ ТА НЕАВТОНОМНІ
ODE вважається автономним, якщо жоден з коефіцієнтів (тобто функцій), що множать залежну змінну або будь-яку її похідну, явно залежать від незалежної змінної, а також якщо жодні терміни, що не залежать від залежної змінної або будь-якої з її похідних, явно залежать від незалежної змінна. В іншому випадку, кажуть, що він неавтономний.
Або, більш стисло, ODE є автономним, якщо незалежна змінна явно не відображається в рівнянні. В іншому випадку вона неавтономна. Ми застосовуємо це визначення до п'яти прикладів вище, і підсумовуємо результати в таблиці нижче.
| Приклад | Замовити |
|---|---|
| 1 | автономний |
| 2 | неавтономний |
| 3 | автономний |
| 4 | автономний |
| 5 | неавтономний |
Всі скалярні ОД, тобто значення залежної змінної є скаляром, можуть бути записані як рівняння першого порядку, де нова залежна змінна - вектор, що має таку ж розмірність, що і порядок ОДУ. Це робиться шляхом побудови вектора, компоненти якого складаються з залежної змінної і всіх її похідних нижче найвищого порядку. Цей вектор є новою залежною змінною. Ми ілюструємо це для п'яти прикладів вище.
- \(\dot{x} = v\),
\(\dot{v} = -w^{2}x, (x, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
- \(\dot{x} = v\),
\(\dot{v} = \alpha xv+x-x^3+sin(\omega t), (x, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
- \(\dot{x} = v\),
\(\dot{v} = \mu(1-x^2)v-x, (x, v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
- f' = v,
f» = u,
\(f''' = -ff''-\beta(1-(f'')^2)\)
або
f' = v,
v' = ф» = у,
\(u' = f''' = -fu-\beta(1-u^2)\)
або
\(\begin{pmatrix} {f'}\\ {v'}\\ {u'} \end{pmatrix}\)=\(\begin{pmatrix} {v}\\ {u}\\ {-fu-\beta(1-u^2)} \end{pmatrix}\),\((f, v, u) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)
- y' = ш,
y» = v,
y"' = u,
\(y'''' = -x^{2}y''-x^5\)або
y' = ш,
w' = y» = v,
v' = y"' = u,
\(u' = y'''' = -x^{2}v-x^5\)або
\(\begin{pmatrix} {y'}\\ {w'}\\ {v'}\\ {u'} \end{pmatrix}\)=\(\begin{pmatrix} {w}\\ {v}\\ {u}\\ {-x^{2}v-x^5} \end{pmatrix}\),\((y, w, v, u) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)
Тому без втрати узагальненості загальна форма ОДА, яку ми будемо вивчати, може бути виражена у вигляді вектора ОДА першого порядку:
\[\dot{x} = f(x), x(t_{0}) \equiv x_{0}, x \in \mathbb{R}^{n}, autonomous, \label{1.1}\]
\[\dot{x} = f (x, t), x(t_{0}) \equiv x_{0}, x \in \mathbb{R}^{n}, nonautonomous, \label{1.2}\]
де\(x(t_{0}) \equiv x_{0}\), іменується як початкова умова.
Ця векторна форма ОДУ першого порядку дозволяє обговорити багато властивостей ОДУ таким чином, який не залежить від порядку ОДА. Він також піддається природному геометричному опису рішень ОДУ, яке ми побачимо найближчим часом.
Ключовою характеристикою ОДУ є те, чи є вони лінійними чи нелінійними.
Визначення: ЛІНІЙНІ ТА НЕЛІНІЙНІ ОДИ
ODE вважається лінійним, якщо це лінійна функція залежної змінної. Якщо він не лінійний, він, як кажуть, нелінійний.
Зверніть увагу, що незалежна змінна не грає ролі в тому, чи є ODE лінійним або нелінійним.
| Приклад | Замовити |
|---|---|
| 1 | лінійний |
| 2 | нелінійних |
| 3 | нелінійних |
| 4 | нелінійних |
| 5 | лінійний |
При написанні векторного рівняння першого порядку (векторний) простір залежних змінних називається фазовим простором ОДА. Тоді ОДА має геометричну інтерпретацію як векторне поле у фазовому просторі. Структура фазового простору, наприклад його розмірність та геометрія, можуть мати значний вплив на природу розв'язків ОДУ. Ми зіткнемося з ОД, визначеними на різних типах фазового простору, і різних розмірів. Деякі приклади наведені в наступних списках.
1-вимір
- \(\mathbb{R}\)—реальна лінія,
- \(\mathbb{I} \in \mathbb{R}\)—інтервал на реальному рядку,
- \(S^{1}\)—коло.
«Рішення» Одновимірних автономних ОДУ. Формально (ми пояснимо, що це означає коротко) вираз для вирішення одновимірного автономного ОДУ можна отримати шляхом інтеграції. Ми пояснюємо, як це робиться, і що це означає. Давайте\(\mathbb{P}\) позначимо одне з одновимірних фазових просторів, описаних вище. Визначене на P автономне векторне поле розглядається наступним чином:
\[\dot{x} = \frac{dx}{dt} = f(x) , x(t_{0}) = x_{0}, x \in P \label{1.3}\]
Це приклад одновимірного відокремлюваного ОДУ, який можна записати наступним чином:
\[\int_{x(t_{0})}^{x(t)} \frac{dx'}{f(x')} = \int_{t_{0}}^{t} dt' = t-t_{0}. \label{1.4}\]
Якщо ми зможемо обчислити інтеграл з лівого боку (1.4), то можна вирішити для x (t). Однак ми знаємо, що не всі функції\(\frac{1}{f(x)}\) можуть бути інтегровані. Це те, що ми маємо на увазі, ми можемо «формально» вирішити рішення для цього прикладу. Можливо, ми не зможемо представити рішення у формі, яка є корисною.
Вищі розмірні фазові простори, які ми розглянемо, будуть побудовані як декартові добутки цих трьох основних одновимірних фазових просторів.
2 -розміри
- \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)—літак,
- \(\mathbb{T}^2 = \mathbb{S} \times \mathbb{S}\)—два тора,
- \(\mathbb{C} = \mathbb{I} \times \mathbb{S}\)— (кінцевий) циліндр,
- \(\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{S}\)—( нескінченний) циліндр.
У багатьох додатках ОДУ незалежна змінна має інтерпретацію часу, тому змінна t часто використовується для позначення незалежної змінної. Динаміка - це вивчення того, як системи змінюються в часі. При написанні системи першого порядку ОДУ часто називають динамічними системами, а ОДИ, як кажуть, генерують векторні поля у фазовому просторі. З цієї причини фрази ODE та векторне поле\(t\) закінчуються використовуватися синономно.
Існування рішень
При аналізі ОДА виникає кілька природних питань. «Чи є у ОДА рішення?» «Чи унікальні рішення?» (А що означає «унікальний»?) Стандартний спосіб лікування цього в курсі ODE - «довести велику теорему» про існування та унікальність. Замість того, щоб це робити (ви можете знайти докази в сотнях книг, а також на багатьох сайтах в Інтернеті), ми розглянемо кілька прикладів, які ілюструють основні питання, що стосуються того, що означають ці питання, а потім опишемо достатні умови, щоб ОДА мала унікальне рішення (а потім розглянемо, що означає «унікальність»).
По-перше, чи є ODE рішення? Не обов'язково, як показує наступний приклад.
Приклад\(\PageIndex{1}\): An example of an ODE that has no solutions
Розглянемо наступні ОДА, визначені на\(\mathbb{R}\):
\[\dot{x}^2+x^2+t^2 = -1, x \in \mathbb{R}. \nonumber\]
Ця ОДА не має рішень, оскільки ліва сторона ненегативна, а права - суворо негативна.
Тоді ви можете задати питання— «якщо ОДА має рішення, вони унікальні?» Знову ж таки, відповідь «не обов'язково», як показує наступний приклад.
Приклад\(\PageIndex{2}\): An example illustrating the meaning of uniqueness
\[\dot{x} = ax , x \in \mathbb{R}^n, \nonumber\]
де a - довільна константа. Рішення дається
\[x(t) = ce^{at}. \label{1.6}\]
Так ми бачимо, що існує нескінченна кількість рішень, в залежності від вибору константи\(c\). Так що ж може означати унікальність рішень? Якщо ми оцінюємо рішення в Equation\ ref {1.6}, то\(t = 0\) побачимо, що
\[x(0) = c \nonumber\]
Підставивши це до розв'язку в Equation\ ref {1.6}, розв'язок має вигляд:
\[x(t) = x(0)e^{at}. \label{1.8}\]
З форми Equation\ ref {1.8} ми бачимо, що саме означає «унікальність розв'язків». Для заданої початкової умови існує рівно один розв'язок ОДА, що задовольняє цю початкову умову.
Приклад\(\PageIndex{8}\)
Приклад ОДА з неунікальними рішеннями. Розглянемо наступні ОДУ, визначені на R:
\[\dot{x} = 3x^{\frac{2}{3}}, x(0) = 0, x \in \mathbb{R}. \nonumber\]
Легко помітити, що рішення\(x(0) = 0\) задовольняє є\(x = 0\). Однак можна перевірити безпосередньо, підставивши в рівняння, що наступне також задовольняє рішення\(x(0) = 0\):
\[x(t) = \left\{\begin{array}{ll}{0,} & {t \le a} \\ {(t-a)^3,} & {t>a} \end{array}\right\} \nonumber\]
для будь-якого\(a > 0\). Отже, в даному прикладі існує нескінченна кількість розв'язків, що задовольняють однакову початкову умову. Цей приклад точно ілюструє, що ми маємо на увазі під унікальністю. З огляду на початкову умову, тільки один ('унікальність») рішення задовольняє початковій умові в обраний початковий час.
Виникає ще одне питання, яке виникає. Якщо у нас є унікальне рішення, чи існує воно на весь час? Не обов'язково, як показує наступний приклад.
Приклад\(\PageIndex{9}\): An example of an ODE with unique solutions that exists only for a finite time
Розглянемо наступні ОДА на\(\mathbb{R}\):
\[\dot{x} = x^2, x(0) = x_{0}, x \in \mathbb{R} \nonumber \]
Ми можемо легко інтегрувати це рівняння (воно роздільне), щоб отримати наступне рішення, що задовольняє початковій умові:
\[x(t) = \frac{x_{0}}{1-x_{0}t}. \nonumber\]
Рішення стає нескінченним, або «не існує» або «вибухає» при\(t\). \(x_{0}\)Це те, що означає «не існує». Отже, рішення існує лише скінченний час, і це «час існування» залежить від початкової умови.
Унікальність рішень
Ці три приклади містять суть «проблем існування» для ОДУ, які нас торкнуться. Вони є «стандартними прикладами», які можна знайти в багатьох підручниках. Тепер викладемо стандартну теорему «існування та єдиності» для ОДУ. Твердження є прикладом потужності та гнучкості вираження загального ОДА як векторного рівняння першого порядку. Заява дійсна для будь-якого (кінцевого) виміру.
Розглядаємо загальне векторне поле на\(\mathbb{R}^n\)
\[\dot{x} = f(x,t), x(t_{0}) = x_{0}, x \in \mathbb{R}. \label{1.13}\]
Важливо усвідомлювати, що для загального результату, який ми збираємось заявити, не має значення, чи є ОДА автономною чи неавтономною.
Визначаємо область векторного поля. \(\mathbb{U} \rightarrow \mathbb{R}^n\)Дозволяти бути відкритий набір і\(\mathbb{I} \rightarrow \mathbb{R}\) нехай інтервал. Потім виражаємо, що n-мірне векторне поле визначається на цій області наступним чином:
\(f: \mathbb{U} \rightarrow \mathbb{R}^n\),
\((x, t) \rightarrow f(x, t)\)
Нам потрібно визначення, щоб описати «регулярність» векторного поля.
ВИЗНАЧЕННЯ 7:\(C^R\) FUNCTION
Ми говоримо, що f (x, t)\(C^r\) увімкнено,\(\mathbb{U} \times \mathbb{I} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}\) якщо це\(r\) раз диференційовно, і кожна похідна є безперервною функцією (на тій же області). Якщо r = 0, f (x, t) просто кажуть, що він безперервний.
Тепер ми можемо констатувати достатні умови для (1.13), щоб мати унікальне рішення. Ми припускаємо, що f (x, t) є\(C^r\),\(r \ge 1\). Вибираємо будь-яку точку\((x_{0}, t_{0})\)\(\in \mathbb{U} \times \mathbb{I}\). Тоді існує унікальний розв'язок (1.13), що задовольняє цій початковій умові. Позначимо це рішення шляхом\(x(t, t_{0}, x_{0})\), і відбиваємо в позначеннях, що воно задовольняє початковій умові по\(x(t_{0}, t_{0}, x_{0}) = x_{0}\). Це унікальне рішення існує для часового інтервалу по центру в початковий час t0, позначається\((t_{0}-\epsilon, t_{0}+\epsilon)\), для деяких\(\epsilon > 0\). Більш того, це рішення\(x(t, t_{0}, x_{0})\), є\(C^r\) функцією t,\(t_{0}\),\(x_{0}\). Зверніть увагу, що від Прикладу 9\(\epsilon\) може залежати від\(x_{0}\). Це також пояснює, як рішення «не існує» - воно стає необмеженим («підірвати») за кінцевий час.
Нарешті, зауважимо, що існування та унікальність ОДУ є математичним проявом детермінізму. Якщо вказано початкова умова (зі 100% точністю), то однозначно визначається минуле і майбутнє. Ключова фраза тут - "100% точність». Числа не можуть бути вказані зі 100% точністю. Завжди буде певна неточність у специфікації початкової умови. Хаотичні динамічні системи - це детерміновані динамічні системи, що мають властивість, що неточності в початкових умовах можуть збільшуватися динамічною еволюцією, що призводить до, здавалося б, випадкової поведінки (навіть якщо система повністю детермінована).